Uogólniona funkcja hipergeometryczna

Uogólnione hipergeometryczny funkcji w matematyce jest funkcja , która uogólnia się Gaussa funkcji hipergeometryczny i ostatecznie z szeregu geometrycznego . Należy do klasy funkcji specjalnych .

Uogólniona funkcja hipergeometryczna zawiera wiele ważnych funkcji jako przypadków szczególnych, przede wszystkim funkcję wykładniczą i funkcje trygonometryczne . Rzeczywiście, istnieje wiele funkcji, które można zapisać jako funkcję hipergeometryczną.

definicja

Uogólniona funkcja hipergeometryczna jest zdefiniowana przez

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ dots, b_ {q}; z) = \ suma _ {k = 0 } ^ {\ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {p} {\ frac {\ Gamma (k + a_ {i})} {\ Gamma (a_ {i})}} \ prod _ {j = 1} ^ {q} {\ Frac {\ Gamma (b_ {j})} {\ Gamma (k + b_ {j})}} {\ Frac {z ^ {k}} {k!}}}$,

gdzie funkcją gamma . Współczynniki i parametry należy dobrać w taki sposób, aby szeregi mocy zbiegały się do odpowiedniego . ${\ styl wyświetlania \ Gamma (\ cdot)}$${\ displaystyle p, q \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle a_ {i}, b_ {j} \ in \ mathbb {C}}$${\ styl wyświetlania z \ w \ mathbb {C}}$

Innym powszechnym zapisem uogólnionej funkcji hipergeometrycznej jest

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} \ lewo [{\ początek {macierz} a_ {1}, a_ {2}, \ kropki, a_ {p-1}, a_ {p} \\ b_ { 1}, b_ {2}, \ kropki, b_ {q-1}, b_ {q} \ end {macierz}}; z \ prawo].}$

Przez dobór współczynników i specjalne funkcje hipergeometryczny wreszcie zbudowane, na przykład jako funkcja hypergeometric Kummersche ( ) lub i Gaussa funkcja hipergeometryczny. ${\ styl wyświetlania p}$${\ styl wyświetlania q}$${\ styl wyświetlania p = q = 1}$${\ styl wyświetlania p = 2}$${\ styl wyświetlania q = 1}$

Warunki konwergencji

W pewnych warunkach szeregi potęgowe są rozbieżne, a zatem nie pozwalają na przedstawienie ogólnej funkcji hipergeometrycznej. W szczególności istnieją warunki i dla których wyrażenia lub w serii moc rozbieżności produkcji. ${\ styl wyświetlania a_ {i}}$${\ styl wyświetlania b_ {j}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ Gamma (k + a_ {i})} {\ Gamma (a_ {i})}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ Gamma (b_ {j})} {\ Gamma (k + b_ {j})}}}$

Przykład 1

${\ displaystyle {\ początek {wyrównany} {} _ {1} F_ {1} \ lewo (2; -1; z \ prawo) & \; = \; \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ Gamma (k + 2)} {\ Gamma (2)}} {\ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (k-1)}} {\ Frac {z ^ {k} } {k!}} \; = \; \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(k + 1)!} {1}} {\ frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (k-1)}} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} \; = \; \ Suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(k + 1)} {1}} {\ frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (k-1)}} z ^ {k} \\ & \; = \; 1 \; + \; 2 {\ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (0)}} z \ qquad \; + \; 3 {\ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (1)}} z ^ {2} \; + \; 4 {\ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (2)}} z ^ {3} \ \; + \; 5 {\ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (3)}} z ^ {4} \; + \; \ kropka \\ & \; = \; 1 \; + \; 2 {\ frac {\ Gamma (0)} {(- 1) \ Gamma (0)}} z \ quad + \; 3 {\ frac {\ gamma (0)} {(- 1) 0!}} Z ^ {2} \; + \; 4 {\ frac {\ gamma (0 )} {(- 1) 1!}} Z ^ {3} \; + \; 5 {\ frac {\ Gamma (0)} {(- 1) 2!}} Z ^ {4} \; + \ ; \ dotsm \\ & \; = \; 1 \; - \; 2z \; - \; \ Gamma (0) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {k + 2} { (k-1)!}} z ^ {k + 1} \ quad {\ xrightarrow [{\ lim _ {x \ do 0 ^ {+}} \ Gamma (x) \ do \ infty}] {\ quad} } \ quad - \ infty \ end {aligned}}}$

