Napięcie powierzchniowe

Podczas swobodnego spadania woda tworzy kropelki, które są w przybliżeniu kuliste ze względu na napięcie powierzchniowe.

Napięcie powierzchniowe jest zjawisko, które występuje w cieczy wskutek cząsteczkowej siły utrzymywania ich powierzchni małe. Powierzchnia cieczy zachowuje się jak rozciągnięta, elastyczna folia. Ten efekt powoduje , na przykład , tworzenie się kropel wody i pomaga zapewnić, że niektóre owady mogą chodzić po wodzie lub że żyletka „unosi się” na wodzie.

Para nartników wodnych wykorzystuje napięcie powierzchniowe

Napięcie powierzchniowe (symbol wzoru: , ) jest zatem napięciem powierzchniowym, które występuje pomiędzy fazą ciekłą i gazową. Mierzy się ją w jednostkach SI kg / s 2 , co odpowiada N / m .

znaczenie

Po lewej: przekrój kropli cieczy. Kierunek działania napięcia powierzchniowego jest pokazany w zakrzywionym punkcie. Po prawej: wynik efektu napięcia powierzchniowego. Kropla przybrała kulisty kształt w wyniku ciągnięcia na powierzchni cieczy.

Napięcie powierzchniowe to siła ciągnąca zlokalizowana na powierzchni cieczy, której kierunek działania jest równoległy do ​​powierzchni cieczy. W związku z tym powierzchnia cieczy jest zawsze naprężona . Powierzchnię cieczy można zatem porównać do lekko rozciągniętej cienkiej folii, tyle że naprężenie nie zależy od wydłużenia.

Napięcie powierzchniowe wody niesie spinacz do papieru paper

Napięcie powierzchniowe nadaje płynnej powierzchni szczególne właściwości. Tak więc niezwilżone przedmioty mogą być przenoszone po powierzchni wody, o ile ich ciężar nie wystarcza do pokonania napięcia powierzchniowego. Staje się to jasne, gdy np. spinacz do papieru - zrobiony z zatłuszczonego żelaznego drutu - zostanie umieszczony na powierzchni wody. Nie jest zwilżony lub tylko częściowo, tonie nieco poniżej poziomu wody, ale zabiera ze sobą powierzchnię, wgniata ją. Napięcie powierzchniowe oddziałuje na spinacz z pionowymi składowymi siły i przenosi go. Ten efekt jest również wykorzystywany przez żywe istoty, takie jak stąpający po wodzie, aby móc chodzić po powierzchni wody.

Napięcie powierzchniowe powoduje, że ciecze przybierają kulisty kształt, gdy nie działają na nie inne siły. Jednym z przykładów są krople cieczy w stanie nieważkości stacji kosmicznej . Po rtęci, która jest liderem wśród czystych substancji, woda ma szczególnie wysokie napięcie powierzchniowe. Spada ona znacznie wraz ze wzrostem temperatury i może być znacznie zmniejszona przez dodanie nawet niewielkich ilości substancji powierzchniowo czynnych ( detergentów ).

Praktycznym przykładem są szczególnie małe kropelki wody. Aby to wyjaśnić, pomyśl o cieczy, której kształt nie jest kulisty. Napięcie powierzchniowe działa równolegle do powierzchni cieczy i kompensuje lokalnie odchylone krzywizny .

Gdy na kroplę cieczy działają inne siły, jej kształt odbiega od kulistego. Przykładem są krople deszczu o średnicy powyżej 1 mm oraz krople cieczy na powierzchni ciała stałego, gdzie między ciałem stałym a cieczą działają dodatkowe siły przyciągania ( adhezja ). Kształt kropli bardziej odbiega od kulistego i zwilża powierzchnię ciała stałego, tym większa jest przyczepność ciała stałego do cieczy.

Innym przykładem efektu napięcia powierzchniowego jest sześciokątny kształt komórek plastra miodu pszczoły miodnej . Komórki są najpierw budowane na wosku pszczelim . Jednak materiał poddaje się (płynie) pod wpływem temperatur panujących w ulu i tworzy płaskie powierzchnie ( powierzchnie minimalne ) pomiędzy poszczególnymi komórkami.

Pochodzenie fizyczne

Ciecz zaciśnięta w uchwycie. Siła ciągnie równolegle do filmu cieczy i zwiększa jego powierzchnię (przód i tył) .

