Uporządkowane ciało

W Algebra , sub-dziedzina matematyki An uporządkowane korpus (zwany również umieszczony korpus ) jest korpus , wraz z całkowitą rzędu „ ” zgodny z dodawania i mnożenia. Najbardziej znanym przykładem jest dziedzina liczb rzeczywistych . Obiekty o charakterystyce nie mogą być ułożone w strukturalnie zgodny sposób. Ważnym przykładem pola o charakterystyce 0, którego nie można ułożyć w sposób zgodny strukturalnie, jest pole liczb zespolonych . ${\ displaystyle \ leq}$ ${\ displaystyle p> 0}$

definicja

Korpus , na którym całkowita rozkaz jest zdefiniowany zwany uporządkowaną ciała (lub ułożony korpus ), jeżeli zamówienie jest zgodny z ciała, to jest operacji H. jeśli dla nich wszystkich obowiązują następujące aksjomaty uporządkowania : ${\ Displaystyle (K, +, \ cdot)}$ ${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle K}$

• Z wynika .${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a + c \ leq b + c}$
• Wychodzi i podąża .${\ displaystyle 0 \ leq a}$${\ displaystyle 0 \ leq b}$${\ displaystyle 0 \ leq a \ cdot b}$

Zamiast drugiego warunku można również wymagać:

• Wychodzi i podąża .${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle 0 \ leq c}$${\ displaystyle a \ cdot c \ leq b \ cdot c}$

Elementy większe lub równe nazywane są dodatnimi , a elementy mniejsze lub równe nazywane są ujemnymi . ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0}$

Obszar dodatni jest wtedy definiowany jako zbiór wszystkich pozytywnych elementów, tj. h.: .${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle P = \ lewo \ {k \ w K \ mid k \ geq 0 \ prawo \}}$

Można pokazać, że for jest równoważne , więc układ jest wyraźnie określony jego dodatnim zakresem. ${\ Displaystyle a, b \ w K}$ ${\ displaystyle b \ geq a}$${\ displaystyle ba \ in P}$

Obszar pozytywny spełnia cechy

• ${\ Displaystyle P + P \ subseteq P}$, (Bliskość w zakresie dodawania i mnożenia)${\ Displaystyle P \ cdot P \ subseteq P}$
• ${\ Displaystyle P \ cap \ lewo (-P \ prawej) = \ lewo \ {0 \ prawo \}}$
• ${\ Displaystyle P \ kubek \ lewo (-P \ prawej) = K}$

Preorder jest podzbiorem , który ${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle T \ subseteq K}$

• ${\ Displaystyle T + T \ subseteq T}$, (Bliskość w zakresie dodawania i mnożenia)${\ Displaystyle T \ cdot T \ subseteq T}$
• ${\ Displaystyle T \ cap \ lewo (-T \ prawo) = \ lewo \ {0 \ prawo \}}$
• ${\ Displaystyle K ^ {2} \ subseteq T}$

Spełnia.

Zamówienie w przedsprzedaży jest słabsze niż zamówienie i określa tylko częściową relację w treści.

nieruchomości

Te właściwości wynikają z aksjomatów (dla wszystkich ): ${\ Displaystyle a, b, c, d \ w K}$

• Negatyw elementu pozytywnego jest ujemny, a negatyw elementu negatywnego jest dodatni: dla każdego z jednym lub drugim .${\ displaystyle a \ in K}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ Displaystyle -a <0 <a}$${\ displaystyle a <0 <-a}$
• Można dodać nierówności: od i wynika .${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle c \ leq d}$${\ Displaystyle a + c \ równoważnik b + d}$
• Nierówności można pomnożyć elementami pozytywnymi: Z i wynika . (Alternatywnie, jak pokazano powyżej, może to być również wymagane jako aksjomat).${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle 0 \ leq c}$${\ displaystyle ac \ leq bc}$
• Kwadraty nie są negatywne: . Podobnie każda skończona suma kwadratów jest nieujemna. W szczególności jest .${\ displaystyle 0 \ leq a ^ {2}}$${\ displaystyle 0 <1}$
• Poprzez indukcję możemy wywnioskować, że każda skończona suma jedynek jest dodatnia .${\ Displaystyle 0 <1 + 1 + \ cdots +1}$

Oświadczenia strukturalne

Każde zamówione ciało ma swoją charakterystykę . Wynika to bezpośrednio z tej ostatniej właściwości . ${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle 0 <1 + 1 + \ cdots +1}$

Każda część zamówionego ciała jest uporządkowana. Podobnie jak w przypadku każdego pola o charakterystyce 0, najmniejsze zawarte pole jest izomorficzne względem liczb wymiernych , a kolejność w tym subklacie jest taka sama, jak kolejność naturalna na . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Jeśli każdy element uporządkowanego pola leży między dwiema liczbami wymiernymi, to pole nazywa się uporządkowanym archimedesem (tj. Jeśli dla każdego elementu istnieje większa i mniejsza liczba wymierna). Na przykład liczby rzeczywiste są archimedesowe, ale hiperliczby rzeczywiste nie są archimedesowe. Własność uporządkowanego ciała Archimedesa nazywana jest również aksjomatem Archimedesa .

