Infimum i supremum

Liczba obrazów pokazanej funkcji jest ograniczona, więc funkcja jest również ograniczona

W matematyce , terminy supremum i infimum , jak również najmniejsza górna granica i największa dolna granica występują podczas badania zbiorów półuporządkowanych . Najwyższe jest wyraźnie górną granicą, która jest mniejsza niż wszystkie inne górne granice. Odpowiednio dolna granica jest dolną granicą, która jest większa niż wszystkie inne dolne granice. Jeśli istnieje supremum lub infimum, jest to jasno określone. Pojęcie to jest stosowane w różnych modyfikacjach w prawie wszystkich podobszarach matematycznych .

Definicje

Suprema (i Infima) zbiorów

Intuicja

Supremum to najmniejsza górna granica zbioru

Supremum (po niemiecku „supreme”) zbioru odnosi się do maksimum zbioru i jest - mówiąc jasno - elementem, który leży „ponad” wszystkimi innymi elementami lub „poza” (ponad) wszystkimi innymi elementami. Wyrażenie „ nad drugim” ma na celu wskazanie, że supremum nie musi być największym elementem „ pośród innych”, ale może być także poza ( „poza” ) tłumem. A ponieważ może być kilka elementów, które odpowiadają temu widokowi, wybierany jest najmniejszy element, który ma tę właściwość ze względu na przejrzystość ; element, by tak rzec, „najbliższy” lub „natychmiastowy” ponad wszystkimi innymi - supremum oznacza więc coś „bezpośrednio nad”. Elementy, które są przede wszystkim elementami zbioru, ale niekoniecznie w sposób bezpośredni, nazywamy granicami górnymi . To z kolei skutkuje definicją supremum jako najmniejszej górnej granicy zbioru.

Dolna granica (niem. „dolna granica”) zestawu jest definiowana analogicznie, jako „bezpośrednio poniżej ” lub największa dolna granica .

W rzeczywistości

Ten widok można łatwo przenieść na zbiory liczb rzeczywistych (jako podzbiory liczb rzeczywistych): Let

${\ displaystyle X: = \ {x \ in \ mathbb {R}: x <2 \} \ subseteq \ mathbb {R}}$

zbiór liczb rzeczywistych mniejszych niż 2. Wtedy 2 jest supremum (in ). Ponieważ 2 jest górną granicą , ponieważ jest większe lub równe (w rzeczywistości większe) niż każdy element - czyli jest "powyżej". Ale w przeciwieństwie do liczby 4, która jest również górną granicą, nie ma liczby mniejszej niż 2, która jest również górną granicą . Stąd 2 jest najmniejszą górną granicą , stąd Supremum. ${\ displaystyle X}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Dokonując małej zmiany, związek między Supremum i Maximum staje się jasny. Maksimum to mianowicie największy element „ spośród wszystkich elementów” zbioru:

Oczywiście nie ma maksimum, ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba rzeczywista większa niż np. B. z wyborem . Jako supremum liczba 2 jest większa niż wszystkie elementy , ale nie jest w , ponieważ tak naprawdę nie jest mniejsza od siebie. Teraz spójrzmy na tłum ${\ displaystyle X}$${\ styl wyświetlania a <2}$${\ styl wyświetlania b <2}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b = {\ tfrac {a + 2} {2}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X ': = \ {x \ in \ mathbb {R}: x \ leq 2 \} \ subseteq \ mathbb {R}}$,

więc 2 jest maksimum , ponieważ jest mniejsze lub równe sobie i nie ma większej liczby niż 2, która jest mniejsza lub równa 2. Jednocześnie jednak 2 jest również supremumem, jakim było , ponieważ spełnione są te same warunki, co tam. ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$

W rzeczywistości każde maksimum jest zawsze również najwyższym. Dlatego też zwyczajowo nie definiuje się pojęcia maksimum w elementarny sposób, ale nazywa go szczególnym przypadkiem supremum, jeśli sam jest elementem zbioru, którego supremum reprezentuje. - To samo dotyczy minimum.