Istnieją dwie definicje napięcia powierzchniowego, które są spójne. Z jednej strony istnieje definicja mechaniczna , zgodnie z którą napięcie powierzchniowe jest siłą na długość, oraz termodynamiczna , zgodnie z którą napięcie powierzchniowe jest energią na powierzchnię.

Definicja mechaniczna

Definicja mechaniczna może być wyjaśniona za pomocą wspornika o szerokości, w której zaciskana jest ciekła folia. Jeżeli film cieczy za pomocą siły równoległej do powierzchni i są prostopadłe do celu są rozrywane, praca na folii jest wykonane i zwiększenie powierzchni przez (czynnik 2, ponieważ przednia i tylna część folii). Napięcie powierzchniowe to stosunek . W związku z tym napięcie powierzchniowe jest siłą na długość skierowaną równolegle do powierzchni cieczy.

Słuszność idei napięcia powierzchniowego jako siły równoległej do powierzchni uwidaczniają się w wielu metodach pomiarowych i efektach takich jak metoda prasowania, kapilarność czy kąt zwilżania .

Definicja termodynamiczna

Termodynamiczna koncepcja napięcia powierzchniowego jako energii na powierzchnię wynika z obrazu, że zaburzona jest symetria cząsteczek cieczy na powierzchni cieczy . Brak cząsteczek cieczy prostopadle do powierzchni cieczy i wynikająca z tego „brakująca” energia wiązania muszą być skompensowane energią dodatnią . Do zwiększenia powierzchni cieczy potrzebna jest energia, przy czym napięcie powierzchniowe definiuje się jako energię potrzebną do powiększenia powierzchni cieczy o jednostkę powierzchni. Więc to wynika

,

To pokazuje analogię między ideą „brakującej energii wiązania” a definicją mechaniczną.

Jednak ta jasna interpretacja nie jest jeszcze wystarczająca do termodynamicznego określenia napięcia powierzchniowego. W tym celu ten przechodzi ze zmianą Gibbs swobodnej energii przy stałej temperaturze i stałym ciśnieniu , który jest opisany przez równanie (1), przy czym entalpia , temperaturę i gdy entropia funkcji.

To równanie można przepisać, wstawiając definicję entalpii i biorąc pod uwagę, że jest ona aktualna.

Napięcie powierzchniowe powoduje, że napój wybrzusza się na szkle.

Zmiana energii wewnętrznej jest używany, gdzie stoi za wykonaną pracę. Poniższe informacje dotyczą ilości ciepła . Wynika:

Wyrażenie „praca” można podzielić na określenie „praca objętościowa” i „praca nieekspansywna” .

Przy stałej temperaturze i stałym ciśnieniu zmiana entalpii swobodnej odpowiada pracy nieekspansywnej. To wyrażenie można teraz odnieść do napięcia powierzchniowego . Jeśli do powiększenia powierzchni cieczy używana jest tylko praca, odpowiada to wyrażeniu . Ponieważ napięcie powierzchniowe jest teraz zdefiniowane jako praca na jednostkę powierzchni, nadal należy brać pod uwagę powierzchnię cieczy. Wynika więc z tego:

Napięcie powierzchniowe jest zatem określane termodynamicznie jako cząstkowa pochodna entalpii swobodnej według powierzchni w stałej temperaturze i stałym ciśnieniu.

Molekularna teoria napięcia powierzchniowego

Schematyczne przedstawienie potencjału Lennarda-Jonesa w funkcji odległości r .

