Wavelet

W matematyce termin falka opisuje grupę funkcji o charakterze falowym. Słowo to jest nowym dziełem francuskiego „ondelette” , co oznacza „ małą falę ” i zostało przetłumaczone częściowo dosłownie („onde” → „fala”), a częściowo fonetycznie („-lette” → „-let”) na angielski. Falki opisują podstawową funkcję ciągłej lub dyskretnej transformacji falkowej . Transformacja falkowa jest obecnie głównym obszarem zastosowań funkcji falkowych.

fabuła

Fale pochodzą z analizy i inżynierii sygnałów. Termin „falka” został ukuty w latach 80. XX wieku w geofizyce ( Jean Morlet , Alex Grossmann ) dla funkcji, które uogólniają krótkoterminową transformatę Fouriera , ale jest używany od późnych lat osiemdziesiątych XX wieku tylko w zwyczajowym obecnie znaczeniu. W latach 90. nastąpił prawdziwy boom falkowy, wywołany odkryciem przez Ingrid Daubechies (1988) zwartych, ciągłych (do dowolnego rzędu różniczkowalności) i ortogonalnych fal oraz opracowaniem algorytmu szybkiej transformacji falkowej (FWT) . przy użyciu analizy wielorozdzielczej ( analiza wielorozdzielcza - MRA) Stephane'a Mallata i Yvesa Meyera (1989).

Fale i transformacje

W przeciwieństwie do sinus i cosinus funkcji transformacji Fouriera , najczęściej używane falki nie tylko lokalizację w widmie częstotliwości , ale także w dziedzinie czasu. „Lokalność” należy rozumieć w znaczeniu małego rozproszenia . Na przykład funkcja sinus lub cosinus nie jest lokalna w dziedzinie czasu ze względu na jej okresowość. Gęstość prawdopodobieństwa to znormalizowany kwadrat wielkości rozważanej funkcji lub jej transformaty Fouriera. Iloczyn dwóch wariancji jest zawsze większy niż stała, analogicznie do zasady nieoznaczoności Heisenberga , patrz także twierdzenie o próbkowaniu WKS . Z tego ograniczenia wynika teoria Paleya-Wienera ( Raymond Paley , Norbert Wiener ), prekursor dyskretnej transformacji falkowej oraz teoria Calderóna-Zygmunda ( Alberto Calderón , Antoni Zygmund ), która z ciągłej fali Transformacja odpowiada.

Całka funkcji falkowej jest korzystnie równa 0, dlatego funkcja falkowa zwykle przyjmuje postać wypływających na zewnątrz (coraz mniejszych) fal (tj. „Fale” = ondelety = falki).

• 

  Falka do włosów

• 

  Falka D4 Daubechiego

• 

  Falka D20 Daubechiego

Ważnymi przykładami falek są falka Haara ( Alfréd Haar 1909), falki Daubechies nazwane na cześć Ingrid Daubechies (około 1990), falki Coiflet , które również skonstruowała, oraz bardziej teoretycznie ważna falka Meyera ( Yves Meyer , około 1988 ).

• 

  Falka Meyera

• 

  Falka Morleta

• 

  Meksykański kapelusz

Istnieją falki dla przestrzeni o dowolnym wymiarze, najczęściej używany jest iloczyn tensorowy jednowymiarowej podstawy falki. Ze względu na fraktalny charakter równania w dwóch skalach w MRA, większość falek ma złożony kształt, większość nie ma kształtu zamkniętego.

W obszarze języka anglosaskiego termin „ falka ” w języku angielskim jest zdefiniowany szerzej: w tym przypadku falka jest rozumiana jako oscylacja przypominająca falę, której amplituda zaczyna się od zera, wzrasta amplituda, a następnie maleje z powrotem do zera. Jednowymiarowe falki z całką inną niż zero są zatem również objęte tą szerszą definicją terminu falka. Takie falki są używane na przykład w pewnych cyfrowych metodach przetwarzania sygnałów . Na przykład rozkłady będą postrzegane jako taka klasa falek, które na przykład można wykonać skanowanie sygnału. Szczególnie ważnym przykładem, który w tym rozszerzonym sensie można rozumieć jako skrajną postać falki, jest funkcja delta Diraca . Użycie konkretnej transformacji falkowej jest zatem zawsze powiązane z wykorzystaniem odpowiednio powiązanego podzbioru falek do transformacji falkowej.

