Rzut centralny

Rzut centralny sześcianu

Rzut równoległy lub środkowy rzędu domów

Za pomocą projekcji centralnej można tworzyć żywe obrazy obiektów przestrzennych w geometrii reprezentacyjnej . W przeciwieństwie do projekcji równoległej , w której promienie równoległe są używane do rzutowania na płaszczyznę (tabela obrazu), projekcja centralna wykorzystuje promienie (linie proste) przechodzące przez stały punkt , czyli punkt oka. Projekcja środkowa tworzy obrazy, które powstają również podczas patrzenia jednym okiem w punkt oka. Podczas gdy równoległe linie proste są mapowane na to samo w projekcji równoległej, równoległe linie proste, które nie biegną równolegle do tablicy obrazowej, są mapowane na linie proste, które przecinają się w punkcie, punkcie zbiegu , w rzucie centralnym lub w perspektywie centralnej . Rzuty środkowe znacznie lepiej oddają wrażenie przestrzenne obiektu niż rzut równoległy (patrz rząd domów). Projekcja środkowa odpowiada obrazowi otoczenia przez ludzkie oko, dając tym samym naturalne wrażenie obrazowe. Znajduje zastosowanie w technice i architekturze , w kartografii , w malarstwie i rysunku , a także w grafice komputerowej . ${\ styl wyświetlania O}$

Oznaczenia

Rzut centralny: oznaczenia

Znikanie i śledzenie punktów linii prostych

Dom z dwoma punktami zbiegu lub jednym punktem zbiegu

Przykład z kręgiem wizji

Odmiana płyty obrazowej i punktu ocznego

Jak działa kamera otworkowa

Punkt oka , środek promieni projekcyjnych projekcji centralnej, jest zwykle oznaczony przez O, co tworzy relację z okiem (łac. oculus = oko). Punkt pionu od punktu ocznego do tablicy obrazowej nazywany jest punktem głównym , ponieważ odgrywa ważną rolę w tworzeniu projekcji centralnej i późniejszym oglądaniu. Głównym punktem jest, że tak powiem, środek obrazu. Odległość między punktem oka a tabelą obrazu nazywana jest odległością (bieżącej projekcji centralnej). Jeśli główny punkt jest zaznaczony na zdjęciu, a odległość jest znana, wiesz, gdzie ustawić oko patrząc na zdjęcie, aby uzyskać doskonałe wrażenie. Punkt zaniku równoległej wiązki w linii, która nie jest równoległa do tablicy obrazu jest wspólnym punktem przecięcia towarzyszącym linii obrazu i jest zawsze punktem przecięcia z tabeli obrazu (punkt śledzenia) linii prostej wiązki który zawiera punkt oka (patrz zdjęcie). Linie proste, które są równoległe do ilustracji, nie mają punktów zbiegu lub mówi się, że skojarzony z nimi punkt zbiegu znajduje się w „nieskończoności”. Linia prosta biegnąca prostopadle do stołu nazywana jest linią głębokości . Punktem zbiegu wszystkich warstwic jest punkt główny. W wielu obiektach ważną rolę odgrywają poziome linie proste, a tym samym ich punkty zbiegu. Znikające punkty wszystkich kierunków poziomych tworzą razem horyzont h , poziomą linię prostą. Jeśli plansza jest pionowa, główny punkt zawsze znajduje się na horyzoncie. Prostopadłościany mają a) trzy naturalne znikające punkty, jeśli żadna z krawędzi nie jest równoległa do planszy (patrz rysunek sześcianu na pierwszym rysunku), b) dwa znikające punkty, jeśli jedna krawędź jest równoległa do planszy (patrz pierwszy dom ), c) znikający punkt, jeśli dwa kierunki biegną równolegle do planszy z obrazkami (patrz 2. dom). Ostatni przypadek to perspektywa frontalna . Przeważnie rzuty centralne obiektów wykonywane są za pomocą elewacji i rzutów kondygnacji. Poziom rzutu kondygnacji określany jest jako poziom stoiska (widza) na podstawie fotografii . Linia przecięcia (linii prostej toru) planu kondygnacji (płaszczyzny stojącej) z tablicą obrazową jest często wrysowana na obraz ze względów technicznych i nazywana jest linią stojącą . Linia bazowa i horyzont są zawsze do siebie równoległe. Za pomocą promieni przechodzących przez punkt oka O, wszystkie punkty przestrzeni z wyjątkiem punktów w płaszczyźnie równoległej do tabeli obrazu mogą być odwzorowane przez punkt oka. Punkty na tej płaszczyźnie nazywane są punktami zbiegu, a płaszczyzna nazywana jest płaszczyzną zbiegu . Patrząc na projekcję centralną, często ma się wrażenie, że obszary peryferyjne wydają się zniekształcone. Wynika to zawsze z faktu, że nie umieściłeś oka w punkcie ocznym. Doświadczenie pokazało, że obszar obrazu, który nadal można zobaczyć, gdy oko znajduje się w punkcie ocznym, a główny punkt jest nieruchomy, jest ograniczony w kształcie stożka. Przecięcie tego stożka widzenia z ilustracją to okrąg widzenia (patrz zdjęcie mostu). Jego promień wynosi około 0,58 * odległość. Odpowiada to połowie kąta rozwarcia stożka widzenia 30°. ${\ styl wyświetlania \ pi _ {v}}$${\ styl wyświetlania \ pi _ {v}}$