Idea brakujących cząsteczek cieczy na powierzchni prowadzi intuicyjnie do założenia, że ​​napięcie powierzchniowe jest siłą prostopadłą do powierzchni cieczy. Nie zgadza się to jednak z mechaniczną definicją napięcia powierzchniowego. Aby zharmonizować definicję mechaniczną z termodynamiczną, należy wziąć pod uwagę, że w cieczy na cząsteczkę działają zarówno siły przyciągania, jak i odpychania. Podczas gdy w ciele stałym działają lokalnie siły przyciągania lub odpychania, ponieważ cząsteczki są w stałych miejscach, w cieczy cząsteczki są ruchome. Odległości między cząsteczkami cieczy mogą się zmieniać, a zatem na cząstkę cieczy mogą działać siły odpychające, a także przyciągające. Fakt ten można również zilustrować potencjałem Lennarda-Jonesa . To ogólnie opisuje potencjał między dwiema nienaładowanymi cząstkami jako funkcję ich odległości. Jeśli cząstki zetkną się na krótkich dystansach, odpychają się nawzajem, natomiast na większych przyciągają. Podczas gdy odległość między dwiema cząsteczkami jest ustalona w ciele stałym, w cieczy może się ona zmieniać pod wpływem ruchu termicznego , co umożliwia działanie zarówno sił przyciągania, jak i odpychania na cząsteczce cieczy. Zdjęcie po prawej pokazuje schematyczne przedstawienie potencjału Lennarda-Jonesa, który wyjaśnia siły między cząsteczkami cieczy. Jeśli cząsteczki cieczy są w kontakcie, odpychają się (obszar pomarańczowy), natomiast na duże odległości przyciągają się (obszar niebieski). W cieczy odległości między cząstkami stale się zmieniają pod wpływem ruchu ciepła, co pokazuje czarna podwójna strzałka na rysunku. W ten sposób na cząsteczkę cieczy mogą działać zarówno siły przyciągania, jak i odpychania.

Siły odpychające można interpretować jako siły kontaktowe. Z tego powodu ich oddziaływanie w przestrzeni można postrzegać jako niezależne od kierunku, czyli izotropowe. Siły przyciągania w cieczy działają na dalsze odległości, są uwarunkowane strukturą cząsteczek i mogą być postrzegane jako zależne od kierunku w przestrzeni, czyli anizotropowe.

Przedstawienie sił działających na cząsteczkę na powierzchni cieczy i we wnętrzu cieczy.

Na granicy faz pomiędzy cieczą a fazą gazową gęstość cieczy zmienia się gwałtownie w zakresie kilku długości cząsteczek, aż do uzyskania stałej wartości wewnątrz cieczy. Powoduje to, że siły odpychania w cieczy również gwałtownie rosną na powierzchni, aż osiągną stałą wartość wnętrza cieczy, przy czym wzrost ten jest taki sam we wszystkich kierunkach przestrzennych ze względu na izotropowy charakter sił odpychania. Obraz po prawej stronie służy jako dalsze wyjaśnienie, na którym zilustrowano siły działające na cząsteczkę cieczy na powierzchni i wewnątrz. Symetria jest zaburzona na powierzchni cieczy, to znaczy cząsteczki nie mają sąsiednich cząsteczek w kierunku pionowym. Tak więc w kierunku pionowym na cząsteczki działają tylko siły odpychające od dołu (szara strzałka). W celu utrzymania równowagi sił siły odpychające są równoważone w kierunku pionowym przez siły przyciągające (strzałka pomarańczowa). Nie jest to konieczne w kierunku poziomym, tj. równolegle do powierzchni, ponieważ symetria nie jest zaburzona. Oznacza to, że w kierunku poziomym na cząsteczki cieczy na powierzchni działają ze wszystkich stron siły odpychające. Oprócz sił odpychających siły przyciągania działają również w kierunku poziomym. Nie są one jednak konieczne do utrzymania równowagi sił, a ze względu na ich anizotropowy charakter mogą zatem być większe niż siły odpychające. Oznacza to, że na powierzchni cieczy w kierunku poziomym siły przyciągania na cząsteczkach cieczy są większe niż siły odpychania. We wnętrzu cieczy siły przyciągania i odpychania na cząsteczce są równe.

Ilustracja napięcia powierzchniowego jako siły równoległej do powierzchni cieczy.
Schematyczne przedstawienie zmiany gęstości i napięcia powierzchniowego na powierzchni cieczy.

Aby lepiej zrozumieć napięcie powierzchniowe jako siłę równoległą do powierzchni, jasne jest podzielenie cieczy na dwie połowy, jak pokazano na rysunku po prawej stronie. Tam możesz zobaczyć kropkowaną i nie kropkowaną połowę, przy czym służą one tylko do zaznaczenia dwóch części. Rozważ siły wywierane przez niekropkowaną część na kropkowaną część cieczy. a.) Najpierw linia podziału między dwiema połówkami cieczy jest ułożona równolegle do powierzchni cieczy. Gęstość wzrasta w kierunku wnętrza cieczy, więc siły odpychania (szare) na części kropkowanej również rosną. Są one równoważone siłami przyciągania (pomarańczowy). b.) Jeśli teraz ułożysz linię podziału między połówkami w kierunku pionowym, możesz ponownie przyciągnąć siły odpychające, które działają na kropkowaną część. Ze względu na ich izotropowość ich ilość jest taka sama jak w kierunku pionowym. Jednak siły przyciągania na kropkowanej części nie są z natury izotropowe, a ich wielkość może być większa niż siły odpychające. Widać też, że różnica ta maleje wraz z dalszym wchodzeniem do wnętrza cieczy. Już po kilku długościach cząsteczek siły przyciągania i odpychania równoważą się w kierunku poziomym, gdy gęstość wzrasta w kierunku wnętrza cieczy. c.) Niekropkowana część cieczy wywiera siłę przyciągania na kropkowaną część, która zmniejsza się w kierunku wnętrza cieczy.

