Funkcja gamma

Wykres funkcji gamma w ujęciu rzeczywistym

Złożona funkcja gamma: jasność odpowiada ilości, kolor argumentowi wartości funkcji. Ponadto rysowane są linie konturowe o stałej wielkości.

Ilość złożonej funkcji gamma

Funkcja gamma Eulera, w skrócie funkcja gamma lub całka Eulera drugiego rodzaju, jest jedną z najważniejszych funkcji specjalnych i jest wykorzystywana w matematycznych gałęziach analizy i teorii funkcji . Dziś jest oznaczany grecką wielką literą gamma i jest transcendentną funkcją meromorficzną o własności ${\ styl wyświetlania \ Gamma}$

${\ styl wyświetlania \ Gamma (n) = (n-1)!}$

dla każdej liczby naturalnej , gdzie silnia jest oznaczony. Motywacją do zdefiniowania funkcji gamma była możliwość rozszerzenia funkcji silni na argumenty rzeczywiste i złożone. Szwajcarski matematyk Leonhard Euler rozwiązał ten problem w 1729 roku i zdefiniował funkcję gamma za pomocą iloczynu nieskończonego . Dziś funkcja gamma jest często definiowana za pomocą reprezentacji całkowej , która również sięga Eulera. ${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania!}$

Funkcja gamma jest podstawą rozkładu prawdopodobieństwa gamma .

Klasyfikacja bez wcześniejszej wiedzy matematycznej

Funkcja matematyczna jest w zasadzie jak maszyna licząca . Wprowadzasz wartość do funkcji, a to daje wynik zależny od wartości wejściowej, przynajmniej teoretycznie. Co to oznacza to, że funkcja nie liczy się jako taki, ale przeważnie tylko arytmetyka reguła stereotypowy trzyma. Prostym przykładem funkcji jest funkcja kwadratowa , która sama mnoży dane wejściowe. W ujęciu formalnym jest to zapisane jako . Na przykład funkcja kwadratowa przypisuje wartość do liczby . Jeśli to obliczysz, wynikiem będzie , zatem . ${\ styl wyświetlania f (x) = x ^ {2}}$${\ styl wyświetlania -2}$${\ styl wyświetlania (-2) ^ {2}}$${\ styl wyświetlania 4}$${\ styl wyświetlania f (-2) = 4}$

Funkcja gamma opiera się na zasadzie zwanej również wydziałem . To przypisuje iloczyn wszystkich liczb naturalnych aż do tej liczby do liczby naturalnej. Silnię oznaczono symbolem wykrzyknika . Na przykład

${\ displaystyle 4! = 1 \ razy 2 \ razy 3 \ razy 4 = 24.}$

W matematyce problem polegał na tym, czy regułę tę można rozszerzyć również na inne typy liczb. Konkretnie oznacza to:

• Czy wydziały można obliczyć także dla dowolnych liczb wymiernych , rzeczywistych , zespolonych ? Jak z grubsza możesz sobie wyobrazić?${\ styl wyświetlania ({\ tfrac {1} {2}})!}$
• Jeśli takie „uniwersalne” reguły zostaną znalezione, jakie matematyczne właściwości można im nadać? Czy któryś z tych przepisów wyróżnia się jako szczególnie naturalny i strukturalny? Czy ta konkretna zasada jest jasno określona, ​​czyli „jedyny” uogólniony wydział?

Odpowiedzi na te pytania dostarcza funkcja gamma. O jakiekolwiek wartości świadczy , więc Np . przesunięcie jednego z wyżej wymienionych wydziałów wynika z konwencji XIX wieku. Strategia uogólniania opiera się na obserwacji, że kolejny wydział uzyskuje się z poprzedniego wydziału przez dodanie kolejnego czynnika. Dotyczy to z grubsza iw ogóle . W związku z tym wszystkie wartości funkcji gamma powinny być powiązane. Jeśli postawić dalsze ważne warunki, takie jak różniczkowalność , to można to ostatecznie jasno zdefiniować, za pomocą którego znajduje się „zdolność uogólniona”. ${\ styl wyświetlania z}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (z + 1) = z!}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (5) = 24.}$${\ displaystyle 4! \ cdot 5 = 5!}$${\ displaystyle n! \ cdot (n + 1) = (n + 1)!}$${\ styl wyświetlania \ gamma (z) \ cdot z = \ gamma (z + 1)}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (z)}$

Następnie odnosi się do numeru koła . Zależność tę można wyjaśnić rozkładem normalnym Gaussa. ${\ displaystyle ({\ tfrac {1} {2}})! = \ Gamma ({\ tfrac {3} {2}}) = {\ tfrac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ około 0 {,} 88622}$ ${\ styl wyświetlania \ pi}$

historia

Najwcześniejszą definicją funkcji gamma jest ta podana w liście Daniela Bernoulliego do Christiana Goldbacha z 6 października 1729 roku:

${\ displaystyle {\ Bigl (} A + {\ Frac {x} {2}} {\ Bigr)} ^ {x-1} {\ Bigl (} {\ Frac {2} {1 + x}} \ cdot { \ frac {3} {2 + x}} \ cdot {\ frac {4} {3 + x}} \ cdots {\ frac {A} {A-1 + x}} {\ Bigr)}}$

dla nieskończenie dużych , zgodnie z dzisiejszą notacją lub . Kilka dni później, 13 października, ^lipca. / 24 października 1729 ^gr. Euler również opisał podobną, nieco prostszą formułę w liście do Goldbacha${\ styl wyświetlania A}$${\ styl wyświetlania x!}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (x + 1)}$

${\ displaystyle {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ dotsm n} {(1 + m) (2 + m) \ dotsm (n + m)}} \, (n + 1) ^ {m}, }$

które Gauss odkrył ponownie w 1812 r. dla bardziej ogólnego przypadku liczb zespolonych (wspomniane litery zostały opublikowane dopiero w 1843 r.). W miarę wzrostu zbliża się do prawdziwej wartości lub . 8 stycznia 1730 Euler opisał następującą całkę do interpolacji funkcji wydziału w liście do Goldbacha, który przedstawił Akademii Petersburskiej 28 listopada 1729 :${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania m!}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (m + 1)}$

${\ displaystyle \ int \! \ mathrm {d} x (-lx) ^ {n},}$     w dzisiejszym zapisie:     ${\ displaystyle \ displaystyle \ Gamma (n + 1) = \ int _ {0} ^ {1} (- \ log x) ^ {n} \ mathrm {d} x}$

Definicja ta była później preferencyjnie używana przez Eulera i przechodzi do formy poprzez podstawienie ${\ styl wyświetlania t = - \ log x}$

${\ displaystyle \ Gamma (n + 1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {n} \ mathm {e} ^ {- t} \ mathm {d} t}$

powyżej. Euler odkrył tę całkę, badając problem w mechanice , w którym bierze się pod uwagę przyspieszenie cząstki.

