Hiper liczba rzeczywista

W matematyce , numery Hiperrzeczywista są głównym przedmiotem analizy niestandardowej . Zbiór liczb hiperrzeczywistych jest najczęściej zapisywany jako; rozszerza liczby rzeczywiste o nieskończenie sąsiednie liczby i o nieskończenie duże (nieskończone) liczby. ${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$

Kiedy Newton i Leibniz wykonali swój rachunek różniczkowy odpowiednio z „fluksjami” i „monadami”, użyli liczb nieskończenie małych, a Euler i Cauchy również uznali je za przydatne. Mimo to liczby te od początku były traktowane sceptycznie, a w XIX wieku analiza została postawiona na ścisłym fundamencie bez nieskończenie małej, wraz z wprowadzeniem definicji epsilon-delta wartości granicznej i definicji liczb rzeczywistych przez Cauchy'ego, Weierstrassa , i innych rozmiarów.

Abraham Robinson pokazał następnie w latach 60., jak nieskończenie duże i małe liczby mogą być ściśle formalnie zdefiniowane, otwierając w ten sposób pole analizy niestandardowej. Podana tutaj konstrukcja jest uproszczoną, ale nie mniej rygorystyczną wersją podaną po raz pierwszy przez Lindstroma.

Numery hiper-real pozwalają sformułować różnicowy i całkowy bez pojęcia wartości granicznych.

Podstawowe właściwości

Liczby hiperrzeczywiste tworzą uporządkowane ciało, które zawiera jako część ciała. Oba są naprawdę zamknięte . ${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$

Nieskończoność (ε) i nieskończoność (ω) na hiperrzeczywistej linii liczbowej

Korpus jest skonstruowany w taki sposób, że ma podstawowo równoważne do . Oznacza to, że każda instrukcja, która ma zastosowanie w, ma również zastosowanie w przypadku, gdy instrukcja może być sformułowana w logice predykatów pierwszego rzędu nad podpisem . ${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ styl wyświetlania \ {0,1, +, -, \ cdot, <\}}$

Podpis określa, jakie symbole mogą być użyte w wypowiedziach. Ograniczenie do logiki predykatów pierwszego poziomu oznacza, że ​​można określić ilościowo tylko elementy ciała, ale nie podzbiory. Poniższe stwierdzenia mają zastosowanie m.in. B. zarówno w, jak i w : ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$

• ${\ styl wyświetlania \ forall x \ \ istnieje y \ x <y}$
• ${\ styl wyświetlania \ forall x \ x <x + 1}$
• Każda liczba większa lub równa zero ma pierwiastek kwadratowy. W formułach:${\ displaystyle \ forall x \ ((x> 0 \ lor x = 0) \ rightarrow (\ istnieje y \ x = y \ cdot y))}$

To nie znaczy, i zachowuje się dokładnie tak samo; nie są izomorficzne . Na przykład istnieje element, który jest większy niż wszystkie liczby naturalne. Jednak nie można wyrazić w sprawozdaniu z powyższym formularzu, trzeba nieskończoną ilość: ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania w}$

${\ styl wyświetlania 1 <w, 1 + 1 <w, 1 + 1 + 1 <w, 1 + 1 + 1 + 1 <w, \ kropki}$

Nie ma takiej liczby w . Liczba hiperrzeczywista, jak nazywa się ją nieskończoną lub nieskończoną, odwrotność liczby nieskończonej jest liczbą nieskończenie małą . ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania w}$

Kolejna różnica: liczby rzeczywiste to order-complete , co oznacza, że ​​każdy niepusty, ograniczony w górę podzbiór ma supremum w . Wymóg ten jednoznacznie charakteryzuje liczby rzeczywiste jako pola uporządkowane, tj. H. z wyjątkiem wyraźnego izomorfizmu. nie jest jednak uporządkowaną zupełnością: zbiór wszystkich liczb skończonych in nie ma supremum, ale jest z. B. ograniczone ww . Wynika to z faktu, że trzeba określić ilościowo wszystkie podzbiory, aby sformułować kompletność porządku; dlatego nie może być sformalizowany w logice predykatów pierwszego rzędu . ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania w}$

Liczby hiperrzeczywiste są równe liczbom rzeczywistym:

${\ displaystyle | {} ^ {*} \ mathbb {R} | = | \ mathbb {R} | = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

budowa

Zbiór wszystkich ciągów liczb rzeczywistych ( ) stanowi rozszerzenie liczb rzeczywistych, jeśli utożsamić liczby rzeczywiste z ciągami stałymi. ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}}$

