Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan
Podpis Ramanujana

Srinivasa Ramanujan, FRS ( tamilski : ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் , sriːniˈʋaːsə raːˈmaːnudʒən ; także Srinivasa Ramanujan Iyengar ; * 22 grudnia 1887 w Erode ; † 26 kwietnia 1920 w Chetpet , Madras ) był indyjskim matematykiem . Wiedzę matematyczną zdobywał w sposób autodydaktyczny z literatury specjalistycznej i posiadał niezwykły talent do intuicyjnego rozwiązywania problemów analitycznych i teorii liczb , zwykle bez uprzedniego podania rozwiązania lub dowodu .

Patronimiczne Śrinivasa się głównie w skrócie jako S przez Ramanujana. Ramanujan był jego pseudonimem. Nazwisko Iyengar, które również wskazuje na przynależność do kasty, jest opcjonalne. Ramanujan oznacza „mały brat (Anuja) z Ramą ”, nazwa ta została również wybrana z myślą o Ramanuja .

Jego umiejętności matematyczne były zachęcane w szkole, ale jego studia nie powiodły się, ponieważ zaniedbał przedmioty inne niż matematyczne. Żyjąc na poziomie socjalnym, prywatnie zajmował się matematyką i zapisywał swoje odkrycia w tak zwanych „zeszytach”. Próby naukowego uznania początkowo nie powiodły się, dopóki brytyjski matematyk Godfrey Harold Hardy nie dostrzegł jego talentu w 1913 roku i sprowadził go do Anglii, gdzie dokonał wielu ważnych odkryć. Sześć lat później Ramanujan wrócił do Indii jako znany naukowiec i zmarł w 1920 roku w wieku zaledwie 32 lat. Przez całe życie musiał zmagać się z problemami zdrowotnymi.

Życie

Dom urodzenia Ramanujana w Erode, Alahiri Street
Dom Ramanujana na ulicy Sarangapani w Kumbakonam
Gopuram ze świątyni Sarangapani w Kumbakonam, w pobliżu której dorastał Ramanujan. Ulica, na której znajdował się dom jego rodziców, prowadziła bezpośrednio do świątyni.
Szkoła średnia w Kumbakonam, do której uczęszczał Ramanujan. Jedna sala nosi imię Ramanujana.

Młodzież i edukacja

Srinivasa Ramanujan urodził się 22 grudnia 1887 roku w rodzinie prawosławnych braminów Tamilów z kasty Iyengara . Po urodzeniu się w Erode , gdzie mieszkali jego dziadkowie ze strony matki i gdzie jego matka tradycyjnie chodziła rodzić, dorastał w domu rodziców (matka wróciła tam rok po porodzie) w Kumbakonam, początkowo w małym domu przy ul. Ulica Sarangapani . Jego ojciec K. Srinivasa Iyengar pracował jako urzędnik w sklepie z sari , matka Komalatammal Srinivasa była wykształconą gospodynią domową i pracowała jako śpiewak śpiewów liturgicznych ( bhadżanów ) w pobliskiej świątyni . Połowę dochodów przeznaczono na świątynię, drugą połowę na śpiewaków. Jego matka otrzymywała od 5 do 10 rupii miesięcznie, podczas gdy jego ojciec zarabiał 20 rupii miesięcznie. Rodzina żyła w kiepskich warunkach i musiała często zmieniać domy. Trzech z jego czterech braci, urodzonych później, zmarło w dzieciństwie. Już jako maluch w Erode wyróżniał się wrażliwością i uporem – więc rzucał się w brud na podłodze, gdy nie dostawał tego, co chciał zjeść. Przez pierwsze trzy lata swojego życia prawie nie mówił, ale szybko nadrobił zaległości, gdy nauczył się wymawiać tradycyjny sposób rysowania tamilskich liter na warstwie ryżu na ziemi pod okiem dziadka.

W grudniu 1889 Ramanujan zachorował na ospę , która zabiła tysiące ludzi w regionie. Następnie udał się z matką do miasta Kanchipuram , gdzie wcześniej przenieśli się jego dziadkowie z Erode.

1 października 1892 w wieku 4 lat wstąpił do przedszkola, aw marcu 1894 do gimnazjum telugu . Potem jego dziadek stracił stanowisko sędziego w Kanchipuram, a Ramanujan wrócił do Kumbakonam z matką. Tam uczęszczał do Szkoły Podstawowej Kangayan. Po śmierci dziadka ze strony ojca został wysłany do zamieszkania z dziadkami ze strony matki, którzy teraz mieszkali w Madrasie (obecnie Chennai). Ramanujan unikał tam szkoły i otrzymał strażnika, aby zapewnić uczęszczanie do szkoły. Po sześciu miesiącach wrócił do Kumbakonam.

Ramanujan nawiązał bliską więź ze swoją matką, która wychowała go na bramina i nauczyła go tradycji, systemu kastowego , Puran , pieśni religijnych i celebracji pudży . Jego ojciec rzadko bywał w domu.

W Szkole Podstawowej Kangayan, na krótko przed swoimi dziesiątymi urodzinami, Ramanujan był uważany za najlepszego ucznia w okręgu w zakresie języka angielskiego, tamilskiego , geografii i arytmetyki . Następnie uczęszczał do Town High School i wkrótce został zauważony jako cudowne dziecko matematyki: w wieku jedenastu lat był matematycznie lepszy od dwóch studentów z sąsiedztwa. W ciągu dwóch lat pracował nad książkami o zaawansowanej trygonometrii autorstwa samego Sidneya Luxtona Loneya . Jednak jego zainteresowania i umiejętności narażają go na niebezpieczeństwo stania się outsiderem:

„Gdy miał czternaście lat w czwartej klasie, niektórzy z jego kolegów z klasy zaczęli już dyskwalifikować Ramanujana jako kogoś, kto unosił się w chmurach, kogoś, z kim trudno było się porozumieć. „My (nauczyciele i uczniowie) rzadko go rozumieliśmy” – wspominał pół wieku później kolega z klasy. Łatwo sobie wyobrazić, że niektórzy nauczyciele czuli się nieswojo z powodu jego umiejętności. Ale większość szkoły najwyraźniej darzyła go wielkim szacunkiem, niezależnie od tego, czy go rozumieli, czy nie.”

W 1902 Ramanujan otrzymał certyfikaty za szczególne zasługi i nagrody i pomógł zarządowi szkoły rozdzielić 1200 uczniów wśród 35-osobowej kadry nauczycielskiej. Zaczął interesować się nieskończonymi rzędami . W wieku 16 lat natknął się na książkę A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics autorstwa George'a Shoobridge'a Carra zawierającą ponad 5000 twierdzeń matematycznych . Po ukończeniu szkoły (1904) otrzymał za osiągnięcia matematyczne Nagrodę im. K. Ranganathy Rao , która umożliwiła mu stypendium w Government College w Kumbakonam, tzw. „Cambridge South India”. W wieku 17 lat Ramanujan obliczył stałą Eulera-Mascheroni w swojej głowie z dokładnością do 15 miejsc po przecinku.

Zaczął studiować w Government Arts College w Kumbakonam, ale zaniedbał obowiązkowe przedmioty angielski i sanskryt i dlatego ponownie stracił stypendium w styczniu 1905 r. i musiał zrezygnować. W sierpniu 1905 przeniósł się do Visakhapatnam i zapisał do Kolegium Pachaiyappy w Madrasie, ale musiał zrezygnować z nauki z powodu choroby i nie zdanych egzaminów.

