System sześćdziesiętny

System sześćdziesiątkowy (również system szesnastkowy lub system sześćdziesiątych ) to system wartości oparty na podstawie 60 ( łac. sześćdziesiąty 'sześćdziesiąty' ).

Jest nadal używany do oznaczania kątów oraz długości i szerokości geograficznych . Stopień ma 60 minut łuku, a minuta ma 60 sekund . Przetrwał również w dziedzinie pomiaru czasu . Godzin wynosi 60 minut i 60 minut ma sekund . W późnym średniowieczu niektórzy matematycy do swoich obliczeń dalej dzielili sekundy na tertiae . Jednak to się nie przyjęło.

początek

Pierwsze dowody istnienia spisanego systemu obliczania sześćdziesiętnego, który nadal był systemem dodawania , pochodzą z okresu sumeryjskiego około 3300 roku p.n.e. BC z powrotem. W dalszym toku matematyki babilońskiej od ok. 3 tys. Zastosowano system miejsc sześćdziesiętnych. Główne źródła o matematyce pochodzą z 1900 r. p.n.e. pne do 1600 pne pne, ale najstarsze teksty tablicowe pochodzą z okresu nowosumeryjskiego. Okres poaleksandryjski wskazuje na rosnące wpływy greckie pod rządami Seleucydów , którzy weszli w synergię z wiedzą babilońską, aby później w pełni przenieść nagromadzone doświadczenie Sumerów, Akadyjczyków, Asyryjczyków i Babilończyków do Grecji. Astronomowie arabscy ​​używali w swoich mapach i tabelach gwiezdnych pisowni słynnego greckiego astronoma Ptolemeusza , która opierała się na ułamkach sześćdziesiętnych. Wcześni matematycy europejscy, tacy jak Fibonacci, również używali takich ułamków, gdy nie mogli operować liczbami całkowitymi.

Wielu historyków zobaczyć na motywację do wprowadzenia systemu sześćdziesiątkowy w astronomii , ponieważ babilońskie roku składa się dwanaście miesięcy po 30 dni, ale nie było też dodatkowe 13 skok miesięcy o co trzy lata  . Dalsze informacje można znaleźć we wczesnym liczeniu miesięcy księżycowych, które sięga 35 000 lat p.n.e. Może być sprawdzony (kijek kalendarzowy). W Czechach kość szprychy młodego wilka została znaleziona około 30 000 lat p.n.e. Założona w BC, która ma w sumie serię 55 nacięć, 9, 30 i 31 nacięcie są około dwa razy dłuższe od góry niż pozostałe nacięcia. Ponieważ średni okres faz księżyca wynosi 29,53 dnia, oznaczenia mogą być związane z fazami księżyca .

Inni naukowcy widzą powód wyboru liczby 60 jako podstawy systemu obliczeniowego, aby móc po prostu wyrazić lub obliczyć jak najwięcej części występujących w praktycznym liczeniu i pomiarach (handlu). Wskazuje na to, że 60 z 12 dzielnikami należy do liczb silnie złożonych (nr 9 w serii A002182 w OEIS ).

Jedno- i dwuręczne liczenie za pomocą paliczków i palców

W zwykłym systemie dziesiętnym (system dziesiątek) liczysz dziesięcioma palcami (dwa razy pięć) obu rąk. W niektórych rejonach świata było jednak liczenie za pomocą falangi , które prowadziło do liczby dwanaście ( dwunastkowej ) jedną ręką , ale prowadziło do liczby 60 dwiema rękami.

Liczenie jedną ręką do 12

Liczenie odbywa się z kciukiem jako wskaźnikiem i paliczkami tej samej ręki, co przedmiot liczenia.