Do obliczeń wykorzystano równanie funkcyjne funkcji gamma z identycznością .${\ styl wyświetlania \ Gamma (k + 1) = k \ Gamma (k)}$${\ Displaystyle \ Gamma (-1) = {\ tfrac {\ Gamma (0)} {-1}}}$

Przykład 2

${\ displaystyle {\ początek {wyrównany} {} _ {0} F_ {1} \ lewo (; - 1; z \ prawo) & \; = \; \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} { \ frac {\ gamma (-1)} {\ gamma (k-1)}} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} \\ & \; = \; 1 \ qquad + \; { \ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (0)}} {\ Frac {z} {1!}} \; + \; {\ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (1 )}} {\ Frac {z ^ {2}} {2!}} \; + \; {\ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (2)}} {\ Frac {z ^ {3 }} {3!}} \; + \; {\ Frac {\ Gamma (-1)} {\ Gamma (3)}} {\ Frac {z ^ {4}} {4!}} \; + \ ; \ dotsm \\ & \; = \; 1 \ qquad \; - \; {\ frac {\ gamma (0)} {\ gamma (0)}} {\ frac {z} {1!}} \ quad - \; {\ frac {\ gamma (0)} {\ gamma (1)}} {\ frac {z ^ {2}} {2!}} \ quad - \; {\ frac {\ gamma (0) } {\ Gamma (2)}} {\ Frac {z ^ {3}} {3!}} \ Quad - \; {\ Frac {\ Gamma (0)} {\ Gamma (3)}} {\ Frac {z ^ {4}} {4!}} \ quad + \; \ dotsm \\ & \; = \; 1 \ qquad \; - \; z \ qquad \ qquad - \; {\ frac {\ Gamma ( 0)} {0!}} {\ Frac {z ^ {2}} {2!}} \ Quad - \; {\ Frac {\ Gamma (0)} {1!}} {\ Frac {z ^ { 3}} {3!}} \ Quad - \; {\ frac {\ Gamma (0)} {2!}} {\ Frac {z ^ {4}} {4!}} \ Quad + \; \ kropki \\ & \; = \; 1 \ qquad \; - \; z \ qquad \ qquad - \; \ Gamma (0) \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( k-2)!}} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} \ quad {\ xrightarrow [{\ lim _ {x \ do 0 ^ {+}} \ Gamma (x) \ do \ infty}] {\ quad}} \ quad - \ infty \ end {wyrównane}}}$

Oprócz rozbieżności spowodowanych doborem parametrów, kryterium ilorazowe można zastosować dla szeregów :

• Jeśli jest, to zgodnie z kryterium ilorazowym stosunek współczynników jest ograniczony i prawdopodobnie dąży do 0. Oznacza to, że szereg jest zbieżny dla każdej skończonej i tym samym reprezentuje całą funkcję . Przykładem tego jest szereg funkcji wykładniczych.${\ styl wyświetlania p <q + 1}$${\ styl wyświetlania z}$

• Jeśli tak, to z kryterium ilorazowego wynika, że ​​stosunek współczynników dąży do 0. Oznacza to, że szeregi dla zbieżności i dla rozbieżności. W celu sprawdzenia, czy szereg zbiega się dla dużych wartości , zaleca się rozważenie analityczne. Odpowiedź na pytanie o konwergencję nie jest łatwa. W tym przypadku można wykazać, że szereg jest zbieżny do wartości bezwzględnej, jeśli:${\ styl wyświetlania p = q + 1}$${\ styl wyświetlania | z | <1}$${\ styl wyświetlania | z |> 1}$${\ styl wyświetlania z}$${\ styl wyświetlania | z | = 1}$${\ styl wyświetlania | z | = 1}$

${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {Re} \ po lewej (\ sum _ {j = 1} ^ {q} b_ {j} - \ sum _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} \ po prawej)> 0}$.