Ogólnie

Jednak granice górne i dolne, a także suprema i infima mogą być brane pod uwagę nie tylko na liczbach rzeczywistych, ale ogólnie na zbiorach częściowo uporządkowanych . Formalne definicje są następujące:

Jeżeli zestaw częściowo uporządkowany z częściowym zamówieniem i podzbiorem to ma zastosowanie: ${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania \ leq}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle M}$

Górna granica

Element nazywa się górna związany z jeśli posiada dla wszystkich .${\ styl wyświetlania b \ w M}$${\ displaystyle T}$${\ styl wyświetlania x \ leq b}$${\ styl wyświetlania x \ w T}$

Dolna granica

Analogicznie, dolna granica od nazywa jeśli posiada dla wszystkich .${\ styl wyświetlania b}$ ${\ displaystyle T}$${\ styl wyświetlania b \ leq x}$${\ styl wyświetlania x \ w T}$

ilość ograniczona w górę lub w dół

Jeśli istnieje górna (dolna) granica , to nazywa się to ograniczeniem powyżej (poniżej) .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

w górę lub w dół nieograniczona ilość

Jeśli nie ma górnej (dolnej) ograniczonej, to górna (dolna) nazywana jest nieograniczoną .${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$

ograniczona ilość

${\ displaystyle T}$nazywany jest ograniczony , jeśli jest on ograniczony do góry i do dołu, poza nieograniczony lub nie ograniczone . Oznacza to, że jest nieograniczony (lub nie ograniczone ), gdy albo powyżej albo poniżej lub powyżej i poniżej nie jest ograniczona. Jeśli ma być wyrażone, że zbiór jest nieograniczony zarówno w górę, jak iw dół , musi być wyraźnie opisany jako nieograniczony w górę iw dół .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Najwyższy

Element nazywa się Supremum of jeżeli istnieje najmniejsza górna granica .${\ styl wyświetlania b \ w M}$${\ displaystyle T}$${\ styl wyświetlania b}$${\ displaystyle T}$

Infimum

Nazywa się infimum od jeśli jest to kres dolny z .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Jeśli zbiór liczb rzeczywistych to: ${\ displaystyle M}$

• Jest ograniczona powyżej i nie jest pusta, a następnie ma najmniejszą górną granicę (idea dowodu poniżej) i nazywana jest górną granicą lub nadrzędną wartością  - w znakach .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ styl wyświetlania \ sup (T)}$
• Jeśli to jest ograniczony poniżej i nie jest pusta, to musi się największą dolna granica (analogiczny dowód) i nazywa się dolną granicę lub infimum z  - w znakach .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ inf (T)}$
• Czy istnieje górna granica a Supremum z IN jest włączone, supremum jest również określana jako maksimum z , w znakach .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ max (T)}$
• Jeśli ograniczony do dołu i od infimum w jest to potrzebne, infimum jest również określany jako minimum z w symboli .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ min (T)}$
• Jeśli nie ma górnej granicy, pisze się: (patrz nieskończoność ). Symbol + ∞ nie jest liczbą rzeczywistą, a także nie jest najwyższą liczbą w zdefiniowanym tutaj sensie: wartość nadrzędna jest dokładnie formalnym zapisem, że nie ma liczby rzeczywistej , patrz też rozszerzone liczby rzeczywiste . Czasami w tym kontekście jest również określany jako „niewłaściwe supremum”.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ sup T = + \ infty}$
  ${\ displaystyle T}$${\ styl wyświetlania \ infty}$${\ styl wyświetlania + \ infty}$
• Jest w nieskończoność, aby napisać analogowe: .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ inf T = - \ infty}$

Suprema (i Infima) ilustracji

Ogólne dane liczbowe

Pojęcie supremum na zbiorach stosuje się również do odwzorowań (funkcji). Bo obrazu obrazu jest zawsze dużo . Mianowicie za zdjęcie