Życie w Indiach

Bez szkolenia i zatrudnienia Ramanujan żył na poziomie utrzymania i często był głodny. Na prośbę matki 14 lipca 1909 ożenił się z dziesięcioletnią S. Janaki Ammal (1899–1994), która nadal mieszkała z rodzicami. Kilka miesięcy później zachorował na wodniak jądra , nagromadzenie płynu w pochewkach jąder ; w styczniu 1910 był operowany.

Po odzyskaniu Ramanujan podjął pracę jako urzędnik w Madras, a także dał studentom prezydencja College naukę w matematyce. Zwrócił się do szefa okręgu V. Ramaswami Iyera, który niedawno założył Indyjskie Towarzystwo Matematyczne (IMS), ze swoimi zeszytami wzorów na stanowisko w dziale finansowym. Iyer powiedział później:

„Byłem pod wrażeniem niezwykłych wyników matematycznych, które były w nich [w zeszytach]. [...] Nigdy nie przyszło mi do głowy, by stłumić jego talent, zajmując stanowisko na dolnym szczeblu w dziale finansowym.”

Iyer wysłał Ramanujan z referatami, aby zaprzyjaźnił się z matematykami w Madrasie. Polecili go szefowi okręgu Nelluru i sekretarzowi IMS, R. Ramachandrze Rao. Ramanujan obliczył całki eliptyczne , funkcje hipergeometryczne i własną teorię o szeregach rozbieżnych , a Ramachandra Rao dostrzegł jego błyskotliwość. W Madrasie Ramanujan kontynuował swoją pracę z pomocą finansową Ramachandry Rao i publikował w magazynie IMS.

Jednym z pierwszych problemów, które poruszył w broszurze, było obliczenie wyrażenia

Długo czekał na rozwiązanie od czytelników, ale żadne nie przyszło, więc sam przedstawił rozwiązanie. Użył tożsamości :

Z sformułowaniem zadania, a także rozwiązaniem 3.

Innym wkładem do Journal of IMS był siedemnastostronicowy traktat Some Properties of Bernoulli's Numbers , w którym opisał własności liczb Bernoulliego . Między innymi przedstawił metodę obliczania na podstawie innych liczb Bernoulliego z wykorzystaniem relacji rekurencji.

Początkowo jednak teksty Ramanujana zawierały szereg błędów. Redaktor czasopisma, MT Narayana Iyengar, profesor matematyki w Central College w Bangalore , napisał:

"Pan. Metody Ramanujana były tak krótkie i nowatorskie, a jego prezentacja tak mało klarowna i precyzyjna, że ​​normalni [czytelnicy matematyki], nieprzyzwyczajeni do takiej intelektualnej gimnastyki, z trudem mogli za nim podążać.”

W styczniu 1912 roku objął stanowisko w głównym biurze rachunkowym Madrasu, gdzie otrzymywał miesięczną pensję 20 rupii indyjskich . Teraz zamieszkała z nim jego 13-letnia już żona. 1 marca 1912 przeniósł się do biura rachunkowego zarządu portu w Madrasie, jego miesięczna pensja wzrosła do 30 rupii. Praca była dla niego łatwa i dała mu czas na badania. Zachęcali go do tego jego przełożony Sir Francis Spring i jego kolega S. Narayana Iyer, również członek IMS.

Strona z „Notatników” Ramanujana z lat 1903-1910

Kontakt z europejskimi matematykami

Sir Francis Spring, S. Narayana Iyer, R. Ramachandra Rao i Edward William Middlemast starali się zainteresować europejskich matematyków pracą Ramanujana. Ale chociaż Micaiah John Muller Hill (1856-1929) z University College London przyznał, że Ramanujan miał „wyczucie matematyki i pewien talent”, uznał, że jego brak akademickiego wykształcenia jest zbyt wielki, by mógł być zaakceptowany przez lepszych matematyków, i zostawił go z radą. na przyszłość. W 1912 Ramanujan napisał do Henry'ego Fredericka Bakera i Ernesta Williama Hobsona , dwóch czołowych matematyków z Uniwersytetu Cambridge . Odzyskał dokumenty bez komentarza.

Wreszcie napisał do znanego na całym świecie matematyka Godfreya Harolda Hardy'ego , który również wykładał w Trinity College w Cambridge . Jego dziewięciostronicowy list z 16 stycznia 1913 r., pełen formuł, zaczynał się słowami:

„Szanowny Panie,
chciałbym przedstawić się jako księgowy w Zarządzie Portowym Madras z rocznym dochodem 20 funtów. Mam teraz 26 lat. Nie ukończyłem studiów wyższych, ale ukończyłem zwykłe zajęcia. [...] Nie szedłem konwencjonalną, uregulowaną ścieżką, którą podąża się na wykładzie na uniwersytecie, ale podążam własną, nową ścieżką. [...] Proszę o przejrzenie załączonych dokumentów. Ponieważ jestem biedny, chciałbym opublikować moje zdania, jeśli jesteś przekonany, że mają wartość.”

Hardy początkowo myślał, że jest oszustem. Niektóre formuły były mu znane, ale większość z nich „trudno mu uwierzyć”. Jeden z nich był na końcu trzeciej strony listu:

dla

Hardy wierzył, że może udowodnić to równanie, które zawiera funkcję gamma i całkę oznaczoną (dziedzinę, w której sądził, że jest ekspertem). Udało mu się to później zrobić, nawet jeśli dowody na pewne całki w liście nie były łatwe. Jednak tym, co zafascynowało Hardy'ego przede wszystkim, były wyniki wymienione w liście ponad nieskończonymi seriami, takimi jak:

oraz

Pierwszy wynik pochodzi od Gustava Bauera i był od dawna znany z teorii wielomianów Legendre'a . Ale drugi i dwa inne wyniki były dla Hardy'ego zupełnie nowe i jego zdaniem stanowiły znacznie poważniejszy problem, niż się wydawało na pierwszy rzut oka. Były one związane z teorią funkcji hipergeometrycznych , którą po raz pierwszy zbadali Leonhard Euler i Carl Friedrich Gauß . Hardy uznał, że wyniki Ramanujana dotyczące serii nieskończonych są „o wiele bardziej fascynujące i szybko stało się jasne, że Ramanujan miał znacznie bardziej ogólne twierdzenia i wiele zatrzymał.” Wyniki niezbędne do udowodnienia tego zostały później opublikowane w monografii Wilfrida Normana Baileya . Później odkryto, że Ramanujan znał już tożsamość przed 1910 r. ( tożsamość Dougall-Ramanujana ), z której można było wyprowadzić wiele takich wyników.

Świątynia Parthasarathy w Madrasie, w dzielnicy Triplicane, około 1870 r. Ulica, przy której mieszkał Ramanujan przed wyjazdem do Anglii, prowadziła do niecki świątyni

O wynikach na ostatniej stronie listu dotyczących funkcji eliptycznych Hardy powiedział:

„Nigdy wcześniej nie widziałem czegoś podobnego. Wystarczyło jedno spojrzenie na to, aby zobaczyć, że tylko matematyk najwyższej klasy mógł to spisać. Musiały być prawdziwe, bo gdyby nie były, nikt nie miałby wyobraźni, żeby je wymyślić. Wreszcie […] autor musiał być absolutnie szczery, bo wielcy matematycy są bardziej powszechni niż złodzieje i szarlatani o tak niesamowitych zdolnościach.”

