Prawdziwy numer

Liczby rzeczywiste (ℝ) zawierają liczby wymierne (ℚ), które z kolei zawierają liczby całkowite (ℤ) i liczby naturalne (ℕ)

Te liczby rzeczywiste tworzą ważny zakres liczb w matematyce . To rozszerzenie zakresu liczb wymiernych , z otworów , przy czym wartości liczbowe tych zmierzonych wartości dla konwencjonalnych wielkości fizycznych , takich jak długość , temperatury lub masy mogą być uważane za liczb rzeczywistych. Liczby rzeczywiste obejmują liczby wymierne i niewymierne .

Całość liczb rzeczywistych ma specjalne własności topologiczne w porównaniu z ogółem liczb wymiernych . Polegają one między innymi na tym, że dla każdego „problemu ciągłego”, dla którego w pewnym sensie istnieją dobre, bliskie przybliżone rozwiązania w postaci liczb rzeczywistych, istnieje również liczba rzeczywista jako rozwiązanie dokładne. Dlatego liczby rzeczywiste mogą być wykorzystywane na wiele sposobów w analizie , topologii i geometrii . Na przykład długości , powierzchnie i objętości szerokiej gamy obiektów geometrycznych mogą być sensownie definiowane jako liczby rzeczywiste, ale nie jako liczby wymierne. Gdy do opisu w naukach empirycznych używa się pojęć matematycznych, takich jak długości, teoria liczb rzeczywistych często odgrywa ważną rolę.

Klasyfikacja liczb rzeczywistych

Numer linii

Symbol ( Unicode U + 211D: ℝ, patrz litera z podwójną kreską ) lub służy do oznaczenia zbioru wszystkich liczb rzeczywistych . Rzeczywiste liczby obejmują ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ mathbf {R}}$

• liczby wymierne : , ${\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ lewo \ {\ kropki, - {\ tfrac {2} {1}}, - {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac {1} {1} }, 0, {\ tfrac {1} {1}}, {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {2} {1}}, {\ tfrac {1} {3}}, \ dotsc \ right \} = \ left. \ left \ {{\ tfrac {p} {q}} \ right | p \ in \ mathbb {Z}, q \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} \ dobrze \}}$
  • liczby całkowite : , ${\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ kropki, -2, -1,0,1,2, \ kropki \}}$
    • liczby naturalne : (bez 0): lub (z 0): (także ) i${\ styl wyświetlania \ mathbb {N}}$${\ styl wyświetlania \ {1,2,3, \ kropki \}}$${\ styl wyświetlania \ {0,1,2,3, \ kropki \}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {N} _ {0}}$
• liczby niewymierne : = zbiór wszystkich elementów , których nie ma w . Te z kolei można podzielić na: ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}$
  • algebraiczne liczby niewymierne i
  • transcendentne liczby niewymierne. Te ostatnie obejmują
    • liczby nieobliczalne .

Liczby wymierne to te liczby, które można przedstawić jako ułamki liczb całkowitych. Liczbę nazywamy irracjonalną, jeśli jest prawdziwa, ale nie racjonalna. Pierwszy dowód na to, że oś liczbowa zawiera liczby niewymierne, pochodzi od pitagorejczyków . Na przykład liczby niewymierne to niecałkowite pierwiastki liczb całkowitych, takich jak lub . ${\ styl wyświetlania {\ sqrt {2}}}$${\ styl wyświetlania {\ sqrt [{3}] {7}}}$