Jeśli i jest rzeczywiste, można podać następujący warunek zbieżności:${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}$${\ styl wyświetlania z}$

${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow 1} (1-z) {\ frac {\ mathrm {d} \ log (_ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p} ; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; z ^ {p}))} {\ mathrm {d} z}} = \ suma _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} - \ suma _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}$.

• Jeśli tak, kryterium ilorazowe zapewnia nieskończenie rosnący stosunek współczynników. Oznacza to, że nawet w przypadku serii rozbieżne. W tych warunkach uzyskuje się szereg rozbieżny lub asymptotyczny. Z drugiej strony szereg może być rozumiany jako skrócona notacja równania różniczkowego, które spełnia równanie sumy.${\ styl wyświetlania p> q + 1}$${\ styl wyświetlania z = 0}$

nieruchomości

Ze względu na kolejność (stopień) parametru i parametru można zmienić ogólną funkcję hipergeometryczną bez zmiany wartości funkcji. Jeśli więc jest taki sam jak jeden z parametrów , funkcja może być „skrócona” o te dwa parametry, z pewnymi wyjątkami dla parametrów o wartościach niedodatnich. Na przykład jest ${\ styl wyświetlania a_ {i}}$${\ styl wyświetlania b_ {j}}$${\ styl wyświetlania a_ {i}}$${\ styl wyświetlania b_ {j}}$

${\ displaystyle \, {} _ {2} F_ {1} (3,1; 1; z) = \, {} _ {2} F_ {1} (1,3; 1; z) = \, { } _ {1} F_ {0} (3 ;; z)}$.

Całkowa transformacja Eulera

Następująca tożsamość umożliwia przedstawienie uogólnionej funkcji hipergeometrycznej wyższego rzędu jako integralnego wyrażenia uogólnionej funkcji hipergeometrycznej następnego niższego rzędu.

${\ displaystyle {} _ {A + 1} F_ {B + 1} \ left [{\ begin {array} {c} a_ {1}, \ ldots, a_ {A}, c \\ b_ {1}, \ ldots, b_ {B}, d ​​\ end {tablica}}; z \ prawo] = {\ frac {\ Gamma (d)} {\ Gamma (c) \ Gamma (dc)}} \ int _ { 0} ^ {1} t ^ {c-1} (1-t) _ {} ^ {dc-1} \ {} _ {A} F_ {B} \ lewo [{\ początek {tablica} {c} a_ { 1}, \ ldots, a_ {A} \\ b_ {1}, \ ldots, b_ {B} \ end {array}}; tz \ right] \ mathrm {d} t}$

Równanie różniczkowe

Ogólna funkcja hipergeometryczna spełnia układ równań różniczkowych:

(1)${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ qquad \ po lewej (z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + a_ {i} \ po prawej) {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {array} {c} a_ {1}, \ dots, a_ {i}, \ dots, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {q} \ end {tablica}}; z \ right] & \; = \; a_ {i} \; {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {tablica} {c} a_ {1}, \ kropek, a_ {i} +1, \ kropek, a_ {p} \\ b_ {1}, \ kropek, b_ {q} \ end {tablica}}; z \ prawo] \\\\\ end {wyrównany }}}$

(2)${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ qquad \ lewy (z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + b_ {j} -1 \ prawy) {} _ { p} F_ {q} \ left [{\ begin {tablica} {c} a_ {1}, \ kropki, a_ {p} \\ b_ {1}, \ kropki, b_ {j}, \ kropki, b_ { q} \ end {tablica}}; z \ right] & \; = \; (b_ {j} -1) \; {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {tablica} {c } a_ {1}, \ dots, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {j} -1, \ dots, b_ {q} \ end {tablica}}; z \ prawo] \\ \\\ koniec {wyrównany}}}$

