Formuły Freneta

W Frenet formuły ( Frenet wzory ), nazwany na cześć francuskiego matematyka Jean Frédéric Frenet , są centralnymi równań w teorii krzywych przestrzennych , ważną część geometrii różniczkowej . Nazywa się je również równaniami pochodnymi lub formułami Freneta-Serreta , ten ostatni od nazwiska Josepha Serreta , który podał wzory w całości. W tym artykule formuły Freneta są najpierw przedstawiane w trójwymiarowej przestrzeni wizualnej , a następnie uogólniane na wyższe wymiary. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Trójwymiarowa obudowa

Przegląd

Wzory wykorzystują bazę ortonormalną (wektory jednostkowe, które są prostopadłe do siebie w parach) z trzech wektorów (wektor styczny , główny wektor normalny i wektor binormalny ), które opisują lokalne zachowanie krzywej i wyrażają pochodne tych wektorów zgodnie z do długości łuku jako liniowe kombinacje trzech wspomnianych wektorów. Występują charakterystyczne dla krzywej krzywizna i skręcanie zmiennych skalarnych . ${\ displaystyle {\ vec {t}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} \, (s)}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} s}} = {\ vec {t}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {t}}} {\ mathrm {d} s}} = \ kappa {\ vec {n}} \ qquad {\ vec {t}} \ times {\ vec {n}} = {\ vec {b} }}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {b}}} {\ mathrm {d} s}} = - \ tau {\ vec {n}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d } {\ vec {n}}} {\ mathrm {d} s}} = \ tau {\ vec {b}} - \ kappa {\ vec {t}}}$

Tworzenie koncepcji

Wektor łączy dwa punkty na ścieżce i ma długość . Ponieważ idzie w kierunku przeciwnym do długości łuku odcinka między a : ${\ displaystyle \ Delta {\ vec {r}} = {\ vec {r}} {} _ {2} - {\ vec {r}} {} _ {1}}$${\ Displaystyle | \ Delta {\ vec {r}} \, | = {\ sqrt {\ Delta {\ vec {r}} \ cdot \ Delta {\ vec {r}}}}}$${\ displaystyle \ Delta {\ vec {r}} \ rightarrow 0}$${\ Displaystyle | \ Delta {\ vec {r}} \, |}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} s = | \ mathrm {d} {\ vec {r}} \, | = {\ sqrt {\ mathrm {d} {\ vec {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}}}$

Długość łuku ścieżki od punktu początkowego do punktu${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

${\ displaystyle s = \ int _ {{\ vec {r}} _ {0}} ^ {\ vec {r}} \ mathrm {d} s = \ int _ {{\ vec {r}} _ {0 }} ^ {\ vec {r}} {\ sqrt {\ mathrm {d} {\ vec {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}}}$

Podano krzywą przestrzenną sparametryzowaną długością łuku : ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} (s)}$.

Do punktu na krzywej otrzymuje się przez uzyskiwanie przez z wektorem stycznym jednostkowej , na przykładzie zmiany długości łuku, co wskazuje na lokalny kierunek łuku, tak więc zmiany położenia: ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s)}$${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle {\ vec {t}} (s) = {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} (s)} {\ mathrm {d} s}} = {\ vec {r} } \, '(s)}$.

Ponieważ kwota instrumentu pochodnego wynosi 1; więc jest to wektor jednostkowy. Styczny wektor jednostkowy generalnie zmienia swój kierunek wzdłuż ścieżki, ale nie swoją długość (zawsze pozostaje wektorem jednostkowym) lub . Z tego można wywnioskować, że pochodna stycznego wektora jednostkowego jest do niego prostopadła: ${\ Displaystyle \ mathrm {d} s = | \ mathrm {d} {\ vec {r}} \, |}$${\ Displaystyle | {\ vec {t}} \, | = 1}$${\ displaystyle {\ vec {t}} \ cdot {\ vec {t}} = 1}$

${\ Displaystyle {\ vec {t}} \ cdot {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {t}}} {\ mathrm {d} s}} = {\ Frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} \ left ({\ vec {t}} \ cdot {\ vec {t}} \, \ right)} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {1} { 2}} {\ frac {\ mathrm {d} 1} {\ mathrm {d} s}} = 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad {\ vec {t}} \ perp {\ frac {\ mathrm {d} { \ vec {t}}} {\ mathrm {d} s}}}$