${\ styl wyświetlania f \ dwukropek X \ strzałka w prawo Y}$

ilość

${\ displaystyle f (X): = \ {f (x): x \ w X \} = \ {y \ w Y: y = f (x) {\ tekst {dla a}} x \ w X \} }$

tzw. obrazy elementowe , re. H. zdjęcia poszczególnych elementów od dołu rysunku . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (X)}$jest również nazywany obrazem funkcji . ${\ displaystyle f}$

Jeśli jest to zbiór częściowo uporządkowany, to supremum auf  - jeśli istnieje w - jest zdefiniowane przez ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ sup f: = \ sup _ {x \ in X} f (x): = \ sup f (X) = \ sup \ {f (x): x \ in X \}}$.

W ten sposób supremum funkcji określa się jako supremum zbioru obrazów . Infimum z on jest definiowane analogicznie . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

Własność definiującą supremum można sformułować jako monotonne połączenie Galois między i : dla wszystkich i dotyczy ${\ styl wyświetlania \ sup \ myślnik \ Delta}$${\ styl wyświetlania \ sup \ dwukropek Y ^ {X} \ do Y}$${\ styl wyświetlania \ Delta \ dwukropek Y \ do Y ^ {X}}$${\ styl wyświetlania y \ w Y}$${\ displaystyle f \ w Y ^ {X}}$

${\ displaystyle \ sup f \ leq _ {Y} y \ Longleftrightarrow f \ leq _ {Y ^ {X}} \ Delta (y)}$.

Tutaj jest wyposażony w kolejność punkt po punkcie i . ${\ styl wyświetlania Y ^ {X}}$${\ Displaystyle \ Delta (r) (x): = y}$

To samo dotyczy . ${\ styl wyświetlania \ Delta \ myślnik \ inf}$

Śledź jak zdjęcia

Jeśli weźmiesz sekwencję elementów jako figurę ${\ styl wyświetlania a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ kropki}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle f \ dwukropek \ mathbb {N} \ rightarrow Y}$

wł. - tak według

${\ displaystyle a_ {1}: = f (1), \ a_ {2}: = f (2), \ a_ {3}: = f (3), \ \ kropki}$

- z definicji supremum (infimum) odwzorowań wynika natychmiast definicja supremum (infimum) ciągu - jeśli istnieje w. ${\ styl wyświetlania (a_ {n})}$${\ displaystyle Y}$

nieruchomości

Wyjątkowość i istnienie

Jest górną granicą , a więc również górną granicą . I odwrotnie , jeśli nie ma górnej granicy i , to nie ma też górnej granicy . To samo dotyczy dolnych granic. ${\ styl wyświetlania b}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle c> b}$${\ styl wyświetlania c}$${\ displaystyle T}$${\ styl wyświetlania c}$${\ displaystyle T}$${\ styl wyświetlania b <c}$${\ styl wyświetlania b}$${\ displaystyle T}$

Najwyższe jest (jeśli istnieje) jednoznacznie określone. To samo dotyczy dolnego progu . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Jest możliwe, że podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego ma kilka minimalnych granic górnych, tj. H. górna granica, tak aby każdy mniejszy element nie był górnym ograniczeniem. Jednakże, gdy tylko ma więcej niż minimalną górną granicę, nie ma najmniejszej górnej granicy, tj. H. bez supremu, z . Jednym z przykładów jest zbiór z częściowym porządkiem . Oto dwie minimalne górne granice i . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ styl wyświetlania M = \ {a, \ b, \ c, \ d \}}$${\ styl wyświetlania \ {a <c, \ b <c, \ a <d, \ b <d \}}$${\ styl wyświetlania T = \ {a, \ b \}}$${\ styl wyświetlania c}$${\ displaystyle d}$