Uporządkowane bryły i liczby rzeczywiste

Każde uporządkowane ciało Archimedesa jest (jako uporządkowane ciało) izomorficzne z jasno określonym pod-ciałem . W tym sensie liczby rzeczywiste tworzą „największe” uporządkowane ciało Archimedesa. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Kolejność w treści nadrzędnej wywołuje topologię , kolejność topologii w tej w otwartych przedziałach i podczas generowania bazy , a dodawanie i mnożenie są ciągłe w odniesieniu do tej topologii. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ {x \ in K \ mid x <a \}}$${\ displaystyle \ {x \ in K \ mid x> a \}}$

Uporządkowane ciało nazywa się uporządkowanym kompletnym, gdy każdy ograniczony podzbiór ciała ma dolne i górne piętro .

Pole liczb rzeczywistych można scharakteryzować (poza izomorfizmem) za pomocą następującej własności:

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ jest w pełni uporządkowanym korpusem.

Ponieważ dokładnie liczby nieujemne są kwadratami w polu liczb rzeczywistych (ma to zastosowanie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista z ), zbiór dodatnich liczb rzeczywistych, a zatem układ wszystkich liczb rzeczywistych jest określony algebraicznie (a mianowicie za pomocą operacje pierścieniowe ). Liczby wymierne, które tworzą pole częściowe i pole pierwsze liczb rzeczywistych, nie pozwalają na żaden inny automorfizm niż tożsamość. Mówi się: liczby wymierne to sztywna bryła . Jest również sztywny. Tak więc zawsze istnieje dokładnie jeden izomorfizm pierścienia między dwoma modelami liczb rzeczywistych i jest to zawsze automorfizm ciała zachowujący porządek. W artykule „Liczba rzeczywista ” opisano różne sposoby konstruowania takich modeli. ${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle y ^ {2} = x}$${\ Displaystyle +, \ cdot}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

→ Ogólnie rzecz biorąc, ciała, które pozwalają tylko na jeden porządek ciał z podanego tutaj powodu, to ciała euklidesowe .

Formalnie prawdziwe ciała

Ciało nazywane jest formalnie rzeczywistym (lub tylko rzeczywistym ), jeśli nie można go zapisać jako skończonej sumy kwadratów. Można pokazać, że tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy 0 można przedstawić tylko w trywialny sposób jako skończoną sumę kwadratów. ${\ displaystyle -1}$

Każde ułożone ciało jest więc ciałem formalnie rzeczywistym. I odwrotnie, porządek można wprowadzić do każdego ciała formalnie realnego, co czyni go ciałem uporządkowanym. Formalnie prawdziwe ciała można rozszerzyć na prawdziwe, zamknięte ciała.

Przykłady i kontrprzykłady

• Te liczby całkowite i liczby naturalne spełniają aksjomaty aranżacji, ale nie aksjomatów w organizmie . Liczby całkowite po prostu tworzą uporządkowany pierścień integralności .
• Te liczby wymierne tworzą najmniejszą ułożone ciało w tym sensie, że są one częścią każdej zamówionej ciała i nie zawierają żadnych części rzeczywistej siebie.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Te liczby rzeczywiste i każdy podpole od umieszczone są pola.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Każde prawdziwe pole zamknięte i, bardziej ogólnie, każde pole euklidesowe , podobnie jak liczby rzeczywiste, dopuszcza tylko układ, który jest jednoznacznie określony przez jego strukturę algebraiczną.
• Te numery hiper rzeczywistym są rzeczywiste zamknięte, a zatem umieszczony korpus, który dopuszcza tylko jeden układ.
• Te numery surrealistyczne tworzą prawdziwą klasę , a nie zestaw , ale poza tym spełniać wszystkie aksjomaty polu zamówione. W surrealistycznych liczbach można osadzić dowolne ułożone ciało.
• Skończonych ciał nie można ułożyć.
• Te liczby zespolone nie mogą być organizowane, ponieważ nieruchomość przez urojoną jednostkę ponieważ zostało naruszone.${\ displaystyle 0 \ leq a ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ Displaystyle \ mathrm {i} ^ {2} = - 1}$

• Mówiąc bardziej ogólnie iz tego samego powodu, algebraicznie zamknięte pole nigdy nie może zostać uporządkowane.

• Nie można ustawić liczb -adycznych, ponieważ zawierają one pierwiastek kwadratowy z i jako pierwiastek kwadratowy z .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p> 2}$${\ displaystyle 1-p}$${\ displaystyle p = 2}$${\ displaystyle -7}$

Zobacz też

W geometrii syntetycznej , w kontekście określenia możliwych podziałów uboczne w afinicznej samolotem nad formalnie prawdziwe ciało, wszystkie wyobrażalne aranżacje takich organów są również klasyfikowane przez niektórych nietrywialnych kwadratowych znaków ciała. → Zobacz podział stron .

linki internetowe

Indywidualne dowody

1. ↑ Manfred Knebusch, Klaus Schneiderer, Wprowadzenie do prawdziwej algebry , Vieweg, 1989, ISBN 3-528-07263-6
2. ↑ Ale nie, na przykład, ciało, które leży pomiędzy i (także blisko) i zna nietrywialną mapę koniugacji . Nie ma tutaj żadnego (w przeciwieństwie do ) , tak więc w rezultacie pozytywności nie można udowodnić za pomocą środków teorii pierścienia. Ciała euklidesowe są również sztywne, np. B. pole rzeczywiste zamknięte algebraicznych liczb rzeczywistych.${\ Displaystyle K: = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x \ w K}$${\ displaystyle x ^ {2} = {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} \ czapka \ mathbb {R}}$
3. ↑ Alexander Prestel, Charles N. Delzell, dodatnie wielomiany. Od siedemnastego problemu Hilberta do algebry rzeczywistej , Springer, 2001