Analiza niestandardowa

Nonstandardanalysis to dziedzina matematyki , która zajmuje się non-Archimedesa nakazał ciał . Najważniejszą różnicą w stosunku do analizy normalnej jest to, że w analizie niestandardowej występują również nieskończenie duże i nieskończenie małe liczby, liczby hiperrzeczywiste .

Podejście modelowo-teoretyczne

Oprócz liczb rzeczywistych zwyczajowo stosowanych w standardowej analizie stosuje się tak zwane liczby hiperrzeczywiste. Liczby hiperrzeczywiste tworzą uporządkowane pole rozwinięcia liczb rzeczywistych, a zatem nie mogą spełnić aksjomatu Archimedesa . Dochodzi tu na przykład do naruszenia aksjomatu Archimedesa poprzez tzw. liczby nieskończenie małe ; są to liczby, które są bliższe zeru niż jakakolwiek liczba rzeczywista inna niż 0.

Pierwszy model analizy niestandardowej został opracowany przez Abrahama Robinsona w latach 60. XX wieku . Używał tego, aby pokazać z twierdzenia analizy funkcjonalnej , a mianowicie, że każdy wielomian kompaktowy operatora w przestrzeni Hilberta ma się niezmienny podprzestrzeń . Jednak budowa modelu wymaga użycia bezpłatnego ULTRAFILTER over . Można udowodnić istnienie tego za pomocą aksjomatu wyboru , ale nie można konkretnie określić takiego ultrafiltra. ${\ styl wyświetlania \ mathbb {N}}$

Niezależnie od Abrahama Robinsona, Detlef Laugwitz i Curt Schmieden opracowali własne podejście do niestandardowej analizy poprzez rozszerzenia ciała od 1958 roku.

W analizie niestandardowej zwykłe terminy analityczne, takie jak pochodna lub całka, można zdefiniować bez wartości granicznych . Pod tym względem analiza niestandardowa jest bliższa pomysłom twórców rachunku różniczkowego , Newtona i Leibniza . Jednak w przeciwieństwie do Newtona i Leibniza, użycie „nieskończenie małych ilości” w niestandardowej analizie jest logicznie uzasadnione i bez znanych sprzeczności . Istnieją również zastosowania niestandardowych analiz w stochastyce i topologii .

Podejścia aksjomatyczne

Oprócz podejścia modelowo-teoretycznego istnieją również różne podejścia aksjomatyczne, które znacznie się od siebie różnią.

Uwaga: Dostępna literatura jest prawie wyłącznie w języku angielskim , a teorie są zwykle określane skrótami. Z tego powodu w niektórych przypadkach nie przyjęły się żadne niemieckie terminy techniczne.

Teoria mnogości Hrbacka

W Karel Hrbáček za HST (Hrbáček teorii mnogości) model teoretyczny zostanie przyjęta niemal dokładnie. W tym celu wprowadzamy trzy lekcje z przedmiotów , tych z uzasadnionych zestawy te kompletów wewnętrznych i tych standardowych zestawach. Klas , i po różnych axioms np B. aksjomat wyboru obowiązuje tylko w obrębie tych zbiorów, ale nie dla zbiorów, które nie są zawarte w żadnej z tych klas (zbiory zewnętrzne). ${\ displaystyle WF}$ ${\ styl wyświetlania I}$ ${\ styl wyświetlania S}$

Odwzorowanie łączące oryginał z rozszerzonym wszechświatem w ujęciu modelowo -teoretycznym jest tu izomorfizmem struktury , czyli odwzorowaniem, które łączy obiekty w taki sposób, że zachowane są zdania logiczne . Na przykład, jest ciałem zupełnym, uporządkowanym archimedesowo, więc jest też ciałem zupełnym (w odniesieniu do hipersekwencji ), ciałem uporządkowanym archimedesowo (w odniesieniu do liczb nadprzyrodzonych ). ${\ styl wyświetlania \ ast}$ ${\ displaystyle WF \ rightarrow S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ w WF}$ ${\ displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {R} \ w S}$ ${\ displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {N} \ rightarrow {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {N}}$

Mając to na uwadze, możesz jak zwykle zbudować matematykę na podstawie teorii mnogości , ale automatycznie uzyskasz rozszerzony wszechświat.

Teorie zbiorów wewnętrznych

Teorie te ograniczają rozważania do rozszerzonego wszechświata (zbiorów wewnętrznych) poprzez zaznaczanie standardowych obiektów w ramach „normalnej matematyki”. Jak zachowują się te standardowe obiekty, określają aksjomaty. Powszechnie stosuje się na przykład aksjomat przeniesienia: jeśli zdanie w języku matematyki klasycznej odnosi się do wszystkich przedmiotów standardowych, to odnosi się również do wszystkich przedmiotów.

