Stała Boltzmanna

Stała fizyczna
Nazwisko	Stała Boltzmanna
Symbol formuły	${\ displaystyle k}$ lub ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$
wartość
SI	1.380 649,mi-23 ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {J}} {\ mathrm {K}}}}$
Niepewność  (rel.)	(dokładnie)
Jednostki Plancka	1
Źródła i notatki
Źródłowa wartość SI: CODATA 2018 ( link bezpośredni )

Stała Boltzmanna (symbol lub ) jest stała, która odgrywa kluczową rolę w mechanice statystycznej . Został wprowadzony przez Maxa Plancka i nazwany na cześć austriackiego fizyka Ludwiga Boltzmanna , jednego z twórców mechaniki statystycznej. Ostatecznie jest to współczynnik skali, który łączy skale energii i temperatury.${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$

wartość

Stała Boltzmanna ma wymiar energia / temperatura .

Ich wartość to:

${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = 1 {,} 380 \, 649 \ cdot 10 ^ {- 23} \; \ mathrm {J / K}}$

Ta wartość ma zastosowanie właśnie dlatego, że jednostka miary „ Kelvin ” jest definiowana od 2019 roku poprzez przypisanie tej wartości stałej Boltzmanna. Wcześniej kelwin był definiowany inaczej i był wielkością, która miała być określona eksperymentalnie.${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$

Z elektronowoltami (eV) jako jednostką energii, stała Boltzmanna ma - również dokładną - wartość

${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = {\ Frac {1 {,} 380 \, 649 \ cdot 10 ^ {- 23}} {1 {,} 602 \, 176 \, 634 \ cdot 10 ^ {-19}}} \, {\ frac {\ mathrm {eV}} {\ mathrm {K}}} \ około 8 {,} 617 \, 333 \, 262 \ cdot 10 ^ {- 5} \, { \ frac {\ mathrm {eV}} {\ mathrm {K}}} \,}$.

Uniwersalną stałą gazową oblicza się ze stałej Boltzmanna za pomocą stałej Avogadro : ${\ Displaystyle N _ {\ mathrm {A}}}$

${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {m.}} = N _ {\ mathrm {A}} \ cdot k _ {\ mathrm {B}}}$.

Definicja i związek z entropią

Dokładniej określając idee Ludwiga Boltzmanna, podstawową zależnością odkrytą przez Maxa Plancka jest:

${\ Displaystyle S = k _ {\ mathrm {B}} \, \ ln \ Omega \,.}$

Oznacza to, iż entropia jest macrostate o w systemie zamkniętym , w stanie równowagi termicznej jest proporcjonalne do logarytmu naturalnego z liczby ( przestrzeni wynik ) na odpowiednim możliwe mikroskopowych (lub, innymi słowy, stopień „zaburzenie” w macrostate ). Waga statystyczna jest miarą prawdopodobieństwa wystąpienia określonego makrostatu. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Równanie to łączy - poprzez stałą Boltzmanna jako czynnik proporcjonalności - mikro stany układu zamkniętego z makroskopową wielkością entropii i stanowi centralną podstawę fizyki statystycznej . Jest wyryty w nieco zmodyfikowanej nomenklaturze na nagrobku Ludwiga Boltzmanna na wiedeńskim Cmentarzu Centralnym .

Zmiana entropii jest definiowana w klasycznej termodynamice jako

${\ Displaystyle \ Delta S = \ int {\ Frac {\ mathrm {d} Q} {T}}}$

z ilością ciepła . ${\ displaystyle Q}$

Wzrost entropii odpowiada przejściu do nowego makropaństwa z większą liczbą możliwych mikropaństw. Dzieje się tak zawsze w układzie zamkniętym (izolowanym) ( druga zasada termodynamiki ). ${\ displaystyle \ Delta S> 0}$

