Wariacja (kombinatoryka)
Zmienność (od łacińskiego variatio „zmiany” ) lub zamówione próbki w kombinatoryki wybór obiektów ze zbioru w pewnym porządku . Jeśli obiekty mogą być wybrane kilka razy, mówi się o odmianie z powtórzeniem , każdy obiekt może pojawić się tylko raz, o odmianie bez powtórzeń . Standardowym zadaniem liczenia kombinatoryki jest określenie liczby możliwych wariacji .
Określenie warunków
Odmiana lub próbka uporządkowana to wybór obiektów ze zbioru obiektów, przy czym kolejność wyboru odgrywa rolę. W przypadku wybrania wszystkich dostępnych obiektów obowiązuje następująca zasada , więc zamiast odmiany permutacji , sekwencja w wyborze obiektów nie odgrywa roli kombinacji .
W przypadku wariacji z powtórzeniami obiekty mogą być wybierane wielokrotnie, natomiast w przypadku wariacji bez powtórzeń każdy obiekt może pojawić się tylko raz. W modelu urny odmiana z powtórzeniem odpowiada losowaniu kulek z wymianą, a wariant bez powtórzeń odpowiada losowaniu bez wymiany.
Odbiegając od tego, wariacje i kombinacje są czasami podsumowywane w literaturze, a wariację nazywa się „kombinacją z uwzględnieniem sekwencji”. W szczególności w języku angielskim wariacje i permutacje są łączone, a wariacje następnie „k-permutacje” ( zwane k-permutacjami ).
Wariacja bez powtórzeń
numer
W wariancie bez powtórek są z (z przedmiotami ) do umieszczenia wolnych miejsc, każdy przedmiot może zajmować najwyżej jedno miejsce. Są możliwe obiekty na pierwszym miejscu, obiekty na drugim miejscu itd. aż do -tego miejsca, dla którego są jeszcze możliwe obiekty. Więc ogólnie jest?
możliwe ustalenia. Dla tej liczby istnieją również notacje i , które nazywane są silniami opadającymi . Z woli wydziale od wyznaczonego.
Wyświetlanie ilości
jest „zbiorem wszystkich wariacji bez powtórzeń obiektów dla klasy ” i ma liczbę elementów określoną powyżej.
Przykłady
- Jeśli urna z pięcioma różnymi kulami zostanie narysowana trzy razy bez wymiany, możliwe są różne wybory: przy pierwszym losowaniu pięć opcji, potem tylko cztery, a przy trzecim losowaniu tylko trzy opcje.
- Jeśli wszystkie pięć kulek ma zostać wybranych, istnieje odpowiednia liczba całkowitych możliwości, tj. liczba permutacji wszystkich pięciu kulek.
Wariacja z powtórzeniem
numer
W przypadku wariacji z powtórzeniem, obiekty są wybierane z obiektów zgodnie z kolejnością, przy czym obiekty mogą być wybierane również wielokrotnie. W związku z tym po tym, jak każdy z obiektów może pojawić się w każdym z miejsc selekcji, pojawia się
możliwe ustalenia.
Wyświetlanie ilości
Ilość
to „zbiór wszystkich wariacji z powtarzaniem obiektów dla klasy ”. Jest to krotny iloczyn kartezjański zbioru ze sobą i ma liczbę elementów podaną powyżej.
Przykłady
- Jeśli urna z pięcioma różnymi kulami zostanie wylosowana trzy razy z wymianą, możliwe są różne wybory.
- W przypadku czterocyfrowego kodu PIN lub zamka szyfrowego z czterema dzwonkami i dziesięcioma cyframi każdy, istnieje wiele różnych odmian (0000–9999).
- W technologii cyfrowej używane liczby binarne składają się tylko z dwóch cyfr i . W przypadku rozmieszczenia takich cyfr mogą odpowiednio powstać różne warianty. Na przykład czterocyfrowa liczba binarna koduje różne stany.
literatura
- Martin Aigner : Matematyka dyskretna . Vieweg, 2006, ISBN 3-8348-9039-1 .
- Konrad Jacobs , Dieter Jungnickel : Wprowadzenie do kombinatoryki . de Gruytera, 2003, ISBN 3-11-016727-1 .
- Joachim Hartung , Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statystyka: Nauczanie i podręcznik statystyki stosowanej . Oldenbourg, 2005, ISBN 3-486-57890-1 .
Indywidualne dowody
- ↑ a b Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . Harri Deutsch, 2008, ISBN 3-8171-2007-9 , s. 810-811 .
- ↑ Hartung, Elpelt, Klösener: Statystyka: nauczanie i podręcznik statystyki stosowanej . S. 96 .
- ↑ Aigner: Matematyka dyskretna . S. 7 .