W geometrii reprezentacyjnej obiekty są zawsze pokazywane „przed” płaszczyzną znikającą , tj. H. Obiekt i deska kreślarska znajdują się po tej samej stronie płaszczyzny znikającej. W fotografii przedmiot i obraz są zawsze po przeciwnych stronach . W rezultacie obrazy fotograficzne w aparacie są zawsze „do góry nogami”, co nie ma wpływu na to, jak będą później oglądane, ponieważ obraz jest wtedy po prostu trzymany „w odpowiedni sposób”. ${\ styl wyświetlania \ pi _ {v}}$${\ styl wyświetlania \ pi _ {v}}$

Zaletą projekcji centralnej jest to, że zapewnia bardzo wyraźne obrazy, czyli obrazy imitujące widzenie (jednym okiem) lub robienie zdjęć. Nie można jednak odczytać długości z rzutu centralnego lub nawet samych stosunków długości. W przeciwieństwie do projekcji równoległej, która jest prawdziwa dla zależności , przy projekcji centralnej tylko stosunek podwójny (stosunek stosunków) pozostaje niezmienny.

Rzut środkowy pokazuje zbyt duże obiekty w obszarze krawędzi, dlatego pola szachownicy, która jest równoległa do planszy obrazowej, są pokazane w tej samej wielkości i kwadratu. W rzeczywistości pola, które są dalej od głównego punktu, są również dalej od widza i musiałyby być mniejsze na tablicy obrazowej, aby uzyskać naturalny obraz. Rzeczywiście, ten efekt jest widoczny na zdjęciach wykonanych obiektywami typu rybie oko . Jednak ludzkie oko koryguje powstałe krzywe krawędzie podczas patrzenia na duże, bliskie obiekty, dzięki czemu perspektywa rybiego oka nie wydaje się naturalna.

W związku z tym wiele obiektywów szerokokątnych przybliża perspektywę centralną, powiększając obszary obrazu w pobliżu krawędzi, tak że linie proste leżące równolegle do stołu obrazu są również pokazywane tak prosto, jak to możliwe. Choć prowadzi to do pewnych zniekształceń w rogach obrazu, w fotografii architektonicznej nie są one postrzegane jako dokuczliwe i powodują pewien, być może pożądany dramat w fotografii krajobrazowej, podczas gdy przedstawianie grup osób z szerokokątnym obiektywem często prowadzi do niezadowalające wyniki. Nagrania wideo z szerokim kątem prowadzą do nienaturalnego „płynięcia” obiektów podczas panoramowania. Opisane zależności są bardziej widoczne dla ogniskowych ze stożkami widzenia niż dla człowieka.