(3)${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} \ qquad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} \; {} _ {p} F_ {q} \ lewo [{\ początek {tablica} {c} a_ {1}, \ kropki, a_ {p} \\ b_ {1}, \ kropki, b_ {q} \ end {tablica}}; z \ prawo] & \; = \; { \ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {p} a_ {i}} {\ prod _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}} \; {} _ {p} F_ {q } \ left [{\ begin {tablica} {c} a_ {1} +1, \ dots, a_ {p} +1 \\ b_ {1} +1, \ dots, b_ {q} +1 \ end { array}}; z \ right] \\\\\ end {aligned}}}$

Połączenie tych trzech równań daje w wyniku równanie różniczkowe z : ${\ displaystyle w = {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ kropki, a_ {p}; b_ {1}, \ kropki, b_ {q}; z)}$

${\ displaystyle \ qquad \ qquad z \ prod _ {n = 1} ^ {p} \ lewo (z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + a_ {n} \ prawo) w \; = \; z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} \ prod _ {n = 1} ^ {q} \ lewo (z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + b_ {n} -1 \ prawy) w}$.

Uwagi:

• Równanie różniczkowe (1)

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} & a_ {i} \; {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {tablica} {c} a_ {1}, \ kropki, a_ {i} + 1, \ dots, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {q} \ end {array}}; z \ right] \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=} } \; \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {p} {\ tfrac {a_ {i} \ cdot \ Gamma (k + a_ {i} +1) } {\ Gamma (a_ {i} +1)}} \ prod _ {j = 1} ^ {q} {\ tfrac {\ Gamma (b_ {j})} {\ Gamma (k + b_ {j}) } } {\ tfrac {z ^ {k}} {k!}} \\ & \ qquad {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty } {\ Big (} {\ tfrac {\ Gamma (k + a_ {1})} {\ Gamma (a_ {1})}} \ cdots {\ tfrac {\ Gamma (k + a_ {i-1}) } {\ Gamma (a_ {i-1})}} \ cdot {\ tfrac {a_ {i} \ cdot \ Gamma (k + a_ {i} +1)} {\ Gamma (a_ {i} +1) } } \ cdot {\ tfrac {\ Gamma (k + a_ {i + 1})} {\ Gamma (a_ {i + 1})}} \ cdots {\ tfrac {\ Gamma (k + a_ {p}) } {\ Gamma (a_ {p})}} {\ Duży)} \ prod _ {j = 1} ^ {q} {\ tfrac {\ Gamma (b_ {j})} {\ Gamma (k + b_ { j })}} {\ tfrac {z ^ {k}} {k!}} \ koniec {wyrównany}}}$

Należy zauważyć, że w przypadku równania różniczkowego (1) prawa strona równania nie istnieje, ponieważ parametry nie istniały, a parametry również znikają po lewej stronie i dlatego można obliczyć tylko pochodną pomnożoną przez .${\ styl wyświetlania p = 0}$${\ styl wyświetlania a_ {i}}$${\ styl wyświetlania a_ {i}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} \; {} _ {p} F_ {q} (; b_ {1}, \ kropki, b_ {q} ; z)}$${\ styl wyświetlania z}$

• Równanie różniczkowe (2)