Podzbiór liczb rzeczywistych składający się z liczb wymiernych jest zbiorem (rzeczywistych) liczb algebraicznych, tj. H. rzeczywiste rozwiązania równań wielomianowych o współczynnikach całkowitych. Zbiór ten zawiera między innymi wszystkie pierwiastki rzeczywiste -te liczb wymiernych dla i ich skończone sumy, ale nie tylko (np. rozwiązania odpowiednich równań 5 stopnia ). Ich uzupełnieniem w to zbiór liczb rzeczywistych transcendentnych. Liczba transcendentna jest więc zawsze irracjonalna. Transcendentnymi są na przykład liczba okręgu (Pi) i liczba Eulera . Wszystkie wymienione dotychczas przykłady są obliczalne, w przeciwieństwie do wartości granicznej ciągu Speckera . ${\ styl wyświetlania n}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$ ${\ styl wyświetlania \ pi}$ ${\ styl wyświetlania e}$

Notacja często używanych podzbiorów liczb rzeczywistych

Jest , a następnie wyznaczony ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ neq a} = \ mathbb {R} \ setminus \ {a \}}$ zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby a,

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ geq a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq a \}}$,

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {> a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> a \}}$,

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ leq a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ leq a \}}$,

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {<a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <a \}}$.

Ten zapis jest używany szczególnie często do oznaczenia zbioru dodatnich liczb rzeczywistych lub zbioru nieujemnych liczb rzeczywistych. Czasami terminy lub są używane również w szczególnych przypadkach . Zaleca się jednak ostrożność, ponieważ niektórzy autorzy uwzględniają zero, a inni nie. ${\ styl wyświetlania a = 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {> 0}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ geq 0}}$${\ styl wyświetlania a = 0}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R} ^ {+}}$

Konstrukcja liczby rzeczywistej z liczb wymiernych

Konstruowanie liczb rzeczywistych jako rozszerzenia zakresu liczb wymiernych było ważnym krokiem w XIX wieku , aby oprzeć analizę na solidnych podstawach matematycznych. Pierwszą dokładną konstrukcję można prześledzić od Karla Weierstraßa , który zdefiniował liczby rzeczywiste za pomocą serii ograniczonych z wyrażeniami dodatnimi.

Konstrukcje liczb rzeczywistych powszechnie używane dzisiaj:

• Reprezentacja jako cięcia Dedekinda liczb wymiernych: Liczby rzeczywiste są definiowane jako najmniejsze górne ograniczenie podzbiorów liczb wymiernych z górną granicą .
• Reprezentacja jako klasy równoważności ciągów Cauchy'ego : Ta szeroko dziś rozpowszechniona konstrukcja liczb rzeczywistych pochodzi od Georga Cantora , który zdefiniował liczby rzeczywiste jako klasy równoważności wymiernych ciągów Cauchy'ego . Dwie sekwencje Cauchy'ego są uważane za równoważne, jeśli ich (punktowe) różnice tworzą sekwencję zerową . Jak można stosunkowo łatwo sprawdzić, relacja ta jest w rzeczywistości zwrotna , przechodnia i symetryczna , tj. odpowiednia do tworzenia klas równoważności.

Operacje dodawania i mnożenia klas równoważności indukowane przez dodawanie i mnożenie liczb wymiernych są dobrze zdefiniowane , czyli niezależne od wyboru przedstawicieli operandów, czyli ciągów Cauchy'ego. Przy tych dobrze zdefiniowanych operacjach tak zdefiniowane liczby rzeczywiste tworzą pole . Porządek liczb wymiernych również indukuje porządek całkowity . Ogólnie rzecz biorąc, liczby rzeczywiste tworzą więc uporządkowane pole .

• Reprezentacja jako klasy równoważności zagnieżdżenia przedziałów przedziałów wymiernych.
• Uzupełnienie topologicznej grupy liczb wymiernych w tym sensie, że kanoniczna jednostajna struktura jest kompletna.

