Całkowe twierdzenie Cauchy'ego

The Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego (po Augustin Louis Cauchy ) jest jednym z kluczowych zestawów teorii funkcji . Zajmuje się całkami po krzywej dla funkcji holomorficznych (zespolonych różniczkowalnych na otwartym zbiorze). Zasadniczo mówi, że dwie ścieżki łączące te same punkty mają tę samą całkę ścieżki, jeśli funkcja jest holomorficzna wszędzie między dwiema ścieżkami. Twierdzenie wywodzi swoje znaczenie z faktu, że jest używane do udowodnienia wzoru całkowego Cauchy'ego i twierdzenia o resztach .

Pierwsze sformułowanie twierdzenia pochodzi z 1814 r. , Kiedy to udowodnił to Cauchy dla obszarów prostokątnych. Uogólnił to przez kilka następnych lat, chociaż oczywiście przyjął ustaloną krzywą jordańską . Dzięki lematowi Goursata współczesne dowody radzą sobie bez tego głębokiego stwierdzenia topologii .

Zdanie

Twierdzenie całkowe zostało sformułowane w wielu wersjach.

Całkowe twierdzenie Cauchy'ego dla dziedzin elementarnych

Pozwolić elementarny domeny, czyli domeny, w której każda funkcja holomorficzna ma pierwotna . Regiony gwiaździste to na przykład regiony elementarne. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego teraz stwierdza, że ${\ Displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle f \ dwukropek D \ do \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0}$

dla każdej zamkniętej krzywej (gdzie i ). Dla znaku całki z okręgiem patrz notacja dla całek krzywych zamkniętych . ${\ Displaystyle \ gamma \ colon [a, b] \ do D}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a <b}$

Jeśli nie ma obszaru elementarnego, stwierdzenie jest błędne. Na przykład pole jest holomorficzne, ale nie znika po każdej zamkniętej krzywej. Na przykład ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle f \ colon z \ mapsto {\ tfrac {1} {z}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz}$

${\ Displaystyle \ oint _ {\ częściowe U_ {r} (0)} {\ Frac {1} {z}} \, \ mathrm {d} z = 2 \ pi \ mathrm {i} \ neq 0}$

do krzywej krawędzi po prostu przechodzącej przez kołowy dysk o dodatnim promieniu . ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle r}$

Całkowe twierdzenie Cauchy'ego (wersja homotopii)

Jest otwarta i dwie homotopijne krzywe są do siebie zbliżone , a więc jest ${\ Displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ dwukropek [0,1] \ do D}$${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle \ int \ limity _ {\ alpha} f (z) \, dz = \ int \ limity _ {\ beta} f (z) \, dz}$

dla każdej funkcji holomorficznej . ${\ Displaystyle f \ dwukropek D \ do \ mathbb {C}}$

Czy prostu podłączone region, to całka znika po wersji homotopies dla każdej krzywej zamkniętej d. H. to elementarny obszar . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$

Jeśli spojrzysz wstecz na powyższy przykład, zauważysz, że nie jest on po prostu połączony. ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$

Całkowe twierdzenie Cauchy'ego (wersja homologii)

Jeśli istnieje obszar i cykl się , to znika ${\ Displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle \ int \ limity _ {\ Gamma} f (z) \, dz}$

dla każdej funkcji holomorficznej wtedy i tylko wtedy, gdy jest zerowy homolog w . ${\ Displaystyle f \ dwukropek D \ do \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle D}$

Pojedyncze osobliwości

Liczba zwojów ścieżki integracji

Niech to będzie obszar, punkt wewnętrzny i holomorficzny. Pozwolić przerywana sąsiedztwo że jest holomorficzna. Ponadto niech będzie całkowicie zamkniętą krzywą , która obraca się dokładnie raz z pozytywną orientacją, tj. H. dla wskaźnika cyrkulacji ma zastosowanie (w szczególności nie jest włączony ). Dzięki twierdzeniu o całkowaniu mamy teraz ${\ Displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a \ in D}$${\ Displaystyle f \ dwukropek D \ setminus \ {a \} \ do \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle U: = U_ {r} (a) \ setminus \ {a \} \ podzbiór D}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} _ {\ gamma} (a) = 1}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = \ oint _ {\ częściowe U} f (z) \, dz.}$