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & (b_ {j} -1) \; {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {tablica} {c} a_ {1}, \ kropki, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {j} +1, \ dots, b_ {q} \ end {array}}; z \ right] \; {\ stackrel {\ mathrm {def} } {=}} \; \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {p} {\ tfrac {\ Gamma (k + a_ {i})} {\ Gamma (a_ {i})}} \ prod _ {j = 1} ^ {q} {\ tfrac {(b_ {j} -1) \ cdot \ Gamma (b_ {j} +1)} {\ Gamma (k + b_ {j} +1)}} {\ tfrac {z ^ {k}} {k!}} \\ & \ qquad {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {p} {\ tfrac {\ Gamma (k + a_ {i})} {\ Gamma (a_ {i})}} {\ Duży (} {\ tfrac {\ Gamma (b_ {1})} {\ Gamma (k + b_ {1})}} \ cdots {\ tfrac {\ Gamma (b_ {j-1})} {\ Gamma (k + b_ {j-1})}} \ cdot {\ tfrac {(b_ {j} -1) \ cdot \ Gamma (b_ {j} +1)} {\ Gamma (k + b_ {j} +1) }} \ cdot {\ tfrac {\ Gamma (b_ {j + 1})} {\ Gamma (k + b_ {j + 1})}} \ cdots {\ tfrac {\ Gamma (b_ {q})} { \ Gamma (k + b_ {q})}} {\ Duży)} {\ tfrac {z ^ {k}} {k!}} \ Koniec {wyrównany}}}$

Tutaj również należy zauważyć, że równanie różniczkowe (2) sprowadza się do kształtu , ponieważ parametry nie istnieją.${\ styl wyświetlania q = 0}$${\ displaystyle z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} {} _ {p} F_ {q} (; b_ {1}, \ kropki, b_ {q}; z)}$${\ styl wyświetlania b_ {j} -1}$

• Równanie różniczkowe (3)

${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} & {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {p} a_ {i}} {\ prod _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}} \; {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {tablica} {c} a_ {1} +1, \ kropki, a_ {p} +1 \\ b_ {1} +1, \ kropki, b_ {q} +1 \ end {array}}; z \ right] \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {p} {\ tfrac {a_ {i} \ cdot \ Gamma (k + a_ {i} +1)} {\ Gamma (a_ {i} +1)}} \ prod _ {j = 1} ^ {q} {\ tfrac {\ Gamma (b_ {j} +1)} {b_ {j} \ cdot \ Gamma (k + b_ {j} +1)}} {\ tfrac { z ^ {k}} {k!}} \\ & \ qquad = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Big (} {\ tfrac {a_ {1} \ cdot \ Gamma (k + a_ {1} +1)} {\ Gamma (a_ {1} +1)}} \ cdots {\ tfrac {a_ {i} \ cdot \ Gamma (k + a_ {i} +1)} {\ Gamma ( a_ {i} +1)}} \ cdots {\ tfrac {a_ {p} \ cdot \ Gamma (k + a_ {p} +1)} {\ Gamma (a_ {p} +1)}} {\ Big )} \ cdot {\ Duży (} {\ tfrac {\ Gamma (b_ {1} +1)} {b_ {1} \ cdot \ Gamma (k + b_ {1} +1)}} \ cdots {\ tfrac {\ Gamma (b_ {j} +1)} {b_ {j} \ cdot \ Gamma (k + b_ {j} +1)}} \ cdots {\ tfrac {\ Gamma (b_ {q} +1)} {b_ {q} \ cdot \ Gamma (k + b_ {q} +1)}} {\ Duży)} {\ tfrac {z ^ {k}} {k!}} \ koniec {wyrównany}}}$

Iloraz produktów do parametrów należy rozumieć w taki sposób, aby:${\ displaystyle {\ tfrac {\ prod _ {i = 1} ^ {p} a_ {i}} {\ prod _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}}}$${\ displaystyle a_ {i}, b_ {j} \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1, -2, -3, \ ldots \}}$

${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; {\ begin {cases} \ prod _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} & {\ text {spadki}} \;p> 0 \\\\ 1 & {\ text {spadki}} \;p = 0 \ end {przypadki}}}$

oraz

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ prod _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}} \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; {\ początek { przypadki} {\ tfrac {1} {\ prod _ {i = 1} ^ {q} b_ {j}}} & {\ text {if}} \; q> 0 \\\\ 1 & {\ text { if }} \; q = 0. \ end {cases}}}$