Każda z czterech nazwanych metod konstrukcyjnych „dopełnia” liczby wymierne, prowadzi do tej samej struktury (poza izomorfizmem ) (do ciała liczb rzeczywistych) i naświetla inną właściwość liczb wymiernych i rzeczywistych oraz ich wzajemne relacje :

• Metoda cięć Dedekind uzupełnia kolejność na liczbach wymiernych do porządku kompletność . W rezultacie liczby wymierne (w sensie porządku) leżą blisko liczb rzeczywistych, a każdy podzbiór ograniczony powyżej ma supremum.
• Metoda sekwencji Cauchy'ego uzupełnia zbiór liczb wymiernych jako przestrzeń metryczną do pełnej przestrzeni metrycznej w sensie topologicznym. Zatem liczby wymierne w sensie topologicznym leżą blisko liczb rzeczywistych, a każdy ciąg Cauchy'ego ma wartość graniczną. Ta metoda uzupełniania (uzupełniania) może być również stosowana z wieloma innymi strukturami matematycznymi.
• Metoda przedziałów odzwierciedla obliczenie liczb rzeczywistych liczb rzeczywistych: Jesteś aproksymacją z pewną dokładnością (błąd aproksymacji ) aproksymowaną , a więc umieszczoną w przedziale wokół oszacowania. Dowód na to, że aproksymację (przez procedury iteracyjne lub rekurencyjne ) można dowolnie poprawiać, jest zatem dowodem „istnienia” rzeczywistej wartości granicznej.
• Metoda uzupełniania jednolitej struktury wykorzystuje szczególnie ogólną koncepcję, której nie można zastosować tylko do uporządkowanych lub rozłożonych struktur, takich jak liczby wymierne.

Aksjomatyczne wprowadzenie liczb rzeczywistych

Konstruowanie liczb rzeczywistych jako rozszerzenia zakresu liczb wymiernych często przeprowadza się w literaturze w czterech krokach: Od teorii mnogości do naturalnych, całkowitych, wymiernych i wreszcie do liczb rzeczywistych, jak opisano powyżej. Bezpośrednim sposobem matematycznego uchwycenia liczb rzeczywistych jest opisanie ich za pomocą aksjomatów . Do tego potrzebne są trzy grupy aksjomatów - aksjomaty ciała, aksjomaty struktury porządku i aksjomat gwarantujący kompletność.

1. Liczby rzeczywiste to pola .
2. Liczby rzeczywiste są całkowicie uporządkowane (patrz także pola uporządkowane ), tj. tj. dla wszystkich liczb rzeczywistych obowiązuje następująca zasada: ${\ styl wyświetlania a, b, c}$
   1. Jest to dokładnie jedna z relacji , , ( trychotomia ).${\ styl wyświetlania a <b}$${\ styl wyświetlania a = b}$${\ styl wyświetlania b <a}$
   2. Od i następuje ( przechodniość ).${\ styl wyświetlania a <b}$${\ styl wyświetlania b <c}$${\ styl wyświetlania a <c}$
   3. To wynika z (kompatybilność z dodatkiem).${\ styl wyświetlania a <b}$${\ styl wyświetlania a + c <b + c}$
   4. Od i następuje (zgodność z mnożeniem).${\ styl wyświetlania a <b}$${\ styl wyświetlania c> 0}$${\ displaystyle ac <bc}$
3. Liczby rzeczywiste są w kolejności kompletne , tj. to znaczy, że każdy niepusty, ograniczony w górę podzbiór ma supremum w .${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$

Jeżeli liczby rzeczywiste wprowadzić aksjomatycznie, to konstrukcja jako rozszerzenie zakresu liczb jest możliwością udowodnienia ich istnienia, a dokładniej: Konstrukcja w czterech krokach z teorii mnogości dowodzi, że model dla struktury opisanej aksjomatami w teorii mnogości konstrukcji zabrakło. Ponadto można wykazać, że podane aksjomaty wyraźnie określają pole liczb rzeczywistych z wyjątkiem izomorfizmu. Wynika to zasadniczo z faktu, że model liczb rzeczywistych nie dopuszcza żadnego innego automorfizmu poza tożsamością.