Podsumowując można stwierdzić, że w zakresie kilku długości cząsteczek gęstość na powierzchni cieczy (czerwona krzywa na rysunku po prawej) zmienia się aż do osiągnięcia stałej wartości wnętrza cieczy. W rezultacie siła ciągnąca działa na powierzchnię cieczy w kierunku poziomym. Niebieska krzywa na rysunku po prawej opisuje różnicę pomiędzy siłą przyciągania i odpychania, która jest wywierana przez niekropkowaną część cieczy na kropkowaną część w kierunku poziomym. Odpowiada ona napięciu powierzchniowemu i jest zlokalizowana w obszarze kilku średnic molekularnych na powierzchni.

Zależności

Zależność napięcia powierzchniowego od temperatury na przykładzie wody
Zależność napięcia powierzchniowego od temperatury na przykładzie benzenu
(w jednostkach SI: N/m)
  • W kropli cieczy panuje zwiększone ciśnienie na skutek napięcia powierzchniowego, tak jak w bańce mydlanej . Wzrost ciśnienia w kropli cieczy jest opisany równaniem Younga-Laplace'a .
  • Kiedy cząsteczki cieczy tworzą się na jądrach kondensacji , występuje efekt krzywizny . Widać tutaj, że wyższe ciśnienie pary nasyconej występuje na zakrzywionych powierzchniach wytwarzanych kropel cieczy niż w porównaniu z płaską powierzchnią wody.
  • Substancje powierzchniowo czynne , takie jak środki powierzchniowo czynne, zmniejszają napięcie powierzchniowe. Ich działanie można opisać ciśnieniem bocznym przeciwstawnym do napięcia powierzchniowego . nie jest ciśnieniem, ale ma taką samą jednostkę jak napięcie powierzchniowe.
  • Sąsiednia warstwa powietrza jest nasycona parą cieczy. Wnikanie innych oparów z zewnątrz może znacznie zmienić napięcie powierzchniowe.
  • Napięcie powierzchniowe zależy od temperatury i generalnie spada wraz ze wzrostem temperatury. W punkcie krytycznym wynosi zero. Zależność temperaturową opisuje reguła Eötvösa ; powyższe równanie jest szczególnym przypadkiem tej reguły, która dotyczy wody.

wartości

Tabela wartości napięcia powierzchniowego w 20 ° C
ciekły Napięcie powierzchniowe

w mN/m = 10-3  N/m

n -pentan 16.00
n -heksan 18.40
Etanol 22.55
Metanol 22,60
aceton 23.30
benzen 28,90
Glikol etylenowy 48,4
Woda o temperaturze 80 ° C 62,6
gliceryna 63,4
Woda o temperaturze 50 ° C 67,9
Woda o temperaturze 20°C 72,75
Rtęć w 18°C 471.00
Rtęć w 20 ° C 476.00
Galinstan w 20 ° C 718.0

Tak więc woda ma stosunkowo wysokie napięcie powierzchniowe (patrz także tabele ciśnienia wody w WikiBooks).

Pomiary

Napięcie powierzchniowe można mierzyć np. metodą pierścieniową (od Lecomte De Noüy ), płytową (od Wilhelmy) lub metodą wspornikową (od Lenarda), tensjometrem lub metodą kapilarną .

Leżącą lub wiszącą kroplę można również zmierzyć za pomocą oceny optycznej, a tym samym można określić napięcie powierzchniowe cieczy.

Metoda prasowania

Pomiar napięcia powierzchniowego metodą prasowania
Pasek w płynie

Za pomocą sposobu prasowania (znany również jako odrywania sposobem), wieszak z bardzo cienkiego drutu (zwykle wykonane z platyny ) wlutowane jest zawieszony w cieczy, tak że jest ona tylko zanurzone w cieczy i jest zwilżana przez to . Siła rozciągająca na wsporniku jest następnie stopniowo zwiększana dzięki precyzyjnemu wyważeniu sprężyny. Drut jest następnie wyciągany z cieczy i ciągnie za sobą warstewkę cieczy. W pewnym momencie ten film się załamuje.