W przypadku, gdy , na podstawie poprzedniej definicji , równanie różniczkowe (3) przyjmuje postać${\ styl wyświetlania p = q = 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ prod _ {i = 1} ^ {p} a_ {i}} {\ prod _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}} = 1}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} \; {} _ {p} F_ {q} (;; z) \; = \; {} _ { p} F_ {q} (;; z)}$

Specjalne funkcje hipergeometryczne

Funkcja ${\ displaystyle {} _ {0} F_ {0}}$

Jak wskazano na początku, odpowiada funkcji wykładniczej. Funkcja spełnia równanie różniczkowe: ${\ displaystyle {} _ {0} F_ {0} (;; z) = \ mathm {e} ^ {z}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ matematyka {d}} {\ matematyka {d} z}} w = w}$

dowód

${\ displaystyle {} _ {0} F_ {0} \ lewo (; z \ prawo) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {k!} } = \ matematyka {e} ^ {z}}$

Funkcja ${\ styl wyświetlania {} _ {0} F_ {1}}$

Funkcją typu jest tak zwana konfluentna hipergeometryczna funkcja graniczna . Szereg spełnia równanie różniczkowe: ${\ styl wyświetlania {} _ {0} F_ {1} (; a; z)}$

${\ displaystyle z {\ Frac {\ matematyka {d} ^ {2} w} {\ matematyka {d} z ^ {2}}} + a {\ Frac {\ matematyka {d} w} {\ matematyka {d } z}} - w = 0}$

Jest to ściśle związane z funkcjami Bessela :

${\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} \ lewo (; 1 + a; - {\ frac {z ^ {2}} {4}} \ prawo) = \ Gamma (a + 1) \ cdot \ po lewej ({\ frac {z} {2}} \ po prawej) ^ {- a} \ cdot J_ {a} (z) \ quad}$gdzie funkcji Bessela jest${\ styl wyświetlania J_ {a} (z)}$

${\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} \ po lewej (; 1 + a; {\ frac {z ^ {2}} {4}} \ po prawej) = \ Gamma (a + 1) \ po lewej ({ \ frac {z} {2}} \ po prawej) ^ {- a} \ cdot I_ {a} (z) \ quad}$z postaci zmodyfikowanej funkcji fotel${\ displaystyle I_ {a} (z) = e ^ {- ja {\ frac {\ pi} {2}} a} J_ {a} (z)}$

Funkcje pochodne serii to na przykład:

${\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} \ po lewej (; {\ frac {1} {2}}; - {\ frac {z ^ {2}} {4}} \ po prawej) = \ cos z }$

lub

${\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} \ po lewej (; {\ frac {3} {2}}; - {\ frac {z ^ {2}} {4}} \ po prawej) = {\ frac {\ grzech z} {z}}}$.

przykład

Należy wziąć pod uwagę funkcję cosinus :

${\ displaystyle {\ początek {wyrównany} {} _ {0} F_ {1} \ lewo (; {\ tfrac {1} {2}}; - {\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ po prawej) & = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma ({\ frac {1} {2}})} {\ Gamma (k + {\ frac {1} {2 } })}} {\ frac {(- {\ frac {z ^ {2}} {4}}) ^ {k}} {k!}} \\ & = {\ frac {\ gamma ({\ frac { 1} {2}})} {\ Gamma ({\ Frac {1} {2}})}} {\ Frac {(- {\ Frac {z ^ {2}} {4}}) ^ {0 } } {0!}} \; \; \; + {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {1} {2}})} {\ Gamma ({\ Frac {3} {2}})}} { \ Frac {- {\ Frac {z ^ {2}} {4}}} {1}} && + {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {1} {2}})} {\ Gamma ({ \ frac {5} {2}})}} {\ frac {(- {\ frac {z ^ {2}} {4}}) ^ {2}} {2}} && + {\ frac {\ gamma ( {\ frac {1} {2}})} {\ gamma ({\ frac {7} {2}})}} {\ frac {(- {\ frac {z ^ {2}} {4}} ) ^ {3}} {2 \ cdot 3}} & + \ cdots \\ & = {\ frac {\ gamma ({\ frac {1} {2}})} {\ gamma ({\ frac {1} { 2}})}} {\ frac {1} {1}} \ qquad \ quad \ \, + {\ frac {\ gamma ({\ frac {1} {2}})} {{\ frac {1 } {2}} \ gamma ({\ frac {1} {2}})}} {\ frac {-z ^ {2}} {4}} && + {\ frac {\ gamma ({\ frac {1 } {2}})} {{\ frac {3} {2}} {\ frac {1} {2}} \ Gamma ({\ frac {1} {2}})}} {\ frac {z ^ { 4}} {4 ^ {2} \ cdot 2!}} && + {\ frac {\ Gamma ({\ frac {1} {2}})} {{\ frac {5} {2}} {\ frac {3} {2}} {\ frac {1} {2}} \ Gamma ({\ frac {1} {2}})}} {\ frac {-z ^ {6}} {4 ^ {3} \ cdot 3!}} & + \ Cdots \ koniec {wyrównany}}}$