Hardy pokazał list Ramanujana swojemu przyjacielowi i koledze Johnowi Edensorowi Littlewoodowi . Littlewood zadziwił także osiągnięciami Indianina. Po dyskusji między dwoma Anglikami Hardy zauważył, że litera i formuły „są prawdopodobnie najbardziej niezwykłe, jakie kiedykolwiek otrzymałem”, a Ramanujan „jest matematykiem najwyższej klasy, człowiekiem o niezwykłej oryginalności i sile” może być . Inny kolega Hardy'ego, Eric Harold Neville , który uczy w Madrasie , znalazł w odniesieniu do twierdzeń i formuł:

„Ani jednego nie można było znaleźć w najbardziej zaawansowanych badaniach na świecie”.

List Hardy'ego dotarł do Ramanujan 8 lutego 1913 w Madrasie. W nim Brytyjczyk wyraził zainteresowanie twórczością Indianina:

„Uznałem twój list i twoje zdania za niezwykle interesujące….. Szczególnie chcę twoich dowodów na te twierdzenia tutaj. Zrozumiesz, że w tej teorii wszystko zależy od rygorystycznej dokładności dowodów.”

W pierwszych dniach lutego, zanim Ramanujan otrzymał list, Hardy poprosił władze indyjskie o przygotowanie podróży Ramanujana do Cambridge. Po przybyciu na literę Arthur Davies, tym sekretarz do Komitetu Doradczego ds indyjskich studentów , skontaktował indyjski zaplanować przejazd, ale indyjski odrzucił zaproszenie do Wielkiej Brytanii, bo jak prawosławnego bramina , bał się, że straci należący do jego kasty, jeśli udał się do obcego kraju. Jego matka też się martwiła. Zamiast tego Ramanujan wysłał do Hardy'ego kolejny list z formułami, do którego dodał słowa:

„Znalazłem w tobie przyjaciela, który życzliwie traktuje moją pracę”.

Gilbert Walker , były profesor matematyki w Cambridge, przyjrzał się pracy Ramanujana i poprosił go, aby również przyjechał do Anglii. Indyjski matematyk B. Hanumantha Rao również chciał przekonać do tego swojego rodaka. Zaprosił swojego kolegę z pracy, S. Narayana Iyera, na wywiad z Wydziałem Matematyki Urzędu Oświaty, aby dowiedzieć się, „co możemy zrobić dla S. Ramanujana”. Na tym spotkaniu uzgodniono przyznanie Ramanujanowi dwuletniego stypendium badawczego na Uniwersytecie w Madrasie . Powinien dostawać 75 rupii miesięcznie.

Podczas pobytu na uniwersytecie Ramanujan nadal publikował problemy matematyczne i ich rozwiązania w czasopiśmie IMS. W tym czasie opracował sposoby łatwiejszego rozwiązywania pewnych całek , zrewidował teorię całkową Giuliana Frullaniego z 1821 r. i rozwinął uogólnienia do estymacji poprzednio pozornie nierozwiązywalnych całek.

Whewell's Court, Trinity College, Cambridge

W końcu rodzice Ramanujana zgodzili się na podróż. 18 marca 1914 (inne źródła podają 17 marca), Neville i Ramanujan weszli na pokład SS Nevasa w Madrasie i 18 kwietnia weszli do Londynu. Ramanujan znalazł tymczasowe zakwaterowanie u Neville'a na Chesterton Road w Cambridge. Neville przyjaźnie towarzyszył mu w pierwszych krokach w Anglii. W czerwcu Ramanujan przeniósł się do pokoi w Whewell's Court w Trinity College , około pięciu minut spacerem od pokoi Hardy'ego w New Court w Trinity College. W październiku 1915 przeniósł się do Bishop's Hostel, który był jeszcze bliższy Hardy'emu. Przebywał głównie w Cambridge, nawet w przerwie semestralnej, ale od czasu do czasu odwiedzał Londyn, np. British Museum i zoo, a raz brał udział w przedstawieniu ciotki Charleya . Ze względu na jego wegetariańskie nawyki żywieniowe, nie brał udziału w koledżowych posiłkach, a inni członkowie uczelni rzadko go widywali, na przykład gdy „wczołgał się” po Wielkim Dziedzińcu w kapciach, ponieważ nie miał na sobie żadnego z butów powszechnych w Zachód.

Sukces naukowy w Anglii

Trinity College (Wielki Sąd)
Nowy sąd, Trinity College, Cambridge
Ramanujan (w środku) i Hardy (z prawej) z innymi naukowcami z Trinity College

Zaraz po przybyciu Indianin przystąpił do pracy. Najpierw pokazał Hardy'emu swoje zeszyty. Chociaż w obu listach przesłał Anglikowi łącznie około 120 formuł, książki zawierały znacznie więcej podejść, twierdzeń i rozwiązań. Hardy zdał sobie sprawę, że niektóre obliczenia były błędne, a niektóre zostały już odkryte, ale większość to nowe przełomy. Littlewood i Hardy byli pod wielkim wrażeniem, a ci pierwsi powiedzieli:

– Myślę, że jest przynajmniej Jacobim .

Hardy nakreślił również paralele między Ramanujanem i Jacobim:

„[Ja] mogę porównać go tylko do Eulera lub Jacobiego”.

Między Ramanujanem a Hardym istniały poważne różnice osobowościowe i kulturowe. Brytyjczyk był ateistą i uważał się za zwolennika dowodów dla teorii oraz pewnego rygoru i rygoru swojej nauki. Z drugiej strony Hindus był osobą głęboko religijną, która również podczas pracy polegała przede wszystkim na swojej intuicji i prawie nigdy nie dowodziła swoich zdań. Podczas wspólnych lat Hardy próbował również wypełnić luki w wiedzy i edukacji, które Ramanujan miał w innych dyscyplinach, ale bez wpływu na jego matematyczną inspirację. Współpraca była intensywna i często zdarzało się, że Ramanujan pracował nieprzerwanie przez trzydzieści godzin, a potem spał przez dwadzieścia godzin.

16 marca 1916 r. Ramanujan otrzymał tytuł Bachelor of Arts przez Research ze względu na uznanie jego pracy badawczej (odpowiada to około doktoratowi; stopnie doktorskie były dostępne tylko w Cambridge od 1917 r. i niekoniecznie były wymagane później, stypendium uczelni był ważniejszy), uhonorowując jego pracę nad liczbami wysoce złożonymi , która została opublikowana jako traktat w czasopiśmie London Mathematical Society . Hardy powiedział, że te obliczenia należą do najbardziej niezwykłych do tej pory w matematyce i że Ramanujan wykonał je z niezwykłą pomysłowością. W dniu 6 grudnia 1917, Ramanujan został wybrany do London Mathematical Society .

18 lutego 1918 został członkiem Towarzystwa Filozoficznego w Cambridge . Trzy dni później jego nazwisko pojawiło się na liście kandydatów do tytułu Fellow of the Royal Society ( FRS ). Został zaproponowany przez wielu znanych matematyków „do badania funkcji eliptycznych i teorii liczb”. Wspierali go między innymi Hardy, Littlewood, Percy Alexander MacMahon , Joseph Larmor , Thomas John I'Anson Bromwich , Seth Barnes Nicholson , Alfred Young , Edmund Taylor Whittaker , Andrew Russell Forsyth i Alfred North Whitehead . Ale Hobson i Baker, dwaj profesorowie, którzy pięć lat wcześniej bez komentarza odpowiedzieli na prośbę Ramanujana, również poparli kandydaturę. Nagroda odbyła się 2 maja. Ramanujan był dopiero drugim Indianinem, który otrzymał ten zaszczyt i jednym z najmłodszych kolegów. W tym samym roku, 10 października otrzymał również tytuł Fellow of Trinity College Cambridge .

