Nieskończenie mała liczba

W matematyce dodatnia liczba nieskończenie mała to obiekt, który ze względu na porządek liczb rzeczywistych jest większy od zera , ale mniejszy niż jakakolwiek dodatnia liczba rzeczywista, nieważne jak mała.

cechy

Oczywiście wśród liczb rzeczywistych spełniających to wymaganie nie ma nieskończenie małych, ponieważ taka nieskończoność musiałaby spełniać warunek , ponieważ istnieje również dodatnia liczba rzeczywista. Aby nadal można było zdefiniować takie nieskończenie małe , albo powyższe wymaganie musi zostać osłabione, albo liczby rzeczywiste muszą zostać osadzone w większym, uporządkowanym polu , w którym jest wtedy miejsce na takie dodatkowe elementy. Ta ostatnia to sposób definiowania algebraicznych nieskończenie małych (Coste, Roy, Pollack), a także sposób analizy niestandardowej (NSA) (Robinson, Nelson).

Nieskończenie mała ma tę właściwość, że każda suma skończenie wielu (w NSA: standard skończenie wiele) wyrażeń tej liczby jest mniejsza niż 1:

dla dowolnej skończonej liczby wierzchołków.

W tym przypadku jest większa niż jakakolwiek dodatnia liczba rzeczywista (w NSA: standardowa liczba rzeczywista). Dla nieskończenie małych algebraicznych oznacza to, że powiązane rozszerzenie pola nie jest archimedesowe .

rachunek różniczkowy

Pierwszym matematykiem, który użył takich liczb, był prawdopodobnie Archimedes , chociaż nie wierzył w ich istnienie .

Newton i Leibniz używają liczb nieskończenie małych do rozwijania swojego rachunku różniczkowego i całkowego.

Zazwyczaj argumentowali (właściwie tylko Newton, Leibniz używa monad , dzisiaj z grubsza: zakończone lub formalne szeregi potęgowe ):

Aby znaleźć pochodną funkcji , zakładamy, że jest ona nieskończenie mała. Następnie

ponieważ jest nieskończenie mały.

Chociaż argument ten jest intuicyjny i daje poprawne wyniki, nie jest matematycznie dokładny: Podstawowym problemem jest to, że początkowo jest traktowany jako niezerowy (jeden dzieli przez ), ale w ostatnim kroku przyjmuje się, że jest równy zero. Stosowanie liczb nieskończenie małych zostało skrytykowane przez George'a Berkeleya w jego pracy: Analityk: czyli dyskurs skierowany do niewiernego matematyka (1734).

Postęp historyczny

Od tego czasu kwestia nieskończenie małych jest ściśle związana z zagadnieniem natury liczb rzeczywistych. Dopiero w XIX wieku Augustin Louis Cauchy , Karl Weierstrass , Richard Dedekind i inni nadali prawdziwej analizie matematycznie ścisłą formalną formę. Wprowadzili rozważania dotyczące wartości dopuszczalnych, które sprawiły, że użycie nieskończenie małych ilości stało się zbędne.

Mimo to użycie nieskończenie małych liczb było nadal uważane za przydatne do uproszczenia reprezentacji i obliczeń. Zatem, jeśli własność oznacza, że ​​jest nieskończenie mała, a zatem własność nieskończoności , można zdefiniować:

  • A (standard) Wynik jest ciągiem null, jeśli dla wszystkich obowiązuje: .
  • A (standard) funkcji w ograniczonym przedziale jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich , że stosuje się od następujących: .

W XX wieku znaleziono rozszerzenia zakresu liczbowego liczb rzeczywistych, które zawierają nieskończenie małe liczby w formalnie poprawnej formie. Najbardziej znane są numery hiper-real i surrealistyczne numery .

W niestandardowych analiz przez Abraham Robinson (1960), który zawiera numery hiperrzeczywista jako szczególny przypadek, numery nieskończenie małe ilości są uzasadnione. W niniejszej analizie wspomniane wyprowadzenie można uzasadnić niewielką modyfikacją: mówimy o standardowej części ilorazu różniczkowego i standardowej części is (jeśli jest to liczba standardowa; więcej szczegółów w powiązanym artykule).

puchnąć

  1. Cały tekst można znaleźć (nowo ustawiony) jako plik do pobrania [1]