O znaczeniu punktu głównego, odległości i punktu oka

Zdjęcie z wariacjami domu pokazuje znaczenie głównych parametrów punktu głównego, odległości i punktu oka. Jeśli przytrzymasz punkt oka i przesuniesz panel obrazu w kierunku punktu oka, to znaczy. H. jeśli odległość zostanie skrócona, obraz jest jedynie redukowany do obrazu podobnego do pierwszego obrazu. Kąty są zachowane. Jeśli natomiast trzymamy kliszę obrazową i przesuwamy punkt oczny w kierunku punktu głównego, tj. H. Tutaj również skraca się dystans, tworząc obraz z nowym efektem wizualnym. Obraz nie jest już podobny do pierwszego obrazu. Odpowiednie kąty nie są już takie same. Przesunięcie głównego punktu wzdłuż linii prostej jedynie zmniejsza lub powiększa obraz. Przesunięcie wzdłuż punktu oka powoduje znaczną zmianę obrazu. ${\ styl wyświetlania O}$${\ styl wyświetlania O}$${\ styl wyświetlania OH}$${\ styl wyświetlania OH}$

Budowa rzutu centralnego obiektu

Konstrukcja rzutu centralnego obiektu jest znacznie bardziej złożona niż rzut równoległy. Istnieje na to proces podobny do procesu nacinania w przypadku projekcji równoległych: układ architekta . Podobnie jak w przypadku nacięcia, plan piętra i elewacja muszą być specjalnie ustawione. Do budowy obrazu łączy się tylko punkty i przecina proste linie. Paralele odgrywają ważną rolę w ułatwianiu projekcji równoległej. Są również bardzo pomocne w projekcji centralnej dzięki swoim punktom zbiegu. Inną stosunkowo prostą metodą jest perspektywa frontalna . Jest podobny do perspektywy kawalera dla projekcji równoległej (patrz aksonometria ). W perspektywie czołowej panel obrazu nawiązuje do zasadniczej płaszczyzny obiektu, np. B. front domu, paralela lub panel obrazowy i ten zasadniczy poziom są identyczne. Ta ostatnia ma tę wielką zaletę, że możesz po prostu rozszerzyć elewację obiektu do perspektywy frontalnej. Inną ważną zaletą perspektywy frontalnej jest to, że okręgi na poziomie podstawowym są mapowane z powrotem do okręgów (patrz przykład w perspektywie frontalnej). Jednak jest też wada: mocno podkreślona jest przednia płaszczyzna obiektu. W przypadku rzutu centralnego z dwoma istotnymi punktami zbiegu zwykle tak nie jest.

Formuły projekcyjne

Do wzorów projekcyjnych: Podstawa tabeli obrazkowej

W celu analitycznego opisu rzutu centralnego wybieramy w tabeli obrazu

• główny punkt jako początek współrzędnych nowego układu współrzędnych i${\ styl wyświetlania H: {\ mathbf {h}}}$
• normalny wektor jednostkowy tabeli obrazów wskazujący od do punktu oka .${\ styl wyświetlania \ mathbf {n} _ {0}}$${\ styl wyświetlania H}$${\ styl wyświetlania O}$

Z odległością obowiązuje: .${\ styl wyświetlania d}$${\ displaystyle O: {\ mathbf {h}} + d {\ mathbf {n}} _ {0}}$

• Dodajemy wektory jednostkowe w taki sposób, aby${\ styl wyświetlania {\ mathbf {n}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}}$

a) jest poziomy i b) tworzą układ ortonormalny (patrz rysunek).${\ styl wyświetlania {\ mathbf {e}} _ {1}}$${\ displaystyle \ {{\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {0} \}}$

Rzut centralny punktu obiektu odbywa się w dwóch krokach: ${\ styl wyświetlania P}$

1. Przekształcenie współrzędnych punktu w układ z punktem zerowym i bazą : ${\ displaystyle P: {\ mathbf {p}} = (x, y, z)}$${\ displaystyle (H; {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {0})}$${\ styl wyświetlania H}$${\ displaystyle \ {{\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {0} \}}$

   ${\ displaystyle {\ mathbf {p}} = (x, y, z) \ do {\ bar {\ mathbf {p}}} = ({\ bar {x}}, {\ bar {y}}, { \ słupek {z}})}$ z

   ${\ displaystyle {\ bar {x}} = ({\ mathbf {p}} - {\ mathbf {h}}) \ cdot {\ mathbf {e}} _ {1}, \ quad {\ bar {y} } = ({\ mathbf {p}} - {\ mathbf {h}}) \ cdot {\ mathbf {e}} _ {2}, \ quad {\ bar {z}} = ({\ mathbf {p} } - {\ mathbf {h}}) \ cdot {\ mathbf {n}} _ {0},}$

