Hans-Joachim Arnold

Hans-Joachim Arnold

Hans-Joachim Felix Arnold (ur. 31 marca 1932 w Berlinie ; † 20 lutego 2006 w Mülheim an der Ruhr ) był niemieckim matematykiem i profesorem uniwersyteckim . Skupił się na połączeniu algebry uniwersalnej i geometrii , założył algebrę relacji geometrycznych .

Życie

Arnold studiował w latach 1952-1958 na Uniwersytecie w Hamburgu i został założony w 1965 roku z podpisem poprzez odległe przestrzenie afiniczne na doktoracie Emanuela Spernera . W 1970 roku uzyskał również habilitację u Spernera z rozprawą „Geometria pierścieni w ramach struktur afinicznych ogólnych” . W 1966 r. Został asystentem na Uniwersytecie Ruhr w Bochum , aw 1973 r. Został mianowany senatorem założycielem przedmiotu matematyka podczas tworzenia ówczesnej wszechstronnej uczelni w Duisburgu . Arnold założył czasopismo Results in Mathematics wraz z Heinrichem Wefelscheidem w 1977 roku .

roślina

Arnold był w stanie ostatecznie rozwiązać problem algebraizacji niepotrzebnych geometrii afinicznej i rzutowej Desargue'a za pomocą relacyjnego rachunku algebraicznego krewnych i wielogrup, które wprowadził . Konwencjonalne struktury, takie jak grupoidy , quasi-moduły lub ciała trójskładnikowe, algebraizują słabo afiniczne geometrie , w szczególności płaszczyzny afiniczne inne niż Desargue'a , i mogą z kolei generować te geometrie. Jednak we wszystkich przypadkach warunek synonimiczności jest naruszany z powodu brakujących obszarów współrzędnych lub z powodu zależności od wyboru układu współrzędnych wymaganego dla procesu przejścia. Dopiero w przypadku krewnych afinicznych, które składają się ze zbioru relacji działających na zbiorze punktów przedstawionej geometrii, procesy przejściowe algebraizacji i geometryzacji stają się synonimami, tj. H. z wyjątkiem izomorfizmu, wokół siebie.

Inna zaleta relacyjnego algebraicznego sposobu mówienia polega na jego konstruktywnej rozszerzalności: język geometrycznej algebry relacyjnej jest odpowiedni do określania prostych reguł obliczeniowych, które są równoważne z obszernymi dodatkowymi aksjomatami geometrycznymi (klauzulami). Dwustopniowa reguła jednorodności (H2) opracowana przez Arnolda jest równoważna konstruowalności równoległych trójkątów, tj . Aksjomatowi Tamaschkego . Jego trójpoziomowa reguła jednorodności (H3) znajduje swój odpowiednik po stronie geometrycznej w ważności dużego twierdzenia afinicznego Desarguesa w płaszczyźnie. Dzięki antysymetrii operatorów w krewnych kierunkach afinicznych, Arnold był w stanie opisać geometrie afiniczne ułożone w sensie synonimicznym Davida Hilberta . Jego doktorantom Rolandowi Soltysiakowi, Andreasowi Koppowi i Chandrasekara Senevirathne udało się następnie znaleźć synonimiczny odpowiednik geometrii prawie ciała, geometrii linii i - w skrócie: częściowo uporządkowanych - geometrii afinicznych ułożonych w sensie Emanuela Spernera przy użyciu krewnych prawie afinicznych, krewnych linii i krewnych z orientacją afiniczną.

We wszystkich tych geometriach czas nie odgrywa jeszcze roli, ale Arnoldowi udaje się także zdynamizować pokrewne pokrewieństwa poprzez włączenie struktur czasowych do pokrewnych reguł . Podczas gdy do analizowania i modelowania układów dynamicznych wykorzystuje się złożone metody matematyczne układów równań różniczkowych , geometrii różniczkowej lub algebry różniczkowej , zapewnia on nowy język matematyczny dla systemów dyskretnych w czasie i ciągłych, których „krewni reguł” są synonimem ogólnego terminu systemowego Eduardo D. Sontaga. Dzięki temu podejściu jego doktoranci Peter Stemper, Marc Schleuter i Dirk Wetscheck byli w stanie uchwycić przykładowe klasy systemów liniowych, nieliniowych i rozmytych z teorii sterowania przy użyciu tej samej metody matematycznej; Axel Sauerland pokazał afinicznym krewnym Desargue'a izomorfizm pokrewnych reguł, zdefiniowanych przez jednorodne ze stanem i jednorodne na wejściu układy dwuliniowe.