Zamiast wyżej wymienionych aksjomatów istnieją inne możliwości aksjomatycznego charakteryzowania liczb rzeczywistych. W szczególności aksjomat zupełności można sformułować na różne sposoby. W szczególności istnieją różne sposoby wyrażania kompletności opcji konstrukcyjnych opisanych powyżej, jak pokazuje następna sekcja.

Aksjomaty równoważne aksjomatowi supremum

Jako alternatywa dla aksjomatu supremum może być wymagane:

• Aksjomat Archimedesa i aksjomat kompletności, który stanowi, że każdy ciąg Cauchy'ego w konwergentnych .${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$
• Aksjomat Archimedesa i Intervallschachtelungsaxiom, w którym stwierdza się, że średnio każdy monotonicznie malejąca sekwencja zamkniętych ograniczonych okresach nie jest pusty.
• Aksjomat infimum, który mówi, że każdy niepusty, dołu ograniczony podzbiór ma takie infimum.${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$
• Heine-Borel aksjomat, który mówi, że jeśli zamknięty, ograniczony przedział jest pokryta przez dowolną liczbę otwartych zbiorów , nie zawsze są tylko skończenie wiele z tych zbiorów otwartych, które już pokrywają przedział.${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$
• Bolzano-Weierstrassa aksjomat, który mówi, że każdy nieskończony podzbiór ograniczonym ma co najmniej jeden punkt skupienia.${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$
• Aksjomat monotonii, która mówi, że każdy monotoniczne Ograniczone sekwencji zbiega się.${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$
• Aksjomat połączenia, które mówi, że liczby rzeczywiste, pod warunkiem, ze zwykłymi topologii, tworzą przestrzeń topologiczną podłączone.

Istnieje również możliwość opisu zupełności w terminach funkcji ciągłych poprzez podniesienie pewnych własności funkcji ciągłych do aksjomatów. O:

• Aksjomat wartości pośrednie:

  Ciągła funkcja rzeczywista zdefiniowana na przedziale zawsze przyjmuje każdą wartość pośrednią w swoim zakresie wartości.${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$

• Aksjomat ograniczenia:

  Ciągła funkcja rzeczywista zdefiniowana na zamkniętym i ograniczonym przedziale zawsze ma ograniczony w górę zakres wartości.${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$

• Maksymalna aksjomat:

  Ciągła funkcja rzeczywista zdefiniowana na zamkniętym i ograniczonym przedziale zawsze ma punkt maksymalny.${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$

Uprawnienie

Grubość od jest oznaczona przez (grubość kontinuum ) . Jest większa niż potęga zbioru liczb naturalnych , który nazywamy najmniejszą potęgą nieskończoną . Zbiór liczb rzeczywistych jest zatem niepoliczalny . Dowodem ich niepoliczalności jest drugi argument ukośny Cantora . Nieformalnie „niepoliczalność” oznacza, że ​​jakakolwiek lista liczb rzeczywistych jest niekompletna. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest równy do zestawu zasilającego liczb naturalnych, ich liczność jest również określona . ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania {\ mathfrak {c}}}$ ${\ styl wyświetlania \ alef _ {0}}$${\ styl wyświetlania x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ kropki}$${\ styl wyświetlania 2 ^ {\ alef _ {0}}}$

Natomiast mniej obszerne rozwinięcia zbioru liczb naturalnych wspomniane na początku są równe zbiorowi liczb naturalnych, czyli policzalne. Dla zbioru liczb wymiernych można to udowodnić za pomocą pierwszego argumentu przekątnego Cantora . Można nawet policzyć zbiór liczb algebraicznych i, bardziej ogólnie, zbiór liczb obliczalnych . Niepoliczalność powstaje tylko przez dodanie nieobliczalnych liczb transcendentnych.