W odniesieniu do funkcji podziału mikroskopowego entropię można również zdefiniować jako wielkość liczby wymiaru :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S ^ {\, \ prime} & = {\ Frac {S} {k _ {\ mathrm {B}}}} = \ ln \ Omega \\\ Rightarrow \ Delta S ^ {\, ​​\ prime} & = \ int {\ frac {\ mathrm {d} Q} {k _ {\ mathrm {B}} T}}. \ end {aligned}}}$

W tej „naturalnej” formie entropia odpowiada definicji entropii w teorii informacji i stanowi tam centralną miarę. Termin reprezentuje energię potrzebną do podniesienia entropii o jedną nitę . ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$${\ Displaystyle S ^ {\, \ prime}}$

Prawo gazu doskonałego

Stała Boltzmanna umożliwia obliczenie średniej energii cieplnej jednoatomowej wolnej cząstki na podstawie temperatury zgodnie z

${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {therm}} = {\ Frac {3} {2}} k _ {\ mathrm {B}} \, T,}$

i występuje na przykład w prawie gazowym dla gazów doskonałych jako jedna z możliwych stałych proporcjonalności:

${\ displaystyle pV = N \, k _ {\ mathrm {B}} \, T}$.

Znaczenie symboli:

• ${\ displaystyle p}$- ciśnienie
• ${\ displaystyle V}$- objętość
• ${\ displaystyle N}$- liczba cząstek
• ${\ displaystyle T}$ - Temperatura absolutna

W oparciu o normalne warunki (temperatura i ciśnienie ) i przy stałej Loschmidta równanie gazu można przeformułować na: ${\ displaystyle T_ {0}}$${\ displaystyle p_ {0}}$ ${\ Displaystyle N _ {\ mathrm {L}} = {\ tfrac {N} {V_ {0}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Leftrightarrow {\ frac {N} {V}} & = {\ frac {1} {k _ {\ mathrm {B}}}} {\ frac {p} {T} } \\ & = \ left (N _ {\ mathrm {L}} {\ frac {T_ {0}} {p_ {0}}} \ right) {\ frac {p} {T}} \\ & = N_ {\ mathrm {L}} {\ frac {p} {p_ {0}}} {\ frac {T_ {0}} {T}}. \ End {aligned}}}$

Związek z energią kinetyczną

Na ogół, średnia energia kinetyczna klasyczny punkt jak cząstki w równowadze cieplnej ze stopniami swobody , które są zawarte w funkcji Hamilton pomocą kwadratu ( ekwipartycji tw ) ${\ displaystyle f}$ 

${\ Displaystyle \ langle E _ {\ mathrm {kin}} \ rangle = {\ Frac {f} {2}} k _ {\ mathrm {B}} \, T.}$

Na przykład cząstka punktowa ma trzy stopnie swobody translacji :

${\ Displaystyle \ langle E _ {\ mathrm {kin}} \ rangle = {\ Frac {3} {2}} k _ {\ mathrm {B}} \, T.}$

Ma cząsteczkę dwuatomową

• bez symetrii trzy dodatkowe stopnie swobody obrotu, czyli w sumie sześć
• z osią symetrii, dwa dodatkowe stopnie swobody obrotu dla obrotu prostopadłego do osi symetrii, łącznie pięć. Obracając się wokół osi symetrii, nie można zmagazynować energii w obszarze energii cieplnej , ponieważ moment bezwładności jest tu stosunkowo mały, a zatem pierwszy wzbudzony stan obrotu jest bardzo duży.

Ponadto w wystarczająco wysokich temperaturach atomy wibrują względem siebie wzdłuż wiązań . W przypadku poszczególnych substancji na pojemność cieplną wpływa również chemia: np. Woda ma wyjątkowo dużą pojemność cieplną, ponieważ wraz ze wzrostem temperatury wiązania wodorowe są rozrywane przy użyciu energii, a gdy temperatura spada, nowe są powstały z uwolnieniem energii.