Arnold początkowo opisał geometrie rzutowe jako synonimy z tak zwanymi (trójwymiarowymi) wielogrupami rzutowymi. Z relacjami 2x2 działającymi na tym zbiorze punktów, które z kolei definiują projekcyjny (2x2) -relatywny synonim, opis dużego twierdzenia rzutowego Desarguesa w płaszczyźnie udaje się poprzez konstruktywną rozszerzalność do reguły (H2x2) -homogeniczności.

Afiniczni lub projekcyjni krewni Arnolda w pojęciowym świecie algebry i geometrii afinicznej lub rzutowej okazują się dwoma różnymi sposobami mówienia o tym samym stanie rzeczy. Ponadto wraz z krewnymi udaje mu się również matematyczny opis teorii poznania . Teoretyczne koncepcje działania i aspekty poznawcze w regulacji prostych układów dynamicznych są również matematycznie przez niego matematyczny przy użyciu metod teorii relacji.

Czcionki

• O odległych przestrzeniach słabo afinicznych przestrzeni W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 30, Universität Berlin, Hamburg 1967, s. 75–105, doi: 10.1007 / BF02993993 .
• O klasie quasi-modułów Spernera. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 31, Universität Berlin, Hamburg 1967, s. 206–212, doi: 10.1007 / BF02992400 .
• Charakterystyka algebraiczna i geometryczna słabo afinicznych przestrzeni wektorowych nad prawie polami. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 32, Universität Berlin, Hamburg 1968, s. 73–88, doi: 10.1007 / BF02993915 .
• Operacje powłokowe i nieskończony zbiór wymiany Steinitzera. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 33, Universität Berlin, Hamburg 1969, s. 32–42, doi: 10.1007 / BF02992802 .
• Geometria pierścieni w kontekście ogólnych struktur afinicznych. W: Hamburg indywidualne prace matematyczne. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen New Series, wydanie 4, 1971.
• Droga do geometrii pierścieni. W: Journal of Geometry. Tom 1, wydanie 2, 1971, s. 155-167, doi: 10.1007 / BF02150269 .
• Połączenie struktur geometrycznych i algebraicznych. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 37, Universität Berlin, Hamburg 1972, str. 1-5, doi: 10.1007 / BF02993894 .
• Projekcyjne domknięcie gemotrii afinicznej za pomocą metod teorii relacji. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 40, Universität Berlin, Hamburg 1974, s. 197–214, doi: 10.1007 / BF02993598 .
• Algebraizacja teorii relacji z uporządkowanymi geometriami afinicznymi i rzutowymi. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 45, Universität Berlin, Hamburg 1976, s. 3-60, doi: 10.1007 / BF02992902 .
• Grupy relacyjne w ramach psychologii rozwojowej Piageta. W: Wkład do algebry geometrycznej. 1977, s. 361-366, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5573-0_49 .
• Do algebraizacji ogólnych struktur afinicznych i powiązanych z nimi za pomocą rachunku wektorowego. W: Wkład do algebry geometrycznej. 1977, str. 25-29, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5573-0_2 .
• Scharakteryzowanie przestrzeni Spernera, które są jednorodne w dwóch punktach. W: Journal of Geometry. Tom 9, wydanie 1-2, 1977, ss. 9-17, doi: 10.1007 / BF01918053 .
• O budowie przestrzeni dystrybucyjnych Spernera, które są jednorodne w dwóch punktach, ze szczególnym uwzględnieniem ich odległych przestrzeni. W: Archives of Mathematics. Tom 30, wydanie 1, 1978, s. 551-560, doi: 10.1007 / BF01226100 .
• Algebry kierunkowe. W: Contributions to Geometry. 1979, s. 379-382, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5765-9_22 .
• Budowa rozdzielczych gwiazd płaszczyzn Spernera, które są jednorodne w dwóch punktach. W: Journal of Geometry. Tom 16, wydanie 1, 1981, str. 83-92, doi: 10.1007 / BF01917577 .
• Krewni afiniczni. W: Wyniki w matematyce. Tom 12, Birkhäuser, Bazylea 1987, s. 1–26, doi: 10.1007 / BF03322375 .
• O rachunku relacyjnym do algebraizacji poziomów rzutowych. W: Wyniki w matematyce. Tom 19, Birkhäuser, Bazylea 1991, s. 211–233, doi: 10.1007 / BF03323282 .
• Systemowa koncepcja teorii sterowania i pokrewnych reguł. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. 28, Universität Berlin, Hamburg 1995, s. 195–208, doi: 10.1007 / BF03322252 .