${\ styl wyświetlania 1}$Tak jest z wynikiem ,${\ styl wyświetlania (1; 1; 1; 1; 1; 1; \ kropki)}$

${\ styl wyświetlania 2}$jest zatem identyfikowany z sekwencją .${\ styl wyświetlania (2; 2; 2; 2; 2; 2; \ kropki)}$

Prototypami „nieskończenie dużych” liczb są ciągi w tym zbiorze, które ostatecznie stają się większe niż jakakolwiek liczba rzeczywista, np. B. konsekwencja:

${\ styl wyświetlania A = (1; 10; 100; 1000; 10000; \ kropki)}$

Na możesz teraz zdefiniować dodawanie i mnożenie w kategoriach: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

${\ styl wyświetlania (1; 1; 1; 1; 1; 1; \ kropki) + (2; 2; 2; 2; 2; 2; \ kropki) = (3; 3; 3; 3; 3; 3; \ kropek)}$

Daje to przemienny unitarny pierścień , ale ma on dzielniki zerowe i dlatego nie jest polem. Ma zastosowanie z. B. dla ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle p = (1; 0; 1; 0; 1; 0; \ kropki)}$

${\ styl wyświetlania q = (0; 1; 0; 1; 0; 1; \ kropki)}$

równanie

${\ styl wyświetlania p \ cdot q = 0}$,

chociaż oba i są niezerowe. Dlatego ciągi nadal muszą być identyfikowane za pomocą relacji równoważności . Chodzi o to, że sekwencje są równoważne, jeśli zbiór wszystkich miejsc, w których sekwencje się różnią, jest nieistotny . Jaki jest zbiór wszystkich nieistotnych zbiorów ? W szczególności ciągi powinny być równoważne, jeśli zachowują się tak samo w nieskończoności , czyli są różne tylko w skończonej liczbie miejsc. Wszystkie zbiory skończone są zatem nieistotne. A przykład z i pokazuje, że dla każdego podzbioru albo podzbiór, albo jego uzupełnienie są nieistotne. Między innymi konieczne jest wtedy, aby połączenie dwóch nieznaczących zbiorów było nieistotne, ponieważ relacja równoważności musi być przechodnia. Prowadzi to do ultrafiltra: ${\ styl wyświetlania p}$${\ styl wyświetlania q}$${\ styl wyświetlania p}$${\ styl wyświetlania q}$

Filtr na liczb naturalnych jest zbiorem podzbiorów liczb naturalnych do których stosuje się następujące zasady: ${\ styl wyświetlania U}$

• Pusty zestaw nie znajduje się w .${\ styl wyświetlania U}$
• Jeśli zawiera dwa zestawy, tak samo ich przecięcie.
• Jeśli zawiera zbiór, to także jego nadzbiory.

Filtr jest bezpłatny, jeśli: ${\ styl wyświetlania U}$

• ${\ styl wyświetlania U}$ nie zawiera skończonych zbiorów

Jest ultrafiltrem, jeśli:

• Jeśli określony podzbiór nie zawiera, jego uzupełnienie zawiera .${\ styl wyświetlania U}$${\ styl wyświetlania U}$

Istnienie darmowego ultrafiltra wynika z lematu Zorna . Za pomocą tego ultrafiltra można zdefiniować relację równoważności: ${\ styl wyświetlania U}$

${\ styl wyświetlania (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ kropka) \ sim (y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, \ kropka)}$jeśli .${\ displaystyle \ {n: x_ {n} = y_ {n} \} \ w U}$

Dodawanie i mnożenie klas równoważności można teraz zdefiniować za pomocą przedstawicieli w zbiorze klas równoważności oznaczonym przez . Jest to dobrze zdefiniowane, ponieważ istnieje filtr. Ponieważ istnieje nawet ultrafiltr, każdy element z wyjątkiem 0 cali ma odwrotność. Na przykład jest jednym z dwóch odcinków i jest równoważny zerowi, a drugi jednemu. ${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}: = {} ^ {\ textstyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} \! / \! {} _ {\ textstyle \ sim} }$${\ styl wyświetlania U}$${\ styl wyświetlania U}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania p}$${\ styl wyświetlania q}$

Teraz musimy zdefiniować jeszcze jedną kolejność. Odbywa się to poprzez ${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$

