Modelowanie geometryczne
Modelowanie geometryczne, również znane w języku angielskim projektowanie geometryczne wspomagane komputerowo (CAGD), odnosi się do komputerowego opisu kształtu obiektów geometrycznych. Zajmuje się opisem dwuwymiarowych krzywych oraz trójwymiarowych powierzchni i ciał . Modelowanie geometryczne jest używany w grafice komputerowej , projektowania wspomaganego komputerowo (CAD), do elementów skończonych metody i innych dziedzinach inżynierskich i naukowych.
Dowolne krzywe i powierzchnie
Swobodne krzywe i powierzchnie można opisać za pomocą splajnów , czyli tutaj funkcji wielomianów odcinkowych . Zasada może zostać rozszerzona z dwuwymiarowych krzywych na trójwymiarowe powierzchnie.
Krzywe Hermite'a
Sześcienne krzywe hermitowskie składają się z wielomianów hermitowskich trzeciego stopnia. Każdy wielomian jest określany przez punkt początkowy i końcowy oraz odpowiednią styczną. Kiedy wielomiany hermitowskie są składane razem w celu utworzenia splajnu, styczne dwóch sąsiednich wielokątów są równe. Istnieją różne opcje wyboru stycznych. Najprościej jest zrównać styczną z linią prostą łączącą najbliższe punkty kontrolne, ale opracowano inne metody:
- W przypadku splajnów kardynalnych styczne są określane przez parametr c od 0 do 1, który określa „rozciąganie” w punkcie kontrolnym.
- Krzywe Catmull-Rom to szczególny przypadek splajnów kardynalnych, gdzie c = 0. Są częstoużywane jakokrzyweanimacjiwanimacji komputerowej, ponieważ przebiegają precyzyjnie przez punkty kontrolne, a ich wyprowadzanie jest ciągłe .
- Krzywe Kochanka-Bartelsa , zwane również krzywymi TCB, oferują dalszą parametryzację krzywych Hermite z trzema parametrami rozciągania, ciągłości i odchylenia.
Krzywe Beziera
Bézier krzywa n-tego stopnia jest parametrycznej krzywej , który jest zdefiniowany przez n +1 punktów kontrolnych. Wielokąt łączący punkty kontrolne nazywany jest wielokątem kontrolnym. Podczas gdy liniowa krzywa Béziera, czyli krzywa Béziera pierwszego stopnia, jest prostym odcinkiem między dwoma punktami kontrolnymi, kwadratowa krzywa Béziera opisuje część paraboli . Wiele programów graficznych wykorzystuje sześcienne krzywe Beziera.
Krzywa Béziera interpoluje poszczególne punkty kontrolne za pomocą wielomianów Bernsteina , które określają wpływ punktów kontrolnych w zależności od parametrów krzywej. Poza punktem początkowym i końcowym, krzywa generalnie nie przechodzi przez punkty kontrolne, ale jest zawarta w ich wypukłym kadłubie . Algorytm De Casteljau może być użyty do narysowania krzywej Béziera, która aproksymuje krzywą Béziera za pomocą wielokąta.
Krzywe Béziera są niezmienne w mapach afinicznych . Oznacza to, że odwzorowanie afiniczne punktów kontrolnych daje taką samą krzywą, jak odwzorowanie afiniczne oryginalnej krzywej. Problem z krzywymi Béziera polega na tym, że przy określonym położeniu punktów kontrolnych możliwe są punkty dotykowe lub dwukropki. Lokalne zmiany punktów kontrolnych mają niepożądany wpływ na całą krzywą, ale mają jedynie lokalne znaczenie.
Krzywe B-splajn i NURBS
Krzywe B-splajn zapewniają lepszą lokalizację i sterowalność w porównaniu z krzywymi Béziera: zmiany mają tylko efekt lokalny i tylko część krzywej musi zostać ponownie obliczona. Podobnie jak krzywe Hermite'a, krzywe B-splajn są składane razem z pojedynczych wielomianów. Szwy nazywane są węzłami . W ten sposób unika się niepożądanych oscylacji ( zjawiska Runge'a ) z dużą liczbą węzłów. Krzywe B-sklejane są liniowo ważoną kombinacją podstawowych funkcji zwanych B-sklejanymi . Podstawowymi funkcjami są wielomiany odcinkowe z małą nośną . Zmiany poza belką nie wpływają na krzywą B-splajn.
Jednolite podstawowe funkcje są przesuniętymi kopiami, z których każda jest wyśrodkowana w węźle. Jednolite, liniowe funkcje bazowe to trójkątne funkcje, które są wyśrodkowane w określonym węźle i mają wsparcie, które rozciąga się na trzy węzły. Podstawowe funkcje kwadratowe i sześcienne składają się z odpowiednio wyższych wielomianów, ale zawsze wyśrodkowanych w węźle. Natomiast niejednolite funkcje podstawowe mają różne formy. Krzywe B-splajn można przekształcić w wielokąt przy użyciu algorytmu De-Boora .