Odpowiednikiem w podejściu modelowo-teoretycznym byłoby: Jeśli zdanie ma zastosowanie w pierwotnym wszechświecie, to także w (strukturalnie izomorficznym) rozszerzonym wszechświecie.

Najbardziej znana teoria zbiorów wewnętrznych jest wewnętrzny zestaw teoria o Edward Nelson . Nie jest to jednak zgodne z teorią Hrbáčka, ponieważ w IST istnieje zbiór, który zawiera wszystkie standardowe obiekty, ale w HST (patrz wyżej) musi istnieć prawdziwa klasa. ${\ styl wyświetlania S}$

W związku z tym rozważane są również słabsze teorie (Teoria Zbiorów Ograniczonych, Podstawowa Teoria Zbiorów Wewnętrznych oraz – mało zauważona w świecie zawodowym – poprawiona wersja IST Nelsona), które również podsumowano pod zbiorczym terminem „teorie zbiorów wewnętrznych” („wewnętrzne teorie zbiorów") .

Przykład: definicja ciągłości

Ciągłość w funkcji rzeczywistej w punkcie, może być określone w standardowych testach w następujący sposób: ${\ styl wyświetlania f}$ ${\ styl wyświetlania x_ {0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ istnieje \ delta> 0 \; \ forall x \ in \ mathbb {R} \ dwukropek \ lewa | x-x_ {0} \ prawa | <\ delta \ Rightarrow \ lewa | f (x) -f (x_ {0}) \ prawo | <\ varepsilon}

W analizie niestandardowej można ją zdefiniować w następujący sposób: Jeśli jest funkcją i punktem standardowym, to in jest S-ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ styl wyświetlania f}$ ${\ styl wyświetlania x_ {0}}$ ${\ styl wyświetlania f}$ ${\ styl wyświetlania x_ {0}}$

{\ displaystyle \ forall x \ in {} ^ {*} \ mathbb {R} \ dwukropek x \ w przybliżeniu x_ {0} \ Prawa strzałka f (x) \ w przybliżeniu f (x_ {0})}

,

gdzie pole rozwinięcia wygenerowane w analizie niestandardowej ma wartość i oznacza, że (niestandardowe) liczby i mają nieskończenie małą odległość. ${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$ ${\ styl wyświetlania x \ około y}$ ${\ styl wyświetlania x}$ ${\ styl wyświetlania y}$

Jednak te dwie definicje opisują różne pojęcia: Można podać przykłady niestandardowych funkcji, które (zgodnie z definicją epsilon-delta) są nieciągłe, np. B. mają i-małe skoki, ale (zgodnie z definicją nieskończenie małą) są S-ciągłe lub odwrotnie, np. B. jeśli część funkcji ma i-duże nachylenie. Oba koncepcje ciągłości są równoważne tylko dla funkcji standardowych.

literatura

Detlef Laugwitz, Curt Schmieden: Rozszerzenie rachunku różniczkowego. Mathematische Zeitschrift 69 (1958), s. 1-39.
Abraham Robinson : Analiza niestandardowa. Studia z logiki i podstaw matematyki . Holandia Północna, Amsterdam 1966.
Wilhelmus Anthonius Josephus Luxemburg : Ogólna teoria monad, w WAJ Luxemburg (red.): Zastosowania teorii modeli algebry, analizy i prawdopodobieństwa . Holt, Rinehart i Winston, Nowy Jork 1969, s. 18-86.
Dieter Landers, Lothar Rogge: Analiza niestandardowa . Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-57115-9 .
Vladimir Kanovei, Michael Reeken: Analiza niestandardowa, Aksjomatycznie . Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-22243-X .

Indywidualne dowody

↑ ^a^b Co to jest analiza niestandardowa? Czym są liczby hiperrzeczywiste? , Edmund Weitz , HAW Hamburg, 27.10.2017. W szczególności rozdział poświęcony ich aksjomatycznemu wprowadzeniu .
↑ ^a^b Rachunek elementarny, An Infinitesimal Approach , H. Jerome Keisler , University of Wisconsin, 1976, poprawione 2018.

[weitz-nsa-1] Co to jest analiza niestandardowa? Czym są liczby hiperrzeczywiste? , Edmund Weitz , HAW Hamburg, 27.10.2017. W szczególności rozdział poświęcony ich aksjomatycznemu wprowadzeniu .

[keisler-nsa-2] Rachunek elementarny, An Infinitesimal Approach , H. Jerome Keisler , University of Wisconsin, 1976, poprawione 2018.

Languages