Właściwości związane ze środowiskiem epsilon

Niech będzie niepustym podzbiorem liczb rzeczywistych, wtedy też to obowiązuje ${\ displaystyle X}$

• Najwyższe o :${\ displaystyle X}$

1. Jeśli więc istnieje dla wszystkich jeden , tak że jest.${\ displaystyle \ sup X <+ \ infty}$${\ styl wyświetlania \ epsilon> 0}$${\ styl wyświetlania x \ w X}$${\ styl wyświetlania (\ sup X) - \ epsilon <x}$
2. Jeśli tak, to istnieje dla wszystkich jeden taki, że .${\ displaystyle \ sup X = + \ infty}$${\ styl wyświetlania k> 0}$${\ styl wyświetlania x \ w X}$${\ styl wyświetlania k <x}$

• Minimalna z :${\ displaystyle X}$

1. Jeśli więc istnieje dla wszystkich jeden , tak że jest.${\ displaystyle \ inf X> - \ infty}$${\ styl wyświetlania \ epsilon> 0}$${\ styl wyświetlania x \ w X}$${\ displaystyle x <(\ inf X) + \ epsilon}$
2. Jeśli tak, to istnieje dla wszystkich jeden taki, że .${\ styl wyświetlania \ inf X = - \ infty}$${\ styl wyświetlania k> 0}$${\ styl wyświetlania x \ w X}$${\ styl wyświetlania x <-k}$

Tworzenie ciągów zbieżnych

• Niech będzie niepustym podzbiorem liczb rzeczywistych z supremum . Następnie z odpowiednio wybranymi elementami, sekwencji mogą być utworzone które zbiegają się .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sup X <+ \ infty}$${\ displaystyle X}$ ${\ styl wyświetlania (x_ {n})}$${\ styl wyświetlania \ sup X}$

Dowód: być sekwencją null , jest sekwencją stałą. W przypadku reguł obliczania wartości granicznych sekwencja „od dołu” zbiega się do . Ze względu na wyżej wymienione właściwości sekcji „supremum względem układu epsilon- WOKÓł ” elementy istnieją sekwencje z pomiędzy i zamknięty jest. Tak więc, w jaki sposób zbiegają się konsekwencje załączające .${\ styl wyświetlania (\ epsilon _ {n}> 0)}$${\ styl wyświetlania (b_ {n} = \ sup X)}$${\ displaystyle (a_ {n} = (\ sup X) - \ epsilon _ {n})}$${\ styl wyświetlania \ sup X}$${\ styl wyświetlania x_ {n}}$${\ styl wyświetlania (x_ {n}),}$${\ displaystyle a_ {n} = (\ sup X) - \ epsilon _ {n} <x_ {n} \ leq \ sup X = b_ {n}}$${\ styl wyświetlania (a_ {n})}$${\ styl wyświetlania (b_ {n})}$ ${\ styl wyświetlania (x_ {n})}$${\ styl wyświetlania \ sup X}$

• Niech będzie niepustym podzbiorem liczb rzeczywistych z niepełnym . Następnie z odpowiednio wybranymi elementami, sekwencji mogą być utworzone które zbiegają się .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ inf X> - \ infty}$${\ displaystyle X}$ ${\ styl wyświetlania (x_ {n})}$${\ styl wyświetlania \ inf X}$

Dowód: jest sekwencją stałą, bądź sekwencją null . W przypadku reguł obliczania wartości granicznych sekwencja „od góry” zbiega się do . Ze względu na wspomnianą wyżej sekcję „własność infimum w odniesieniu do epsilon-around” członkowie mają sekwencję , z pomiędzy i zawartą jest. Tak więc, w jaki sposób zbiegają się konsekwencje załączające .${\ styl wyświetlania (a_ {n} = \ inf X)}$${\ styl wyświetlania (\ epsilon _ {n}> 0)}$${\ styl wyświetlania (b_ {n} = (\ inf X) + \ epsilon _ {n})}$${\ styl wyświetlania \ inf X}$${\ styl wyświetlania x_ {n}}$${\ styl wyświetlania (x_ {n})}$${\ displaystyle a_ {n} = \ inf X \ leq x_ {n} <(\ inf X) + \ epsilon _ {n} = b_ {n}}$${\ styl wyświetlania (a_ {n})}$${\ styl wyświetlania (b_ {n})}$ ${\ styl wyświetlania (x_ {n})}$${\ styl wyświetlania \ inf X}$