Adrien-Marie Legendre wprowadził greckie wielkie litery ( gamma ) jako funkcjonalny symbol w 1809 roku . W 1812 Gauss użył symbolu funkcji ( Pi ) w taki sposób, że i dlatego odnosi się również do nieujemnych liczb całkowitych . Jednak nie zwyciężył; dziś jest używany jako symbol produktu (analogicznie do sumy). ${\ styl wyświetlania \ Gamma}$${\ styl wyświetlania \ Pi}$${\ styl wyświetlania \ Pi (x) = \ Gamma (x + 1)}$${\ styl wyświetlania \ Pi (n) = n!}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania \ Pi}$${\ styl wyświetlania \ Sigma}$

Definicja i elementarne formy reprezentacji

W literaturze nie ma standardowej definicji funkcji gamma.

Często podawana jest całka Eulera drugiego rodzaju. Wadą jest to, że ta całka nie wszędzie zbiega się. Globalne obliczenie przy użyciu tej definicji jest zatem możliwe tylko pośrednio. Dla liczb zespolonych z dodatnią częścią rzeczywistą funkcją gamma jest całka niewłaściwa${\ styl wyświetlania z}$

${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} {\ matematyka {e}} ^ {- t} \ matematyka {d} t.}$

Zdefiniowana przez to funkcja jest holomorficzna , ponieważ całka (z powodu szybkiego zaniku funkcji wykładniczej) zbiega się jednostajnie na zbiorach zwartych. Umożliwia to wykorzystanie twierdzenia o zbieżności Weierstrasse . Przez kontynuację meromorficzną można ostatecznie obliczyć wszystkie wartości . ${\ styl wyświetlania \ Gamma (z)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1, -2, \ kropki \}}$

Inna reprezentacja za pomocą iloczynu w sposób bezpośredni motywuje generalizację wydziału. Podaje ją:

${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ frac {n! \, n ^ {z}} {z (z + 1) (z + 2) \ kropki (z + n)}}.}$

W swojej książce Teoria liczb. Analityczne i nowoczesne narzędzia dają Henri Cohenowi definicję za pomocą funkcji zeta Hurwitza . Jako przyczyny takiego stanu rzeczy podaje się „prostą możliwość uogólnienia” i „nacisk na ważne formuły”. Dlatego dotyczy liczb zespolonych z dodatnią częścią rzeczywistą${\ styl wyświetlania \ zeta (s, z)}$${\ styl wyświetlania z}$

${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ exp (\ zeta '(0, z) - \ zeta' (0,1)),}$

gdzie pochodna jest tworzona w odniesieniu do pierwszej zmiennej.

Właściwości globalne

Równanie funkcjonalne i meromorfia

Funkcja gamma spełnia w swojej dziedzinie dla wszystkich równań funkcyjnych ${\ styl wyświetlania z}$

${\ styl wyświetlania z \ Gamma (z) = \ Gamma (z + 1).}$

Za pomocą tej relacji możliwa jest kontynuacja indukcyjna (na przykład całka Eulera). Dotyczy wszystkich${\ styl wyświetlania n = 0,1,2, \ kropki}$

${\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ Frac {\ Gamma (z + n + 1)} {z (z + 1) (z + 2) \ cdots (z + n)}}.}$

Zera i bieguny

Z poprzedniej reprezentacji można wywnioskować, że można kontynuować do funkcji meromorficznej, która ma bieguny w punktach . Wszystkie bieguny są proste i mają resztkę${\ styl wyświetlania \ Gamma (z)}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {C}}$${\ styl wyświetlania z = 0, -1, -2, \ kropki}$

${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {Res} _ {- n} \ Gamma = {\ Frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$,

tutaj jest . Nie zawiera zer . To sprawia, że z całą funkcję tylko z prostych zerami. ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ styl wyświetlania \ Gamma}$${\ styl wyświetlania \ Gamma ^ {-1}}$

Twierdzenie Holdera

Twierdzenie hodowcy ( Otto Höldera 1886) to wynik ujemny i stwierdza, że jest to funkcja gamma nie spełniają algebraiczny różnicowego równania, którego współczynniki są racjonalne funkcje . Oznacza to, że nie ma równania różniczkowego postaci z nieujemną liczbą całkowitą i wielomianem, w którym współczynnikami są funkcje wymierne i rozwiązanie .${\ displaystyle f (z, y (z), y '(z), \ dotsc, y ^ {(n)} (z)) = 0}$${\ styl wyświetlania n}$ ${\ displaystyle f \ neq 0}$${\ displaystyle y, y ', \ kropki, y ^ {(n)}}$${\ styl wyświetlania z}$${\ styl wyświetlania y = \ Gamma}$

Charakterystyka aksjomatyczna

Kontynuacja wydziału

Warunki i , które jednoznacznie opisują zdolność do liczb naturalnych, spełniają również funkcje analityczne inne niż funkcja gamma. Na przykład spełnia funkcję pozytywu${\ styl wyświetlania G (1) = 1}$${\ styl wyświetlania G (x + 1) = x \ cdot G (x)}$${\ styl wyświetlania x}$

${\ Displaystyle G (x) = \ Gamma (x) \ cdot {\ bigl (} 1 + c \, \ sin (2 \ pi x) {\ bigr)}}$

dla warunków charakterystycznych funkcji gamma. Weierstrass dodał więc warunek konieczny i wystarczający w 1854 r. ${\ styl wyświetlania 0 <c <1}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ frac {G (x + n)} {G (n) \, n ^ {x}}} = 1}$

dodał, co nie zakończyło poszukiwań cechy charakteryzującej, która byłaby tak elementarna lub naturalna, jak to tylko możliwe. Emil Artin omówił w 1931 możliwą charakterystykę za pomocą równań funkcyjnych .