podanie

Wavelety są wykorzystywane w metodach przetwarzania sygnałów , zwłaszcza w kompresji sygnału , które zawierają dyskretną transformację falkową jako pierwszy krok . Są one propagowane jako kamienie milowe w kompresji obrazu i kompresji danych audio od wczesnych lat 90-tych . Niemniej jednak poza specjalnymi aplikacjami, takimi jak B. w geofizyce czy tomografii komputerowej takie metody kompresji falkowej są zaimplementowane tylko w standardzie JPEG2000 i jego bezpośrednich poprzednikach, takich jak format DjVu i LuraWave . Jak dotąd JPEG2000 nie jest powszechnie używane. W szerokim sensie, powszechny JPEG jest również oparty na transformacji falkowej; zastosowana dyskretna transformacja kosinusowa może być zinterpretowana jako falka Haara . W metodach analizy sygnałów ciągła transformacja falkowa jest stosowana w postaci dyskretyzowanej.

Dyskretne falki przekształcające falki

Falkowa jest tutaj funkcja generowania systemu afinicznej funkcji , które mają podstawę Hilberta , i. H. tworzą kompletny system ortonormalny w przestrzeni funkcjonalnej . Reprezentacja funkcji wykorzystująca te funkcje nazywa się transformacją falkową : ${\ displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi _ {j, k} (x): = 2 ^ {j / 2} \, \ psi (2 ^ {j} \, xk)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle f \ mapsto c (f): = {\ mathcal {W}} [f] = \ lewo (c_ {j, k} (f): = \ langle f, \, \ psi _ {j, k } \ rangle: \; j, k \ in \ mathbb {Z} \ right)}$

i odwrotna transformata falkowa

${\ Displaystyle c = (c_ {j, k}: \; j, k \ w \ mathbb {Z}) \ mapsto {\ mathcal {W}} ^ {*} [f]: = \ suma _ {j, k \ in \ mathbb {Z}} c_ {j, k} \ cdot \ psi _ {j, k}}$.

Najbardziej elementarnym przykładem jest falka Haara . Pomocne jest, jeśli funkcja falkowa jest powiązana z analizą wieloskalową , ponieważ w praktycznych obliczeniach ocenę wielu całek znajdujących się za iloczynami skalarnymi można zastąpić powtarzającym się splotem sekwencji współczynników ze skończonymi sekwencjami filtrów , które zostały otrzymane raz . Ta przyspieszona procedura nazywa się szybką transformacją falkową .

Przetwarzanie sygnałów

Zależność między falki i filtry do przetwarzania sygnału jest teraz całkiem jasne: falkowej maska odpowiada na odpowiedzi impulsowej z filtru pasmowego z pewną ostrość w czasie (długość filtra) i częstotliwości ( pasma ). Długość i szerokość pasma filtra są odwrotnie proporcjonalne, więc „rozciągnięcie” filtra o współczynnik 2 spowoduje zmniejszenie o połowę szerokości pasma.

Rozszerzenia

Możliwe i przydatne jest rozważenie innych współczynników skali. Wariant DCT w algorytmie JPEG odpowiada falce Haara o rozmiarze bloku 8. Dalsze osłabienie wymagań analitycznych skutkuje ramkami falek (patrz ramka ) lub zestawami ramek , które generują redundantną transformację sygnału, co jest preferowane w pewnych okolicznościach Przykład redukcji szumów.

Odmianą, która niedawno się pojawiła, są tak zwane wielofalowe , które mają nie jedną, ale wektor funkcji skalujących w MRA i odpowiednio sekwencje skalowania o wartościach macierzowych.

Nowy standard kompresji obrazu JPEG2000 może wykorzystywać falki biortogonalne, 5/3 i 9/7.

literatura

• Barbara Burke Hubbard: Wavelets: The Mathematics of Small Waves . Wydanie 1. Birkhäuser Verlag, 1997, ISBN 3-7643-5688-X . 
• Werner Bäni: Wavelets. Wprowadzenie dla inżynierów . Wydanie 2. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, 2005, ISBN 3-486-57706-9 . 
• Jöran Bergh, Frederik Ekstedt, Martin Lindberg: Wavelets z zastosowaniami w przetwarzaniu sygnału i obrazu . Springer Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-49011-1 . 
• I. Daubechies: Skąd się biorą falki? - Osobisty punkt widzenia . Artykuł 74 w wykazie, opublikowany w: Proceedings of the IEEE, Special Issue on Wavelets 84 (nr 4), str. 510-513, kwiecień 1996, doi: 10.1109 / 5.488696

linki internetowe

• Naprawdę przyjazny przewodnik po falkach C. Valensa
• Analiza falkowa w dokumentacji Mathematica Wavelet Explorer. Kompleksowy opis tematu.

Indywidualne dowody

1. ↑ falka. Źródło 29 stycznia 2019 r .