Trajektorię można rozszerzyć do serii Taylora : ${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle {{\ vec {r}} (s + \ Delta s) = {\ vec {r}} (s) + {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} s}} (s) \ Delta s + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} {} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm { d} s ^ {2}}} (s) \ Delta s ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ Delta s ^ {3}) = {\ vec {r}} (s) + {\ vec {t}} (s) \ Delta s + {\ frac {1} {2}} {\ vec {t}} \, '(s) \ Delta s ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ Delta s ^ {3})}}$

Krzywa ścieżki (czerwona) ze stycznymi wektorami jednostkowymi i oscylującym okręgiem z promieniem. Dla celów ilustracyjnych, wybrany rozmiar jest wyolbrzymiony.${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$${\ displaystyle \ rho.}$${\ displaystyle \ mathrm {d} s}$

Krzywa aproksymacji drugiego rzędu w to parabola leżąca w płaszczyźnie oskulowanej rozpiętej przez i . ${\ displaystyle \ Delta s}$${\ displaystyle {\ vec {t}}}$${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '}$

Aby obliczyć wielkość, należy wziąć pod uwagę oskulowany okrąg , który w obserwowanym punkcie ścieżki przylega do swojej aproksymacyjnej paraboli, tj. H. okrąg, który przechodzi przez dany punkt krzywej, ma tam ten sam kierunek co krzywa i również odpowiada krzywej w drugiej pochodnej. Niech kąt między wektorami stycznymi sąsiednich punktów krzywej ( i ) będzie . To znaczy ${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '}$${\ Displaystyle {\ vec {t}} \, (s)}$${\ Displaystyle {\ vec {t}} \, (s + \ mathrm {d} s)}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ varphi = | \ mathrm {d} {\ vec {t}} \, | / | {\ vec {t}} \, | = | \ mathrm {d} {\ vec { t}} \, |}$

Ponieważ wektor jednostkowy stycznej jest prostopadły do ​​wektora promienia okręgu oskulującego, kąt między sąsiednimi wektorami promieniowymi ( ) jest identyczny z kątem między wektorami stycznymi sąsiednich punktów krzywej ( ). Z tego wynika jako promień oscylacji (= promień krzywizny): ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ varphi = \ mathrm {d} s / \ varrho}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ varphi = | \ mathrm {d} {\ vec {t}} \, |}$${\ displaystyle \ varrho}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} s}} = {\ Frac {1} {\ varrho}} \ quad \ Longrightarrow \ quad \ left | {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {t}}} {\ mathrm {d} s}} \ right | = {\ frac {1} {\ varrho}}}$

Odwrotny promień krzywizny nazywa się krzywizną i wskazuje siłę zmiany kierunku na długości łuku, tj. Wielkość : ${\ Displaystyle \ varrho (s) \,}$ ${\ Displaystyle \ kappa (s) \,}$${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '}$

${\ Displaystyle \ kappa (s) = {\ Frac {1} {\ varrho (s)}} = | {\ vec {t}} \, '(s) | = | {\ vec {r}} \, '' (s) |}$.

Normalizacja zwraca główny wektor normalny (wektor krzywizny). Ponieważ wektor jednostkowy stycznej jest styczny do koła oscylacji, a wektor głównej normalnej jest do niego prostopadły, wskazuje kierunek środka koła oscylacji. To kierunek, który się zmienia. ${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '(s)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {n}} (s)}$${\ Displaystyle {\ vec {n}} (s)}$${\ displaystyle {\ vec {t}} (s)}$

${\ Displaystyle {\ vec {n}} (s) = {\ Frac {{\ vec {t}} \, '(s)} {| {\ vec {t}} \,' (s) |}} = {\ frac {{\ vec {r}} \, '' (s)} {| {\ vec {r}} \, '' (s) |}} = \ varrho (s) \, {\ vec {t}} \, '(s) = \ varrho (s) \, {\ vec {r}} \,' '(s)}$.

Normalny wektor płaszczyzny oskulującej jest określany za pomocą iloczynu wektorowego stycznego wektora jednostkowego i głównego normalnego wektora jednostkowego i nazywany jest binormalnym wektorem jednostkowym :

${\ Displaystyle {\ vec {b}} (s) = {\ vec {t}} (s) \ razy {\ vec {n}} (s)}$

Styczny wektor jednostkowy  T , główny normalny wektor jednostkowy  N i binormalny wektor jednostkowy  B tworzą towarzyszący trójnóg krzywej przestrzennej. Płaszczyzny osculating jest również pokazany, jest trwała przez główny normalną i styczną wektor jednostkowy.