Uogólniając na dowolną liczbę obiegów , uzyskuje się ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = \ operatorname {ind} _ {\ gamma} (a) \ oint _ {\ częściowe U} f (z) \, dz.}$

Z pomocą definicji reszty to nawet skutkuje

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = \ operatorname {ind} _ {\ gamma} (a) \ operatorname {Res} _ {a} f (z).}$

Pozostały twierdzenie jest uogólnieniem tego podejścia do kilku pojedynczych osobliwości oraz do cykli.

przykład

Całka jest poniżej z określonym. Jako ścieżka integracji Wybierz okrąg o promieniu do , więc ${\ Displaystyle \ oint _ {\ częściowe U (a)} {\ Frac {1} {(za) ^ {n}}} \ mathrm {d} z}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ częściowe U (a) = \ częściowe U_ {r} (a)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle Z = \ gamma (t) = a + re ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathrm {d} z = {\ Frac {\ częściowe \ gamma} {\ częściowe t}} \ mathrm {d} t = 2 \ pi ire ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} \ mathrm {d} t}$

Kiedy jest używany, daje:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ oint _ {\ częściowe U_ {r} (a)} {\ Frac {1} {(za) ^ {n}}} \ mathrm {d} z & = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {2 \ pi \ mathrm {i} re ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t}} {r ^ {n} e ^ {2 \ pi n \ mathrm {i } t}}} \ mathrm {d} t = 2 \ pi \ mathrm {i} r ^ {1-n} \ int _ {0} ^ {1} e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t ( 1 -n)} \ mathrm {d} t = {\ begin {cases} 2 \ pi \ mathrm {i} [t] _ {0} ^ {1} & {\ mbox {for}} \ n = 1 \ \ {\ frac {r ^ {1-n}} {1-n}} [e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t (1-n)}] _ {0} ^ {1} & {\ mbox {for}} \ n \ neq 1 \ end {cases}} \\ & = {\ begin {cases} 2 \ pi \ mathrm {i} & {\ mbox {for}} \ n = 1 \\ 0 & {\ mbox {for}} \ n \ neq 1 \ end {cases}} = 2 \ pi \ mathrm {i} \ delta _ {n, 1} \ end {aligned}}}$

Ponieważ każda funkcja, która jest holomorficzna na okrągłym pierścieniu dookoła, może zostać rozszerzona do serii Laurenta , całkowanie prowadzi do : ${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n}}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ oint _ {\ częściowe U (a)} f (z) \ mathrm {d} z = \ oint _ {\ częściowe U (a)} \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } c_ {n} (za) ^ {n} \ mathrm {d} z = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \ oint _ {\ częściowe U (a)} ( za) ^ {n} \ mathrm {d} z}$

Powyższy wynik można teraz wykorzystać: ${\ displaystyle \ oint _ {\ częściowe U_ {r} (a)} (za) ^ {n} \ mathrm {d} z = 2 \ pi \ mathrm {i} \ delta _ {n, -1}}$

${\ Displaystyle \ oint _ {\ częściowe U (a)} f (z) \ mathrm {d} z = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} 2 \ pi \ mathrm { i} \ delta _ {n, -1} = 2 \ pi \ mathrm {i} \, c _ {- 1} = 2 \ pi \ mathrm {i} \, {\ text {Res}} _ {a} (f)}$,

gdzie współczynnik rozszerzalności nazwano resztą . ${\ displaystyle c _ {- 1}}$

Pochodzenie

Następujące wyprowadzenie, które zakłada ciągłą różniczkowalność zespoloną, prowadzi całkę zespoloną z powrotem do rzeczywistych całek dwuwymiarowych.