  • Liczenie jedną ręką rozpoczyna się od dotknięcia kciukiem czubka pierwszego przedmiotu, czyli paliczka górnego, małego palca tej samej ręki.
  • W przypadku drugiego obiektu kciukiem dotyka się środkowego paliczka małego palca; więc liczysz na kciuk za kończynę i palec.
  • Trzy → dolne ogniwo małego palca
  • Cztery → górne ogniwo palca serdecznego
  • Pięć → środkowe ogniwo palca serdecznego
  • Sześć → dolne ogniwo palca serdecznego
  • Siedem → górna falanga środkowego palca
  • Osiem → środkowa falanga środkowego palca
  • Dziewięć → dolne ogniwo środkowego palca
  • Dziesięć → górna falanga palca wskazującego
  • Jedenaście → środkowe ogniwo palca wskazującego
  • Dwanaście → dolne ogniwo palca wskazującego

Innymi słowy: cztery palce z 3 palikami każdy równa się 12.

Oburęczne liczenie do 60

Po policzeniu pierwszego tuzina za pomocą kciuka jako wskazówki z trzema palikami pozostałych czterech palców tej samej ręki (4 × 3 = 12), zdolność liczenia jednej ręki jest początkowo wyczerpana.

  • Druga ręka jest zaciśnięta w pięść. Aby pamiętać, że policzono tuzin , wyciąga się teraz palec, np. B. wysunięcie kciuka.
  • Teraz kontynuuj liczenie, zaczynając ponownie od jednego z pierwszym rozdaniem . O dwunastej drugi tuzin jest pełny.
  • Aby pamiętać, że policzono dwa tuziny , jeden wyciąga teraz kolejny palec drugiej ręki, np. B. po wyjęciu kciuka z palca wskazującego.
  • Za pomocą pięciu palców pierwszej ręki można policzyć pięć razy tuzin, czyli 5 × 12 = 60.
  • Teraz możesz ponownie policzyć kolejny tuzin z pierwszym rozdaniem, czyli policzyć do 72 z dwoma rękami (12 na pierwszym plus 60 z drugiej strony).

Ten system liczenia palców nadal istnieje w niektórych częściach Turcji , Iraku , Indii i Indochin .

Możesz również policzyć do 12 × 12 = 144 ( duża ) lub 156 (13 × 12), licząc z falangą sekundnikiem.

Przy liczeniu dużej ilości można użyć pomocy, takiej jak kije, kamienie, linie lub dziesięć palców pomocnika. Pięć tuzinów na raz, czyli 60, zaznacza się jedną z pomocy. Za pomocą dziesięciu palców pomocnika można policzyć do 10 × 60 = 600, a pozostałe pomoce jeszcze dalej.

Sumerowie

Wśród Sumerów lata 60. nazywano gesch .

  • 120: gesch-min (60 × 2)
  • 180: gesch-esch (60 × 3)
  • 240: gesch-limmu (60 × 4)
  • 300: gesch-iá (60 × 5)
  • 360: gesch-asch (60 × 6)
  • 420: gesch-imin (60 × 7)
  • 480: strzał (60 × 8)
  • 540: gesch-ilummu (60 × 9)
  • 600: gesch-u (60 × 10)
  • Teraz Sumerowie nie liczyli dalej w krokach co 60 ( gesch- steps), ale w krokach co 600 ( gesch-u- steps), czyli sześć razy 600, czyli do 3600, co nazywano schàr .
  • 3600 zostały następnie ponownie zwiększone dziesięciokrotnie do schàr-u (3600 × 10) 36.000.
  • 36 000 liczono sześć razy do 216 000 schàr-gal , dosłownie duże 3600 ( tj. 60 × 60 × 60).
  • 216 000 liczono dziesięć razy do 2 160 000 schàr-gal-u (= (60 × 60 × 60) × 10)
  • Schàr-gal-u początkowo pomnożono pięć razy. Szósta wielokrotność 12 960 000, czyli 60 × 60 × 60 × 60, ponownie otrzymała własną nazwę, a mianowicie schàr-gal-shu-nu-tag (wielka jednostka nadrzędna schàr).

Liczby od 10 do 60 mają ułamek dziesiętny (30 = uschu = esch-u = 3 × 10), a czasem nawet strukturę graficzną (40 = nischmin = nisch-min = 2 × 20).