Styczne, główne normalne i binormalne wektory jednostkowe tworzą bazę ortonormalną , tj. to znaczy, wszystkie te wektory mają wielkość 1 i są parami wzajemnie prostopadłe. Ta podstawa ortonormalna nazywana jest również trójnogiem towarzyszącym krzywej. Wzory Freneta wyrażają pochodne wspomnianych wektorów bazowych jako liniowe kombinacje tych wektorów bazowych: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ Displaystyle {\ vec {t}} \, '(s) = \ kappa (s) \, {\ vec {n}} (s)}$

${\ Displaystyle {\ vec {n}} \, '(s) = - \ kappa (s) \, {\ vec {t}} (s) + \ tau (s) \, {\ vec {b}} (s)}$

${\ Displaystyle {\ vec {b}} \, '(s) = - \ tau (s) \, {\ vec {n}} (s)}$

lub w pamiętnej notacji macierzowej

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ vec {t}} \\ {\ vec {n}} \\ {\ vec {b}} \ end {pmatrix}} '\, = \, {\ begin { pmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & \ tau \\ 0 & - \ tau & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ vec {t}} \\ {\ vec {n}} \ \ {\ vec {b}} \ end {pmatrix}}}$.

Tutaj stoją do krzywizny i do skrętu (skręcenie) z krzywej w punkcie krzywej pod uwagę. ${\ Displaystyle \ kappa (s) \,}$${\ Displaystyle \ tau (s) \,}$

Animacja towarzyszącego statywu oraz funkcji krzywizny i skręcania. Rotację wektora binormalnego można wyraźnie zobaczyć przy wartościach szczytowych funkcji skrętnej.

Korzystając z dołączonego statywu, krzywiznę i skręcenie można przedstawić jako zmianę kierunku określonego wektora jednostkowego stycznej. Jest do tego kilka (częściowo animowanych) ilustracji graficznych .

Zmiana kierunku binormalnego wektora jednostkowego odpowiada skręceniu : ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau (s)}$

• Im większe skręcenie, tym szybciej zmienia się binormalny wektor jednostkowy w zależności od jego kierunku. Jeśli skręcenie wszędzie wynosi 0, krzywa przestrzenna jest krzywą płaską , tj. to znaczy, istnieje wspólna płaszczyzna, na której leżą wszystkie punkty krzywej.${\ displaystyle {\ vec {b}} (s)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle s}$

Zmiana kierunku stycznego wektora jednostkowego odpowiada krzywizny : ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ kappa (s)}$

• Im silniejsza krzywizna , tym szybciej zmienia się wektor jednostkowy stycznej w zależności od jej kierunku.${\ Displaystyle \ Displaystyle \ kappa (s)}$${\ displaystyle {\ vec {t}} (s)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle s}$

Punkty krzywej przestrzennej o krzywizny 0, w których nie ma koła oskulującego, w którym pochodną stycznego wektora jednostkowego jest wektor zerowy , nazywane są punktami zwrotnymi i należy je traktować oddzielnie. Tam terminy wektor normalny i wektor binormalny tracą swoje znaczenie. Jeśli wszystkie punkty mają krzywiznę 0, krzywa przestrzenna jest linią prostą .

Wzory Freneta można również sformułować za pomocą wektora Darboux .

Formuły Freneta jako funkcja innych parametrów

Podane powyżej wzory są zdefiniowane jako funkcja długości łuku s. Często jednak krzywe przestrzenne zależą od innych parametrów, np. B. podane przez czas. Aby wyrazić relacje za pomocą nowego parametru t, używana jest następująca relacja:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = \ lewo | {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t}} \ right | = \ left | {\ dot {\ vec {r}}} \ right |}$

w ten sposób można przepisać pochodne z na : ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} = {\ Frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} {\ Frac {\ mathrm { d}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {\ tfrac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {| {\ dot {\ vec {r}}} \, |}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}$

W konsekwencji formuły Freneta krzywej przestrzennej, która jest sparametryzowana względem (pochodne według są oznaczone kropką) to: ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ kropka {\ vec {r}}} (t)} {| {\ kropka {\ vec {r}}} (t) |}} = {\ vec {t}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ kropka {\ vec {t}}} (t)} {| {\ kropka {\ vec {r}}} (t) |}} = \ kappa {\ vec {n} }}$

