Antynomia Russella

Na paradoks Russella jest jednym z Bertranda Russella i Ernst Zermelo odkrył paradoks od naiwnej teorii mnogości opublikowany, Russell 1903 i dlatego nosi jego imię.

Pojęcie i problem

Russell ukształtował swoją antynomię z pomocą „klasy wszystkich klas, które nie zawierają siebie jako elementu”, znanej jako klasa Russella ; zdefiniował to formalnie w następujący sposób:

${\ displaystyle R: = \ {\, x \ mid x \ notin x \, \}}$

Klasa Russella jest często definiowana jako „zbiór wszystkich zbiorów, które nie zawierają siebie jako elementu”; odpowiada to ówczesnej teorii mnogości, która jeszcze nie rozróżnia klas i zbiorów . W przeciwieństwie do starszych antynomii naiwnej teorii mnogości ( paradoks Burali-Forti i antynomie Cantora ), antynomia Russella ma charakter czysto logiczny i jest niezależna od aksjomatów zbiorów. Dlatego wywarło to szczególnie silny efekt i nagle doprowadziło do końca naiwnej teorii mnogości.

Russell wyprowadził swoją antynomię w następujący sposób: Załóżmy, że zawiera siebie, a zatem z powodu własności klasowej, która została użyta do zdefiniowania, że to , co jest sprzeczne z założeniem, nie zawiera siebie. Zakładając, że przeciwieństwo jest prawdziwe i nie zawiera siebie, to właściwość klasy spełnia się, więc zawiera się wbrew założeniu. Matematycznie wyraża następującą sprzeczną równoważność: ${\ displaystyle \, R}$${\ displaystyle \, R}$${\ displaystyle \, R}$${\ displaystyle \, R}$${\ displaystyle \, R}$${\ displaystyle \, R}$

${\ displaystyle R \ in R \ iff R \ notin R}$

Do wyprowadzenia tej sprzeczności nie używa się żadnych aksjomatów i twierdzeń teorii mnogości, a jedynie zasada abstrakcji Frege'a , którą Russell przyjął w swojej teorii typów, poza definicją :

${\ displaystyle y \ in \ {\, x \ mid A (x) \, \} \ iff A (y)}$

Historia i rozwiązania

Russell odkrył swój paradoks w połowie 1901 roku, studiując pierwszą antynomię Cantora z 1897 roku. Opublikował ją w swojej książce The Principles of Mathematics w 1903 roku. Już w 1902 roku poinformował listownie Gottloba Frege'a . Miał na myśli pierwszy tom Fregego Podstawowych praw arytmetycznych z 1893 roku, w którym Frege próbował zbudować arytmetykę na systemie aksjomatów teorii mnogości . Antynomia Russella pokazała, że ​​ten system aksjomatów sam sobie zaprzecza. Frege odpowiedział w epilogu drugiego tomu jego Basic Laws of Arithmetic z 1903 roku:

Russell rozwiązał ten paradoks już w 1903 roku dzięki swojej teorii typów ; w nim klasa ma zawsze wyższy typ niż jej elementy; Stwierdzenia typu „klasa zawiera się w sobie”, za pomocą których uformował swoją antynomię, nie mogą być już w ogóle formułowane. Próbował więc, skoro trzymał się zasady abstrakcji Frege'a, rozwiązać problem za pomocą ograniczonej składni dopuszczalnych zdań klasowych. Ograniczona składnia okazała się jednak skomplikowana i nieadekwatna do struktury matematyki i nie utrwaliła się w dłuższej perspektywie.

Równolegle z Russellem Zermelo, który stwierdził, że antynomia jest niezależna od Russella i który znał ją przed publikacją Russella, opracował pierwszą aksjomatyczną teorię mnogości o nieograniczonej składni. Aksjomat wykluczający tej teorii mnogości Zermelo z 1907 roku pozwala jedynie na tworzenie klas ograniczonych w ramach danego zbioru. Pokazał przez pośredni dowód z tą antynomią, że klasa Russella nie jest zbiorem. Jego rozwiązanie zwyciężyło. W rozszerzonej teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZF), która dziś służy jako podstawa matematyki , aksjomat podstawy zapewnia również, że żaden zbiór nie może się zawierać, tak że tutaj klasa Russella jest identyczna z klasą uniwersalną .

Ponieważ antynomia Russella ma charakter czysto logiczny i nie zależy od aksjomatów zbioru, można już udowodnić na poziomie logiki predykatów zgodnych pierwszego rzędu, że klasa Russella nie istnieje jako zbiór. To sprawia, że ​​następująca argumentacja jest zrozumiała, która przekształca drugi pośredni dowód Russella w bezpośredni dowód:

Oświadczenie jest skracane.${\ displaystyle y \ in x \ iff y \ notin y}$${\ displaystyle \, {\ mbox {R}} yx}$

Stwierdzenie poparte jest powyżej sprzeczność. Dlatego, jego negacja jest prawdą .${\ displaystyle \, x}$${\ displaystyle \, {\ mbox {R}} xx}$${\ displaystyle {\ mbox {nie}} \, {\ mbox {R}} xx}$

