Stała Landau-Ramanujana

Landau-Ramanujana stała się jednym z stałe matematyczne i jako taka należy teoretycznie numer . Jego nazwa nawiązuje do dwóch ważnych matematyków Edmunda Landaua i Srinivasy Ramanujana , którzy niezależnie udowodnili swoje istnienie. Stała Landau-Ramanujana jest oznaczona i ma w przybliżeniu reprezentację liczby dziesiętnej${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle K = 0 {,} 7642236535892206 \ ldots}$

Badanie stałych Landaua-Ramanujana wiąże się z pytaniem, które liczby naturalne można przedstawić jako sumę dwóch liczb kwadratowych i wynikającym z tego problemu asymptotycznego określenia udziału tych liczb w liczbach naturalnych .

Formuły

W przypadku dodatniej liczby rzeczywistej jest liczbą liczb naturalnych, które można przedstawić jako sumę dwóch liczb kwadratowych. Landau i Ramanujan niezależnie wykazali, że jest on asymptotycznie proporcjonalny do , tj. to znaczy, istnieje wartość graniczna ${\ Displaystyle B (x)}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n \ leq x}$${\ Displaystyle B (x)}$${\ Displaystyle {\ Frac {x} {\ sqrt {\ ln (x)}}}}$

(I) ,${\ Displaystyle K = \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} {\ Frac {B (x)} {x}} {\ sqrt {\ ln (x)}}}$

gdzie stoi do logarytmu naturalnego z . Wartość graniczna nazywana jest stałą Landau-Ramanujana . ${\ Displaystyle \ ln (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle K}$

Dotyczy to również:

(II) ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} K & = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ cdot \ prod \ limity _ {p \; {\ tekst {liczba pierwsza z}} \ atop \; \ p \ equiv 3 \; ({\ text {mod}} \; 4)} {\ bigl (} 1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} {\ bigr)} ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot \ prod \ limits _ {p \; {\ text {liczba pierwsza z}} \ atop \; \ p \ equiv 1 \; ({\ text {mod}} \; 4)} {\ bigl (} 1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} {\ bigr)} ^ {\ frac {1} { 2}} \\\ end {aligned}}}$

Ponadto, istnieją inne wzory, które odnoszą się do Landau-Ramanujan na stałym poziomie, na przykład, funkcja Riemanna zeta The funkcja Dirichlet beta The stałą Eulera-Mascheroni i stałe lemniscate .

Wyprowadzenie drugiego równania w II

Drugie równanie na II wynika z przedstawienia produktów Eulera w funkcji zeta Riemanna na pół płaszczyznę . Ponieważ z tego wynika za   pomocą dobrze znanego wzoru   analizy na liczbę kołową : ${\ Displaystyle \ zeta (z)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} (z)> 1}$${\ displaystyle z = 2}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {{\ pi} ^ {2}} {6}} & = {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}}} \\ & = \ zeta (2) \\ & = {\ prod \ limits _ {p \; {\ text {liczba pierwsza}}} {\ bigl (} 1 - {\ frac {1 } {p ^ {2}}} {\ bigr)} ^ {- 1}} \\ & = {\ frac {4} {3}} \ cdot A \ cdot B \\\ end {aligned}}}$

Z

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A & = \ prod \ ograniczenia _ {p \; {\ tekst {liczba pierwsza z}} \ na szczycie \; \ p \ equiv 1 \; ({\ tekst {mod}} \; 4 )} {\ bigl (} 1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} {\ bigr)} ^ {- 1} \\\ end {aligned}}}$

i

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} B & = \ prod \ ograniczenia _ {p \; {\ tekst {liczba pierwsza z}} \ na szczycie \; \ p \ equiv 3 \; ({\ tekst {mod}} \; 4 )} {\ bigl (} 1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} {\ bigr)} ^ {- 1} \\\ end {aligned}}}$

Ostatnie równanie powyższego łańcucha równań polega na tym, że liczba pierwsza jest równa 2 lub nieparzysta, aw tym drugim przypadku modulo 4 ma resztę 1 lub 3.

Więc to powstaje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {1} {2}} \ cdot B & = {\ Frac {{\ pi} ^ {2}} {16 \ cdot A}} \\\ koniec {wyrównane} }}$

a zatem

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ cdot B ^ {\ Frac {1} {2}} & = {{\ bigl (} {\ Frac {1) } {2}} \ cdot B {\ bigr)}} ^ {\ frac {1} {2}} \\ & = {\ frac {\ pi} {4 \ cdot A ^ {\ frac {1} {2 }}}} = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {A ^ {- {\ frac {1} {2}}}} \\\ end {aligned}}}$ 

i wreszcie równanie, które ma zostać pokazane.

Zobacz też

• Stała matematyczna
• Lista numerów specjalnych

literatura

• Steven R. Finch: Stałe matematyczne (=  Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom 94 ). Cambridge University Press , Cambridge [u. a.] 2003, ISBN 0-521-81805-2 ( MR2003519 ). 
• Siegfried Gottwald (red.): Leksykon ważnych matematyków . Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9 . 
• Konrad Knopp : Teoria i zastosowanie nieskończonego szeregu (=  Podstawowe nauki nauk matematycznych w poszczególnych reprezentacjach . Tom 2 ). Wydanie poprawione. Springer-Verlag, Berlin [a. a.] 1964, ISBN 3-540-03138-3 . 
• Daniel Shanks : Termin drugiego rzędu w asymptotycznej ekspansji B (x) . W: Mathematics of Computation . taśma 18 , 1964, s. 75-86 , JSTOR : 2003407 . 

linki internetowe

• Eric W. Weisstein : Landau-Ramanujan Constant . W: MathWorld (angielski).

Indywidualne dowody

1. ↑ Steven R. Finch: Stałe matematyczne (=  Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom 94 ). Cambridge Univity Press, Cambridge [et. a.] 2003, ISBN 0-521-81805-2 , str. 98-104 ( MR2003519 ). 
2. ↑ Postępuj zgodnie z A064533 w OEIS
3. ↑ E. Landau: O dzieleniu dodatnich liczb całkowitych na cztery klasy zgodnie z minimalną liczbą kwadratów wymaganą do ich addytywnego składu . W: Arch. Math Phys. , 13, 1908, strony 305-312.
4. ↑ Konrad Knopp : Theory and Application of the Infinite Series (=  The Basic Teachings of the Mathematical Sciences in Individual Representations . Tom 2 ). Wydanie poprawione. Springer-Verlag, Berlin [a. a.] 1964, ISBN 3-540-03138-3 , s. 461 .