Twierdzenie Bohra-Mollerupa

Twierdzenie Bohra-Mollerupa ( Harald Bohr i Johannes Mollerup 1922) pozwala na prostą charakterystykę funkcji gamma:

Funkcja w tym obszarze jest dokładnie taka sama jak funkcja gamma, jeśli: ${\ displaystyle G \ dwukropek \ mathbb {R} _ {> 0} \ do \ mathbb {R} _ {> 0}}$

1. ${\ styl wyświetlania G (1) = 1,}$
2. ${\ styl wyświetlania G (x + 1) = x \ cdot G (x),}$
3. ${\ styl wyświetlania G}$jest logarytmicznie wypukła , że jest to funkcja wypukła .${\ displaystyle x \ mapsto \ log G (x)}$

Te aksjomaty są punktem wyjścia do prezentacji teorii funkcji gamma przez Nicolasa Bourbaki .

Twierdzenie Wielandta

Twierdzenie Wielandta o funkcji gamma ( Helmut Wielandt 1939) charakteryzuje funkcję gamma jako funkcję holomorficzną i stwierdza:

Funkcja holomorficzna zdefiniowana w domenie zawierającej pasek jest równa funkcji gamma wtedy i tylko wtedy, gdy: ${\ styl wyświetlania G}$ ${\ styl wyświetlania D}$${\ displaystyle S = \ {x \ mid 1 \ leq \ operatorname {Re} (x) <2 \}}$${\ styl wyświetlania D}$

1. ${\ styl wyświetlania G (1) = 1,}$
2. ${\ styl wyświetlania G (x + 1) = x \ cdot G (x),}$
3. ${\ styl wyświetlania | G |}$ogranicza się do pasa , czyli istnieje jeden , więc dla wszystkich na zewnątrz .${\ styl wyświetlania S}$${\ styl wyświetlania c> 0}$${\ styl wyświetlania | G (x) | <c}$${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania S}$

Dokładniej dotyczy wszystkich osób z . ${\ styl wyświetlania | \ Gamma (x) | \ leq \ Gamma (\ nazwa operatora {Re} (x))}$${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {Re} (x)> 0}$

Inne formy reprezentacji

Oprócz reprezentacji funkcji gamma z definicji istnieją inne równoważne reprezentacje. Bezpośrednią definicją dla wszystkich jest przedstawienie iloczynu funkcji gamma Gaussa ,${\ styl wyświetlania \ Gamma (x)}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1, -2, \ kropki \}}$

${\ displaystyle \ Gamma (x) = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ frac {n! \, n ^ {x}} {x (x + 1) (x + 2) \ dotsm (x + n)}},}$

który został już podany przez Eulera w 1729 roku dla dodatnich liczb rzeczywistych . Przedstawienie jako produkt firmy Weierstrass wynika z tego :${\ styl wyświetlania 1 / \ Gamma}$

${\ displaystyle 1 / \ Gamma (x) = x \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ po lewej (1 + {\ frac {x} {n}} \ po prawej) \ mathm {e} ^ {- x \ log ({\ frac {n + 1} {n}})} = x \ cdot \ mathm {e} ^ {\ gamma \, x} \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ { \ infty} \ po lewej (1 + {\ frac {x} {n}} \ po prawej) \ mathrm {e} ^ {- x / n}}$

ze stałą Eulera-Mascheroni . Drugi produkt jest powszechnie określany jako reprezentacja Weierstrassa, ale Karl Weierstrass używał tylko pierwszego.${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ bigl (} ({\ tfrac {1} {1}} + {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}} + \ kropki + {\ tfrac {1} {n}}) - \ log n {\ bigr)}}$

Reprezentacja całkowa z definicji również sięga Eulera 1729; odnosi się bardziej ogólnie do liczb zespolonych z dodatnią częścią rzeczywistą:

${\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} \ mathm {e} ^ {- t} \, \ mathm {d} t,}$     gdyby     ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {Re} (x)> 0.}$

Rozkładając tę ​​całkę, EF Prym w 1876 ​​r. wydedukował całkowicie poprawną reprezentację: ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1, -2, -3, \ kropki \}}$

${\ displaystyle \ Gamma (x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n! (n + x)}} + \ int _ { 1} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \ matematyka {d} t}$

Inny wariant reprezentacji całkowej Eulera jest dostępny dla z : ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$${\ styl wyświetlania 0 <\ nazwa operatora {Re} (x) <1}$

${\ displaystyle \ Gamma (x) = \ mathm {e} ^ {\ pi \ mathrm {i} x / 2} \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} \ mathrm {e} ^ {- \ matematyka {i} t} \, \ matematyka {d} t}$

Na przykład z tej reprezentacji można w elegancki sposób wyprowadzić wzory na całki Fresnela.

Ernst Eduard Kummer podał rozwinięcie Fouriera logarytmicznej funkcji gamma w 1847 roku :

${\ Displaystyle \ log \ Gamma (x) = \ po lewej ({\ tfrac {1} {2}} - x \ po prawej) {\ bigl (} \ gamma + \ log (2 \ pi) {\ bigr)} + {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi x)}} + {\ frac {1} {\ pi}} \ suma _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ log k} {k}} \ sin (2 \ pi kx)}$     Dla     ${\ styl wyświetlania 0 <x <1}$

Jest również nazywany serią Kummer. Carl Johan Malmstén znalazł podobną serię już w 1846 roku :

${\ displaystyle \ log {\ Frac {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} + x)} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} - x)}} = - 2x \, {\ bigl (} \ gamma + \ log (2 \ pi) {\ bigr)} + ​​{\ frac {2} {\ pi}} \ suma _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1 ) ^ {k} {\ frac {\ log k} {k}} \ grzech (2 \ pi kx)}$     Dla     ${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {2}} <x <{\ tfrac {1} {2}}}$

Równania funkcjonalne i wartości specjalne

Funkcja gamma spełnia równanie funkcjonalne

${\ styl wyświetlania \ Gamma (x + 1) = x \ cdot \ Gamma (x)}$     Z     ${\ styl wyświetlania \ Gamma (1) = 1.}$

Ustala się, co następuje : ${\ styl wyświetlania \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}})}$

