W tym artykule omówiono mnożenie dwóch wektorów, którego wynikiem jest
skalar . Aby uzyskać informacje o mnożeniu wektorów przez skalary, którego wynikiem jest wektor, zobacz
mnożenie przez skalar .
Iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni
intuicji euklidesowej zależy od długości wektorów i kąta zawartego.
Iloczyn skalarny (również wewnętrzna produktu lub produktu w punktach ) jest matematyczną , która wyznacza wiele ( skalarne ) do dwóch wektorów . Jest przedmiotem geometrii analitycznej i algebry liniowej . Historycznie po raz pierwszy został wprowadzony w przestrzeni euklidesowej . Geometryczne obliczanie iloczynu skalarnego dwóch wektorów i według wzoru
I oznacza się długość (ilości) wektorów. Z jest cosinusem kąta zawartego w dwóch wektorach . Iloczyn skalarny dwóch wektorów o danej długości wynosi zero, jeśli są prostopadłe do siebie i maksimum, jeśli mają ten sam kierunek.
W kartezjańskim układzie współrzędnych iloczyn skalarny dwóch wektorów jest obliczany jako
Jeśli znasz współrzędne kartezjańskie wektorów, możesz użyć tego wzoru do obliczenia iloczynu skalarnego, a następnie użyć wzoru z poprzedniego akapitu, aby obliczyć kąt między dwoma wektorami, rozwiązując go dla :
W algebrze liniowej ta koncepcja jest uogólniona. Iloczyn skalarny to funkcja, która przypisuje skalar dwóm elementom rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni wektorowej , a dokładniej hermitowskiej formie półtoraliniowej ( dodatnio określonej ) , a dokładniej w rzeczywistych przestrzeniach wektorowych symetrycznej postaci dwuliniowej . Ogólnie rzecz biorąc, żaden iloczyn skalarny nie jest zdefiniowany od początku w przestrzeni wektorowej. Przestrzeń wraz z iloczynem skalarnym nazywana jest przestrzenią iloczynu wewnętrznego lub przestrzenią prehilberta . Te przestrzenie wektorowe uogólniają przestrzeń euklidesową, a tym samym umożliwiają zastosowanie metod geometrycznych do struktur abstrakcyjnych.
W przestrzeni euklidesowej
Definicja i notacja geometryczna
Wektory w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej lub w dwuwymiarowej płaszczyźnie euklidesowej mogą być reprezentowane jako strzałki. W tym przypadku, strzałki filtrów równoległe mają tę samą długość zorientowaną i równą, ten sam wektor.Iloczyn skalarny dwóch wektorów i jest skalarem, czyli liczbą rzeczywistą. Geometrycznie można go zdefiniować w następujący sposób:
I oznaczcie długości wektorów i i oznacza kąt zawarty przez i , więc jest
Podobnie jak w przypadku normalnego mnożenia (ale rzadziej niż tam), gdy jest jasne, o co chodzi, znak mnożenia jest czasami pomijany:
Zamiast od czasu do czasu pisać w tym przypadku
Inne popularne notacje to i
ilustracja
Aby zilustrować definicję, rozważmy rzut prostopadły wektora na kierunek podany przez i set
Wtedy i dla iloczynu skalarnego i mamy:
Ta zależność jest czasami używana do określenia iloczynu skalarnego.
Przykłady
We wszystkich trzech przykładach i . Skalarne produkty wynikać ze specjalnych wartości cosinus , i :
We współrzędnych kartezjańskich
Jeśli wprowadzisz współrzędne kartezjańskie na płaszczyźnie euklidesowej lub w przestrzeni euklidesowej, każdy wektor ma reprezentację współrzędnych jako krotkę 2 lub 3, która jest zwykle zapisywana jako kolumna.