System sześćdziesiętny w użyciu babilońskim

Sumeryjczycy wykorzystane przed klinowych znaków dla liczb 1 do 60 każdego z różnych wielkości pół elipsy i numerami 10 i 3600 = 60² każdej różnej wielkości kół z cylindrycznych ołówki prasowano na tabletki gliny. Z tych symboli zostały odpowiednio połączone symbole dla 600 = 10 · 60 i 36000 = 10 · 60². Był też inny system z poziomami dziesiętnymi 1, 10 i 100, a także trzeci system w czasach akadyjskich . Do późnego okresu sumeryjskiego poszczególne znaki zmieniały swój kształt, ale zachowywały swój indywidualny charakter i tworzyły system dodawania podobny do cyfr rzymskich . Dopiero w późniejszym babilońskim systemie sześćdziesiętnym istniał prawdziwy system wartości miejsc z tylko dwoma pojedynczymi znakami: dla 1 i dla 10. Dzięki nim liczby od 1 do 59 mogły być tworzone addytywnie, co z kolei uzyskało swoją rzeczywistą wartość, taką jak cyfry w systemie dziesiętnym poprzez ich pozycję.Cyfra babilońska 1.svgCyfra babilońska 10.svg

Cyfry

Przyczyny stosowania systemu sześćdziesiętnego leżą w efektywnej metodzie obliczania i bardzo ograniczonej liczbie pojedynczych znaków liczbowych, z których utworzono liczby. Kilka przykładów pisma klinowego babilońskiego:

System sześćdziesiętny w formie pisma klinowego
  1 2 3 4. 5 6. 7th ósmy 9
  Cyfra babilońska 1.svg Cyfra babilońska 2.svg Cyfra babilońska 3.svg Cyfra babilońska 4 alternatywa.svg Cyfra babilońska 5.svg Cyfra babilońska 6.svg Cyfra babilońska 7 alternatywa.svg Cyfra babilońska 8.svg Cyfra babilońska 9.svg
10 11 12. 13th 14. 15. 16 17. 18. 19.
Cyfra babilońska 10.svg Cyfra babilońska 11.svg Cyfra babilońska 12.svg Cyfra babilońska 13.svg Cyfra babilońska 14 alternatywa.svg Cyfra babilońska 15.svg Cyfra babilońska 16.svg Cyfra babilońska 17 alternatywa.svg Cyfra babilońska 18.svg Cyfra babilońska 19.svg
20. 30. 40 50
Cyfra babilońska 20.svg Cyfra babilońska 30.svg Cyfra babilońska 40.svg Cyfra babilońska 50.svg

Dalsze przykłady liczbowe:

Cyfra babilońska 1.svgCyfra babilońska 2.svg= 62, = 122 i = 129.Cyfra babilońska 2.svgCyfra babilońska 2.svgCyfra babilońska 2.svgCyfra babilońska 9.svg

Cyfry składają się tylko z dwóch pojedynczych cyfr. Pod tym względem liczba rzeczywistych liczb nie była ograniczona, chociaż odniesiono się tylko do dwóch pojedynczych liczb, których rozmiary zostały zmienione zgodnie z wymaganiami. Niemniej jednak zawsze są problemy z odczytaniem, ponieważ cyfry liczby, które w większości wynikały z kontekstu, nie były jednoznaczne: z. B. może Cyfra babilońska 30.svgoznaczać 30, 30x60 lub 30/60 i tak dalej. Podobnie nie było zera, więc czasami brakowało cyfry – co jednak zdarzało się bardzo rzadko – i różne liczby zapisywano w ten sam sposób. Później, począwszy od VI wieku p.n.e., czasami pozostawiano lukę w brakującym miejscu. Przestrzeń o wartości zero pojawił się jako dodatkowy numer znaku. Jednak ta spacja nie została wykorzystana bezpośrednio w obliczeniach i nie pojawiła się jako osobny symbol liczby, więc nie miała znaczenia liczby zero . Z drugiej strony znaczenie jako symbol liczby zero zostało po raz pierwszy nadane przez Indian ich przestrzeni.