Tutaj użyliśmy that is a więc itd. Jak widać, terminy są wszędzie skrócone ; pozostałe ułamki można łatwo zsumować ${\ styl wyświetlania \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$${\ displaystyle \ gamma ({\ tfrac {3} {2}}) = {\ tfrac {1} {2}} \ gamma ({\ tfrac {1} {2}})}$${\ styl wyświetlania \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}})}$

${\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}}; - {\ tfrac {z ^ {2}} {4}}) = 1 - {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {z ^ {4}} {4!}} - {\ Frac {z ^ {6}} {6!}} + \ Cdots = \ suma _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ cos z}$

Funkcja ${\ styl wyświetlania {} _ {1} F_ {0}}$

Równanie różniczkowe spełnia również bezpośrednio jako funkcję elementarną : ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {0} (a ;; z) = (1-z) ^ {- a}}$

${\ displaystyle (1-z) {\ frac {\ matematyka {d} w} {\ matematyka {d} z}} = aw}$

dowód

${\ displaystyle {\ początek {wyrównany} {} _ {1} F_ {0} \ lewo (a ;; z \ prawo) & = \ quad \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac { \ Gamma (k + a)} {\ Gamma (a)}} {\ Frac {z ^ {k}} {k!}} && = \ quad \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(k + a-1)!} {(a-1)!}} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} && = \ quad \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(k + a-1)!} {(a + k-1-k)!}} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} \\ & = \ quad \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {a + k-1} {k}} z ^ {k} && = \ quad \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {-a} {k}} (- 1) ^ {k} z ^ {k} && = \ quad \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {-a} {k}} (-z) ^ {k} \\ & = \ quad (1-z) ^ {- a} \ koniec {wyrównany}}}$

Tutaj w analizie z tożsamością zastosowano współczynnik dwumianowy . Wynikiem jest szereg dwumianowy . ${\ displaystyle {\ tbinom {-a} {k}} = (- 1) ^ {k} {\ tbinom {a + k-1} {k}}}$

Funkcja ${\ styl wyświetlania {} _ {1} F_ {1}}$

Funkcja ta nazywa się funkcją Kummera (od Ernsta Eduarda Kummera ). Jest często określany jako konfluentny szereg hipergeometryczny i spełnia równanie różniczkowe Kummera: ${\ styl wyświetlania {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}$

${\ displaystyle z {\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} w} {\ matematyka {d} z ^ {2}}} + (bz) {\ frac {\ matematyka {d} w} {\ matematyka {d} z}} - aw = 0}$

Funkcje pochodne to na przykład:

${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} \ lewo (a; a + 1; -z \ prawo) = az ^ {- a} \ gamma (a, z)}$gdzie niepełne działanie promieniowania gamma jest${\ styl wyświetlania \ gamma (a, z)}$

lub

${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} \ lewo (1; a + 1; z \ prawo) = az ^ {- a} e ^ {z} \ gamma (a, z)}$