W płaszczyźnie euklidesowej otrzymujemy iloczyn skalarny wektorów
-
oraz
Reprezentacja
Kanoniczne wektory jednostkowe na płaszczyźnie euklidesowej
Dla kanonicznych wektorów jednostkowych i obowiązuje:
-
oraz
Wynika z tego (przewidując opisane poniżej właściwości produktu skalarnego):
W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej otrzymujemy odpowiednio wektory
-
oraz
Reprezentacja
Na przykład obliczany jest iloczyn skalarny dwóch wektorów
-
oraz
następująco:
nieruchomości
Z definicji geometrycznej wynika wprost:
- Jeśli i są równoległe i jednakowo zorientowane ( ), to ma zastosowanie
- W szczególności iloczyn skalarny wektora z samym sobą jest kwadratem jego długości:
- Jeśli i są zorientowane równolegle i przeciwnie ( ), to obowiązuje
- Jeśli i są ortogonalne ( ), to mamy
- Jeśli występuje kąt ostry, obowiązują następujące zasady
- Czy kąt rozwarty , stosuje się następującą
Jako funkcja przypisująca liczbę rzeczywistą każdej uporządkowanej parze wektorów , iloczyn skalarny ma następujące własności, których oczekuje się od mnożenia:
- Jest symetryczny (prawo przemienne):
-
dla wszystkich wektorów i
- Jest jednorodne w każdym argumencie (mieszane prawo asocjacyjne):
-
wszystkie wektory i i wszystkie skalarów
- Jest to dodatek w każdym argumencie (prawo rozdzielcze):
-
oraz
-
dla wszystkich wektorów i
Podsumowano również właściwości 2 i 3. Iloczyn skalarny jest dwuliniowy .
Oznaczenie „mieszane prawo asocjacyjne” dla drugiej własności wyjaśnia, że skalar i dwa wektory są połączone w taki sposób, że nawiasy można wymieniać, jak w prawie asocjacyjnym. Ponieważ iloczyn skalarny nie jest ogniwem wewnętrznym , iloczyn skalarny trzech wektorów nie jest zdefiniowany, więc nie pojawia się pytanie o prawdziwą asocjatywność. W wyrażeniu tylko pierwsze mnożenie jest iloczynem skalarnym dwóch wektorów, drugie jest iloczynem skalara z wektorem ( mnożenie S ). Wyrażenie reprezentuje wektor, wielokrotność wektora Z drugiej strony wyrażenie reprezentuje wielokrotność .
Ani definicja geometryczna, ani definicja we współrzędnych kartezjańskich nie jest arbitralna. Oba wynikają z geometrycznie motywowanego wymogu, że iloczyn skalarny wektora z samym sobą jest kwadratem jego długości, oraz z motywowanego algebraicznie wymogu, aby iloczyn skalarny spełniał powyższe właściwości 1-3.
Ilość wektorów i kąty zawarte
Za pomocą iloczynu skalarnego można obliczyć długość (ilość) wektora z reprezentacji współrzędnych:
Poniższe dotyczy wektora przestrzeni dwuwymiarowej
Rozpoznaje się tutaj twierdzenie Pitagorasa . To samo dotyczy przestrzeni trójwymiarowej
Łącząc definicję geometryczną z reprezentacją współrzędnych, zawarty w nich kąt można obliczyć ze współrzędnych dwóch wektorów. koniec
następuje
Długości dwóch wektorów
-
oraz
więc ilość
-
oraz
Cosinus kąta zawartego przez dwa wektory jest obliczany jako
Więc jest
Ortogonalność i projekcja prostopadła
Dwa wektory i są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero, czyli
Rzutem ortogonalnym z kierunku podanego przez wektor jest wektor z
więc
Rzut jest wektorem, którego punktem końcowym jest pion od punktu końcowego do linii prostej przez punkt zerowy wyznaczony przez. Wektor stoi pionowo
Jeśli wektor jednostkowy (np IST ), przy czym upraszcza Formuła
Związek z produktem krzyżowym
Innym sposobem na połączenie dwóch wektorów i pomnożenie ich w przestrzeni trójwymiarowej jest iloczyn zewnętrzny lub iloczyn krzyżowy.W przeciwieństwie do iloczynu skalarnego, wynikiem iloczynu krzyżowego nie jest skalar, ale znowu wektor. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej przez dwa wektory a , a jego długość odpowiada w obszarze w równoległobok , który rozciągał się od nich.