Bądź z i z . Następnie stosuje się do całki wzdłuż krzywej w płaszczyźnie zespolonej lub do całki równoważnej wzdłuż krzywej ${\ displaystyle z = x + iy \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (z) = f (x, r) = u (x, y) + iv (x, y) \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle u, v \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ gamma (z)}$

${\ Displaystyle C (x, y) = {\ zaczynać {pmatrix} \ Re (\ gamma (z)) \\\ Im (\ gamma (z)) \ koniec {pmatrix}} = {\ zaczynać {pmatrix} \ Re (\ gamma (x, y)) \\\ Im (\ gamma (x, y)) \ end {pmatrix}}}$

w prawdziwym samolocie ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ underset {\ gamma \ podzestaw \ mathbb {C}} {\ int}} f (z) \, dz & = {\ underset {C \ podzestaw \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} f (x, y) \, (dx + idy) = {\ underset {C \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix } f (x, y) \\ if (x, y) \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} dx \\ dy \ end {pmatrix}} \\ & = {\ underset {C \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix} u (x, y) \\ - v (x, y) \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} dx \\ dy \ end {pmatrix}} + i {\ underset {C \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix} v (x, y) \\ u ( x, y) \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} dx \\ dy \ end {pmatrix}} \ end {aligned}}}$

Całka z krzywej zespolonej została zatem wyrażona przez dwie całki z krzywej rzeczywistej.

W przypadku zamkniętej krzywej, która graniczy z prostym połączonym obszarem S, można zastosować twierdzenie Gaussa (tutaj używana jest ciągłość pochodnych cząstkowych) ${\ displaystyle C = \ częściowe S}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ underset {\ gamma \ podzbiór \ mathbb {C}} {\ oint}} f (z) \, dz & = {\ underset {S \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix} \ częściowy _ {x} \\\ częściowy _ {y} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} u \\ - v \ end {pmatrix}} dxdy + i {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix} \ Partial _ {x} \\\ Partial _ {y} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} v \\ u \ end {pmatrix}} dxdy \\ & = {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left \ {\ częściowe _ {x} u- \ częściowe _ {y} v \ right \} dxdy + i {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left \ {\ częściowe _ {x} v + \ częściowe _ {y} u \ right \} dxdy \ end {aligned}}}$

lub alternatywnie twierdzenie Stokesa

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ underset {\ gamma \ podzbiór \ mathbb {C}} {\ oint}} f (z) \, dz & = {\ underset {S \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left [{\ begin {pmatrix} \ częściowe _ {x} \\\ częściowe _ {y} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} u \ \ -v \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right] _ {3} dxdy + i {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left [{\ begin {pmatrix} \ parts _ {x} \\\ parts _ {y} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} v \\ u \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right ] _ {3} dxdy \\ & = {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left \ {- \ części _ {x} v- \ części _ {y } u \ right \} dxdy + i {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left \ {\ Partial _ {x} u- \ Partial _ {y} v \ right \} dxdy \ end {aligned}}}$

Jeśli funkcja w S jest zespolona różniczkowalna , muszą istnieć równania różniczkowe Cauchy'ego-Riemanna${\ displaystyle f (z)}$

${\ Displaystyle \ częściowe _ {x} u = \ częściowe _ {y} v}$   i   ${\ Displaystyle \ częściowe _ {x} v = - \ częściowe _ {y} u}$

przytrzymaj, aby powyższe całki (niezależnie od tego, czy w wersji Gaussa czy Stokesa) zniknęły:

${\ Displaystyle {\ underset {\ gamma} {\ oint}} f (z) \, dz = 0}$

W ten sposób udowodniono całkowe twierdzenie Cauchy'ego dla funkcji holomorficznych na domenach ze sobą prostym.