Uwagi:

• Ani nie muszą być monotonne .${\ styl wyświetlania (\ epsilon _ {n})}$${\ styl wyświetlania (x_ {n})}$

• Jeśli ma skończoną moc , supremum jest maksimum (lub minimum to minimum), a prawie wszystkie z nich są równe supremum (lub infimum).${\ displaystyle X}$ ${\ styl wyświetlania x_ {n}}$

Istnienie supremum dla ograniczonych podzbiorów liczb rzeczywistych

Istnienie supremum dla ograniczonego podzbioru liczb rzeczywistych można pokazać na kilka sposobów: ${\ displaystyle M}$

A. Z jednej strony można po prostu zdefiniować istnienie supremum i infimum dla ograniczonych podzbiorów liczb rzeczywistych jako aksjomat . Wymóg ten jest często nazywany aksjomatem supremum lub aksjomatem zupełności .

B. Jeśli rozpoczyna się od aksjomatu, że każdy gniazdowania interwałów , określa dokładnie jedna liczba rzeczywista, przerwa zagnieżdżanie może być użyty do udowodnienia istnienia supremum dnia , dla którego nie ma górnej granicy , ale każdy jest jeden.${\ styl wyświetlania \ sup M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle ([a_ {k}, \, b_ {k}]), \; k \ in \ mathbb {N}}$${\ styl wyświetlania a_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania b_ {k}}$${\ styl wyświetlania \ mathbf {(i)}}$

Takie zagnieżdżenie przedziałów definiuje liczbę oraz sekwencje i zbiegają się do . Każdy jest z tego powodu większy od prawie wszystkich . Ponieważ każda górna granica jest . Więc istnieje górna granica . Pozostaje do rozważenia, czy może również istnieć górna granica . Ponieważ prawie wszystkie z nich są większe niż . Ponieważ nie ma górnej granicy , nie ma też żadnego. Więc to jest rzekome supremum . - Pozostaje wykazać, że istnieje zagnieżdżenie przedziałowe , które spełnia warunek (i). ${\ displaystyle \ sigma}$${\ styl wyświetlania (a_ {k})}$${\ styl wyświetlania (b_ {k})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle b> \ sigma}$${\ displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} b_ {k} = \ sigma}$ ${\ styl wyświetlania b_ {k}}$${\ styl wyświetlania b_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle b \ notin M}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania \ sigma '<\ sigma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} a_ {k} = \ sigma}$${\ styl wyświetlania a_ {k}}$${\ styl wyświetlania \ sigma '}$${\ styl wyświetlania a_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania \ sigma '}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$

W tym celu rekurencyjnie definiowany jest ciąg przedziałów . Dla pierwszego przedziału jest to dowolna liczba, która jest mniejsza niż dowolny element jest dowolnym ograniczeniem górnym . Jest to środkowy punkt na -tym odstępie sekwencji. Granice następnego przedziału to: ${\ displaystyle ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$ ${\ styl wyświetlania a_ {1}}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania b_ {1}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle c_ {k} = {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2}}}$${\ styl wyświetlania k}$${\ styl wyświetlania [a_ {k + 1}, \, b_ {k + 1}]}$

• jeśli nie ma górnej granicy is ;${\ styl wyświetlania c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle a_ {k + 1} = c_ {k}, b_ {k + 1} = b_ {k}}$
• jeśli górna granica to .${\ styl wyświetlania c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a_ {k + 1} = a_ {k}, b_ {k + 1} = c_ {k}}$