${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}}) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {- 1/2} \ exp (-x) \, \ mathrm {d} x = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp (-x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle [\ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp (-x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x] ^ {2} = \ int _ {0} ^ {\ infty} 2 \ exp (-x ^ {2}) [\ int _ {0} ^ {1} x \ exp (-x ^ {2} y ^ {2}) \, \ mathrm {d} y] \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {1} 2x \ exp (-x ^ {2}) \ exp (-x ^ {2} y ^ { 2}) \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x =}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ infty} 2x \ exp (-x ^ {2}) \ exp (-x ^ {2} y ^ {2} ) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ infty} 2x \ exp [-x ^ {2} ( y ^ {2} +1)] \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {y ^ {2} +1 }} \ mathrm {d} y = {\ frac {\ pi} {4}}}$

Wynika: ${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}}) = {\ sqrt {\ pi}}}$

Alternatywnie, tę wartość funkcji gamma można określić za pomocą iloczynu Wallisa :

${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4k ^ {2}} {4k ^ {2} -1}} = {\ frac {\ pi} {2}}}$

Ten produkt można uformować w ten sposób:

${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4k (k + 1)} {(2k + 1) ^ {2}}} = {\ frac {\ pi} {4} }}$

Poniższy ułamek ma następującą wartość graniczną:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ Gamma (n + 1) {\ sqrt {n + 1}}} {\ Gamma (n + 3/2)}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ sqrt {\ Gamma (n + 1) \ Gamma (n + 2)}} {\ Gamma (n + 3/2)}} = 1}$

Poniższe wyrażenia odnoszą się do wszystkich n ∈ ℕ:

${\ displaystyle \ Gamma (n + 1) {\ sqrt {n + 1}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ sqrt {k (k + 1)}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ Gamma (n + 3/2)}} = {\ Frac {1} {\ Gamma (3/2)}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2} {2k + 1}}}$

Stąd ta formuła ma zastosowanie:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left [\ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ sqrt {k (k + 1)}} {\ frac {1} {\ Gamma ( 3/2)}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2} {2k + 1}} \ prawy] = 1}$

Wzór jest rozwiązany dla Γ (3/2):

${\ displaystyle \ Gamma (3/2) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left [\ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ sqrt {k (k + 1)}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2} {2k + 1}} \ prawy] =}$

${\ displaystyle = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left [\ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ sqrt {k (k + 1)}} {\ frac {2} {2k + 1}} \ prawo] = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ sqrt {k (k + 1)}} {\ frac {2} {2k + 1}} =}$

${\ displaystyle = {\ sqrt {\ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4k (k + 1)} {(2k + 1) ^ {2}}}}} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {4}}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi}}}$

Wynika:

${\ displaystyle \ Gamma (1/2) = 2 \ Gamma (3/2) = {\ sqrt {\ pi}}}$

Z dodatkowym twierdzeniem o funkcji gamma (Euler 1749)

${\ Displaystyle \ Gamma (x) \ cdot \ Gamma (1-x) = {\ frac {\ pi} {\ grzech (\ pi x)}}}$     Dla     ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z}}$

jest również otrzymywany (sekwencja A002161 w OEIS ) i ${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}}) = {\ sqrt {\ pi}} = 1 {,} 77245 \, 38509 \, 05516 \, 02729 \ kropka}$

${\ displaystyle \ Gamma (-n + {\ tfrac {1} {2}}) = {\ frac {n! \, (-4) ^ {n}} {(2n)!}} \, {\ sqrt { \ pi}}}$     i         dla     ${\ displaystyle \ Gamma (n + {\ tfrac {1} {2}}) = {\ frac {(2n)!} {n! \, 4 ^ {n}}} \, {\ sqrt {\ pi} } }$${\ styl wyświetlania n = 0,1,2, \ kropki}$

W przypadku ogólniejszego wyboru ostatnia formuła staje się formułą podwojenia Legendre (Legendre 1809)${\ styl wyświetlania n}$

${\ displaystyle \ gamma \ po lewej ({\ frac {x} {2}} \ po prawej) \ cdot \ gamma \ po lewej ({\ frac {x + 1} {2}} \ po prawej) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 ^ {x-1}}} \ cdot \ Gamma (x)}$     Dla     ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1, -2, \ kropki \}.}$

Jest to szczególny przypadek wzoru na mnożenie Gaussa (Gauß 1812)

${\ Displaystyle \ Gamma \ po lewej ({\ Frac {x} {n}} \ po prawej) \ cdot \ Gamma \ po lewej ({\ Frac {x + 1} {n}} \ po prawej) \ cdots \ Gamma \ po lewej ( {\ Frac {x + n-1} {n}} \ po prawej) = {\ Frac {(2 \ pi) ^ {(n-1) / 2}} {n ^ {\, x-1/2} }} \ cdot \ Gamma (x)}$     dla         i     ${\ styl wyświetlania n = 1, \, 2, \, 3, \, \ ldots}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1, -2, \ kropki \}.}$

Gregory Chudnovsky pokazał w 1975 roku, że każda z liczb , , , , i transcendentalnych i algebraicznie niezależne od jest. Z drugiej strony nie wiadomo nawet, czy wartość funkcji (sekwencja A175380 w OEIS ) jest nieracjonalna .${\ styl wyświetlania \ Gamma (1/6)}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (1/4)}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (1/3)}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (2/3)}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (3/4)}$${\ styl wyświetlania \ Gamma (5/6)}$ ${\ styl wyświetlania \ pi}$${\ Displaystyle \ Gamma (1/5) = 4 {,} 59084 \, 37119 \, 98803 \, 05320 \, \ kropka}$

Ze stałą lemniskatową obowiązuje ${\ styl wyświetlania \ varpi}$

${\ displaystyle \ Gamma \ lewy ({\ frac {1} {4}} \ prawy) = 4 \ cdot \ Gamma \ lewy ({\ frac {5} {4}} \ prawy) = {\ sqrt {2 \ varpi \, {\ sqrt {2 \ pi}}}} = 3 {,} 62560 \, 99082 \, 21908 \, 31193 \ kropka}$(Postępuj zgodnie z A068466 w OEIS ).