Poniższe zasady obliczeń mają zastosowanie do połączenia iloczynu krzyżowego i iloczynu skalarnego:
Kombinacja iloczynu krzyżowego i iloczynu skalarnego pierwszych dwóch reguł jest również nazywana iloczynem późnym ; daje zorientowaną objętość równoległościanu rozpiętego przez trzy wektory .
Aplikacje
W geometrii
Twierdzenie cosinusowe z wektorami
Iloczyn skalarny umożliwia proste udowodnienie skomplikowanych twierdzeń, które mówią o kątach.
Roszczenie: ( cosinus prawo )
Dowód: Za pomocą narysowanych wektorów następuje (kierunek jest nieistotny). Podniesienie do kwadratu kwoty daje
a zatem
W fizyce
Przykład nachylonej płaszczyzny
W fizyce wiele wielkości , takich jak praca , jest definiowanych przez iloczyny skalarne:
z wielkościami wektorowymi siła i droga . Oznacza kąt między kierunkiem siły a kierunkiem ścieżki. Z jest składową siły w kierunku ścieżki, ze składową ścieżki w kierunku siły.
Przykład: Wagon o wadze jest transportowany po równi pochyłej z do . Praca podnoszenia jest obliczana
Ogólnie rzeczywiste i zespolone przestrzenie wektorowe
Powyższe własności traktuje się jako okazję do uogólnienia pojęcia iloczynu skalarnego na dowolne rzeczywiste i złożone przestrzenie wektorowe . Iloczyn skalarny to funkcja, która przypisuje element ciała (skalar) do dwóch wektorów i spełnia wymienione właściwości. W przypadku złożonym warunek symetrii i dwuliniowości jest modyfikowany, aby zachować definicję dodatnią (która nigdy nie jest spełniona dla złożonych symetrycznych form dwuliniowych).
W ogólnej teorii zmienne dla wektorów, tj. elementy dowolnej przestrzeni wektorowej, na ogół nie są oznaczone strzałkami. Iloczyn skalarny zwykle nie jest oznaczony punktem malowania, ale parą nawiasów kątowych. Więc dla iloczynu skalarnego wektorów i piszemy . Inne popularne notacje to (zwłaszcza w mechanice kwantowej w postaci notacji Bra-Keta ) i .
Definicja (aksjomatyczna)
Skalarne produkt lub produkt wewnętrzna na rzeczywistą przestrzeń wektorową jest korzystnie określona postać dwuliniowo symetryczny, czyli do i stosuje się następujące warunki:
- liniowy w każdym z dwóch argumentów:
- symetryczny:
- pozytywna określona:
-
dokładnie kiedy
Iloczyn skalarny lub iloczyn skalarny na zespolonej przestrzeni wektorowej jest dodatnio określoną hermitowską postacią półtoraliniową, która oznacza i mają zastosowanie następujące warunki:
- półtoraliniowe:
-
(półliniowe w pierwszym argumencie)
-
(liniowo w drugim argumencie)
- pustelniczy:
- pozytywna określona:
-
(To prawda wynika z warunku 2.)
-
dokładnie kiedy
Rzeczywista lub złożona przestrzeń wektorowa, w której zdefiniowany jest iloczyn skalarny, nazywana jest przestrzenią iloczynu skalarnego lub przestrzenią Prähilberta . Skończenie wymiarowa rzeczywista przestrzeń wektorowa z iloczynem skalarnym nazywana jest również euklidesową przestrzenią wektorową , w przypadku zespolonym mówimy o unitarnej przestrzeni wektorowej. Odpowiednio, iloczyn skalarny w euklidesowej przestrzeni wektorowej jest czasami określany jako euklidesowy iloczyn skalarny, a ten w unitarnej przestrzeni wektorowej jest nazywany jednostkowym iloczynem skalarnym . Termin „euklidesowy iloczyn skalarny”, ale także w szczególności dla opisanego powyżej skalara geometrycznego lub opisanego poniżej standardowego skalara w użyciu.
- Uwagi
- Często każdą symetryczną formę dwuliniową lub każdą hermitowską formę półtoraliniową określa się jako iloczyn skalarny; Przy takim zastosowaniu powyższe definicje opisują pozytywnie określone iloczyny skalarne.