Wiele lat po śmierci Ramanujana węgierski matematyk Paul Erdős zapytał Hardy'ego o jego największy wkład w matematykę. Bez wahania Hardy nazwał odkrycie Ramanujana, opisując je jako „jedyny romantyczny incydent w moim życiu”.

Choroba, powrót do Indii i śmierć

Ramanujan, zdjęcie paszportowe z 1919 roku, udał się w podróż powrotną do Indii. Zdjęcie jest wygładzone.
Typowa wiejska ulica na przedmieściach Chetput w Madrasie, około 1905

Ramanujan miał problemy zdrowotne przez całe życie. Pod tym względem pobyt w Anglii nie był dla niego dobry, zwłaszcza że jako bramin żył ściśle wegetarianinem , co jeszcze bardziej utrudniło jego dietę w czasie I wojny światowej . Po dwukrotnym zachorowaniu na czerwonkę bakteryjną rozpoznano zarówno gruźlicę , jak i niedobory witamin . Fatalistyczna postawa Ramanujana , którą Hardy przypisywał jego indyjskiemu pochodzeniu, przyczyniła się również do tego, że zbyt mało dbał o własne zdrowie.

Rok 1917 był dla Ramanujana naznaczony rozczarowaniami. Na początku nie został wybrany na członka Trinity College, jak oczekiwał (kolegium było wtedy skłócone w sprawie przeciwnika wojny Bertranda Russella ). Potem zachorował tak poważnie, że czasami obawiał się o swoje życie. Pobyt w sanatorium przeciwgruźliczym w Matlock pogorszył mu nastrój w głęboką depresję: miejsce było odległe, kierownictwo dyktatorskie, pacjenci byli odizolowani od świata zewnętrznego, było zimno (co wówczas uważano za przydatne terapeutycznie), i nie dostał zwykłego jedzenia. Jego praca ucierpiała z powodu choroby, która z kolei pogłębiła jego depresję. Ponadto rzadko otrzymywał listy od żony; jak się później okazało, zostały przechwycone przez jego matkę. W lutym 1918 roku Ramanujan próbował popełnić samobójstwo , rzucając się na szyny przed nadjeżdżającym pociągiem metra, ale uważnemu strażnikowi udało się zatrzymać pociąg na czas. Ramanujan doznał obrażeń, które pozostawiły głębokie blizny na goleniu. Został aresztowany i zwolniony dopiero dzięki interwencji Hardy'ego. Jednak pod koniec 1917 roku Hardy zauważył oznaki poprawy i napisał w liście do Francisa Dewsbury w Madrasie w styczniu 1918 roku, że Ramanujan przytył prawie 15 funtów, a temperatura jego ciała jest stabilna.

Ramanujan postanowił wrócić do Indii po zakończeniu wojny. Jako Fellow of Royal Society zaproponowano mu profesurę (Fellowship of the University) w Madrasie, co za 250 funtów oferowało mu mniej więcej taką samą pensję jak Fellow of Royal Society. Ramanujan chciał najpierw wyzdrowieć, a nawet przekazał pieniądze ze swoich dochodów Towarzystwu Królewskiemu, ku niezadowoleniu swojej rodziny, która musiała liczyć na jego wsparcie.

Ramanujan opuścił Anglię 27 lutego 1919, dotarł do Indii 13 marca i został przyjęty przez matkę w Madrasie. Konflikty rodzinne wybuchły ponownie, gdy Ramanujan nalegał, aby jego żona, 18-letnia Janaki, przyszła do niego. Zmieniła się jego natura: zamiast być ciepłym i przyjaznym, jak przed wyjazdem, teraz wydawał się swoim przyjaciołom przygnębiony, zimny i ponury, nie był już tak dobrze odżywiony jak przed wyjazdem, ale wyglądał na chorego i wychudzonego. Uważano go za posłanego do sanatorium, ale Ramanujan stał się podejrzliwy wobec lekarzy i często odmawiał im porady. Za namową Hardy'ego, specjalista od gruźlicy z Madrasu i profesor PS Chandrasekhar zostali wysłani do Ramanujan, który wyraźnie zdiagnozował gruźlicę.

Latem rodzina przeniosła się z gorącego Madrasu do chłodniejszego wnętrza kraju, początkowo do Kodumudi , gdzie rodzina matki miała dobre kontakty, a od początku września do mniej odległego Kumbakonam. Na początku 1920 Ramanujan wrócił do Chetpet , na przedmieściach Madrasu, gdzie ponownie przeżył fazę produkcyjną. 12 stycznia 1920 roku napisał do Hardy'ego o odkryciu pozorowanych funkcji theta. Aż cztery dni przed śmiercią, mimo gorączki i bólu, pracował nad swoimi zeszytami matematycznymi, których kartki jego żona zebrała w pudełku.

Ramanujan zmarł 26 kwietnia 1920 roku w Chetpet w Gometra domu poza Huntington Road. Wdowa po nim mieszkała w Triplicane , dzielnicy Madrasu, aż do swojej śmierci w 1994 roku , gdzie później zarabiała na życie głównie jako krawiec na własny rachunek (i otrzymywała niewielką emeryturę z Uniwersytetu w Madrasie) i wychowywała adoptowanego syna zmarłego przyjaciel (W. Narayan).

Lekarz DAB Young zbadał dokumentację medyczną i dokumentację medyczną Ramanujana w 1994 roku i zasugerował, że zmarł on nie na gruźlicę, ale na czerwonkę pełzakową , która w tym czasie szalała w Madrasie. Ponadto był zdania, że ​​czerwonka bakteryjna Ramanujana nie ustąpiła całkowicie, a patogeny pozostały w organizmie. W ten sposób czerwonka pełzakowata mogła rozwijać się później jeszcze szybciej.

Praca

Ramanujan zajmował się głównie teorią liczb w ciągu pięciu lat spędzonych w Anglii . Zasłynął z wielu formuł sum, które zawierają stałe, takie jak liczba okręgów, liczby pierwsze i funkcje podziału , i był mistrzem w radzeniu sobie z ułamkami łańcuchowymi . Między innymi stworzył bardzo dobry wzór aproksymacyjny do obliczania obwodu elipsy .

Obliczanie liczby okręgów

Jednym z jego najbardziej znanych odkryć jest równanie do obliczania liczby okręgów , które zostało opublikowane w 1914 roku i oparte na badaniach funkcji eliptycznych i funkcji modułu :

Metoda szybko się zbiega i zapewnia 9 przyrostów w porównaniu z przerwą bliskości z 80-cyfrowym licznikiem jest już wynikiem, 70 ułamków z koincydencją:

W 1985 roku Bill Gosper zastosował to podejście do określenia 17 milionów miejsc po przecinku.

Funkcja partycji

Asymptotyczny wzór na funkcję podziału, opublikowany w 1918 przez Hardy'ego i Ramanujana, podaje, ile razy liczba naturalna uległa zanikowi :

.

Na przykład daje to wartość, która jest tylko o 1,4% za wysoka, czyli około . Hardy i Ramanujan znaleźli dokładny wzór na funkcję podziału, której pierwszym wyrazem jest powyższa wartość asymptotyczna. Wywarło to również wrażenie na angielskim specjalistce od kombinatoryki Percy Alexander MacMahon , który obliczył tabele dla funkcji podziału przy użyciu formuły Eulera - wartość , mozolnie zestawiona przez MacMahona, wynikała bezpośrednio ze wzoru Ramanujana. Prace nad funkcją podziału dały również początek metodzie okręgu, która później stała się centralną metodą analitycznej teorii liczb przez Hardy'ego i Littlewooda.