Ponieważ obowiązują następujące zasady:

${\ displaystyle \ Gamma \ lewy ({\ frac {5} {4}} \ prawy) ^ {2} = [\ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp (-x ^ {4}) \, \ mathrm {d} x] ^ {2} = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ infty} 2x \ exp (-x ^ {4}) \ exp (-x ^ {4} y ^ {4}) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ infty} 2x \ exp [-x ^ {4} (y ^ {4} +1)] \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y =}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp [-x ^ {2} (y ^ {4} +1)] \, \ mathrm {d } x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {y ^ {4} +1}}} \ mathrm {d} y \ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp (-x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ varpi} {2 {\ sqrt {2}}}} \ int _ {0 } ^ {\ infty} \ exp (-x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ varpi {\ sqrt {\ pi}}} {4 {\ sqrt {2}}} }}$

Dla arc sine lemniscatus obowiązuje następujący wzór: ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {y ^ {4} +1}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} {\ sqrt {2}} \ cdot \ mathrm {arcsl} \ po lewej ({\ frac {y} {\ sqrt {{\ sqrt {y ^ {4} +1}} + 1}}} \ po prawej)}$

Ze względu na zdanie uzupełniające stosuje się, co następuje:

${\ displaystyle \ Gamma \ po lewej ({\ frac {3} {4}} \ po prawej) = {\ sqrt {2}} \ pi / \ Gamma \ po lewej ({\ frac {1} {4}} \ po prawej) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi ^ {3}}} {{\ sqrt [{4}] {2}} {\ sqrt {\ varpi}}}} = {\ sqrt [{ 4}] {\ pi}} {\ sqrt {2E ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) - K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}})}}}$

Tutaj K jest całkowitą całką eliptyczną pierwszego rzędu, a E jest całkowitą całką eliptyczną drugiego rzędu.

Wartości funkcji gamma trzeciego można również przedstawić za pomocą całek eliptycznych pierwszego i drugiego rzędu:

${\ Displaystyle \ Gamma \ po lewej ({\ Frac {1} {3}} \ po prawej) = 3 \ cdot \ Gamma \ po lewej ({\ Frac {4} {3}} \ po prawej) = {\ Frac {2 ^ {7/9}} {3 ^ {1/12}} {\ pi} ^ {1/3} {K [\ grzech ({\ frac {\ pi} {12}})]} ^ {1 / 3}}$

${\ displaystyle \ Gamma \ po lewej ({\ frac {2} {3}} \ po prawej) = {\ frac {3} {2}} \ cdot \ Gamma \ po lewej ({\ frac {5} {3}} \ po prawej) = {\ frac {2 ^ {2/9}} {3 ^ {5/12}}} {\ pi} ^ {2/3} {K [\ grzech ({\ frac {\ pi} {12 }})]} ^ {-1/3} = {\ frac {2 ^ {5/9}} {3 ^ {5/12}}} {\ pi} ^ {1/3} [{2 {\ sqrt {3}} E [\ sin ({\ frac {\ pi} {12}})] - ({\ sqrt {3}} + 1) K [\ sin ({\ frac {\ pi} {12} })]}] ^ {1/3}}$

Ponieważ obowiązują następujące zasady:

${\ displaystyle \ Gamma \ lewy ({\ frac {4} {3}} \ prawy) ^ {2} = [\ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp (-x ^ {3}) \, \ mathrm {d} x] ^ {2} = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ infty} 2x \ exp (-x ^ {3}) \ exp (-x ^ {3} y ^ {3}) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y =}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ infty} 2x \ exp [-x ^ {3} (y ^ {3} +1)] \, \ mathrm { d} x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {(y ^ {3} +1) ^ {2/3}}} \ mathrm {d } y \ int _ {0} ^ {\ infty} 2x \ exp (-x ^ {3}) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {2 ^ {1/3}} {3 ^ {3 / 4}}} K [\ sin ({\ frac {\ pi} {12}})] \ Gamma \ po lewej ({\ frac {5} {3}} \ po prawej)}$

Ze względu na wzór Eulera zdania uzupełniającego obowiązuje: ${\ Displaystyle \ Gamma \ po lewej ({\ Frac {4} {3}} \ po prawej) \ Gamma \ po lewej ({\ Frac {5} {3}} \ po prawej) = {\ Frac {4 \ pi} {9 {\ sqrt {3}}}}}$

Ogólnie rzecz biorąc, dla wszystkich obowiązuje następująca formuła : ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle {\ Frac {\ Gamma (1 + 1 / n) ^ {2}} {\ Gamma (1 + 2 / n)}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {1} {(x ^ {n} +1) ^ {2 / n}}} \ matematyka {d} x = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {2 ^ {2 / n} { \ sqrt {1-x ^ {n}}}}} \ mathm {d} x}$

Ostatnim krokiem jest zastąpienie w następujący sposób: ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {x} {(1 + {\ sqrt {1-x ^ {n}}}) ^ {2 / n}}}}$

W ten sposób można wyznaczyć wszystkie wartości funkcji gamma liczb wymiernych.

Następujące dodatkowe wartości funkcji gamma można przedstawić całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rzędu:

${\ displaystyle \ Gamma (1/6) = 2 ^ {11/9} 3 ^ {1/3} \ pi ^ {1/6} K [\ grzech ({\ frac {\ pi} {12}}) ] ^ {2/3}}$

${\ displaystyle \ Gamma (5/6) = 2 ^ {4/9} 3 ^ {-1/3} \ pi ^ {1/6} \ {{2 {\ sqrt {3}} E [\ grzech ( {\ frac {\ pi} {12}})] - ({\ sqrt {3}} + 1) K [\ sin ({\ frac {\ pi} {12}})]} \} ^ {2 / 3}}$

${\ displaystyle \ Gamma (1/8) = 2 ^ {17/8} \ pi ^ {1/8} K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) ^ {1/4} K ({\ sqrt {2}} - 1) ^ {1/2}}$

${\ displaystyle \ Gamma (3/8) = 2 ^ {11/8} ({\ sqrt {2}} - 1) ^ {1/2} \, \ pi ^ {1/8} [2E ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) - K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}})] ^ {1/4} K ({\ sqrt {2}} - 1) ^ {1/2}}$

${\ displaystyle \ Gamma (5/8) = 2 ^ {5/8} \ pi ^ {1/8} K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) ^ {1/4} [ {\ sqrt {2}} E ({\ sqrt {2}} - 1) -K ({\ sqrt {2}} - 1)] ^ {1/2}}$

${\ displaystyle \ Gamma (7/8) = 2 ^ {-1/8} ({\ sqrt {2}} + 1) ^ {1/2} \ pi ^ {1/8} [2E ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) - K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}})] ^ {1/4} [{\ sqrt {2}} E ({\ sqrt {2}}} {2}} - 1) -K ({\ sqrt {2}} - 1)] ^ {1/2}}$