- Podane dwa systemy aksjomatów nie są minimalne. W rzeczywistym przypadku, ze względu na symetrię, liniowość w pierwszym argumencie wynika z liniowości w drugim argumencie (i odwrotnie). Podobnie w przypadku złożonym, ze względu na hermityczność, semilinearność w pierwszym argumencie wynika z liniowości w drugim argumencie (i odwrotnie).
- W przypadku złożonym iloczyn skalarny bywa definiowany alternatywnie, mianowicie jako liniowy w pierwszym argumencie i półliniowy w drugim argumencie. Ta wersja jest preferowana w matematyce, a zwłaszcza w analizie , podczas gdy powyższa wersja jest głównie używana w fizyce (patrz wektory Bra i Ket ). Różnica między tymi dwiema wersjami polega na skutkach mnożenia skalarnego pod względem jednorodności . Po wersji alternatywnej dotyczy i i . Addytywności jest rozumiane w ten sam sposób w obu wersjach. Normy uzyskane z iloczynu skalarnego według obu wersji są również identyczne.
- Przestrzeń pre-Hilberta, która całkowicie w odniesieniu do indukowanego przez wzorzec skalarny jest nazywana odpowiednio przestrzenią Hilberta .
- Rozróżnienie między rzeczywistą i zespoloną przestrzenią wektorową przy definiowaniu iloczynu skalarnego nie jest absolutnie konieczne, ponieważ hermitowska forma półtoraliniowa odpowiada w rzeczywistości symetrycznej formie dwuliniowej.
Przykłady
Standardowy iloczyn skalarny w R n i w C n
Począwszy od reprezentacji euklidesowej iloczynem skalarnym w kartezjańskim układzie współrzędnych definiuje się średnia iloczyn skalarny w wymiarowego układu współrzędnych dla poprzez
w liniowym Algebra
Przycisków „geometryczne” skalarne produkt w przestrzeni euklidesowej obróbce powyżej, odpowiada w szczególnym przypadku. W przypadku wymiarowej złożonej przestrzeni wektorowej , średnia iloczyn skalarny , jest zdefiniowane
gdzie overline oznacza złożoną koniugację . W matematyce często używa się wersji alternatywnej, w której drugi argument jest sprzężony zamiast pierwszego.
Standardowy iloczyn skalarny w lub może być również zapisany jako iloczyn macierzy poprzez interpretację wektora jako macierz ( wektor kolumnowy ): W rzeczywistym przypadku obowiązuje następująca zasada
gdzie jest wektorem wiersza, który wynika z wektora kolumny przez transpozycję . W przypadku złożonym (dla lewego półliniowego, prawego liniowego)
gdzie jest wektor wierszowy przylegający do Hermitian .
Ogólne iloczyny skalarne w R n i w C n
Mówiąc bardziej ogólnie, w rzeczywistym przypadku każda symetryczna i dodatnio określona macierz jest zdefiniowana przez
iloczyn skalarny; podobnie, w przypadku złożonym, dla każdej dodatnio określonej macierzy hermitowskiej, ponad
definiuje iloczyn skalarny. Tutaj nawiasy kątowe po prawej stronie oznaczają standardowy iloczyn skalarny , nawiasy kątowe z indeksem po lewej stronie oznaczają iloczyn skalarny zdefiniowany przez macierz .
Każdy iloczyn skalarny na lub może być w ten sposób reprezentowany przez dodatnio określoną macierz symetryczną (lub dodatnio określoną macierz hermitowską).
Iloczyn skalarny L 2 dla funkcji
Na nieskończonej-wymiarowej przestrzeni wektorowej z ciągłych o wartościach rzeczywistych funkcji w przedziale The produkt -scalar jest przez
zdefiniowane dla wszystkich .
Dla uogólnień tego przykładu zobacz Prähilbertraum i Hilbertraum .
Iloczyn skalarny Frobeniusa dla matryc
Na powierzchni matrycy do rzeczywistego - macierzy jest przez
definiuje iloczyn skalarny. Odpowiednio, w przestrzeni złożonych macierzy dla by
definiuje iloczyn skalarny. Ten iloczyn skalarny nazywa się iloczynem skalarnym Frobeniusa, a związana z nim norma nazywa się normą Frobeniusa .