Do takiej sekwencji interwałów stosuje się: jest górną granicą , a nie. Na przejściu od do granicy przedziału zastępuje górną granicę jest wtedy i tylko wtedy, gdy jest to górna granica ; ale jeśli nie ma górnej granicy , zastępuje ją granica interwału, która również nie jest taka. Tak więc każdy, ale nie górny limit , a sekwencja przedziałów spełnia warunek (i). - Pozostaje wykazać, że istnieje zagnieżdżanie interwałowe. ${\ styl wyświetlania b_ {1}}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania a_ {1}}$${\ styl wyświetlania [a_ {k}, b_ {k}]}$${\ styl wyświetlania [a_ {k + 1}, b_ {k + 1}]}$${\ styl wyświetlania c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania c_ {k}}$ ${\ styl wyświetlania b_ {k}}$ ${\ styl wyświetlania a_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$${\ displaystyle ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$

Twierdzenie : jest monotonicznie rośnie . ${\ styl wyświetlania (a_ {k})}$${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ forall k: a_ {k + 1} \ geq a_ {k}. \ mathbf {(1)}}$

Dowód : Nie ma czego udowadniać. Dla następujących : .${\ displaystyle a_ {k + 1} = a_ {k}}$${\ displaystyle a_ {k + 1} = c_ {k}}$${\ displaystyle b_ {k}> a_ {k}}$${\ displaystyle a_ {k + 1} = {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2}}> {\ frac {a_ {k} + a_ {k}} {2}} = a_ { k}}$

Twierdzenie : jest monotonicznie malejące . ${\ styl wyświetlania (b_ {k})}$${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ forall k: b_ {k + 1} \ leq b_ {k}. \ mathbf {(2)}}$

Dowód : Nie ma czego udowadniać. Dla następujących : .${\ styl wyświetlania b_ {k + 1} = b_ {k}}$${\ displaystyle b_ {k + 1} = c_ {k}}$${\ styl wyświetlania a_ {k} <b_ {k}}$${\ displaystyle b_ {k + 1} = {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2}} <{\ frac {b_ {k} + b_ {k}} {2}} = b_ { k}}$

Asercja : , jest Nullfollge. . - Dowód : ${\ styl wyświetlania (d_ {k})}$${\ displaystyle d_ {k} = b_ {k} -a_ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {(3)}}$

• Jeśli nie jest górną granicą , is ;${\ styl wyświetlania c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d_ {k + 1} = b_ {k + 1} -a_ {k + 1} = b_ {k} -c_ {k} = {\ frac {2b_ {k}} {2}} - {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2}} = {\ frac {b_ {k} -a_ {k}} {2}} = {\ frac {d_ {k}} {2}}}$
• if jest górną granicą is .${\ styl wyświetlania c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d_ {k + 1} = b_ {k + 1} -a_ {k + 1} = c_ {k} -a_ {k} = {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2 }} - {\ frac {2a_ {k}} {2}} = {\ frac {b_ {k} -a_ {k}} {2}} = {\ frac {d_ {k}} {2}}}$

Tak więc wszystko można również zapisać, i to z powodu (geometrycznego) ciągu zerowego.${\ styl wyświetlania d_ {k}}$${\ displaystyle d_ {k} = d_ {1} \ cdot \, \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ prawo) ^ {k-1}}$${\ styl wyświetlania (d_ {k})}$${\ displaystyle \ lewy | {\ tfrac {1} {2}} \ prawy | <1}$

Z (1), (2) i (3) zagnieżdżeniem przedziałowym, q. mi. re. ${\ displaystyle ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$

C. Równoważnym sformułowaniem na istnienie supremum jest aksjomat przecięcia , zgodnie z którym każde cięcie Dedekinda generowane jest przez liczbę rzeczywistą.