${\ displaystyle \ Gamma (1/12) = 2 ^ {55/36} 3 ^ {7/24} ({\ sqrt {3}} + 1) ^ {1/2} \ pi ^ {1/12} K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) ^ {1/2} K [\ sin ({\ frac {\ pi} {12}})] ^ {1/3}}$

${\ displaystyle \ Gamma (5/12) = 2 ^ {29/36} 3 ^ {- 1/24} ({\ sqrt {3}} - 1) ^ {1/2} \ pi ^ {1/12 } K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) ^ {1/2} \ {{2 {\ sqrt {3}} E [\ sin ({\ frac {\ pi} {12} })] - ({\ sqrt {3}} + 1) K [\ sin ({\ frac {\ pi} {12}})]} \} ^ {1/3}}$

${\ displaystyle \ Gamma (7/12) = 2 ^ {19/36} 3 ^ {1/24} ({\ sqrt {3}} - 1) ^ {1/2} \ pi ^ {1/12} [2E ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) - K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}})] ^ {1/2} K [\ sin ({\ frac {\ pi} {12}})] ^ {1/3}}$

${\ displaystyle \ Gamma (11/12) = 2 ^ {- 7/36} 3 ^ {- 7/24} ({\ sqrt {3}} + 1) ^ {1/2} \ pi ^ {1/ 12} [2E ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) - K ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}})] ^ {1/2} \ {{2 { \ sqrt {3}} E [\ sin ({\ frac {\ pi} {12}})] - ({\ sqrt {3}} + 1) K [\ sin ({\ frac {\ pi} {12 }})]} \} ^ {1/3}}$

Dalsze zależności między funkcją gamma a całkami eliptycznymi:

${\ displaystyle {\ frac {\ gamma (21/20) ^ {2}} {\ gamma (11/10)}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt [ {10}] {x ^ {20} +1}}} \, \ matematyka {d} x = 2 ^ {9/10} 5 ^ {- 1/2} \ grzech ({\ frac {\ pi} { 5}}) ^ {1/2} \ cos ({\ frac {\ pi} {20}}) K \ {\ sin [{\ frac {1} {2}} \ arcsin ({\ sqrt {5} } -2)] \}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma (23/20) ^ {2}} {\ Gamma (13/10)}} = 2 ^ {27/10} 5 ^ {- 5/4} 3 \ grzech ({ \ frac {\ pi} {5}}) ^ {5/2} \ cos ({\ frac {3 \ pi} {20}}) K \ {\ sin [{\ frac {1} {2}} \ arcsin ({\ sqrt {5}} - 2)] \}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ gamma (25/24) ^ {2}} {\ gamma (13/12)}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt [ {12}] {x ^ {24} +1}}} \, \ mathrm {d} x = 2 ^ {-13/12} 3 ^ {- 1/4} ({\ sqrt {3}} - 1 ) ({\ sqrt {2}} + 1) K \ {\ tan [{\ frac {1} {4}} \ arcsin ({\ frac {1} {3}})] \}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma (29/24) ^ {2}} {\ Gamma (17/12)}} = 2 ^ {-17/12} 3 ^ {- 3/4} 5 ({\ sqrt {3}} - 1) K \ {\ tan [{\ frac {1} {4}} \ arcsin ({\ frac {1} {3}})] \}}$

Nachylenie funkcji gamma w punkcie 1 jest równe ujemnej stałej Eulera-Mascheroniego : ${\ styl wyświetlania \ gamma}$

${\ styl wyświetlania \ Gamma '(1) = - \ gamma}$

Funkcja gamma ma bieguny pierwszego rzędu w punktach . Reszty otrzymuje się z równania funkcjonalnego${\ displaystyle x = -n \ \ lewo (n = 0,1,2, \ kropki \ prawo)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {x = -n} \ Gamma (x) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}}.}$

Alternatywnie można je dodać bezpośrednio do formuły

${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} {\ frac {1} {z + n }} + \ int _ {1} ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} \ mathm {d} t}$

odczytać. Ponieważ nie ma zer, jest to cała funkcja . ${\ styl wyświetlania \ Gamma}$${\ styl wyświetlania 1 / \ Gamma}$

Połączenie z funkcją schen Riemanna

Bernhard Riemann wprowadził funkcję gamma z funkcją Riemanna ζ za pomocą wzoru w 1859

${\ displaystyle \ gamma (s) \, \ zeta (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s-1}} {\ matematyka {e} ^ {x} - 1}} \, \ matematyka {d} x}$

i następujące zdanie w związku: Termin „pozostaje niezmieniony, gdy w obrocie jest” tak ${\ Displaystyle \ Gamma (s / 2) \, \ pi ^ {- s / 2} \, \ zeta (s)}$${\ style wyświetlania}$${\ styl wyświetlania 1-s}$

${\ Displaystyle \ Gamma (s / 2) \, \ pi ^ {- s / 2} \, \ zeta (s) = \ Gamma {\ bigl (} (1-s) / 2 {\ bigr)} \, \ pi ^ {- (1-s) / 2} \, \ zeta (1-s).}$

Przybliżone obliczenia

Formuła Stirlinga

Wzór Stirlinga zapewnia przybliżone wartości funkcji gamma dla , między innymi , ma ono zastosowanie ${\ styl wyświetlania x> 0}$

${\ displaystyle \ Gamma (x) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, x ^ {x-1/2} \, \ mathm {e} ^ {- x} \, \ mathrm {e} ^ { \ mu (x)}}$     Z     ${\ styl wyświetlania 0 <\ mu (x) <1 / (12x).}$

Przybliżenie rekurencyjne

Z równania funkcjonalnego

${\ styl wyświetlania \ Gamma (z + 1) = z \ cdot \ Gamma (z),}$

który zawiera pewien rodzaj okresowości można rekursywnie przeliczać ze znanych wartości funkcji w pasie o szerokości 1 na wartości w co drugim odpowiednim pasie. Z ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {Re} (z)}$

${\ Displaystyle \ log \ Gamma (z) = \ log \ Gamma (z + 1) - \ log z}$

można dostać się z jednego pasa do sąsiedniego z mniejszą częścią rzeczywistą, a także z -zagięciem. Ponieważ istnieją bardzo dobre przybliżenia dla dużych , ich dokładność można przenieść na obszary, w których bezpośrednie zastosowanie odpowiedniego przybliżenia nie byłoby wskazane. Według Rocktäschela, jak zauważył Carl Friedrich Gauß , asymptotyczna ekspansja wyprowadzona ze wzoru Stirlinga w${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania | z |}$${\ styl wyświetlania \ log \ Gamma (z)}$${\ styl wyświetlania z}$

${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {Ro} (z): = {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi) + \ po lewej (z - {\ frac {1} {2}} \ po prawej) \ lewo (\ log \ lewo (z - {\ frac {1} {2}} \ prawo) -1 \ prawo) \ sim \ log \ Gamma (z)}$.

