Reszta (teoria funkcji)

W teorii funkcji The końcowa jest funkcja zespolona jest jako pomoc do obliczania złożonych całki krzywej przy pomocy części resztkowej twierdzenia .

definicja

Obszary złożone

Być jeden obszar , odizolowane w i holomorficzna . Następnie dla każdego punktu istnieje jest przerywana otoczenie , które jest relatywnie zwarty w , z holomorficzna. W tym przypadku ma się do rozwoju Laurent . Wtedy jeden określa dla resztkowego z w${\ Displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle D_ {f}}$ ${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle f \ dwukropek D \ setminus D_ {f} \ do \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle a \ in D_ {f}}$ ${\ Displaystyle U: = U_ {r} (a) \ setminus \ {a \} \ podzbiór D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle f | _ {U}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ textstyle f | _ {U} (z) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {a} (f): = c _ {- 1} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ oint \ limity _ {\ częściowe U} f (z) dz}$.

Piłka liczbowa Riemanna

Powyższą definicję można również rozszerzyć na sferę liczb Riemanna . Ponownie niech będzie zbiorem dyskretnym i funkcją holomorficzną. Wtedy dla wszystkich z resztą jest również wyjaśnione powyższą definicją. Na jeden zestaw ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {1} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle D_ {f}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {1}}$${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {P} _ {1} \ setminus D_ {f} \ do \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a \ in D_ {f}}$${\ displaystyle a \ neq \ infty}$${\ displaystyle a = \ infty \ in D_ {f}}$

${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {\ infty} (f): = - c _ {- 1} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ oint \ limity _ {\ gamma } f (z) dz \ ,,}$

gdzie jest okręgiem o wystarczająco dużym promieniu zorientowanym zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a wartością -1 jak powyżej. Współczynnik serii Laurenta. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle c _ {- 1}}$

Funkcje i uwagi

• Niech będzie domeną i funkcją holomorficzną w . Następnie można zastosować całkowe twierdzenie Cauchy'ego , z którego wynika, że ​​reszta w jest równa zero.${\ Displaystyle D \ subset \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle f \ dwukropek D \ do \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$
• Reprezentacja integralna pokazuje, że można także mówić o resztce formy różniczkowej .${\ displaystyle f (z) \ mathrm {d} z}$
• Obowiązuje twierdzenie o resztach .
• Dla funkcji wymiernych , tzw jedność relacja zachodzi: . Oto zbiór wszystkich biegunów i na numer sferze Riemanna .${\ Displaystyle f: {\ kapelusz {\ mathbb {C}}} \ do {\ kapelusz {\ mathbb {C}}}}$${\ displaystyle \ sum _ {p (f)} \ operatorname {Res} _ {p} (f) = 0}$${\ displaystyle p (f)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$

Praktyczne obliczenia

W praktyce można zastosować następujące reguły do ​​obliczenia reszt funkcji o wartościach zespolonych w punkcie : ${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {C}}$