W teorii mnogości, po odkryciach Cantora , badano pytanie: „Czy istnieje potęga między„ policzalnymi ”a potęgą liczb rzeczywistych, między a ?” - Lub sformułowane dla liczb rzeczywistych: „Czy każdy niepoliczalny podzbiór liczb rzeczywistych liczb równych Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?” Założenie, że odpowiedź na pierwsze pytanie brzmi „nie”, a na drugie pytanie „tak” nazywa się hipotezą continuum (CH) , krótko sformułowaną jako i . Można wykazać, że hipoteza continuum jest niezależna od powszechnie stosowanych systemów aksjomatów, takich jak teoria mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru (ZFC) d. Oznacza to, że nie można go ani udowodnić, ani obalić w ramach tych systemów. ${\ styl wyświetlania \ alef _ {0}}$${\ styl wyświetlania {\ mathfrak {c}}}$${\ styl wyświetlania \ alef _ {1} = {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ alef _ {0}} = \ alef _ {1}}$

Topologia, zwartość, rozszerzone liczby rzeczywiste

Zwykła topologia, w której podaje się liczby rzeczywiste, to ta z podstawy przedziałów otwartych

${\ displaystyle (a, b) = {] a, b [} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a <x <b \}; \ quad a, b \ in \ mathbb {R}}$

jest produkowany. Zapisana w tej formie jest to topologia porządku . Otwarte przedziały w liczbach rzeczywistych mogą być także reprezentowany przez punkt środkowy i promień : to znaczy jako otwartych sfer ${\ styl wyświetlania p}$${\ styl wyświetlania r}$${\ styl wyświetlania] pr, p + r [}$

${\ displaystyle B_ {r} (p): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid | xp | <r \}}$

w odniesieniu do metryki określonej przez funkcję kwoty . Topologia generowana przez otwarte przedziały jest również topologią tej przestrzeni metrycznej . Ponieważ liczby wymierne są bliskie w tej topologii , wystarczy ograniczyć granice przedziałów lub środki i promienie kul definiujących topologię do liczb wymiernych , topologia zatem spełnia oba aksjomaty przeliczalności . ${\ styl wyświetlania d (x, y): = | xy |}$${\ styl wyświetlania a, b, p, r}$

W przeciwieństwie do liczb wymiernych, liczby rzeczywiste są przestrzenią lokalnie zwartą ; Dla każdej liczby rzeczywistej można określić środowisko otwarte, którego zamknięcie jest zwarte. Takie otwarte środowisko jest łatwe do znalezienia; każdy ograniczony, zbiór otwarty z spełnia wymagania: po zbiorze Heine-Borel jest zwarty. ${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania U}$${\ styl wyświetlania x \ w U}$${\ displaystyle {\ bar {U}}}$

Pole liczb rzeczywistych jest tylko lokalnie zwarte, ale nie zwarte. Powszechne zwartym są tak zwane rozszerzone liczbami rzeczywistymi , gdzie dzielnice z przez podstawę sąsiedztwa${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$${\ styl wyświetlania - \ infty}$

${\ displaystyle \ {B_ {r} (- \ infty) \ mid r \ in \ mathbb {Q} ^ {+} \}}$ Z ${\ displaystyle B_ {r} (- \ infty): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <- {\ tfrac {1} {r}} \}}$

i otoczenie przez bazę środowiskową ${\ styl wyświetlania + \ infty}$

${\ displaystyle \ {B_ {r} (+ \ infty) \ mid r \ in \ mathbb {Q} ^ {+} \}}$ Z ${\ displaystyle B_ {r} (+ \ infty): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> {\ tfrac {1} {r}} \}}$

Zostać określone. Ta topologia nadal spełnia oba aksjomaty policzalności. jest homeomorficzny z przedziałem domkniętym , na przykład odwzorowanie jest homeomorfizmem , a wszystkie przedziały zwarte są homeomorficzne za pomocą liniowych funkcji afinicznych. Z pewnością ciągi rozbieżne są zbieżne w topologii rozszerzonych liczb rzeczywistych, na przykład instrukcja działa ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ styl wyświetlania [0,1]}$${\ displaystyle x \ mapsto \ arctan x}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} \ do [- \ pi/2, \ pi/2]}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} n ^ {2} = + \ infty}$

w tej topologii rzeczywistej wartości granicznej.