Przykłady

Liczby rzeczywiste

Poniższe przykłady dotyczą podzbiorów liczb rzeczywistych.

• ${\ Displaystyle \ sup \ {1, 2, 3 \} = 3}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 <x <1 \} = \ sup \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 \ leq x \ leq 1 \} = 1}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} <2 \} = {\ sqrt {2}} \ notin \ mathbb {Q}}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {(- 1) ^ {n} - {\ tfrac {1} {n}}: n \ in \ mathbb {N} \} = 1}$
• ${\ displaystyle \ sup \ mathbb {Z} = + \ infty}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {a \} = \ inf \ {a \} = \ max \ {a \} = \ min \ {a \} = a \ quad \ forall \, a \ in \ mathbb {R} }$
• ${\ displaystyle \ sup \ {a + b: a \ in A \ land b \ in B \} = \ sup A + \ sup B}$
• ${\ displaystyle \ sup -A = - \ inf A}$lub , gdzie${\ displaystyle - \ sup A = \ inf -A}$${\ displaystyle -A: = \ {- x \ in \ mathbb {R}: x \ in A \}}$

Inne zestawy częściowo uporządkowane

W dniu , każdy niepusty w górę lub w dół ograniczony podzbiór wartości supremum i infimum. Jeśli weźmiesz pod uwagę inne zestawy, na których zdefiniowane są relacje porządkowe, nie jest to obowiązkowe: ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$

• Zestaw z liczb wymiernych jest całkowicie uporządkowane w stosunku do naturalnego porządku . Kwota jest ograniczona w górę, na przykład liczbą , ale nie ma supremum w .${\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} <2 \} \ subset \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle 1 {,} 42 \ in \ mathbb {Q}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}$
• W każdym zestawie częściowo uporządkowanym każdy element jest zarówno dolną, jak i górną granicą pustego zestawu . Stąd największym elementem z i najmniejsza. Jednak największe i najmniejsze elementy nie muszą istnieć: W zestawie z liczb naturalnych ze zwykłym porządku, nie ma infimum, i to jest .${\ styl wyświetlania (A, \ leq)}$${\ styl wyświetlania \ pusty zestaw}$${\ displaystyle \ inf \ emptyset}$${\ displaystyle A}$${\ styl wyświetlania \ sup \ pusty zestaw}$${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {1,2,3, \ kropki \}}$${\ styl wyświetlania \ pusty zestaw}$${\ displaystyle \ sup \ emptyset = 1}$
• W zbiorze uporządkowanym częściowo ze względu na inkluzję zbiór jest ograniczony zarówno przez element jak i przez górną granicę. Jednak supremum, czyli najmniejsza górna granica , nie istnieje w .${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}: = \ {\ {1 \}, \ {2 \}, \ {1,2,3 \}, \ {1,2,4 \} \}}$${\ displaystyle M: ​​​​= \ {\ {1 \}, \ {2 \} \} \ podzbiór {\ matematyczny {X}}}$${\ displaystyle \ {1,2,3 \} \ w {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle \ {1,2,4 \} \ w {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle M}$${\ styl wyświetlania {\ matematyczny {X}}}$

Zobacz też

• W teorii miary pojęcie supremu esencjalnego wywodzi się od terminu supremum , który na przykład odgrywa ważną rolę w teorii przestrzeni .${\ styl wyświetlania L ^ {p}}$
• Przedmiotem teorii krat jest badanie zbiorów częściowo uporządkowanych, w których dla każdego podzbioru dwuelementowego występuje dolna i górna granica .

literatura

• Stefan Hildebrandt: Analiza 1. Springer 2005, ISBN 3-540-25368-8 .

linki internetowe

Indywidualne dowody

1. ↑ Zagnieżdżanie interwałowe # Zbieżność sekwencji granicznych zagnieżdżenia interwałowego
2. Tok myślenia to kompletna indukcja .
3. ↑ Więcej o zbieżności niektórych ciągów geometrycznych tutaj .