W związku z tym mogą być wprowadzane egzystencjalny: .${\ displaystyle {\ mbox {są}} y \ colon {\ mbox {nie}} \, {\ mbox {R}} yx}$

Wprowadzając kwantyfikatora następująco: .${\ displaystyle {\ mbox {dla wszystkich}} x \ colon {\ mbox {są}} y \ colon {\ mbox {nie}} \, {\ mbox {R}} yx}$

Poprzez przestawienie kwantyfikatorów i wyeliminowanie skrótu ostatecznie uzyskuje się zdanie .${\ Displaystyle \, {\ mbox {nie ma}} x \ dwukropek {\ mbox {dla wszystkich}} y \ dwukropek (y \ w x \ iff y \ notin y)}$

To zdanie oznacza w języku logiki predykatów: nie ma zbioru wszystkich zbiorów, które nie zawierają siebie jako elementu. Dotyczy to wszystkich nowoczesnych aksjomatycznych teorii mnogości opartych na logice predykatów pierwszego poziomu, na przykład w ZF. Jest to również słuszne w teorii mnogości Neumanna-Bernaysa-Gödla , w której klasa Russella istnieje jako klasa prawdziwa . W logice klasy z Oberschelp , która jest ewidentnie zgodne rozszerzenie logiki predykatów pierwszego stopnia, wszelkie terminy klasa może być również utworzone za wszelkie wypowiedzi definiujących; w szczególności klasa Russella jest również poprawnym terminem, którego nie można udowodnić. Systemy aksjomatów, takie jak teoria mnogości ZF, można zintegrować z logiką tej klasy.

Ponieważ twierdzenie zostało wyprowadzone w bezpośrednim dowodzie, jest również ważne w logice intuicjonistycznej .

Warianty antynomii Russella

1908 Grelling-Nelson antynomii jest semantyczny paradoks zainspirowany antynomii Russella.

Istnieje wiele popularnych odmian antynomii Russella. Najbardziej znany jest paradoks fryzjera , za pomocą którego sam Russell zilustrował i uogólnił swój tok myślenia w 1918 roku.

Paradoks Curry'ego z 1942 roku zawiera, jako szczególny przypadek, uogólnienie antynomii Russella.

Indywidualne dowody

1. ^ Bertrand Russell: The rules of Mathematics , Cambridge 1903, rozdz. X, podsumowanie § 106.
2. ↑ Własna formuła Russella (w notacji Peano) w liście do Frege w: Gottlob Frege: Correspondence with D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell , red. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, Str. 60. (Korespondencja między Russellem i Frege w Internecie w Bibliotheca Augustana .)
3. ^ Bertrand Russell: Zasady matematyki , Cambridge 1903, § 101.
4. ↑ Gottlob Frege: Grundgesetze der Arithmetik , I, 1893, s. 52 wyjaśnia tę zasadę abstrakcji. Jednak u Fregego nie jest to aksjomat, ale twierdzenie wyprowadzone z innych aksjomatów.
5. ↑ Bertrand Russell: Logika matematyczna oparta na teorii typów (PDF; 1,9 MB), w: American Journal of Mathematics 30 (1908), strona 250.
6. ↑ Czas podany w liście Russella do Frege z 22 czerwca 1902 r. W: Frege: Wissenschaftlicher Briefwechsel, red. G. Gabriel, H. Hermes, F. Kambartel, C. Thiel, A. Veraart, Hamburg 1976, s. 215f.
7. ^ Bertrand Russell: The Principles of Mathematics , Cambridge 1903, §100
8. ↑ List Russella do Frege z 16 czerwca 1902 r. W: Gottlob Frege: Correspondence with D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell , red. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, s. 59f . (Korespondencja między Russellem i Frege w Internecie w Bibliotheca Augustana .)
9. ↑ Gottlob Frege: Fundamentals of Arithmetic , II, 1903, dodatek str. 253–261.
10. ^ Bertrand Russell: The Principles of Mathematics , Cambridge 1903, §§497-500.
11. ^ Russell / Whitehead: Principia mathematica I, Cambridge 1910, s.26
12. ↑ według listu Hilberta z 7 listopada 1903, w: Gottlob Frege: Correspondence with D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell , red. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, s. , 23f / 47
13. ↑ Ernst Zermelo: Badania nad podstawami teorii mnogości , Mathematische Annalen 65 (1908), str. 261–281; tam s.265.
14. ^ Bertrand Russell: The Principles of Mathematics , Cambridge 1903, §102. Istnieje pochodna dla każdej relacji R, a zwłaszcza dla ${\ displaystyle \ in}$
15. ^ Arnold Oberschelp: Ogólna teoria mnogości , Mannheim, Lipsk, Wiedeń, Zurych, 1994, s.37.

linki internetowe

• AD Irvine:  Entry in Edward N. Zalta (red.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .Szablon: SEP / Konserwacja / Parametr 1 i Parametr 3, a nie Parametr 2
• Kevin C. Klement:  Entry in James Fieser, Bradley Dowden (red.): Internet Encyclopedia of Philosophy .