${\ displaystyle {\ vec {t}} \ times {\ vec {n}} = {\ vec {b}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ kropka {\ vec {b}}} (t)} {| {\ kropka {\ vec {r}}} (t) |}} = - \ tau {\ vec {n }}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ kropka {\ vec {n}}} (t)} {| {\ kropka {\ vec {r}}} (t) |}} = \ tau {\ vec {b} } - \ kappa {\ vec {t}}}$

Krzywa, którą można rozróżnić trzykrotnie w odniesieniu do t, ma następujące wektory charakterystyczne i skalary w każdym położeniu parametru : ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$${\ Displaystyle {\ kropka {\ vec {r}}} (t) \ razy {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ neq 0}$

Wektor styczny	${\ Displaystyle {\ vec {t}} (t) = {\ Frac {{\ kropka {\ vec {r}}} (t)} {\ lewo | {\ kropka {\ vec {r}}} (t ) \ right |}}}$
Wektor Binormal	${\ Displaystyle {\ vec {b}} (t) = {\ Frac {{\ kropka {\ vec {r}}} (t) \ razy {\ ddot {\ vec {r}}} (t)} { \ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ right |}} = {\ frac {{\ dot {\ vec { r}}} (t) \ times {\ dot {\ vec {t}}} (t)} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ right | \ left | {\ kropka {\ vec {t}}} (t) \ right |}}}$
Główny wektor normalny	${\ Displaystyle {\ vec {n}} (t) = {\ vec {b}} (t) \ razy {\ vec {t}} (t) = {\ Frac {\ lewo ({\ kropka {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ right) \ times {\ dot {\ vec {r}}} (t)} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ right | \ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ right |}} = {\ frac {{\ dot {\ vec {t}}} (t)} {\ left | {\ dot {\ vec {t}}} (t) \ right |}}}$
krzywizna	${\ Displaystyle \ kappa (t) = {\ Frac {\ lewo | {\ kropka {\ vec {r}}} (t) \ razy {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ prawo |} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ right | ^ {3}}} = {\ frac {\ left | {\ dot {\ vec {t}}} (t) \ right |} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ right |}}}$
skręcenie	${\ Displaystyle \ tau (t) = {\ Frac {\ lewo ({\ kropka {\ vec {r}}} (t) \ razy {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ prawo) \ cdot {\ overset {\ ldots} {\ vec {r}}} (t)} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}} } (t) \ right | ^ {2}}}}$

Formuły Freneta w n wymiarach

W przypadku -wymiarowym najpierw wymagane są pewne wymagania techniczne. Krzywa sparametryzowana według długości łuku i stale różniczkowalnych czasów nazywana jest krzywą Freneta , jeśli wektory pierwszej pochodnej są liniowo niezależne w każdym punkcie . Towarzyszących Frenet nóg składa się z wektorami , które spełniają następujące warunki: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle s \ mapsto {\ vec {r}} (s)}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} \, '(s), {\ vec {r}} \,' '(s), \ ldots, {\ vec {r}} ^ {(n-1)} (s)}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} = {\ vec {e_ {i}}} (s)}$

1. ${\ Displaystyle {\ vec {e_ {1}}}, \ ldots, {\ vec {e_ {n}}}}$są ortonormalne i pozytywnie zorientowane .
2. Dla każdego, że liniowe kadłuby z i meczu.${\ Displaystyle i = 1, \ ldots n-1}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {1}}}, \ ldots {\ vec {e_ {i}}}}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} \, ', \ ldots, {\ vec {r}} ^ {(i)}}$
3. ${\ displaystyle \ langle {\ vec {r}} ^ {(i)}, {\ vec {e_ {i}}} \ rangle> 0}$dla każdego .${\ Displaystyle i = 1, \ ldots n-1}$