Dalsze ustalenia

W sumie Ramanujan znalazł w Cambridge około 3900 wyników matematycznych, z których większość była równaniami tożsamościowymi , z których większość można było udowodnić z perspektywy czasu.

W latach współpracy z Hardym powstały liczne prace o liczbach wysoko złożonych , pozorowanych funkcjach teta (pseudo funkcji teta) - które przez długi czas były zagadkowe, ale których teoria zyskała wielki rozkwit około 2010 roku ( Sander Zwegers , Kathrin Bringmann , Ken Ono ) - oraz przypuszczenie nazwane jego imieniem o funkcji tau Ramanujan , które zostało udowodnione w 1974 roku przez Pierre'a Deligne'a . Razem udowodnili twierdzenie Hardy'ego i Ramanujana . Twierdzenie to zapewnia najdokładniejsze dotychczas oszacowanie liczby różnych czynników pierwszych liczby całkowitej.

Aby podać przykłady typu wyników Ramanujana, oto kilka innych równań, które znalazł Ramanujan:

... ze złotym podziałem

Koncepcje nazwane na cześć Ramanujan

Magiczny kwadrat

Magiczny plac Ramanujan. Pola tego samego koloru sumują się do 139, pierwsza linia - wyróżniona kolorem w prawym dolnym rogu - pokazuje jego datę urodzenia.

Cały rozdział pierwszego zeszytu poświęcony jest magicznym kwadratom . Kwadrat po lewej jest od niego, w pierwszym wierszu jest jego data urodzenia.

Metody Ramanujana i luki edukacyjne

Nie wszystkie wyniki Ramanujana były dokładne. Na przykład w jednym ze swoich pierwszych listów podał wzór na liczbę liczb pierwszych poniżej ustalonej liczby w postaci nieskończonego szeregu, co rzeczywiście daje dokładne dopasowanie dla wartości do około 1000 (a także zapewnia stosunkowo dobre przybliżenie dla znacznie wyższych wartości ), ale ogólnie rzecz biorąc, Littlewood stwierdził, że nie jest dokładne. Wzór był podobny do wzoru Bernharda Riemanna, przy czym wzór Ramanujana nie uwzględniał zespolonych zer funkcji zeta Riemanna . Chociaż Ramanujan w analitycznej teorii liczb (a zwłaszcza w rozkładzie liczb pierwszych) musiał zawieść (Littlewood) z powodu jego braku wiedzy i ważnej konieczności rygorystycznych dowodów, zwłaszcza tutaj - gdzie często pozornie wiarygodne hipotezy okazywały się później fałszywe - ( Littlewood), Littlewood uważał swój wkład za jedno z jego najbardziej niezwykłych osiągnięć.

Hardy był często pytany, czy Ramanujan ma jakieś specjalne sekretne lub „nienormalne” metody, które odróżniają go od innych matematyków. Hardy odpowiedział, że chociaż nie mógł odpowiedzieć na to z absolutną pewnością, nie wierzył w to.

Jedną z wad Ramanujana było to, że nie wiedział nic o teorii funkcji zmiennych zespolonych (nawet swoją wiedzę o funkcjach eliptycznych zdobył z idiosynkratycznej prezentacji podręcznika Alfreda George'a Greenhilla ), jak stwierdził Hardy w swojej książce o Ramanujan. Później nauczył się trochę teorii funkcji, ale ku zdumieniu Hardy'ego nie korzystał z twierdzenia całkowego Cauchy'ego ani rachunku szczątkowego , chociaż jako formalista powinni byli mu odpowiadać. Hardy scharakteryzował Ramanujana jako mistrza w radzeniu sobie ze wzorami algebraicznymi i szeregami nieskończonymi w sposób, którego sam Hardy nie widział u żadnego znanego mu matematyka, co czyniło go porównywalnym jedynie z Eulerem lub Jacobim. Pracował też więcej niż inni matematycy po Hardym, wprowadzając przykłady liczbowe, na przykład na odkryte przez siebie kongruencje funkcji podziału. Według Hardy'ego łączył niezwykłą pamięć, cierpliwość i wytrwałość oraz niezwykłe umiejętności liczenia z umiejętnością uogólniania i szybkiego zmieniania postawionych hipotez, a także wyczuciem formy, które zadziwiało i czyniło go wyjątkowym w swojej dziedzinie. czas . Uważał to nie tyle za tragedię, że Ramanujan zmarł wcześnie (według Hardy'ego, matematycy i tak byli już stosunkowo starzy w wieku 30 lat), niż to, że we wczesnych latach nie dostał awansu w Indiach, przez co otrzymał zniekształcony obraz matematyki. Według Hardy'ego, pomimo „głębokiej i niezłomnej oryginalności”, zostałby wielkim matematykiem, gdyby w młodości został nieco „oswojony”, ale wtedy „mniej Ramanujanem niż europejskim profesorem, a strata mogła być większa niż zysk” .

Anegdoty

Historia, która wyraża osiągnięcia matematyczne Ramanujana, pochodzi od samego Hardy'ego, który opowiedział ją po śmierci Ramanujana. Hardy pojechał taksówką z numerem 1729 do Ramanujan, pomyślał trochę o tym numerze, ale nie znalazł nic specjalnego i zamiast powitać Ramanujan, z rozczarowaniem powiedział, jaka to nieciekawa, nic nieznacząca liczba. Ramanujan, który był chory w łóżku, od razu zaprzeczył: w 1729 była nawet ciekawa niż najmniejsza liczba naturalna, którą zapiszemy na dwa różne sposoby jako sumę dwóch sześcianów: . Hardy spytał, czy zna również odpowiedź na odpowiedni problem dotyczący czwartej potęgi. Po chwili namysłu Ramanujan powiedział, że nie potrafi wymyślić przykładu, ale pierwsza taka liczba musi być bardzo duża.

Numer 1729 jest obecnie znany również jako numer Hardy'ego Ramanujan i jest drugim numerem taksówki . Najmniejsze rozwiązanie czwartej potęgi to .

JE Littlewood powiedział kiedyś, że każda dodatnia liczba całkowita jest osobistym przyjacielem Ramanujana.

Inną historię opowiedział Prasanta Chandra Mahalanobis , przyjaciel Ramanujana z Cambridge. W pokoju Ramanujana natknął się na łamigłówkę z magazynu Strand z grudnia 1914 roku. Była tam seria domów z kolejnymi numerami domów 1, 2, 3…. Szukaliśmy numeru domu, w którym sumy wszystkich numerów domów po prawej lub lewej stronie są takie same, jeśli liczba domów jest większa niż 50 i mniejsza niż 500. Po chwili namysłu Mahalanobis znalazł dom numer 204 na 288 domów jako jedyne rozwiązanie w podanym przedziale:

Kiedy następnie przeczytał zadanie Ramanujanowi, nie tylko znalazł to specjalne rozwiązanie równie szybko, ale także sformułował ogólne rozwiązanie dla ulic dowolnej długości w postaci ułamka łańcucha. Możliwe wartości numeru domu są korzenie tych kwadratowych trójkątnych liczb , wskaźnik liczby trójkątnej jest liczba domów. Poniżej 204 znajdują się rozwiązania 6 (dla 8 domów) i 35 (dla 49 domów).

Inne zainteresowania i poglądy Ramanujan

Strona rękopisu Ramanujan o kwadracie koła (opublikowana w 1913 r.)

