Zestaw zasilający
W teorii mnogości zbiór potęg to zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru podstawowego .
Moc zestawu jest zwykle oznaczana jako . Charakter zestawu mocy został już zbadany przez Ernsta Zermelo . Z drugiej strony, zwarty termin „zestaw potęgowy” - przydatny w połączeniu z potęgą arytmetyczną - nie był jeszcze używany przez Gerharda Hessenberga w podręczniku z 1906 roku; używa w tym celu wyrażenia „zbiór podzbiorów”.
definicja
Zestaw moc w zestawie jest nowy zestaw, który składa się ze wszystkich podzbiorów o . Zbiór potęgowy jest więc układem zbiorów , czyli zbiorem, którego elementy same w sobie są zbiorami. W zapisie wzoru definicja zbioru potęgowego to
- .
Należy zaznaczyć, że zbiór pusty i zbiór to także podzbiory , czyli elementy zbioru potęgowego . Inne typowe oznaczenia zestawu mocy to i .
Przykłady
Struktury na zestawie zasilającym
Częściowe zamówienie
Relacja włączenia jest częściowym porządkiem na (a nie całkowitym porządkiem , jeśli co najmniej dwa elementy). Najmniejszy element zamówienia jest The największym elementem jest .
Pełne skojarzenie
Porządek częściowy to pełne skojarzenie . Oznacza to, że dla każdej podgrupie istnieje infimum i Supremum (w ). Konkretnie, dla zestawu infimum SI równa do przecięcia elementów i supremum z jest równe jedności elementów , tym samym
Największy i najmniejszy element uzyskuje się jako dolną lub górną część zbioru pustego, tj.
Skojarzenie boolowskie
Jeśli użyjesz również mapy dopełniacza , jest to krata boolowska , tj . Krata dystrybucyjna i komplementarna .
Pierścień przemienny
Każda sieć boolowska wyraźnie indukuje przemienną strukturę pierścienia, tak zwany pierścień Boole'a . Tutaj dodatek pierścienia jest określony przez symetryczną różnicę wielkości, mnożenie pierścienia jest średnią. Pusty zbiór jest neutralny dla dodawania i neutralny dla mnożenia.
Charakterystyczne funkcje
Każdy podzbiór może mieć przypisaną funkcję charakterystyczną , jeśli ma to zastosowanie
To przypisanie jest bijekcją między i (przy użyciu notacji dla zestawu wszystkich funkcji od do ). To również motywuje notację , ponieważ w modelu liczb naturalnych von Neumanna jest (ogólnie :) .
Korespondencja jest początkowo czystym bijakiem, ale można ją łatwo wykazać jako izomorfizm w odniesieniu do każdej z rozważanych powyżej struktur na zbiorze potęg.
Wielkość zbioru mocy (liczność)
oznacza siłę tłumu .
- Dla zbiorów skończonych obowiązuje: .
- Zawsze obowiązującymi Cantora twierdzenie : .
Przejście do zestawu mocy zawsze zapewnia większą moc. Analogicznie do zbiorów skończonych pisze się również o kardynalności zbioru potęgowego zbioru nieskończonego . Uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi do zbiorów nieskończonych że następna większa liczność jest:
Ograniczenie do mniejszych podzbiorów
Ze zbiorem tych podzbiorów, które zawierają mniej niż elementów. Na przykład : Brakuje samego zestawu , ponieważ zawiera nie mniej niż elementów.
Klasa potencji
Pojęcie zbioru potęgi można rozszerzyć na klasy , przy czym należy zauważyć, że klasy rzeczywiste nie mogą znajdować się po lewej stronie relacji przynależności . Moc (klasa mocy) klasy K jest określona przez klasę wszystkich zbiorów, których wszystkie elementy są zawarte w K. Elementy klasy mocy K są zatem podzbiorami K. Potęga prawdziwej klasy K jest znowu klasą rzeczywistą, ponieważ zawiera jednostki {x} dla wszystkich elementów x K. Zawiera zawsze pusty zbiór ∅, ale nie sama prawdziwa klasa K.
Inni
- Istnienie potęgi zbioru dla każdego zbioru jest wymagane jako osobny aksjomat w teorii mnogości Zermelo-Fraenkla , a mianowicie przez aksjomat potęgowy .
- Systemu zbiorów takich jak topologii lub Ď-Algebra na podstawowy zestaw jest podzestawem zestawu zasilania , to znaczy element .
literatura
- Oliver Deiser: Wprowadzenie do teorii mnogości. Teoria mnogości Georga Cantora i jej aksjomatyzacja Ernsta Zermelo. Wydanie 2, poprawione i powiększone. Springer, Berlin i in. 2004, ISBN 3-540-20401-6 .