${\ styl wyświetlania (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ kropka) <(y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, \ kropka)}$jeśli .${\ displaystyle \ {n: x_ {n} <y_ {n} \} \ w U}$

Łatwo zauważyć, że definiuje to porządek całkowity (dla całości ważne jest, aby był ultrafiltr). ${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania U}$

Klasa równoważności sekwencji jest większa niż jakiejkolwiek rzeczywistej liczby, ponieważ posiada do liczby rzeczywistej${\ styl wyświetlania w}$${\ styl wyświetlania r}$

${\ displaystyle \ {n: w_ {n}> r \} \ w U}$

Następnie trzeba wykazać, że skonstruowane ciało jest faktycznie elementarnie równoważne . Odbywa się to poprzez indukcyjne potwierdzenie struktury formuł, przy czym wykorzystuje się właściwości ultrafiltra. ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$

Uwagi

• Każdy filtr na liczbach naturalnych odpowiada ideałowi pierścienia (ale nie odwrotnie). Ultrafiltr odpowiada maksymalnemu ideałowi, więc ilorazem jest ciało. Wybór niewolnego ultrafiltra spowodowałby, że korpus klas równoważności byłby izomorficzny z ciałem wyjściowym.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$
• Ta konstrukcja jest szczególnym przypadkiem ultrapotencji . Między innymi oznacza to, że osadzanie jest w na elementarnym osadzania i że - jest nasycony .${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R} \ \ omega _ {1}}$
• Z aksjomatów teorii mnogości (ZFC) oraz hipotezy continuum wynika, że ​​konstrukcja ta nie zależy od wyboru ultrafiltra. (Oznacza to, że różne ultrafiltry prowadzą do izomorficznych ultraproduktów).

Nieskończenie małe i nieskończenie duże liczby

Liczbę hiperrzeczywistą nazywamy nieskończenie małą, jeśli jest mniejsza od dodatniej liczby rzeczywistej i większa od ujemnej liczby rzeczywistej. Liczba zero jest jedyną nieskończenie małą liczbą rzeczywistą, ale istnieją inne hiperrzeczywiste liczby nieskończenie małe, na przykład . Jest większa od zera, ale mniejsza niż jakakolwiek dodatnia liczba rzeczywista, ponieważ ultrafiltr zawiera wszystkie dopełnienia zbiorów skończonych. ${\ displaystyle a = (1; 0 {,} 1; 0 {,} 01; 0 {,} 001; \ kropki)}$

Ujemny nieskończenie liczba jest większa niż ujemną liczbą rzeczywistą i mniej niż dodatniej liczby rzeczywistej, np B. . ${\ displaystyle -a = (- 1; -0 {,} 1; -0 {,} 01; -0 {,} 001; \ kropki)}$

Liczba hiperrzeczywista jest nazywana skończoną, jeśli istnieje liczba naturalna z , w przeciwnym razie nazywana jest nieskończoną . Liczba jest nieskończoną liczbą. Uwaga: termin „nieskończenie duża” zwykle oznacza liczbę, która jest większa niż dowolna liczba naturalna, ale „nieskończona” obejmuje również liczby, które są mniejsze niż dowolna liczba całkowita, na przykład . ${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania -n <x <n}$${\ styl wyświetlania x}$ ${\ styl wyświetlania A = (1; 10; 100; 1000; \ kropki)}$${\ displaystyle -A = (- 1; -10; -100; \ kropki)}$

Liczba inna niż 0 jest nieskończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieskończenie mała. Na przykład jest . ${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania 1 / x}$${\ styl wyświetlania A = {\ tfrac {1} {a}}}$

Można wykazać, że każda skończona liczba hiperrzeczywista jest „bardzo bliska” dokładnie jednej liczbie rzeczywistej. Dokładniej: jeśli skończona liczba hiperrzeczywista, to istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista, taka, która jest nieskończenie mała. Numer ten jest nazywany standardową częścią z różnica na to niestandardowa część . Mapowanie st ma kilka przyjemnych właściwości: Dla wszystkich numerów hiper-real skończonych The stosuje się następujące zasady: ${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {st} (x)}$${\ styl wyświetlania x- \ nazwa operatora {st} (x)}$${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {st} (x)}$${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania y}$

• ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {st} (x + y) = \ nazwa operatora {st} (x) + \ nazwa operatora {st} (y),}$
• ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {st} (xy) = \ nazwa operatora {st} (x) \ nazwa operatora {st} (y),}$
• ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {st} (x) = x}$wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe${\ styl wyświetlania x}$