Całkowe twierdzenie Cauchy'ego z rachunkiem Wirtingera i twierdzeniem Stokesa

Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego w postaci nieznacznego wyniku zestaw Stokes gdy pochodne wirtingera może doprowadzić do zniesienia. Aby udowodnić integralną twierdzenie, obliczenie całki krzywa jest rozumiana jako integracji w wartościach zespolonych postaci różniczkowej

${\ displaystyle \ omega = f (z) dz}$

poprzez zamkniętą krzywą, która biegnie wokół po prostu przyległego i obramowanego obszaru . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C = \ częściowe S}$ ${\ displaystyle S}$

Wirtinger rachunek teraz mówi, że różnica jest reprezentacja ${\ displaystyle df}$

${\ Displaystyle df = {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe z}} dz + {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe {\ bar {z}}}} {d {\ bar {z}} }}$

ma to, co natychmiast

${\ Displaystyle d {\ omega} = df \ klin dz = {{\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe z}} dz} \ klin dz + {{\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe {\ bar {z}}}} {d {\ bar {z}}}} \ wedge dz}$

następuje.

Przede wszystkim jest to fundamentalne

${\ Displaystyle dz \ klin dz = 0}$

Ponadto przyjęte środki Holomorphiebedingung dla po pochodne wirtingera nic więcej niż ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe {\ bar {z}}}} = 0}$  ,

co natychmiast

${\ Displaystyle {{\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe {\ bar {z}}}} {d {\ bar {z}}}} \ klin dz = 0}$

pociąga za sobą.

Zatem ogólny wynik to:

${\ displaystyle d {\ omega} = 0}$

i wreszcie za pomocą twierdzenia Stokesa :

${\ Displaystyle \ int _ {C} f (z) dz = \ int _ {\ częściowe S} \ omega = \ int _ {S} \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {S} \ mathrm {0 } = 0}$

adnotacja

Za pomocą lematu całkowego Goursata można wykazać, że sama złożona różniczkowalność - tj. Bez dodatkowego założenia o ciągłości pochodnych! - Twierdzenie całkowe Cauchy'ego, a następnie także istnienie wszystkich wyższych pochodnych. Takie podejście do całkowego twierdzenia Cauchy'ego omija twierdzenie Stokesa i jest preferowane z dydaktycznego punktu widzenia.

Wnioski

Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego umożliwia bezpośrednie dowody na fundamentalne twierdzenia algebry , który stanowi, że każde złożone wielomian rozkłada się na czynniki liniowe over , czyli Oznacza to, że pole liczb zespolonych jest algebraicznie zamknięte. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

literatura

• Kurt Endl, Wolfgang Luh : Analiza. Tom 3: Teoria funkcji, równania różniczkowe. 6. poprawione wydanie. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9 , s. 143, zdanie 4.7.3
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb : Teoria funkcji. 7. ulepszona edycja. Vieweg, Braunschweig i in. 1994, ISBN 3-528-67247-1 , s. 57, rozdział 3, zdanie 1.4 ( badanie Vieweg. Zaawansowany kurs matematyki 47).
• Günter Bärwolff : Wyższa matematyka dla przyrodników i inżynierów. Wydanie 2, 1 poprawiony przedruk. Wydawnictwo Akademickie Spectrum, Monachium a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9 .
• Klaus Jänich : Wprowadzenie do teorii funkcji . Wydanie 2. Springer-Verlag, Berlin (między innymi) 1980, ISBN 3-540-10032-6 . 

Indywidualne dowody

1. ↑ Klaus Jänich : Wprowadzenie do teorii funkcji . Wydanie 2. Springer-Verlag, Berlin (między innymi) 1980, ISBN 3-540-10032-6 , s. 19-20 . 
2. ↑ Klaus Jänich : Wprowadzenie do teorii funkcji . Wydanie 2. Springer-Verlag, Berlin (między innymi) 1980, ISBN 3-540-10032-6 , s. 15, 20 . 
3. ↑ Klaus Jänich : Wprowadzenie do teorii funkcji . Wydanie 2. Springer-Verlag, Berlin (między innymi) 1980, ISBN 3-540-10032-6 , s. 16, 20 .