Według relacji Hardy'ego, Ramanujan był tylko marginalnie zainteresowany literaturą i sztuką, ale potrafił odróżnić literaturę dobrą od złej. Jego znajomość angielskiego była tak słaba, że ​​nie mógłby zdać z niego egzaminu; Nie potrafił w ogóle czytać traktatów matematycznych po niemiecku ani po francusku. Bardzo interesował się filozofią, politycznie był radykalnym pacyfistą . Chociaż przywiązywał dużą wagę do przestrzegania swoich konwencji religijnych, był nie tylko przekonany o swojej religii, ale też o przekonaniu, że wszystkie religie są mniej więcej do siebie podobne. On był zainteresowany w niezwykłej, nieoczekiwane i dziwne i posiadał niewielki zbiór książek i innych squarers korb (Hardy). Sam Ramanujan dostarczył dwie konstrukcje geometryczne dla przybliżonej kwadratury koła .

Notatniki

Osobiste notatki Ramanujana, „notatniki”, zostały częściowo utracone na kilka lat. Wdowa po jego śmierci przekazała cztery zeszyty i kilka innych rękopisów Uniwersytetowi w Madrasie . Trzy lata później lokalny rejestrator Francis Drewsbury wysłał je do Godfreya Harolda Hardy'ego na Uniwersytecie Cambridge. Oryginały pierwszego i drugiego zeszytu zostały później zwrócone na Uniwersytet w Madrasie.

Cztery księgi i rękopisy zawierały łącznie od 3000 do 4000 wzorów matematycznych sporządzonych przez Ramanujana (759 wyników w pierwszym zeszycie). Do żadnego jednak nie dołączono żadnych dowodów. Wraz z Brucem Berndtem , matematykiem z University of Illinois w Urbana-Champaign , George E. Andrews udowodnił dużą część formuł (korzystając z dokumentów Bertrama Martina Wilsona i George'a Neville'a Watsona oraz przy udziale innych matematyków).

Pierwotnie planowano publikację zeszytów wraz ze Zbiorami w 1927 r. , ale nie doszło do tego ze względów finansowych. W 1929 Wilson i Watson planowali opublikować zeszyty, ale to ustało wraz ze śmiercią Wilsona w 1935 (w 1957 Tata Institute for Fundamental Research w Bombaju opublikował fotostatyczną kopię w dwóch tomach, z pierwszym, drugim i trzecim zeszytem). . Pod koniec lat 30. Watson stracił zainteresowanie publikacją, ale jego notatki i notatki Wilsona zostały później wykorzystane przez Berndta i Andrewsa w swoim wydaniu, a Watson opublikował materiał z zeszytów. Zeszyty zostały później zredagowane przez Andrewsa i Berndta.

Drugi zeszyt jest rozszerzeniem i obróbką zeszytu pierwszego i powstał przed pobytem Ramanujana w Anglii. Obydwa mają ponad 300 stron i są w dużej mierze ułożone tematycznie (w drugim zeszycie 21 rozdziałów po 256 stron i około 100 stron materiału niezorganizowanego). Wysłał Hardy'emu około 120 wyników w liście (z brakiem jednej strony w pierwszym liście). Trzeci zeszyt ma tylko 33 strony.

Czwarty zeszyt powstał po powrocie Ramanujana do Indii i zawiera m.in. materiał na temat pozorowanych funkcji theta, ułamków kontynuacji Rogersa-Ramanujana i serii q. Zaginął przez dziesięciolecia, zdobywając przydomek „Zagubiony notatnik” (Zagubiony notatnik) . Po śmierci Watsona w 1965 r. Robert Alexander Rankin zbadał swoją posiadłość i 26 grudnia 1968 r. wysłał pisma Ramanujan, które wciąż tam były, do Biblioteki Wren Trinity College. Tam zaginiony notatnik został znaleziony przez Andrewsa wiosną 1976 roku, w pudełku z przedmiotami należącymi wcześniej do Watsona. Berndt powiedział:

„Odkrycie tego zaginionego notatnika spowodowało tyle samo zamieszania w świecie matematycznym, ile w świecie muzycznym wywołałoby odkrycie dziesiątej symfonii Beethovena”.

W dniu 22 grudnia 1987 roku (Ramanujan 100. urodzin), Zagubione Notebook Ramanujan został opublikowany w Narosa Wydawnictwem , które jest sieciowemu z Springer Verlag . Ówczesny premier Indii Rajiv Gandhi wręczył pierwsze dwa egzemplarze książki S. Janaki Ammal Ramanujan, wdowie po matematyku, oraz George'owi E. Andrewsowi. Jednak w przypadku niektórych formuł nie znaleziono dotychczas dowodów.

Korona

Nagrody za jego życia

Pośmiertne wyróżnienia

  • W 1962 roku rząd Indii wydał znaczek z podobizną Ramanujana dla upamiętnienia jego 75. urodzin. Obecnie matematyk zdobi szereg indyjskich znaczków pocztowych.
  • W indyjskim stanie Tamil Nadu , rodzinnym stanie Ramanujan, co roku 22 grudnia, w jego urodziny, obchodzony jest Stanowy Dzień Informatyki. Ma to przypominać o korzeniach tego naukowca i jego pochodzeniu z Tamil Nadu. W domu przy ulicy Saarangapani w Kumbakonam, gdzie Ramanujan i jego rodzina spędzili większość dzieciństwa, mieści się obecnie obszerne muzeum o matematyku.
  • Nagroda ICTP Ramanujan i SASTRA Ramanujan Prize przyznawane są od 2005 roku ku pamięci Ramanujana .
  • W 2019 roku zespół badaczy kierowany przez Gal Raayoni z Technion opublikował artykuł techniczny o opracowanym przez siebie oprogramowaniu, które według ich autorów powinno naśladować sposób działania Ramanujana. Mówi się, że program komputerowy, zwany „maszyną Ramanujana”, znalazł nieznane wcześniej zagnieżdżone formuły metodą prób i błędów, które podają wartości ważnych stałych, takich jak Pi, liczba Eulera e czy wartości Riemanna. funkcja zeta. Frank Calegari skrytykował twierdzenia zespołu badawczego jako intelektualne oszustwo.
  • Asteroida (4130) Ramanujan , odkryta 17 lutego 1988 roku, została nazwana jego imieniem w 1989 roku.

Odniesienia do Ramanujan w kulturze

  • W filmie Good Will Hunting profesor matematyki Gerald Lambeau przytacza Ramanujana – nieco przesadnie dramatycznego – jako porównanie uzdolnień młodego Polowania na wolę.
  • Amerykański serial kryminalny Numbers przeniósł nazwisko Ramanujana na indyjskiego matematyka, który specjalizował się w kombinatoryce .
  • Dramat Człowiek pierwszej klasy, oparty na powieści Davida Freemana o tym samym tytule, opowiada o Ramanujanie i jego współpracy z Hardym.
  • 21 kwietnia 1998 roku w monachijskim Prinzregententheater odbyła się premiera opery Ramanujan niemiecko-indyjskiego kompozytora Sandeepa Bhagwatiego o życiu matematyka .
  • Film biograficzny Ramanujan został wydany w 2014 roku .
  • W 2016 roku pojawił się film fabularny Poezja nieskończoności (English: The Man Who Knew Infinity ), wyreżyserowany przez Matthew Browna z angielskim aktorem Devem Patelem w roli Srinivasy Ramanujan i Jeremy Ironsem jako G.H. Hardy .