• Reszta jest -liniowa, tj. H. dla obowiązuje:${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ lambda, \ mu \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {a} \ left (\ lambda f + \ mu g \ right) = \ lambda \ operatorname {res} _ {a} f + \ mu \ operatorname {res} _ {a} g}$
• Ma w na biegun pierwszej kolejności stosuje się następujące zasady:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {res} _ {a} f = \ lim _ {z \ rightarrow a} (za) f (z)}$
• Ma na biegun pierwszego rzędu i to w holomorficzna, a następnie:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {a} gf = g (a) \ operatorname {res} _ {a} f}$
• Ma w o zerowej pierwszej kolejności stosuje się co następuje:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {1} {f '(a)}}}$
• Ma w zerowej pierwszego rzędu i to w holomorficzna, a następnie:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {g} {f}} = {\ tfrac {g (a)} {f '(a)}}}$
• Ma w kolejności biegunowej , obowiązują następujące zasady:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {res} _ {a} f = {\ tfrac {1} {\ lewo (n-1 \ prawo)!}} \ lim _ {z \ rightarrow a} {\ Frac {\ częściowe ^ {n-1}} {\ częściowy z ^ {n-1}}} [(za) ^ {n} f (z)]}$
• Ma w zerowej kolejności Th, wówczas: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {f '} {f}} = n}$
• Ma w zerowej tego rzędu i gw holomorficzna, wówczas: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} g {\ tfrac {f '} {f}} = g (a) n}$
• Ma w słupie celu Th, wówczas: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {f '} {f}} = - n}$
• Ma w słupie celu th i gw holomorficzna, wówczas: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} g {\ tfrac {f '} {f}} = - g (a) n}$
• Jeśli ma zostać obliczona reszta w punkcie , to obowiązuje . Ponieważ dotyczy${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {\ infty} f = \ operatorname {res} _ {0} \ left (- {\ tfrac {1} {z ^ {2}}} f ({\ tfrac {1} {z}}) \ right)}$${\ displaystyle w = {\ tfrac {1} {z}}}$${\ Displaystyle f (w) \ mathrm {d} w = f ({\ tfrac {1} {z}}) \ mathrm {d} {\ tfrac {1} {z}} = - {\ tfrac {1} {z ^ {2}}} f ({\ tfrac {1} {z}}) \ mathrm {d} z}$

Reguły dotyczące pochodnej logarytmicznej są również przedmiotem zainteresowania teoretycznego w związku z twierdzeniem o resztach. ${\ displaystyle {\ tfrac {f '} {f}}}$

Przykłady

• Jak wspomniano wcześniej, kiedy znajduje się w otwartym środowisku holomorfu.${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$
• Jeśli tak ma w biegunie pierwsze zamówienie i tak jest .${\ displaystyle f (z) = {\ tfrac {1} {z}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} f = 1}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {1} {\ tfrac {Z} {Z ^ {2} -1}} = {\ tfrac {1} {2}}}$Jak widać od razu z liniowością i regułą pochodnej logarytmicznej, ponieważ ma ona zero pierwszego rzędu.${\ displaystyle z \ mapsto z ^ {2} -1}$${\ displaystyle 1}$
• Ciągła funkcja gamma ma się do biegunów 1. rzędu, a pozostały tam jest .${\ displaystyle -n}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {- n} \ Gamma = {\ tfrac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$

Widok algebraiczny

Niech będzie ciało i przez przyłączony regularne rzeczywista krzywa powyżej . Następnie istnieje mapowanie kanoniczne dla każdego zamkniętego punktu${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle x \ w X}$

${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {x} \ colon \ Omega _ {K (X) / K} \ do K,}$

który przypisuje jego resztę w każdej meromorficznej postaci różniczkowej . ${\ displaystyle x}$

Jeśli -rational punkt i lokalny uniformizer, a pozostały odwzorowania może być określona bezpośrednio następująco: Jest meromorficzną postaci różniczkowej i lokalnej reprezentacji i jest ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega = f \, \ mathrm {d} t}$

${\ displaystyle f = \ sum _ {k = -N} ^ {\ infty} a_ {k} t ^ {k}}$

z serii Laurent , następnie stosuje ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {x} \ omega = a _ {- 1}.}$

W szczególności reszta algebraiczna w przypadku jest zgodna z funkcją teoretyczną. ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$

Analog z resztek twierdzenie jest poprawne: Dla każdego meromorficznej postaci różniczkowej sumę reszt wynosi zero: ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ sum _ {x \ in X} \ operatorname {res} _ {x} \ omega = 0}$

puchnąć

• Eberhard Freitag , Rolf Busam: Teoria funkcji 1. 3. Wydanie. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• AP Yuzhakov: Pozostałość funkcji analitycznej . W: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopaedia of Mathematics . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (angielski, online ). 
• John Tate , Pozostałości różniczek na krzywych. Annales de l'Scientifiques É.NS 4 ^e Seria , tom 1, N ^O  1 (1968), strony 149-159. DJVU / PDF

Konstrukcja algebraicznej mapy reszt.