Twierdzenie Hardy'ego i Ramanujana

Zestaw Hardy i Ramanujan z teorii liczb wskazuje, że liczba różnych czynników pierwszych liczby całkowitej The normalny porządek ma. Twierdzenie to zostało udowodnione w 1917 roku przez Godfreya Harolda Hardy'ego i S. Ramanujana .${\ styl wyświetlania \ omega (n)}$${\ styl wyświetlania n}$ ${\ styl wyświetlania \ log (\ log (n))}$

Arytmetyczna funkcja jest normalną wielkością jeśli posiada dla każdego${\ styl wyświetlania f (n)}$ ${\ styl wyświetlania g (n)}$${\ styl wyświetlania \ varepsilon> 0}$

${\ displaystyle (1- \ varepsilon) g (n) \ leq f (n) \ leq (1+ \ varepsilon) g (n)}$

dla prawie wszystkich n, to znaczy proporcji tych, do których nierówność nie dotyczy, zmierza do zera.${\ styl wyświetlania n <x}$${\ styl wyświetlania x \ do \ infty}$

Dokładniej obowiązuje:

Liczba dla których ${\ styl wyświetlania n \ leq x}$

${\ displaystyle | \ omega (n) - \ log (\ log (n)) |> {(\ log (\ log (n)))} ^ {{\ frac {1} {2}} + \ delta} }$

utrzymuje się, jest rzędu dla każdego (z symbolami Landaua , to znaczy proporcja tych, dla których zachodzi nierówność, znika asymptotycznie dla ). ${\ styl wyświetlania \ delta> 0}$${\ styl wyświetlania o (x)}$${\ styl wyświetlania n \ leq x}$${\ styl wyświetlania x \ do \ infty}$

Dowód można znaleźć w podręczniku teorii liczb Hardy'ego i Wrighta. Pál Turán przedstawił uproszczony dowód w 1934 roku. Turán rozszerzył twierdzenie o inne silnie addytywne funkcje arytmetyczne.

Hubert Delange udowodnił w 1953 roku, że zasadniczo ma rozkład normalny Gaussa , który jest również przedmiotem twierdzenia Erdősa-Kac'a .${\ styl wyświetlania \ omega (n)}$

Twierdzenie dotyczy również funkcji, w której czynniki pierwsze są sumowane z ich krotnością, tj. H. to liczba czynników w rozłożeniu na czynniki pierwsze . ${\ styl wyświetlania \ Omega (n)}$${\ styl wyświetlania \ Omega (n)}$${\ styl wyświetlania n}$

Indywidualne dowody

1. ↑ Hardy, Ramanujan: Normalna liczba czynników pierwszych liczby n. W: Quarterly Journal of Mathematics. Tom 48, 1917, s. 76-92.
2. ↑ ^{a b} Hardy, Wright: Wprowadzenie do teorii liczb. Oxford University Press, 1975, s. 356. Tłumaczenie: Wprowadzenie do teorii liczb . Oldenbourg, Monachium 1958, s. 404.
3. ↑ Hardy, Wright: Wprowadzenie do teorii liczb . Oldenbourg, Monachium 1958, s. 405.
4. ^ Pál Turán: Na twierdzeniu Hardy'ego i Ramanujana. W: Journal of the London Mathematical Society. Tom 9, 1934, s. 274-276.
5. ↑ Delange, Compte Rend. Acad. Nauka. Paryż, tom 237, 1953, s. 543-544. Według Halberstama: O funkcjach teorii addytywnych liczb. J. Reine Angewandte Mathematik, tom 195, 1955, s. 210, SUB Göttingen .
6. ↑ Erdös, Kac, Am. J. Math., t. 38, 1940, s. 738-742 i Alfred Renyi, Pal Turan: O twierdzeniu Erdös-Kac. Acta Arithmetica, tom 4, 1958, s. 71-84, zdigitalizowany .