Norma, kąt i ortogonalność
Długość wektora w przestrzeni euklidesowej odpowiada w ogólnych przestrzeniach iloczynu skalarnego normie indukowanej przez iloczyn skalarny . Normę tę definiuje się, przenosząc wzór na długość z przestrzeni euklidesowej jako pierwiastek iloczynu skalarnego wektora ze sobą:
Jest to możliwe, ponieważ ze względu na pozytywną określoność nie jest negatywne. Nierówność trójkąta wymagana jako aksjomat normy wynika z nierówności Cauchy'ego-Schwarza
Czy ta nierówność też może?
zmienić kształt. Dlatego w ogólnych rzeczywistych przestrzeniach wektorowych można również użyć
zdefiniuj kąt dwóch wektorów. Zdefiniowany w ten sposób kąt zawiera się między 0 ° a 180 °, tj. między 0 a Istnieje wiele różnych definicji kątów między złożonymi wektorami.
Również w ogólnym przypadku wektory, których iloczyn skalarny wynosi zero, nazywane są ortogonalnymi:
Wyświetlacz matrycowy
Jest n-wymiarowej przestrzeni wektorowej i bazowej z takiej każdy punkt na przez ( ) - matryca , do matrycy Grama , opisane w produkcie skalarnego. Twoje wpisy są iloczynami skalarnymi wektorów bazowych:
-
z for
Iloczyn skalarny można wtedy przedstawić za pomocą bazy: Czy wektory mają reprezentację
względem bazy?
-
oraz
więc w prawdziwym przypadku
Jeden oznacza z wektorami współrzędnych
-
oraz
więc to prawda
gdzie produkt macierzy daje się matrycę, to jest liczbą rzeczywistą. Z wektorem wiersza woli wyznaczonym przez transpozycję z utworzonego wektora kolumny .
W złożonym przypadku to samo dotyczy
gdzie overline oznacza sprzężenie złożone, a wektor linii, który ma być sprzężony, jest.
Jeśli istnieje podstawą ortonormalna , czyli trzyma za wszystkich i za wszystko potem macierz jednostkowa jest , i to trzyma
w prawdziwym przypadku i
w złożonym przypadku. W odniesieniu do bazy ortonormalnej iloczyn skalarny i tym samym odpowiada standardowemu iloczynowi skalarnemu wektorów współrzędnych i lub
Zobacz też
literatura
linki internetowe
-
Informacje i materiały na temat produktu skalarnego dla państwowego serwera edukacyjnego wyższego poziomu Baden-Württemberg
- Joachim Mohr: Wprowadzenie do iloczynu skalarnego
- Wideo: iloczyn skalarny . Jörn Loviscach 2010, udostępniony przez Bibliotekę Informacji Technicznych (TIB), doi : 10.5446 / 9742 .
- Wideo: iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy . Jörn Loviscach 2011, udostępniony przez Bibliotekę Informacji Technicznych (TIB), doi : 10.5446 / 9929 .
- Wideo: iloczyn skalarny, część 1 . Jörn Loviscach 2011, udostępniony przez Bibliotekę Informacji Technicznych (TIB), doi : 10.5446 / 10212 .
- Wideo: iloczyn skalarny część 2, ortogonalność . Jörn Loviscach 2011, udostępniony przez Bibliotekę Informacji Technicznych (TIB), doi : 10.5446 / 10213 .
- Wideo: Wektorów i ich iloczynu skalarnego - obliczanie wektorowe cz.1 . Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, udostępniony przez Bibliotekę Informacji Technicznych (TIB), doi : 10.5446 / 17886 .
Indywidualne dowody
-
↑ Synonim:
-
^ Liesen, Mehrmann: Lineare Algebra . S. 168 .
-
^ Walter Rudin : Analiza rzeczywista i złożona . Wydanie drugie ulepszone. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Monachium 2009, ISBN 978-3-486-59186-6 , s. 91 .
-
^ Klaus Scharnhorst: Kąty w złożonych przestrzeniach wektorowych . W: Acta Applicandae Matematyka Tom 69 , 2001, s. 95-103 .