Rozszerzeniem są wymierne krzywe B-splajn lub ogólnie niejednolite wymierne krzywe B (NURBS), których parametryczna reprezentacja jest ułamkiem matematycznym. NURBS są wystarczająco ogólne, aby opisać wszystkie typowe krzywe i powierzchnie. Niektóre nowsze narzędzia do modelowania używają go jako jedynej wewnętrznej metody reprezentacji.
Schematy reprezentacji
Opracowano różne metody reprezentowania ciał (schematy reprezentacji), które różnią się pod względem wymagań dotyczących przechowywania, dokładności numerycznej , złożoności i możliwości konwersji na inne schematy reprezentacji. Kolejną właściwością schematu reprezentacji jest możliwość sprawdzenia poprawności modelu, czyli zdefiniowania „rzeczywistego”, fizycznie możliwego obiektu.
Rozróżnia się schematy reprezentacji bezpośredniej, które opisują samą objętość, oraz schematy pośrednie, w których opis odbywa się poprzez krawędzie i powierzchnie. Możliwe są również schematy hybrydowe, które łączą obie metody.
Schematy bezpośredniej reprezentacji
Schemat normalnego wyliczania komórek
W normalnym schemacie wyliczania komórek przestrzeń jest podzielona na równomiernie podzieloną siatkę komórek ( woksele ). Ciało jest reprezentowane przez zestaw komórek. Im mniejsze woksele, tym lepsze przybliżenie ciała. Schemat wyliczenia zajmuje dużo pamięci.
Konstruktywna geometria bryłowa
W przypadku konstruktywnej geometrii bryłowej (CSG) obiekty są modelowane za pomocą podstawowych ciał, takich jak kule, prostopadłościany lub cylindry, a także operatorów, takich jak przecięcie, suma lub różnica. Treść CSG można opisać za pomocą formuły, która stosuje operatory do podstawowych treści i zilustrowana jako drzewo.
CSG jest szczególnie powszechny w obszarze CAD. Dochodzenie wykazało, że 63% wszystkich komponentów mechanicznych można modelować za pomocą systemu CSG, który wykorzystuje tylko prostopadłościany i proste okrągłe cylindry . Jeśli dozwolonych jest więcej korpusów podstawowych, 90% wszystkich komponentów w klasycznej inżynierii mechanicznej (głównie wiercenie , frezowanie , toczenie elementów lub ich form) można naturalnie opisać za pomocą CSG.
Ogromną zaletą CSG nad innymi schematami wyświetlania jest to, że gwarantowana jest ich poprawność, pod warunkiem, że dozwolone są tylko niektóre podstawowe elementy. Jeśli na przykład R-Sets są używane jako podstawowa treść, ich właściwości gwarantują, że odpowiednie drzewo CSG jest poprawne. Ponadto korpusy CSG są bardzo kompaktowe i łatwe w produkcji. Jednak wiele metod renderowania nie radzi sobie bezpośrednio z CSG i wymaga najpierw konwersji ciał CSG na B-rep, co jest stosunkowo trudnym zadaniem.
Do lat 80-tych większość narzędzi do modelowania była oparta albo na reprezentacjach granic, albo na CSG.
Modelowanie generatywne
Model generatywny to kształt utworzony przez ciągłe przekształcanie kształtu zwanego generatorem . Wymiar modelu nie ma znaczenia. Modelowanie odbywa się na wysokim poziomie i jest rozszerzalne. Korzystając z języka programowania, takiego jak Generative Modeling Language , użytkownik może łatwo zbudować bibliotekę przydatnych kształtów.
Geometrie shift, zwane również wymiata , to przypadek szczególny modeli generatywnych. Tworzy się je poprzez przesuwanie krzywej lub objętości wzdłuż krzywej.
Szczególnym przypadkiem przeciągnięć są powierzchnie obrotowe, które są tworzone przez obrót o określoną wielkość wokół dowolnej osi.
Siatka woksela
Siatki woksela są przestrzennymi i podobnymi do siatki wartościami, które opisują „gęstość” obiektu i mogą być przedstawiane za pomocą grafiki objętościowej . Siatki wokselowe umożliwiają „wycinanie” części obiektów i zajrzenie do wnętrza. Operacje CSG są również łatwe do wdrożenia. Jednak kraty wokselowe wymagają dużo miejsca do przechowywania i mają zwykle niepożądane efekty aliasingu . W niektórych aplikacjach zwiększone zapotrzebowanie na pamięć można zmniejszyć , stosując oktrees . Modelowanie z wykorzystaniem siatek wokseli jest stosowane głównie w medycynie, dynamice płynów i reprezentacji obiektów naturalnych, takich jak chmury.