Pociągając za wspornik, wykonuje się prace przeciw napięciu powierzchniowemu. Napięcie powierzchniowe można następnie obliczyć na podstawie maksymalnej możliwej siły rozciągającej na wsporniku przed pęknięciem filmu cieczy, wymiarów wspornika i gęstości cieczy.

W przypadku cieczy, takich jak etanol i druty o długości 2–3 cm i promieniu 0,1 mm, oczekiwana wartość masy mieści się w zakresie od dwóch do trzech miligramów. Dlatego wymagane są bardzo precyzyjne wagi. Przy niepewności pomiaru wagi 5 mg i pomiarze drutu z dokładnością do 1 µm największy błąd wyniku końcowego wynosi już od 8 do 12%.

Pomiar z efektem kapilarnym

Kapilara w cieczy pomiarowej

Ta metoda pomiaru wykorzystuje efekt kapilarny , tzn. ciecze unoszą się do góry cienkimi rurkami. Potrzebujesz naczynia (np. kuwety ) i jak najcieńszej kapilary . Następnie po prostu umieszcza się go w cieczy i mierzy wysokość wzniesienia.

Ponieważ płyn teoretycznie potrzebuje nieskończenie dużo czasu, aby osiągnąć swój ostateczny poziom, najpierw jest wciągany do kapilary (np. za pomocą strzykawki), a następnie ponownie opada. Napięcie powierzchniowe można następnie odczytać bezpośrednio z wysokości wzniesienia, jeśli znana jest gęstość cieczy i promień kapilary. Ponieważ pomiar jest dość trudny, uważa się, że jednorazowe mikropipety mierzą ich długość. Ponieważ objętość jest znana, w ten sposób można obliczyć promień wewnętrzny.

W kapilarach o promieniu 0,2 mm woda podnosi się do 7 cm. Na przykład katetometr nadaje się do jak najdokładniejszego pomiaru wysokości wzniesienia . Jeżeli gęstość cieczy jest dokładnie znana, a wysokość wzniesienia można odczytać z dokładnością do 0,1 mm, błąd mieści się w dolnym jednocyfrowym zakresie procentowym.

Inne metody

  • Metoda pierścienia Du Noüy : klasyczna metoda pomiaru napięcia międzyfazowego i napięcia powierzchniowego. Bezkrytyczny nawet w trudnych warunkach zwilżania. Mierzona jest siła płynnej lameli podciągniętej przez pierścień.
  • Metoda płytek Wilhelmy'ego : Metoda uniwersalna, szczególnie odpowiednia do pomiarów napięcia powierzchniowego w dłuższym okresie czasu. Mierzona jest siła wynikająca z zwilżenia pionowo zawieszonej płyty.
  • Pomiar kąta zwilżania : dostarcza informacji o zwilżalności substancji. Napięcie powierzchniowe mogą być obliczane z cosinusem kąta kontaktu stosując równanie Younga .
  • Metoda spining-drop : do określania napięć międzyfazowych. Szczególnie nadaje się do niskich do bardzo niskich zakresów pomiarowych. Mierzy się średnicę wirującej kropli w fazie ciężkiej.
  • Metoda zawieszonej kropli : odpowiednia do pomiarów napięcia międzyfazowego i powierzchniowego. Opcje pomiaru nawet przy ekstremalnych ciśnieniach i temperaturach. Optyczne wykrywanie geometrii kropli. Wielkość kropelek kapilarnych jest proporcjonalna do napięcia powierzchniowego.
  • Metoda kropli siedzącej : Wyznaczanie napięć międzyfazowych i powierzchniowych na podstawie profilu kropli spoczywającej na podłożu. W przeszłości popularna metoda pomiaru ciekłych metali i stopów, ponieważ pomiary w wysokich temperaturach i/lub ekstremalnych ciśnieniach można przeprowadzić stosunkowo łatwo tą metodą.
  • Metoda ciśnienia pęcherzykowego : odpowiednia do pomiaru dynamicznego napięcia powierzchniowego (pomiar w zależności od wieku powierzchni). Powszechnie stosowane metody pomiarowe to metoda maksymalnego ciśnienia i metoda różnicy ciśnień.
  • Metoda objętości kropli : doskonała metoda dynamicznego pomiaru napięcia międzyfazowego. Mierzy się liczbę kropel, na które dzieli się dana objętość cieczy.
  • Metoda tuszu testowego : test stosowany w przemyśle (np. przy klejeniu folii samoprzylepnych) do tworzyw sztucznych. Za pomocą pędzla na badaną powierzchnię nakłada się barwną ciecz („atrament”) o określonym napięciu powierzchniowym. Jeżeli powierzchnia jest zwilżona tuszem (tj. pociągnięcie pędzla utrzymuje się przez > 3 sekundy bez kurczenia), napięcie powierzchniowe badanej powierzchni jest równe lub większe niż testowanej tuszu. Jeśli natomiast pociągnięcie pędzla kurczy się w ciągu 3 sekund, napięcie powierzchniowe badanej powierzchni jest niższe niż testowej farby.
  • Metoda ekspandowania / oscylacyjnego spadku (EDM / ODM) : Metoda rejestracji właściwości reologicznych powierzchni cieczy. Opisano zależność napięcia powierzchniowego od stopnia i szybkości rozszerzania się powierzchni kropli, która albo ulega gwałtownemu rozprężeniu, a następnie zatrzymuje się (EDM) lub podlega oscylacjom sinoidalnym (ODM). Za pomocą tej techniki pomiarowej można opisać stabilność piany i stabilność emulsji.
  • Metoda z mieszaniną eteru monoetylowego glikolu etylenowego i formamidu . Obie ciecze mieszają się ze sobą w określonej proporcji. Daje to zdefiniowaną wartość Dyn do określenia napięcia powierzchniowego. Mieszanina jest wytwarzana za pomocą tensjometru.
  • Metoda stalagmometru opiera się również na kształcie kropli.