Liczby sześćdziesiętne są reprezentowane przez cyfry arabskie, wpisując przecinek między dwoma pojedynczymi miejscami sześćdziesiętnymi. Natomiast całe miejsca sześćdziesiętne oddzielone są od ułamanych średnikami i jeśli brakuje miejsc lub spacji, wpisuje się „0” (jest to więc interpretacja): B. 30,0 = 30 * 60 i 0; 30 = 30/60.

Technologia komputerowa

Dodaj i odejmij

Podobnie jak w naszym systemie dziesiętnym , system wartości miejsc umożliwił rozszerzenie lub zmniejszenie poprzedniej cyfry o 1. Kształt klinów ułatwiał system sześćdziesiętny, ponieważ trzeba było składać tylko kliny. Terminy techniczne używane do dodawania i odejmowania to „mnożenie” i „oddalanie” (symbole matematyczne + i - zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Johannesa Widmanna w XV wieku). Ujemna różnica między dwoma numerami wyraża się „Odjemnik wykracza poza”. Dodawanie i odejmowanie działa tak samo, jak obecnie w systemie dziesiętnym.

Przykład dodatku:

Cyfra babilońska 1.svgCyfra babilońska 30.svgw notacji systemu sześćdziesiętnego. 1 przed przecinkiem oznacza wartość 1 · 60, do której dodawana jest liczba 30 po przecinku.

Przykład odejmowania:

Cyfra babilońska 1.svgCyfra babilońska 10.svgw notacji systemu sześćdziesiętnego. 4 i 1 przed przecinkiem oznaczają wartości 4 · 60 i 1 · 60, do których po przecinku dodawane są odpowiednio liczby 40, 50 i 10.

Zwielokrotniać

Do mnożenia zastosowano tę samą procedurę, co w systemie dziesiętnym. Ale podczas gdy w systemie dziesiętnym jeden musi mieć mnożenia stół od 1 do 9 · 1 · 9 na uwadze, Babilończycy powinien być w stanie zapamiętać tabliczki mnożenia od 1 ° 1 do 59 · 59. Dla ułatwienia zastosowano tabliczki mnożenia, z których można było odczytać wymagane iloczyny: Każdy wiersz tabliczki mnożenia zaczynał się tym samym numerem nagłówka, np. B. 2, po czym następuje wyrażenie „czasy” i mnożnik, np. B. 1, a na końcu wynik, np. B. 2. Mnożniki wzrosły z 1 do 20, a następnie 30, 40 i 50.

Ponieważ w systemie sześćdziesiętnym 60 było oceniane w krokach co 10 (patrz wyżej pod cyframi) i ogólnie, liczby dziesiętne życia codziennego były często używane. B. 1,40 = 100 i 16,40 = 1000 utworzonych tabliczek mnożenia. Innym powodem jest interakcja z wartościami z tabel wzajemnych (patrz poniżej pod podziałem). Jeśli wymagane były inne wartości, liczby zostały zestawione.

Numery głowy:

1.15 1,20 1.30 1,40 2 2.13.20 2.15 2,24 2.30 3 3.20 3.45 4. 4.30 5 6. 6.40 7th 7.12 7.30 ósmy
8.20 9 10 12. 12.30 15. 16 16.40 18. 20. 22.30 24 25. 30. 36 40 44.26.40 45 48 50

Przykład mnożenia:

.

Podzielić

Babilończycy podzielony numer przez szereg , w którym z odwrotności z zwielokrotniony:

.

Odwrotność liczby można znaleźć w tabeli mnożenia z numerem głowy , jeśli moc od 60 podzielone. Ponieważ tak było w rezultacie , re. H. potęga 60, to odpowiadający jej mnożnik był wzajemną wartością, której szukałeś ( i mają taką samą reprezentację w babilońskim systemie sześćdziesiętnym): Cyfra babilońska 1.svg

, więc .

Odwrotności (odwrotności) liczb naturalnych zostały ponownie zestawione w odwrotności, aby było łatwiej . W takich tabliczkach pisano dla wartości, które w tabliczce mnożenia nie miały odwrotności, zamiast odwrotności „nie ma”. Dla tych liczb nieregularnych , które mają czynniki pierwsze ≥ 7, zastosowano przybliżone wartości jak dla liczb niewymiernych .