Funkcja ${\ styl wyświetlania {} _ {2} F_ {0}}$

Funkcja pojawia się w połączeniu z całkową funkcją wykładniczą . ${\ jajko displaystyle (z)}$

Funkcja ${\ styl wyświetlania {} _ {2} F_ {1}}$

Historycznie najważniejsza jest funkcja hipergeometryczna . Jest również określany jako funkcja hipergeometryczna Gaussa , zwykła funkcja hipergeometryczna lub często po prostu funkcja hipergeometryczna. Aby zróżnicować, do oznaczenia stosuje się uogólnioną funkcję hipergeometryczną , w przeciwnym razie istnieje ryzyko pomyłki. Funkcja została po raz pierwszy w pełni zbadana przez Carla Friedricha Gaussa , zwłaszcza w odniesieniu do zbieżności. Spełnia równanie różniczkowe ${\ styl wyświetlania {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}$${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q}}$

${\ displaystyle z (1-z) {\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} w} {\ matematyka {d} z ^ {2}}} + (c- (a + b + 1) z) {\ frac {\ matematyka {d} w} {\ matematyka {d} z}} - abw = 0}$,

które nazywa się hipergeometrycznym równaniem różniczkowym .

Funkcja ${\ styl wyświetlania {} _ {3} F_ {0}}$

Funkcja pojawia się w połączeniu z wielomianem Motta .

Funkcja ${\ styl wyświetlania {} _ {3} F_ {1}}$

Funkcja pojawia się w połączeniu z funkcją fotela .

Dalsze uogólnienia

Uogólnioną funkcję hipergeometryczną można uogólnić jeszcze bardziej, wprowadzając prefaktory przed , co dodatkowo zwiększa złożoność funkcji. Wystarczy zmodyfikować ten znak o dwa kolejne indeksy byłoby konieczne: ${\ styl wyświetlania k}$${\ styl wyświetlania k}$

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} & F_ {pqrs} (a_ {1}, \ kropki, a_ {p}; b_ {1}, \ kropki, b_ {q}; c_ {1}, \ kropki, c_ { r}; d_ {1}, \ kropki, d_ {s}; z) \\ & \ qquad \ qquad = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {i = 1} ^ { p } {\ Frac {\ Gamma (k + a_ {i})} {\ Gamma (a_ {i})}} \ prod _ {j = 1} ^ {q} {\ Frac {\ Gamma (-k + b_ {j})} {\ Gamma (b_ {j})}} \ prod _ {l = 1} ^ {r} {\ frac {\ Gamma (c_ {l})} {\ Gamma (k + c_ { l })}} \ prod _ {m = 1} ^ {s} {\ Frac {\ Gamma (d_ {m})} {\ Gamma (-k + d_ {m})}} {\ Frac {z ^ { k}} {k!}} \ koniec {wyrównany}}}$

Jeśli te prefaktory niekoniecznie są liczbami całkowitymi, funkcje Foxa-Wrighta uzyskuje się jako uogólnienie .

literatura

• Eduard Heine : Handbuch der Kugelfunctionen s. 91 Georg Reimer, Berlin, 1861.
• Felix Klein : Wykłady na temat funkcji hipergeometrycznej Springer, Berlin, przedruk 1981.
• Ludwig Bieberbach : Teoria równań różniczkowych Springer, Berlin, 1930.

Indywidualne dowody

1. ↑ J. Quigley, KJ Wilson, L. Walls, T. Bedford: Liniowa metoda Bayesa do szacowania skorelowanych częstości zdarzeń w : Analiza ryzyka 2013 doi = 10.1111 / risa.12035
2. ↑ Lucy Joan Slater: „Uogólnione funkcje hipergeometryczne” w: „Cambridge University Press”. 1966 ISBN 0-521-06483-X (przedruk został opublikowany w miękkiej okładce w 2008 r.: ISBN 978-0-521-09061-2 )