Czcionki

literatura

  • Godfrey Harold Hardy: Nekrolog, S. Ramanujan. Nature, t. 105, 1920, s. 494-495.
  • Godfrey Harold Hardy: Ramanujan - Dwanaście wykładów na tematy sugerowane przez jego życie i pracę. Chelsea Publishing Co, 1940, 1978 ISBN 0-8284-0136-5 .
  • Godfrey Harold Hardy: Srinivasan Ramanujan (1887-1920) , Proc. London Math Soc., tom 19, 1920, str. XL-LVIII, przedrukowany w Hardy et al. Ramanujan. Collected Papers , Cambridge UP, 1927, s. XXI – XXXVI (z drobnymi zmianami także w Proc. Roy. Soc., 1921)
  • Robert Kanigel : Kto znał nieskończoność. Vieweg-Verlag, wydanie 2 1995, ISBN 3-528-16509-X , niemieckie tłumaczenie Albrechta Beutelspachera z Człowieka, który znał nieskończoność: a Life of the Genius Ramanujan. Synowie Charlesa Scribnera, Nowy Jork 1991. ISBN 0-684-19259-4 .
  • Eric Harold Neville : Srinivasa Ramanujan. Nature, t. 149, 1942, s. 292-295
  • SR Ranganathan : Ramanujan: człowiek i matematyk , Bombaj: Asia Publishing House 1967
  • Suresh Ram: Srinivasa Ramanujan , New Delhi, National Book Trust, 1972, 1979.
  • K. Srinivasa Rao: Srinivasa Ramanujan – matematyczny geniusz. East West Books, Madras 1998.
  • George E. Andrews (red.): Ramanujan ponownie. (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988
  • George E. Andrews, Robert Alexander Rankin : Ramanujan: Eseje i ankiety. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, 2001, ISBN 978-0-8218-2624-9 .
  • Bruce C. Berndt: Przegląd notatników Ramanujana. W: Karol Wielki i jego dziedzictwo: 1200 lat cywilizacji i nauki w Europie. (Wyd. PL Butzer, W. Oberschelp, H. Th. Jongen), Turnhout, 1998. s. 119-146.
  • Bruce C. Berndt, S. Bhargava: Ramanujan dla niskich brwi. W: Amerykański miesięcznik matematyczny. Tom 100, 1993, s. 644 ( mathdl.maa.org ).
  • Robert Alexander Rankin : Rękopisy i zeszyty Ramanujana , Bulletin London Math Soc., t. 14, 1982, s. 81-97, część 2, t. 21, 1989, s. 351-365
  • Lokenath Debnath: Srinivasa Ramanujan (1887-1920) oraz teoria podziału liczb i mechanika statystyczna. Hołd na stulecie , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, tom 10, 1987, wydanie 4, s. 625-640, European Digital Mathematics Library
  • Don Zagier : Ramanujan do Hardy'ego. Od pierwszej do ostatniej litery. W: Komunikacja DMV. Tom 18, 2010, s. 21-28 ( people.mpim-bonn.mpg.de PDF).