Historyczny

Termin napięcie powierzchniowe został po raz pierwszy użyty przez Niccolò Cabeo w 1629 roku i wyjaśniony przez Johanna Andreasa von Segnera w 1751 roku . Cenne składki zostały wykonane do teorii w 1805 roku przez Thomasa Younga , w 1806 roku przez Pierre Simon de Laplace , w 1830 roku przez Siméon Denis Poisson (patrz również Young-Laplace'a równanie , równanie Younga ) i od 1842 do 1868 roku przez Josepha Plateau .

Zobacz też

  • Baza danych Dortmundu i DETHERM : Zbiór eksperymentalnie wyznaczonych napięć powierzchniowych
  • DIPPR 801: Parametry do obliczania napięcia powierzchniowego (głównie za pomocą wielomianu)

literatura

  • Cyril Isenberg: Nauka o filmach mydlanych i bańkach mydlanych. Tieto, Clevedon 1978, ISBN 0-905028-02-3 .

linki internetowe

Commons : napięcie powierzchniowe  - album ze zdjęciami, filmami i plikami audio

Indywidualne dowody

  1. ^ B. Lautrup: Fizyka materii ciągłej. CRC Press, Boca Raton 2011, ISBN 978-1-4200-7700-1 .
  2. ^ V. Ribitsch: Notatki z wykładów Uniwersytetu w Grazu. (PDF) Rozdział 3. (Już niedostępny online.) W: kfunigraz.ac.at. Karl-Franzens-University Graz, dawniej w oryginale ; Pobrano 3 lutego 2014 .  ( Strona nie jest już dostępna , szukaj w archiwach internetowych )@1@2Szablon: Toter Link / physchem.kfunigraz.ac.at .
  3. ^ Antonin Marchand, Joost H. Weijs, Jacco H. Snoeijer, Bruno Andreotti: Dlaczego napięcie powierzchniowe jest siłą równoległą do interfejsu? W: American Journal of Physics . taśma 79 , nie. 10 , 1 października 2011, s. 999-1008 , doi : 10.1119 / 1.3619866 , arxiv : 1211.3854 .
  4. Ch.Karcher, V. Kocourek, D. Schulze: Badania eksperymentalne niestabilności elektromagnetycznej powierzchni swobodnych w kropli ciekłego metalu . W: Międzynarodowe Kolokwium Naukowe - Modelowanie dla Obróbki Elektromagnetycznej, 24. – 26. Marzec 2003 . 2003, s. 105-110 ( sci-toys.com [PDF; dostęp 28 marca 2016]).