Najczęściej używana tabela wzajemności zawiera następujące pary liczb:

n 1 / n n 1 / n n 1 / n n 1 / n n 1 / n n 1 / n n 1 / n n 1 / n n 1 / n n 1 / n
2 30. 3 20. 4. 15. 5 12. 6. 10 ósmy 7.30 9 6.40 10 6. 12. 5 15. 4.
16 3.45 18. 3.20 20. 3 24 2.30 25. 2,24 27 2.13.20 30. 2 32 1.52.30 36 1,40 40 1.30
45 1,20 48 1.15 50 1.12 54 1,60 60 1 1,4 56.15 1.12 50 1.15 48 1,20 45 1,21 44.26.40

Wiele można wyczytać z tabeli wzajemności, m.in. lub lub , ale też na odwrót itd.

Przykłady podziałów:

.
.

Obliczanie korzeni

Starożytny grecki matematyk i inżynier Heron z Aleksandrii wykorzystał metodę znaną już w starożytnym imperium babilońskim w swojej Metryce do obliczania korzeni

.

został zaczerpnięty z tabeli kwadratów. Dla (nieracjonalnego) pierwiastka kwadratowego z 2 otrzymujemy:

,

D. H.

.

Na babilońskiej glinianej tabliczce (Yale Babylonian Collection 7289) jest również lepsze przybliżenie po przekątnej kwadratu:

.

Ponieważ

,

mieści się w przedziale od 1;25 do 1;24,42,21 ich średniej arytmetycznej

bliżej do

.

Teraz długość boku kwadratu na glinianej tabliczce jest podana jako 30, a długość przekątnych jako 42.25.35, co można zinterpretować w następujący sposób:

.

Przykład pokazuje, że Babilończycy posiadali wiedzę algebraiczną i geometryczną (tu można było użyć „ twierdzenia Pitagorasa ”).

Dodatkowe informacje

Bezpośrednim krewnym systemu sześćdziesiętnego jest system dwunastkowy o podstawie 12.

literatura

  • Robert Kaplan: Historia zera. Twarda oprawa: Campus Verlag, Frankfurt nad Menem 2000, ISBN 3-593-36427-1 . Wydanie w miękkiej oprawie: Piper Verlag, 2003, ISBN 3-492-23918-8 .
  • Richard Mankiewicz: Podróż w czasie matematyki - od powstania liczb do teorii chaosu. VGS Verlagsgesellschaft, Kolonia 2000, ISBN 3-8025-1440-8 .
  • Kurt Vogel : Matematyka przedgrecka. Część II: Matematyka Babilończyków. Schroedel, Hanower i Schöningh, Paderborn 1959.

linki internetowe

Wikisłownik: System sześćdziesiętny  - wyjaśnienia znaczeń, pochodzenie słów, synonimy, tłumaczenia

Indywidualne dowody

  1. JP McEvoy: Zaćmienie Słońca. Berlin-Verlag, 2001, s. 43. K. Vogel: Część II , s. 22 f.
  2. K. Vogel: Matematyka przedgrecka. Część I: Prehistoria i Egipt. Schroedel, Hannover i Schöningh, Paderborn 1958. s. 16, ryc. 11.
  3. K. Vogel: Część II , s. 23.
  4. Georges Ifrah: Uniwersalna historia liczb . Licencjonowana edycja dwa tysiące i jedna edycja. Campus, Frankfurt nad Menem 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, s. 69–75 i 90–92 (franc. Histoire universelle des chiffres . Przekład Alexander von Platen).
  5. Ifrah: uniwersalna historia liczb . Wydanie II. Campus, Frankfurt nad Menem i Nowy Jork 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, s. 69 ff . (Pierwsze wydanie: 1991).
  6. Thureau-Thangin nazwał ją „wyspą o dużej skali w sumeryjskim systemie liczbowym” w 1932 roku. Ifrah: uniwersalna historia liczb . Wydanie II. S. 71 .
  7. K. Vogel: Część II , s. 18 i n.
  8. K. Vogel, część II , s. 34 n.