linki internetowe

Commons : Srinivasa Ramanujan  - kolekcja obrazów, filmów i plików audio

Indywidualne referencje i komentarze

  1. Robert Kanigel, przekład Albrechta Beutelspachera: Kto znał nieskończoność ; Życie genialnego matematyka Srinivasa Ramanujana, Springer-Verlag, 8 marca 2013, s. 8–9 ( ograniczony podgląd w wyszukiwarce książek Google), dostęp 26 kwietnia 2020
  2. ↑ Za Robertem Kaniglem: Kto znał nieskończoność. Vieweg, 1995, s. 10, Iyengar to nazwa kasty będącej odgałęzieniem południowoindyjskich braminów.
  3. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Vieweg 1995, s. 10
  4. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. 1995, s. 11
  5. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 24
  6. imsc.res.in , dostęp 28 marca 2020 r.
  7. imsc.res.in , dostęp 28 marca 2020 r.
  8. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 69
  9. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 77
  10. PV Seshu Iyer: The Late Mr. Srinivasa Ramanujan, BA, FRS czerwiec 1920. W: Journal of the Indian Mathematical Society 12 (3). 83. Cytat z Roberta Kanigela: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 81
  11. List został przedrukowany w Hardy i wsp. (red.), Ramanujan, Collected Papers, Cambridge UP 1927, s. XXIII – XXVII.
  12. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Vieweg 1995, s. 141, 142
  13. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 146
  14. Hardy opisuje swoją reakcję na list w: Hardy, Ramanujan , Cambridge UP 1940, s. 8–9
  15. Hardy, Ramanujan, 1940, s. 9
  16. Hardy: „Formuły szeregowe… Znalazłem o wiele bardziej intrygujące i wkrótce stało się oczywiste, że Ramanujan musi mieć znacznie bardziej ogólne twierdzenia i trzyma się dużo więcej.” W Hardy: Ramanujan. 1940, s. 9.
  17. ↑ Za Hardym, Ramanujan, 1940, s. 9. Odnosi się to do Bailey: Generalized Hypergeometric Series, Cambridge UP 1932
  18. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 148
  19. ^ Dougall-Ramanujan-Tożsamość, Mathworld
  20. Hardy: „Nigdy wcześniej nie widziałem czegoś podobnego. Wystarczy jedno spojrzenie na nie, by pokazać, że mógł je spisać tylko najwyższej klasy matematyk. Muszą być prawdziwe, bo gdyby nie były prawdziwe, nikt nie miałby wyobraźni, żeby je wymyślić. Wreszcie (trzeba pamiętać, że nic nie wiedziałem o Ramanujanie i musiałem myśleć o każdej możliwości), pisarz musi być całkowicie szczery, bo wielcy matematycy są bardziej powszechni niż złodzieje czy łobuzy o tak niesamowitych umiejętnościach.” W Hardy: Ramanujan. 1940, s. 9.
  21. a b Hardy: Nekrolog, S. Ramanujan , Nature, Volume 105, 1920, s. 494-495.
  22. Eric Harold Neville: Srinivasa Ramanujan , Nature, tom 149, 1942, s. 292-295.
  23. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie II, Vieweg, 1995, s. 153
  24. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 156
  25. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. 1995, s. 115
  26. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. 1995, s. 180
  27. Pokoje Hardy'ego znajdowały się w Nowym Dziedzińcu tuż obok (od wewnątrz Nowego Dziedzińca po prawej) zachodniego portalu, który prowadził do alei nad rzeką Cam, w klatce schodowej A na drugim piętrze. The Bishop's Hostel, w którym mieszkał Ramanujan, znajdował się bezpośrednio na wschód od New Court, a pierwsze mieszkanie Ramanujana na Whewells Court znajdowało się na wschód, dokładnie naprzeciwko Great Court Trinity College, na północny wschód od New Court, po drugiej stronie Trinity Street. Zobacz mapę w Robert Kanigel: Who Knew the Infinite. 1995, pierwsze strony i s. 179 (w pokojach Hardy'ego)
  28. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. 1995, s. 179
  29. ^ "Mogę uwierzyć, że jest co najmniej Jacobi" List do Hardy'ego 1913.
  30. ^ Godfrey Harold Hardy: Zebrane dokumenty GH Hardy'ego. Cambridge UP 1927, s. XXXV.
  31. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Vieweg 1995, s. 226
  32. Biografia Uniwersytetu St Andrews w Szkocji , dostęp 4 kwietnia 2020 r.
  33. Ramanujan: Na liczbach wysoce złożonych. Proc. London Math Soc., Series 2, Vol. 14, 1915, s. 347-400. Ze względów finansowych esej Ramanujana nie mógł być wówczas opublikowany w całości, nieopublikowany materiał ukazał się wiele lat później w Ramanujana: Zaginiony notatnik i inne niepublikowane artykuły. Narosa Publ. House, Springer, New Delhi 1988 oraz w Jean-Louis Nicholas, Guy Robin (redaktor i notatki), Ramanujan: Wysoce złożone liczby. Ramanujan Journal, tom 1, 1997, s. 119-153, PDF.
  34. ^ „Jestem mu winien więcej niż komukolwiek innemu na świecie z jednym wyjątkiem, a mój związek z nim jest jedynym romantycznym incydentem w moim życiu.” W Hardy: Ramanujan. Cambridge University Press, 1940, s. 2.
  35. „Podobnie jak wszyscy Indianie jest fatalistyczny i strasznie trudno jest go zmusić do dbania o siebie.” Cytat z mathshistory.st-andrews.ac.uk. Dostęp 4 kwietnia 2020 r.
  36. Kanigel, Kto znał nieskończoność, Vieweg 1995, s. 257 i n.
  37. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Vieweg 1995, s. 241
  38. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Vieweg 1995, s. 261. Informacja o samobójstwie Ramanujana i data pochodzą z akt S. Chandrasekhara. Inni podają za próbę samobójczą drugą połowę 1917 roku. Kanigel, s. 336
  39. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie II, Vieweg, 1995, s. 274, przypis s. 336
  40. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 277.
  41. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 282.
  42. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. 1995, s. 285.
  43. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. 1995, s. 292.
  44. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. 1995, s. 292
  45. Żona Ramanujana Janakiammal (Janaki). PDF.
  46. S. Ramanujan : Równania i aproksymacje modułowe do . Quarterly Journal of Mathematics, tom 45, 1914, s. 350-372 , dostęp 18 kwietnia 2020 r .
  47. Jonathan Borwein , Peter Borwein , DH Bailey, Ramanujan: Równania modułowe i aproksymacje do liczby pi, czyli jak obliczyć miliard cyfr liczby pi. (PDF) American Mathematical Monthly, tom 96, 1989, s. 201-219 , dostęp 18 kwietnia 2020 .
  48. Obliczenia w Wolfram Alpha dają różnicę rzędu 10 -72 .
  49. Hardy, Ramanujan: Asymptotyczne formuły w analizie kombinatorycznej. Proc. London Math Soc., tom 17, 1918, s. 75-115, ( ramanujan.sirinudi.org PDF).
  50. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 77
  51. a b Eric W. Weisstein : Ramanujan Ciągłe ułamki . W: MathWorld (angielski).
  52. Kanigel: Człowiek, który znał nieskończoność. s. 218.
  53. ^ List Hardy'ego do Ramanujan z 26 marca 1913. Po Bruce Berndt, Robert Rankin: Ramanujan, listy i komentarze. AMS s. 77.
  54. ^ „Analityczna teoria liczb jest jedną z tych wyjątkowych gałęzi matematyki, w których dowód jest naprawdę wszystkim i liczy się tylko absolutna rygoryzm” w Hardy: Ramanujan. 1940, s. 19.
  55. Littlewood: Miscellany matematyka. Methuen 1953, s. 87, recenzja zebranych dokumentów Ramanujana.
  56. b Hardy, w: zebrane dokumentów z Srinivasa Ramanujana. Cambridge University Press, 1927, s. XXXV.
  57. a b Hardy w: Ramanujan, Collected Papers. 1927, s. XXXV.
  58. Hardy: „ Wierzę, że wszyscy matematycy myślą w gruncie rzeczy w ten sam sposób i że Ramanujan nie był wyjątkiem.
  59. Littlewood: Miscellany matematyka. Z drugiej strony Hardy napisał (Ramanujan, 1940, s. 10), że nie wiedział dokładnie, skąd pochodzi wiedza Ramanujana w tej dziedzinie i czy czytał Greenhilla czy Cayleya i żałował, że nie pytał wówczas Ramanujana.
  60. ^ " Właściwa analiza Praca Ramanujana jest mniej imponująca, ponieważ nie znał żadnej teorii funkcji, a bez niej nie można przeprowadzić prawdziwej analizy. „W Hardy: Ramanujan. 1940, s. 14.
  61. Był zdecydowanie największym formalistą swoich czasów ”, nawet jeśli „wielkie dni formuł” w matematyce minęły około 100 lat. W Hardy: Ramanujan, zebrane dokumenty. 1927, s. XXXV. Cytowany ponownie i potwierdzony przez Hardy'ego w Hardy: Ramanujan. 1940, s. 14.
  62. ^ „… W ciągu pięciu niefortunnych lat jego geniusz został źle ukierunkowany, zboczony i do pewnego stopnia zniekształcony.” W Hardy: Ramanujan. 1940, s. 6.
  63. Hardy w: Ramanujan, Zebrane dokumenty. 1927, s. XXXVI.
  64. Hardy później odrzucił ten dodatek ze swojej przedmowy do zebranych dokumentów Ramanjana w swojej książce Ramanujan z 1940, s. 7, aczkolwiek jako absurdalny sentymentalizm z jego strony.
  65. ^ Liczba Hardy-Ramanujana. ( Pamiątka z 28 maja 2013 r. w Internetowym Archiwum ).
  66. Hardy w Hardy i wsp. (red.), Ramanujan, Collected Works, 1927, s. XXXV, ponownie cytowany przez Hardy'ego w Hardy, Ramanujan 1940, s. 12.
  67. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 276.
  68. Robert Kanigel: Kto znał nieskończoność. Wydanie drugie, Vieweg, 1995, s. 191.
  69. Hardy w: Ramanujan, Zebrane dokumenty. 1927, s. XXXI, o jego zainteresowaniach pozamatematycznych.
  70. Hardy w: Zebrane dokumenty. S. XXV.
  71. Srinivasa Ramanujan: Rękopis Księga 1 Srinivasa Ramanujan. (PDF) Szkoła Matematyki, dostęp 11 kwietnia 2020 r .
  72. Szacunek Hardy'ego, potwierdzony przez Berndta. Berndt: Przegląd notatników Ramanjuans. PDF. Następnie w zeszytach było 3254 wyników, z miejscem na interpretację w liczeniu. Według Berndta co najmniej połowa wyników była nowa (a nie tylko jedna trzecia, jak oszacował Hardy).
  73. poza około 10 do 20 wynikami, które zawierały szkic dowodowy (Berndt), czasami składający się tylko z jednego zdania.
  74. Historię zeszytów przedstawili we wstępie do wydania Berndt i Andrews. Zobacz także Berndt: Przegląd notatników Ramanjuans. PDF.
  75. ^ „Poszukiwacze Zaginionego Notatnika” . Tekst w języku angielskim o próbie udowodnienia formuł w zeszytach.
  76. „Maszyna Ramanujan”: komputer z legendarną intuicją matematyczną. Widmo 10 lipca 2019 r.
  77. Frank Calegari, Maszyna Ramanujana jako oszustwo intelektualne, blog Calegari , 17 lipca 2019 r., dostęp 1 sierpnia 2019 r.
  78. Eduard Kaeser: Sztuczna inteligencja również powinna być kreatywna. NZZ, 2021-02-10, dostęp 16 lutego 2021 r.
  79. Mniejsza planeta Circ. 15261.
  80. Lambeau przedstawia R. jako prostego człowieka bez wykształcenia, który w wieku dorosłym natknął się tylko na starą książkę do matematyki
  81. Amita Ramanujan w amerykańskim serialu Numb3rs.
  82. Ulrich Möller-Arnsberg: Biennale w Monachium 1998. Własność w obcym – obca we własnym. (Nie jest już dostępny w Internecie.) W: GEMA -Nachrichten czerwca 157 , 1998, archiwum z oryginałem na 7 stycznia 2002 roku ; Pobrano 2 grudnia 2010 .
  83. Ramanujan w internetowej bazie filmów (angielski)