Schematy reprezentacji pośredniej
Model szkieletowy
Modelu szkielet określa korpus wyłącznie przez jego krawędzie. Model ten oferuje zalety pod względem szybkości, ponieważ wyświetlacz jest bardzo wydajny. Jednym z problemów z tym schematem jest jego niejednoznaczność. Model szkieletowy może przedstawiać kilka różnych brył, ponieważ nie jest jasne, gdzie znajdują się powierzchnie. Obliczenie ukrycia jako powierzchnie nie jest więc możliwe, ale algorytm linia haloed mogą być użyte.
Renderowanie powierzchni
Reprezentacja powierzchni, zwana także reprezentacją granic lub B-rep , to opis obiektu oparty na jego powierzchni; Dlatego powtórzenia B są „puste”. B-powtórzenia są prawdopodobnie najpopularniejszym schematem reprezentacji używanym w grafice komputerowej. W szczególności często stosuje się siatki wielokątne .
B-powtórzenia dobrze nadają się do wydajnego renderowania ogólnych powierzchni i pozwalają na lokalne zmiany w modelu. Wadami B-reps są ich duże wymagania dotyczące pamięci i trudności w weryfikacji ich poprawności.
Schematy reprezentacji oparte na tzw. Operacjach Eulera są wykorzystywane do przynajmniej częściowego zagwarantowania poprawności przy modelowaniu ciał jako B-rep. Chodzi o to, aby zezwolić tylko na tak zwane operacje Eulera, które zachowują cechy Eulera lub zmieniają je w określony sposób.
Techniki modelowania
Poligonizacja
Wiele algorytmów w grafice komputerowej, w tym niektóre metody renderowania, działa wyłącznie z siatkami wielokątów. Również metody elementów skończonych oparte na tej prezentacji. Opracowano liczne algorytmy poligonizacji, które dają wyniki o różnej jakości. Ogólnie rzecz biorąc, metoda poligonizacji powinna zapewnić dobre przybliżenie kształtu oryginalnego obiektu, wytwarzać wielokąty o zrównoważonym, niezbyt wąskim kształcie i respektować lokalną topologię oryginalnego obiektu, tj. Nie tworzyć żadnych przerw ani przerw. Przykładami algorytmów poligonizacji są
- kostka cięcie algorytm M. Schmidt i
- śledzenia algorytm E. Hartmanna. Proszę odnieś się
Modelowanie fizyczne
Metody modelowania, które oprócz statycznych uwzględniają również właściwości dynamiczne obiektów, nazywane są fizycznymi. Obiekty mogą być nie tylko sztywne, ale także elastyczne. Przykładem jest kawałek materiału, który jest nakładany na inne przedmioty i którego fałdy są obliczane automatycznie.
Zobacz też
literatura
- Stephan Abramowski, Heinrich Müller: Modelowanie geometryczne. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1991
- Max Agoston: Grafika komputerowa i modelowanie geometryczne: implementacja i algorytmy. Springer, Londyn 2005, ISBN 1-85233-818-0
- Max Agoston: Grafika komputerowa i modelowanie geometryczne: matematyka. Springer, Londyn 2005, ISBN 1-85233-817-2
- Gerald Farin: Krzywe i powierzchnie w projektowaniu geometrycznym wspomaganym komputerowo. Academic Press, San Diego 1997, ISBN 0-12-249054-1
- Josef Hoschek, Dieter Lasser: Podstawy geometrycznego przetwarzania danych. Teubner, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-12962-0
- Michael Mortenson: Modelowanie geometryczne. Industrial Press, Nowy Jork 2006, ISBN 0-8311-3298-1
linki internetowe
- Erich Hartmann: Geometria i algorytmy dla CAD . (PDF; 2,87 MB) Nota z wykładu, 2003, TU Darmstadt
- Podstawy geometrii swobodnej do modelowania klimatu i terenu . (PDF; ~ 700 kB) Podsumowanie, 2015, Wiedeń
Odniesienia i komentarze
- ↑ „B-sklejane” są często używane do opisania nie tylko podstawowych funkcji, ale także składających się z nich krzywych B-sklejanych. Pojęcia „funkcje podstawowe” i „krzywe B-splajn” są tutaj używane do rozróżnienia.
- ^ MM Samuel i in.: Metodologia i wyniki badania części przemysłowych. W: Memorandum techniczne 21, Projekt automatyzacji produkcji, University of Rochester, Nowy Jork 1976. Cytowane w: Max Agoston: Computer Graphics and Geometric Modeling: Implementation and Algorithms, s. 169
- ^ Max Agoston: Grafika komputerowa i modelowanie geometryczne: wdrażanie i algorytmy, s.166
- ^ M. Schmidt: Cutting Cubes - wizualizacja niejawnych powierzchni poprzez adaptacyjną poligonizację . Visual Computer (1993) 10, str. 101-115
- ^ E. Hartmann: Marszowa metoda triangulacji powierzchni , The Visual Computer (1998), 14, s. 95-108
- ↑ Geometria i algorytmy dla Computer Aided Design , str. 81