literatura

• H.-J. Arnold, W. Benz , H. Wefelscheid (red.): Wkład do algebry geometrycznej. Birkhäuser, Bazylea 1977, ISBN 3-0348-5573-7 .

linki internetowe

• Hans-Joachim Arnold w Mathematics Genealogy Project (angielski)

Indywidualne dowody

1. ↑ H.-J. Arnold: Affine Krewni. W: Wyniki w matematyce. Tom 12, Birkhäuser, Bazylea 1987, str. 1-26.
2. ↑ H.-J. Arnold: Teoria relacji algebraizacja uporządkowanych geometrii afinicznej i rzutowej. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 45, Universität Berlin, Hamburg 1976, s. 3-60.
3. ↑ R. Soltysiak: Projekcja struktur afinicznych na prawie ciała za pomocą metod teorii relacji . Rozprawa. Kompleksowy Uniwersytet w Duisburgu, 1980.
4. ↑ A. Kopp: Opracowanie narzędzi teorii relacji do algebraizacji i konstrukcji ogólnych struktur afinicznych . Rozprawa. Kompleksowy Uniwersytet w Duisburgu, 1986.
5. ↑ CM Senevirathne: Relacyjna charakterystyka półuporządkowanych geometrii afinicznej i rzutowej . Rozprawa. Kompleksowy Uniwersytet w Duisburgu, 1990.
6. ↑ H.-J. Arnold: Systemowa koncepcja teorii sterowania i pokrewnych reguł. W: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Tom 28, University of Berlin, Hamburg 1995, s. 195–208.
7. ^ ED Sontag: Teoria kontroli matematycznej. Deterministyczne skończone systemy wymiarowe. Wydanie drugie, Springer-Verlag, 1998.
8. ↑ P. Stemper: Relacyjna konstrukcja słabo afinicznych geometrii z liniowych systemów sterowania . Rozprawa. Kompleksowy Uniwersytet w Duisburgu, 1997.
9. ↑ M. Schleuter: Relacyjna analiza algebraiczna właściwości jednorodności u krewnych ustalonych przez systemy sterowania . Rozprawa. Kompleksowy Uniwersytet w Duisburgu, 1997.
10. ↑ D. Wetscheck: Fuzzyfikacja systemów sterowania za pomocą relacyjnych metod algebraicznych i grafowych metod teoretycznych . Rozprawa. Kompleksowy Uniwersytet w Duisburgu, 1999.
11. ↑ A. Sauerland: Względne równania różniczkowe klas liniowych i nieliniowych układów sterowania . Rozprawa. Uniwersytet w Duisburgu, 1994.
12. ↑ H.-J. Arnold: O rachunku relacyjnym do algebraizacji poziomów rzutowych. W: Wyniki w matematyce. Tom 19, Birkhäuser, Bazylea 1991, str. 211–233.
13. ↑ H.-J. Arnold: Uwaga na temat zasady jednorodności (H 2 × 2). (= Seria publikacji Wydziału Matematyki / Uniwersytetu Gerharda Mercatora, Szkoły Ogólnej w Duisburgu. Tom 370). 1997.
14. ↑ H.-J. Arnold: Grupowanie relacyjne w kontekście psychologii rozwojowej Piageta. W: Wkład do algebry geometrycznej. 1977, s. 361-366.
15. ↑ E. Heineken, H.-J. Arnold, A. Kopp, R. Soltysiak: Strategie myślenia w regulacji prostego układu dynamicznego w różnych warunkach czasu martwego. W: Język i poznanie. 11/1986, pp. 136–148.
16. ↑ H.-J. Arnold: Do matematycznego opisu zorientowanych na cel działań człowieka w systemach technicznych. (= Seria publikacji Wydziału Matematyki / Całej Szkoły Uniwersytetu Gerharda Mercatora w Duisburgu. Tom 173). 1990.
17. ↑ H.-J. Arnold: O genezie matematyki w odpowiednich dziedzinach działania. (= Seria publikacji Wydziału Matematyki / Gerhard-Mercator-Universität Gesamtthoschulte Duisburg. Tom 196). 1991.