Ma to nieregularność w bliskiej odległości , ale jest już użyteczne. Z terminem korekcji , twój błąd jest zredukowany do rzędu wielkości , co zapewnia nieograniczony wzrost . ${\ styl wyświetlania z = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ styl wyświetlania | z |> 10}$${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {24}} \ po lewej (z - {\ tfrac {1} {2}} \ po prawej) ^ {-1}}$ ${\ displaystyle {\ matematyczne {O}} (z ^ {-3})}$${\ styl wyświetlania | z |}$

Krotnie zastosowanie przybliżenie to prowadzi do ${\ styl wyświetlania m}$

${\ styl wyświetlania \ log \ Gamma (z) \ ok \ nazwa operatora {Ro} (z + m) - \ suma _ {k = 0} ^ {m-1} \ log (z + k).}$

Logarytm zespolony jest obliczany przy użyciu reprezentacji biegunowej . W przypadku większości zastosowań, takich jak propagacja fal, powinno wystarczyć. ${\ styl wyświetlania z}$${\ styl wyświetlania m = 100}$

Niepełna funkcja gamma

W literaturze termin ten nie jest stosowany jednolicie w odniesieniu do granic integracji i normalizacji (regularyzacji).

Popularne notacje to:

${\ displaystyle \ gamma (a, x) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} \ mathm {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}$     Niepełna funkcja gamma górnej granicy

${\ displaystyle \ Gamma (a, x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} \ mathm {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}$     niepełna funkcja gamma dolnej granicy

${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {P} (a, x) = {\ frac {\ gamma (a, x)} {\ gamma (a)}}}$     uregulowana (niepełna) funkcja gamma granicy górnej

${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {Q} (a, x) = {\ frac {\ gamma (a, x)} {\ gamma (a)}}}$     uregulowana (niepełna) funkcja gamma granicy dolnej

Jeśli mówimy o uregulowanej funkcji gamma, oznacza to już, że jest ona niekompletna.

${\ displaystyle \ Gamma (a, x, y) = \ int _ {x} ^ {y} t ^ {a-1} \ mathm {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}$     lub     ${\ Displaystyle \ Gamma (a, x, y) = {\ Frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {x} ^ {y} t ^ {a-1} \ matematyka {e} ^ {-t} \, \ matematyka {d} t}$

oznacza uogólnioną niepełną funkcję gamma.

uogólnienie

Uogólnienie to wielowymiarowa funkcja gamma, którą można znaleźć w rozkładzie Wisharta .

Zobacz też

• Funkcja Digammy
• Funkcja Meijera G
• Funkcja beta Eulera

literatura

• Niels Nielsen : Podręcznik teorii funkcji gamma. BG Teubner, Leipzig 1906 ( Internet Archive , jw , jak wyżej ).
• ET Whittaker , GN Watson : Funkcja Gamma. Rozdział 12 w toku współczesnej analizy. Cambridge University Press, 4. wydanie 1927; Nowe wydanie 1996, ISBN 0-521-58807-3 , s. 235–264 (w języku angielskim; w archiwum internetowym ).
• Emil Artin : Wprowadzenie do teorii funkcji gamma. BG Teubner, Lipsk 1931; Funkcja gamma. Holt, Rinehart i Winston, Nowy Jork 1964 (tłumaczenie na język angielski: Michael Butler).
• Friedrich Lösch, Fritz Schoblik: Wydział (funkcja gamma) i funkcje pokrewne. Ze szczególnym uwzględnieniem ich zastosowań. BG Teubner, Lipsk 1951.
• Philip J. Davis : Całka Leonharda Eulera: historyczny profil funkcji gamma. The American Mathematical Monthly 66, 1959, s. 849-869 (w języku angielskim; nagrodzony Nagrodą Chauveneta w 1963 ; od MathDL ).
• Konrad Königsberger : Funkcja gamma. Rozdział 17 w Analizie 1. Springer, Berlin 1990; Wydanie 6 2003, ISBN 3-540-40371-X , s. 351-360.
• Reinhold Remmert : Funkcja gamma. Rozdział 2 w teorii funkcji 2. Springer, Berlin 1991; z Georgiem Schumacherem: wydanie 3. 2007, ISBN 978-3-540-40432-3 , s. 31-73 .
• Eberhard Freitag , Rolf Busam: Funkcja gamma. Rozdział 4.1 w teorii funkcji 1. Springer, Berlin 1993; Wydanie 4 2006, ISBN 3-540-31764-3 , s. 194-212 .

linki internetowe

• Eric W. Weisstein : Funkcja gamma . W: MathWorld (angielski).
• Aaron Krowne i wsp.: Funkcja Gamma . W: PlanetMath . (Język angielski)
• Funkcja gamma. At The Wolfram Functions Site (w języku angielskim; z opcjami obliczeń).
• Filmy o funkcji gamma dla początkujących.
• https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValue.html