Musisz czytać te warunki punkt po punkcie, to znaczy, że dotyczą one każdego punktu parametru . W przypadku trójwymiarowych opisane powyżej wektory , i tworzą towarzyszący Frenet statywu. Za pomocą metody ortogonalizacji Grama-Schmidta można wykazać, że nogi Freneta dla krzywych Freneta istnieją i są jednoznacznie określone. W przypadku -wymiarowym równania różniczkowe otrzymujemy dla składowych towarzyszącej nogi Freneta:${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {1}}} = {\ vec {t}}}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {2}}} = {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {3}}} = \ pm {\ vec {b}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Bądź krzywą Freneta z towarzyszącą nogą Freneta . Następnie są wyraźnie pewne funkcje , w których -mal jest różniczkowalne w sposób ciągły i przyjmuje tylko wartości dodatnie, tak że mają zastosowanie następujące formuły Freneta: ${\ Displaystyle s \ mapsto {\ vec {r}} (s)}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ vec {e_ {1}}}, \ ldots, {\ vec {e_ {n}}}}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}, \ ldots, \ kappa _ {n-1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {i} \,}$ ${\ Displaystyle (n-1-i)}$${\ displaystyle i \ leq n-2}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ vec {e_ {1}}} \\ {\ vec {e_ {2}}} \\\ vdots \\\ vdots \\ {\ vec {e_ {n-1 }}} \\ {\ vec {e_ {n}}} \ end {pmatrix}} '\, = \, {\ begin {pmatrix} 0 & \ kappa _ {1} & 0 & \ ldots & \ ldots & 0 \\ - \ kappa _ {1} & 0 & \ kappa _ {2} & 0 & \ ldots & \ vdots \\ 0 & - \ kappa _ {2} & 0 & \ ddots & \ ddots & \ vdots \ \\ vdots & 0 & \ ddots & \ ddots & \ ddots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 & \ kappa _ {n-1} \\ 0 & \ ldots & \ ldots & 0 & - \ kappa _ {n-1} & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ vec {e_ {1}}} \\ {\ vec {e_ {2}}} \\\ vdots \\\ vdots \\ {\ vec {e_ {n-1}}} \ \ {\ vec {e_ {n}}} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle \ kappa _ {i}}$nazywana jest -tą krzywizną Freneta, ostatnia nazywana jest również skręceniem krzywej . Krzywa jest zawarta w hiperpłaszczyźnie dokładnie wtedy , gdy skręcenie zanika. W wielu zastosowaniach można go rozróżniać tak często, jak potrzeba; ta właściwość jest następnie przenoszona na krzywizny Freneta. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ kappa _ {n-1}}$${\ Displaystyle s \ mapsto {\ vec {r}} (s)}$

Prawo teorii krzywych lokalnych

I odwrotnie, można konstruować krzywe dla danych krzywizn Freneta, a dokładniej obowiązuje tzw. Główne twierdzenie teorii krzywych lokalnych :

Niech będzie dowolna liczba różniczkowalnych funkcji o wartościach rzeczywistych zdefiniowanych w przedziale , przy czym przyjmują one tylko wartości dodatnie. Punkt i pozytywnie zorientowany układ ortonormalny są podane dla punktu . Następnie jest dokładnie jedna nieskończenie często różniczkowalna krzywa Freneta z ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}, \ ldots, \ kappa _ {n-1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}, \ ldots, \ kappa _ {n-2}}$${\ displaystyle s_ {0} \ in I}$${\ displaystyle p_ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ vec {e_ {1}}} ^ {0}, \ ldots, {\ vec {e_ {n}}} ^ {0}}$${\ Displaystyle {\ vec {r}}: ja \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}, \, s \ mapsto {\ vec {r}} (s)}$

• ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s_ {0}) = p_ {0}}$,
• ${\ Displaystyle {\ vec {e_ {1}}} ^ {0}, \ ldots, {\ vec {e_ {n}}} ^ {0}}$jest towarzyszącą odnogą Freneta w punkcie parametru ,${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s_ {0}}$
• ${\ displaystyle \ kappa _ {1}, \ ldots, \ kappa _ {n-1}}$są krzywiznami Freneta .${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Pierwsze dwa warunki określają położenie i kierunki w punkcie parametru , dalszy przebieg krzywej jest następnie określany przez specyfikacje krzywizny trzeciego warunku. Dowód opiera się na podanych powyżej wzorach Freneta i wykorzystuje teorię rozwiązań liniowych równań różniczkowych . ${\ displaystyle s_ {0}}$

linki internetowe

• Twórz samodzielnie animowane ilustracje: towarzyszący statyw, funkcja krzywizny i skręcania ( arkusz roboczy Maple )

Indywidualne dowody

1. ^ Darboux Vector, Mathworld
2. ↑ Wolfgang Kühnel : Geometria różniczkowa. Krzywe - powierzchnie - rozmaitości. Wydanie poprawione 4. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0411-2 , zdanie 2.13.
3. ^ Wolfgang Kühnel: Geometria różniczkowa. Krzywe - powierzchnie - rozmaitości. 5. zaktualizowane wydanie. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9 , zdanie 2.13.