W przypadku wszystkich rozszerzonych liczb rzeczywistych są nadal całkowicie uporządkowane. Nie jest jednak możliwe przeniesienie struktury ciała liczb rzeczywistych na rozszerzone liczby rzeczywiste, np. równanie nie ma unikalnego rozwiązania. ${\ styl wyświetlania - \ infty <x <\ infty}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ infty + x = \ infty}$

powiązane tematy

• Niż standardowy model analizy wynika z teorii modelu.
• Przybliżona reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze odbywa się za pomocą liczb zmiennoprzecinkowych .
• Arytmetyka przedziałowa umożliwia obliczenia z uwzględnieniem błędów aproksymacji .
• Liczby są reprezentowane w systemie liczbowym .

literatura

• Oliver Deiser : Liczby rzeczywiste. Klasyczne kontinuum i naturalne konsekwencje. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3 .
• Klaus Mainzer : Liczby rzeczywiste. W: Heinz-Dieter Ebbinghaus i in.: Liczby. 3. Wydanie. Springer, Berlin / Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0 , rozdział 2.
• Otto Forster : Analiza 1. Rachunek różniczkowy i całkowy zmiennej. Wydanie IV. vieweg, 1983, ISBN 3-528-37224-9 .
• Harro Heuser : Podręcznik analizy, część 1. Wydanie piąte. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2 .
• John MH Olmsted: System liczb rzeczywistych . Appleton-Century-Crofts, Nowy Jork 1962. 
• Mały Duden „Matematyka” . Wydanie II. Dudenverlag, Mannheim i in. 1996, ISBN 3-411-05352-6 . 

linki internetowe

Wikisłownik: liczba rzeczywista  - wyjaśnienia znaczeń, pochodzenie słów, synonimy, tłumaczenia

Wikibooks: Matematyka dla szkoły${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {mała matryca} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alfa T \ mathbb {R} ix} \ koniec {mała matryca}}}}$  — zestawy liczb

• LD Kudryavtsev: Liczba rzeczywista . W: Michiel Hazewinkel (red.): Encyklopedia matematyki . Springer-Verlag i EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (angielski, online ). 
• Eric W. Weisstein : Liczba rzeczywista . W: MathWorld (angielski).

Indywidualne dowody

1. ↑ Georg Cantor : Podstawy ogólnej teorii rozmaitości. 1883, § 9, cyt. za Oskar Becker: Fundamentals of Mathematics in Historical Development. Wydanie I. kieszonkowa nauka suhrkamp, ​​1995, ISBN 3-518-27714-6 , s. 245 ff.
2. ^ Edmund Landau : Podstawy analizy. Wydawnictwo Chelsea, Nowy Jork 1948.
3. ↑ Georg Cantor : Podstawy ogólnej teorii rozmaitości. 1883, § 9, cyt. za Oskar Becker: Fundamentals of Mathematics in Historical Development. Wydanie I. Kieszonkowa nauka Suhrkamp, ​​1995, ISBN 3-518-27714-6 , s. 248.
4. ↑ Konrad Knopp: Teoria i zastosowanie szeregu nieskończonego. Wydanie piąte. Springer Verlag, 1964, ISBN 3-540-03138-3 ; § 3 Liczby niewymierne.
5. ^ Nicolas Bourbaki : Topologie Generale (=  Elementy matematyczne ). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1 , rozdz. 4 , s. 3 . 
6. ↑ Ebbinghaus i in.: Liczby. 1992, część A, rozdział 2, sekcja 5.3.
7. ↑ Ebbinghaus i in.: Liczby. 1992, część A, rozdział 2, § 5.2.