Indywidualne dowody

1. ^ List ( plik JPG , 136 kB) Daniela Bernoulliego do Christiana Goldbacha z dnia 6 października 1729, wydrukowany w Paul Heinrich Fuss (red.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (tom 2), St.-Pétersbourg 1843, s. 324-325 (francuski).
2. ↑ Peter Luschny: Interpolacja naturalnej silni n! lub Narodziny rzeczywistej funkcji czynnikowej (1729-1826). (Język angielski).
3. ↑ ^{a b} List ( plik PDF , 118 kB) Leonharda Eulera do Christiana Goldbacha z 13 października 1729, wydrukowany w: Paul Heinrich Fuss (red.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Tom 1), St.-Pétersbourg 1843, s. 3-7 (łac.).
4. ^ ^B Carl Friedrich Gauss : Disquisitiones Generalne około seriem infinitam 1 + ... pars I. (30 stycznia 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (Classis Mathematicae), 1813, str. 26 (lac, również w Gauss: Werke Tom 3. s. 145 ).
5. ^ List ( plik PDF , 211 kB) Leonharda Eulera do Christiana Goldbacha z dnia 8 stycznia 1730, wydrukowany w Paul Heinrich Fuss (red.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. Tom 1, St.-Pétersbourg 1843, s. 11-18 (łac.).
6. ^ ^B Leonhard Eulera : De progressionibus transcendentibus, seu quarum końce Generalne algebraice Dari nequeunt. (28 listopada 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5, 1738, s. 36-57 (łac.).
7. ^ Leonhard Euler : De evolutione integralium per producta infinita. ( Plik PDF , 1,2 MB), rozdział 9 w części 1 pierwszego tomu Eulera: Institutionum calculi integralis. 1768, s. 225-250 (łac.).
8. ^ Adrien-Marie Legendre : Badania nad różnymi rodzajami d'intégrales définies. (13 listopada 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l'Institut de France 10, 1809, s. 477 (francuski).
9. ^ Adrien-Marie Legendre : Traité des funkctions elliptiques et des intégrales Eulériennes. (tom 2), Huzard-Courcier, Paryż 1826, s. 365 (francuski).
10. ↑ O. Holder : O własności funkcji gamma, która nie spełnia żadnego algebraicznego równania różniczkowego. 26 czerwca 1886, Mathematische Annalen 28, 1887, s. 1-13 .
11. ↑ Steven B. Bank, Robert P. Kaufman: Uwaga na temat twierdzenia Holdera dotyczącego funkcji gamma. Mathematische Annalen 232, 1978, s. 115-120 (j. angielski).
12. ↑ Karl Weierstraß : O teorii wydziałów analitycznych. (20 maja 1854), Journal for Pure and Applied Mathematics 51, 1856, s. 36 .
13. ↑ Nielsen: Podręcznik teorii funkcji gamma. 1906, s. 3 .
14. ^ Davis: Całka Leonharda Eulera: historyczny profil funkcji gamma. 1959, s. 867.
15. ↑ Artin: Wprowadzenie do teorii funkcji gamma. 1931, s. 31-35.
16. ↑ Harald Bohr , Johannes Mollerup : Nauka i matematyka Analiza III. (Podręcznik analizy matematycznej III), Jul. Gjellerups Forlag, Kopenhaga (Kopenhaga) 1922 (Duński).
17. ↑ Artin: Wprowadzenie do teorii funkcji gamma. 1931, s. 12-13.
18. ^ N. Bourbaki : Elementy mathématique IV.Fonctions d'une variable réelle. Hermann, Paryż 1951 (francuski).
19. ↑ Konrad Knopp : Function Theory II (wyd . 5), de Gruyter, Berlin 1941, s. 47–49.
20. ↑ Reinhold Remmert : Twierdzenie Wielandta o funkcji. The American Mathematical Monthly 103, 1996, s. 214-220.
21. ^ List Carla Friedricha Gaussa do Friedricha Wilhelma Bessela z dnia 21 listopada 1811, wydrukowany w Arthur Auwers (red.): Korespondencja między Gaussem a Besselem, Wilhelm Engelmann, Lipsk 1880, s. 151-155 (fragment w Gauß: Werke. Tom 10.1 str. 362-365).
22. ↑ O. Schlömilch : Trochę o całkach Eulera drugiego rodzaju Archiwum Matematyki i Fizyki 4, 1844, s. 171 .
23. ^ Remmert: Funkcja gamma. Rozdział 2 w Teorii Funkcji 2. 2007, s. 39 .
24. ^ E. Freitag, R. Busam: Teoria funkcji 1. Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3 , strona 225.
25. ↑ Patrz Remmert: Teoria funkcji 2. Rozdział 2, s. 51.
26. ↑ EE Kummer : Przyczynek do teorii funkcji . ${\ displaystyle \ textstyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \ mathrm {e} ^ {- v} v ^ {x-1} dv}$Czasopismo matematyki czystej i stosowanej 35, 1847, s. 4 .
27. ^ CJ Malmstén : De integralibus quibusdam definitis, seriebusque infinitis. (1 maja 1846), Journal for matematyki czystej i stosowanej 38, 1849, s. 25 (łac.).
28. ↑ Ia. V. Blagouchine: Ponowne odkrycie całek Malmstena, ich ocena metodami całkowania konturowego i niektóre wyniki z tym związane. 2014, Ramanujan J., 35 (1), 21-110, doi : 10.1007 / s11139-013-9528-5 . Errata-Dodatek doi : 10.1007 / s11139-015-9763-z
29. ↑ L. Euler : Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que réciproques. (1749), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, s. 96/97 (francuski).
30. ↑ L. Euler: Wzory Evolutio integralis integratione a valore x = 0 ad x = 1 extensa. ${\ displaystyle \ textstyle \ int \! x ^ {f-1} \ mathrm {d} x (lx) ^ {\ frac {m} {n}}}$4 lipca 1771, Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, s. 121 (łac.).
31. ^ Adrien-Marie Legendre : Badania nad różnymi rodzajami d'intégrales définies. (13 listopada 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l'Institut de France 10, 1809, s. 485 (francuski).
32. ↑ Carl Friedrich Gauß : Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1 +… Pars I. 30 stycznia 1812, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, s. 30 (łac.; także po łacinie : Werke. Tom 3, str. 150 ).
33. ↑ Steven R. Finch: Stałe matematyczne. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2 , s. 33 (angielski).
34. ↑ Gregory V. Chudnovsky : Przyczynki do teorii liczb transcendentalnych. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, 1984, ISBN 0-8218-1500-8 , s. 8 (w języku angielskim).
35. ↑ Bernhard Riemann : O liczbie liczb pierwszych w danym rozmiarze. (19 października 1859), miesięczne raporty Prusów Królewskich. Akademia Nauk w Berlinie, 1860, s. 671-680 .
36. ↑ Paul Eugen Böhmer: Równania różniczkowe i pewne całki. KF Koehler, Lipsk 1939, s. 108.
37. ↑ Otto Rudolf Rocktäschel: Metody obliczania funkcji gamma dla złożonego argumentu. Rozprawa, Drezno 1922, s. 14.
38. ^ Karl Rawer : Propagacja fal w jonosferze. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1993, ISBN 0-7923-0775-5 (angielski).