Rola w fizyce statystycznej

Mówiąc bardziej ogólnie, stała Boltzmanna występuje w gęstości prawdopodobieństwa termicznego dowolnego systemu mechaniki statystycznej w równowadze termicznej. To jest: ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {th}}}$

${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {th}} = {\ frac {e ^ {- {\ frac {E} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}} {Z}}}$

Z

• czynnik Boltzmanna ${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {E} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}}$
• kanonicznej funkcji podziału jako stała normalizacji.${\ displaystyle Z}$

Przykład z fizyki ciała stałego

W półprzewodnikach występuje zależność napięcia na złączu pn od temperatury, którą można opisać za pomocą napięcia temperaturowego lub : ${\ displaystyle \ phi _ {T}}$${\ displaystyle U_ {T}}$

${\ Displaystyle \ phi _ {T} = U_ {T} = {\ Frac {k _ {\ mathrm {B}} \ cdot T} {e}}}$

To jest

• ${\ displaystyle T}$temperatura bezwzględna w kelwinach
• ${\ displaystyle e}$ładunek elementarny .

W temperaturze pokojowej ( T  = 293 K) wartość napięcia temperaturowego wynosi około 25 mV.

Zobacz też

• Kinetyczna teoria gazów

Uwagi i referencje indywidualne

1. ^ " ... gdzie k jest stałą Boltzmanna, wprowadzoną wówczas przez Plancka, ... ", przy czym ten czas odnosi się do sformułowania prawa Rayleigha-Jeansa (przypadek graniczny jego wzoru na promieniowanie dla małych częstotliwości) w 1900 roku . M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics , New York, 1966, s. 17. Prawo to umożliwiło również pierwsze eksperymentalne określenie stałej Boltzmanna.
2. ↑ ^{a b} "Należy mieć jasność co do faktu, że stała Boltzmanna [...] nie jest prawdziwą naturalną stałą tego rodzaju, na przykład stałych drobnoziarnistych lub elementarnego ładunku elektrycznego, ale jedynie współczynnik skali, która jest określana w ramach obecnego Międzynarodowego Układu Jednostek (SI) [2007], jest konieczna tylko dlatego, że definiuje Kelvina jako jednostkę podstawową za pomocą punktu potrójnego wody, niezależnie od innych jednostek podstawowych (zwłaszcza metrów, sekundy i kilogramy). To pośrednio wprowadza dodatkową własną jednostkę energii cieplnej kT oprócz dżula (zdefiniowanego jako praca 1 Newton × 1 metr), jednostki energii w układzie SI. ”, Bernd Fellmuth, Wolfgang Buck, Joachim Fischer, Christof Gaiser, Joachim Seidel: Nowa definicja jednostki podstawowej Kelvin , PTB-Mitteilungen 117 (2007), Heft 3, s. 287, online
3. ↑ CODATA Zalecane wartości: stała Boltzmanna. National Institute of Standards and Technology NIST, dostęp 15 kwietnia 2020 . 
4. ↑ CODATA Zalecane wartości: stała Boltzmanna w eV / K. National Institute of Standards and Technology NIST, dostęp 15 kwietnia 2020 . 
5. ↑ Powyższy wzór na entropię można znaleźć w postaci „S = k. log W ”na nagrobku Boltzmanna, ale nigdzie nie jest wyraźnie wspomniany w jego pracach. Ale wyraźnie rozpoznał związek między entropią a liczbą stanów, np. B. w sprawozdaniach ze spotkań Akademii Wiedeńskiej 1877 lub wykładach z teorii gazu, t. 1, 1895, s. 40, zob. Ingo Müller A history of thermodynamics , Springer, s. 102.
6. ↑ Max Planck: Na teorii prawa dystrybucji energii w normalnym widmie. Wykład - faksymile z negocjacji Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego 2 (1900). W: https://onlinelibrary.wiley.com/ . 14 grudnia 1900, ss. 237–245 , obejrzano 14 grudnia 2020 .  
7. ↑ https://courses.lumenlearning.com/boundless-biology/chapter/water/ Lumen Learning, Boundless Biology, Water.