2. Rzut centralny w układzie na - płaszczyznę: ${\ displaystyle (H; {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {0})}$${\ displaystyle {\ bar {x}} - {\ bar {y}}}$

   ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {p}}} = ({\ bar {x}}, {\ bar {y}}, {\ bar {z}}) \ do \ w lewo ({\ frac {\ bar {x}} {1 - {\ bar {z}} / d}}, {\ frac {\ bar {y}} {1 - {\ bar {z}} / d}} \ prawy)}$

Dokładny opis takiego wektora normalnego uzyskuje się za pomocą współrzędnych kątowych w sferycznych współrzędnych . Kąt opisuje (w radianach) długość i szerokość geograficzną: ${\ styl wyświetlania {\ mathbf {n}} _ {0}}$${\ styl wyświetlania u, v}$${\ styl wyświetlania}$${\ styl wyświetlania v}$

${\ displaystyle {\ mathbf {n}} _ {0} = (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v), \ quad u \ in [0,2 \ pi], v \ in \ po lewej [{\ frac {- \ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ po prawej]}$

Dla wektorów otrzymujemy wtedy: ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1} = (- \ sin u, \ cos u, 0), \ quad {\ mathbf {e}} _ {2}: = (- \ cos u \ sin v, - \ sin u \ sin v, \ cos v)}$.

Aby ustalić określoną projekcję centralną,

a) punkt główny , b) odległość ic) podane są dwa kąty .${\ styl wyświetlania H}$${\ styl wyświetlania d}$${\ styl wyświetlania u, v}$

Tak więc wymagane jest łącznie 6 liczb.

Uwaga: W formuły prostopadły równoległych uzyskano. Ponieważ główny punkt nie odgrywa już tutaj żadnej roli, możesz obstawiać. Można zauważyć, że prostopadły rzut równoległy jest opisany przez odwzorowanie liniowe . Nie dotyczy to projekcji centralnej. Jednak: Używając jednorodnych współrzędnych , jak to zwykle bywa w wizji komputerowej, można również wyświetlić centralną projekcję jako obraz liniowy (patrz macierz projekcji_ (wizja komputerowa) ). ${\ displaystyle d \ do \ infty}$${\ styl wyświetlania H: (0,0,0)}$

Uwaga: Podczas oceny obrazów pomiarowych w fotogrametrii używane są inne parametry, patrz Orientacja .

Zastosowania projekcji centralnej

wyraźnie rozpoznawalne wyrównanie rzutu centralnego

Typowe zastosowania projekcji centralnej można znaleźć:

• w geometrii wykreślnej
• w architekturze do perspektywicznej reprezentacji graficznej obiektów,
• w malarstwie i rysunku
• w grafice komputerowej i wizji komputerowej
• w fotografii z. B. w rekonstrukcji budynków ze zdjęć
• w fotogrametrią np B. w ocenie i pomiarze obrazów (lotniczych), w prostowaniu zapisów ukośnych ,
• w kartografii ( zwanej tam projekcją azymutalną ), do projektowania sieci map ( projekcja gnomoniczna ; projekcja stereograficzna ),
• w gnomonice teorii zegara słonecznego, aby przedstawić słońce na tarczy.

literatura

• Fucke, Kirch, Nickel: geometria opisowa . Fachbuch-Verlag, Lipsk 1998, ISBN 3-446-00778-4 .
• Cornelie Leopold: Geometryczne podstawy reprezentacji architektonicznej. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X .
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas dtv dla matematyki, tablicy i tekstów, tom I, podstawy, algebra i geometria. Deutscher Taschenbuch Verlag, Monachium 1982.
• W. Rüger, J. Pietschner, K. Regensburger: Fotogrametria, procedury i urządzenia. VEB Verlag für Bauwesen, Berlin 1978.

linki internetowe

• Geometria opisowa dla architektów (PDF; 1,5 MB). Skrypt (Uni Darmstadt)
• CDKG: Wspomagana komputerowo geometria opisowa i konstruktywna (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), s. 37-39