Przez co oznacza to w szczególności, że termin jest zdefiniowany po lewej stronie, tak że z. B. jest skończona, jeśli oba i są skończone. W ten sposób zbiór liczb skończonych tworzy podpierścień w liczbach hiperrzeczywistych. Takze jest ${\ styl wyświetlania x + y}$${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania y}$

• ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {st} \ po lewej ({\ frac {1} {x}} \ po prawej) = {\ frac {1} {\ nazwa operatora {st} (x)}}}$jeśli nie jest nieskończenie małe,${\ styl wyświetlania x}$

Obowiązują również następujące zasady:

• Odwzorowanie st jest ciągłe względem topologii porządku na zbiorze skończonych liczb hiperrzeczywistych, jest nawet lokalnie stałe .

Pierwsze dwie własności (i implikacja trzeciej własności) mówią, że st jest homomorfizmem pierścienia . ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {st} (0) = 0, \ nazwa operatora {st} (1) = 1}$

Na przykład liczba hiperrzeczywista jest terminowo mniejsza niż , więc jest . Ale jest większa niż jakakolwiek liczba rzeczywista mniejsza niż 1. Jest więc nieskończenie mała w sąsiedztwie 1, a 1 jest jej częścią standardową. Twoja niestandardowa część (różnica od 1) to ${\ styl wyświetlania g = (0; 0 {,} 9; 0 {,} 99; 0 {,} 999; \ kropki)}$${\ styl wyświetlania (1; 1; 1; 1; \ kropki)}$${\ styl wyświetlania g <1}$

${\ displaystyle g-1 = (- 1; -0 {,} 1; -0 {,} 01; -0 {,} 001; \ kropki) = - a}$.

Zauważ jednak, że liczba rzeczywista to 1 jako granica ciągu . ${\ styl wyświetlania 0 {,} 999 \ kropka}$${\ styl wyświetlania g}$

Inne właściwości

Liczby hiperrzeczywiste są równe liczbom rzeczywistym, ponieważ liczność musi być co najmniej tak duża, jak liczba liczb rzeczywistych, ponieważ zawierają liczby rzeczywiste i mogą być co najwyżej tak duże, jak zbiór jest równy rzeczywistemu liczby. Struktura porządkowa liczb hiperrzeczywistych ma niepoliczalną granicę , tj. Oznacza to, że nie ma nieograniczonego zbioru przeliczalnego , tj. nie ma nieograniczonego ciągu liczb hiperrzeczywistych: Niech ciąg liczb hiperrzeczywistych zostanie podany przez reprezentantów . Następnie hiper liczba rzeczywista z przedstawicielem , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) \ w {} ^ {*} \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle A_ {n} = \ max _ {i \ leq n} a_ {in}}$

górna granica. Tak więc liczb hiperrzeczywistych o dowolnym rozmiarze nie można osiągnąć za pomocą żadnej sekwencji. Kolejność liczb hiperrzeczywistych indukuje topologię porządku . W ten sposób zwykłe topologiczne terminy wartości granicznych i ciągłości można przenieść na liczby hiperrzeczywiste. Jako bryła uporządkowana, z dodatkiem mają strukturę grupy zgodną z topologią , a więc jest to grupa topologiczna . To indukuje jednostajną strukturę , tak że można również mówić o jednostajnej ciągłości, filtrach Cauchy'ego itp. na liczbach hiperrzeczywistych. Z niepoliczalnej ciasnoty wynika, że ​​z wzajemnych wartości wynika, że ​​nie ma również ciągu składającego się z liczb hiperrzeczywistych innych niż 0 (lub jakiejkolwiek innej liczby hiperrzeczywistej), który byłby arbitralnie zbliżony do 0. W związku z tym topologia liczb hiperrzeczywistych nie spełnia dwóch aksjomatów policzalności , a więc w szczególności nie jest metryzowalna . Z niepoliczalnej ciasnoty wynika również, że nie da się ich rozdzielić . Brak licznych zbiorów Supremy implikuje, że przestrzeń jest całkowicie niespójna, a nie lokalnie zwarta .

Zobacz też

• Rozszerzona liczba rzeczywista
• Liczba surrealistyczna
• liczby nadprzyrodzone * ℕ

literatura

• Heinz-Dieter Ebbinghaus i in.: Liczby . 3. Wydanie. Springer, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0 .

linki internetowe

• Jordi Gutierrez Hermoso: Niestandardowa analiza i hiperrealizm (angielski)