Seria (matematyka)

Serii , rzadko jest suma sekwencja , a zwłaszcza w starszych reprezentacji zwany także nieskończona seria , jest obiektem z matematycznego gałęzi z analizy . Szereg jest oczywiście sumą z nieskończoną liczbą wierzchołków . Szereg jest precyzyjnie zdefiniowany jako ciąg, którego składniki są sumami częściowymi innego ciągu. Jeśli policzymy liczbę 0 do zbioru indeksów , -ta suma częściowa jest sumą pierwszych (z nieskończenie wielu) podsumowań. Jeśli sekwencja tych sum częściowych ma wartość graniczną , nazywa się to wartością lub sumą serii. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n + 1}$

definicja

Dla rzeczywistych i złożonych sekwencji

Jeśli podana jest jakaś rzeczywista (lub złożona ) sekwencja , można z niej utworzyć nową sekwencję sum częściowych. -Ty suma częściowa jest sumą pierwszych kategoriach , jego definicja jest: ${\ displaystyle \ left (a_ {j} \ right) _ {j \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$${\ Displaystyle \ lewo (s_ {n} \ po prawej) _ {n \ w \ mathbb {N} _ {0}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle \ left (a_ {j} \ right) _ {j \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$

${\ Displaystyle s_ {n}: = a_ {0} + a_ {1} + \ dotsb + a_ {n}.}$

Kolejność w -tym sum częściowych jest nazywany serię . Jeśli szereg (tj. Sekwencja sum częściowych) jest zbieżny , jego wartość graniczna nazywana jest jego granicą ${\ Displaystyle \ lewo (s_ {n} \ po prawej) _ {n \ w \ mathbb {N} _ {0}}}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} s_ {n} = \ lim _ {n \ do \ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {j}}$

wartość serii lub suma serii . Jest to jasno zdefiniowane i zwykle oznaczone jako.${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j}}$

Należy zauważyć, że z definicji wynika, iż odwrotnie, każda sekwencja liczb staje się serią, jeśli są one rozumiane jako częściowe sumy szeregu . Szereg to nic innego jak sekwencja specjalnego „typu”, której terminy są rekurencyjnie definiowane przez i . Jednak prosta rekurencyjna struktura szeregu prowadzi do bardzo przydatnych kryteriów zbieżności.${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dots}$${\ Displaystyle a_ {0}, (a_ {1} -a_ {0}), (a_ {2} -a_ {1}), (a_ {3} -a_ {2}), \ kropki}$${\ displaystyle s_ {0}: = a_ {0}}$${\ Displaystyle s_ {n + 1}: = s_ {n} + a_ {n + 1}}$

Definicja przestrzeni Banacha

Niech to będzie przestrzeń Banacha i sekwencja w . Następnie definiujemy nową sekwencję w through ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (x_ {j}) _ {j \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (s_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle s_ {n}: = \ sum _ {j = 0} ^ {n} x_ {j}.}$

To się nazywa seria w . Nazywa się zbieżną, gdy sekwencja sum częściowych jest zbieżna, przy czym stosowana jest tutaj odpowiednia norma . Również w tym przypadku ma zastosowanie wyjaśniona powyżej zgodność między sekwencjami i szeregami, przy czym model rekurencyjny ponownie prowadzi do korzyści w formułowaniu kryteriów zbieżności.${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$ ${\ Displaystyle |. | _ {E}}$

notacja

W zależności od kontekstu istnieją różne notacje dla wierszy . W tym artykule liczby naturalne, w tym zero, są używane jako wskaźniki dla warunków sekwencji i serii . W niektórych aplikacjach zaleca się rozpoczęcie sumowania od indeksu 1, 2 lub wyższego, ujemne indeksy rzadko występują (patrz seria Laurenta ). Za pomocą symbolu sumy poszczególne terminy serii można również skrócić jako

${\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i}}$

do napisania. Postępuj w ten sam sposób z kolejnością poszczególnych członków i napisz krótko

${\ displaystyle S = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}.}$

Często pomija się niektóre lub wszystkie indeksy, aby uniknąć nieporozumień. Jeśli na przykład w kontekście obliczeń z nieskończonymi szeregami jest jasne, że numeracja zwykle zaczyna się od 0, to mówi

${\ displaystyle S = \ sum a_ {i}}$ Dla ${\ displaystyle S = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}.}$

Ocena i klasyfikacja

Jeśli i stąd dla wszystkich nieujemnych indeksów i i n są zdefiniowane w ten sposób, mają postać nieskończonego szeregu : jeśli granica ciągu sum częściowych ${\ displaystyle (a_ {i})}$${\ displaystyle (s_ {n})}$

${\ Displaystyle S = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} s_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ lewo (\ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ dobrze)}$

istnieje, mówi się, że szereg jest zbieżny; granica S nazywana jest sumą serii lub wartością serii. Suma ta może być również skracana jako

${\ displaystyle S = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}}$

do napisania.

Szereg nazywany jest rozbieżnym lub jego granica nie istnieje, jeśli szereg nie jest zbieżny. Na pewno nazywa się to rozbieżnym lub nieprawidłowo zbieżnym, jeśli sumy częściowe mają tendencję do −∞ lub + ∞. W przeciwnym razie szereg nazywany jest nieskończenie rozbieżnym ; może mieć lub nie mieć punktów akumulacji . ${\ displaystyle (s_ {n})}$${\ displaystyle (s_ {n})}$

Aby określić, czy szereg jest zbieżny, można zastosować różne kryteria zbieżności.

Przykłady

Klasyczny szereg to szereg geometryczny , którego nazwa wynika z ciągu geometrycznego ( dla ). A więc szereg geometryczny to: ${\ Displaystyle a_ {n} = q ^ {n}}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} q ^ {n}.}$

Jest to specjalna seria geometryczna

${\ Displaystyle S = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n}}} = 1 + {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac { 1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {16}} + \ cdots}$

Zgodnie z powyższym opisem zapis ten oznacza wartość graniczną ciągu

${\ Displaystyle 1, \ {\ Frac {3} {2}}, \ {\ Frac {7} {4}}, \ {\ Frac {15} {8}}, \ \ dotsc}$

Zbieżność tego szeregu można zobrazować na osi liczbowej : Wyobraźmy sobie prostą o długości dwóch, na której zaznaczone są kolejne odcinki o długościach 1, 1/2, 1/4 itd. W tej linii jest jeszcze miejsce na jeszcze jeden odcinek, ponieważ jest jeszcze tyle miejsca, ile był długi ostatni odcinek: jeśli zaznaczyliśmy trasę 1/2, wykorzystaliśmy w sumie 3/2, więc zostało jeszcze miejsce Pozostało 1/2. Jeśli teraz usuniemy 1/4, pozostanie kolejna 1/4 itd. Ponieważ „pozostałość” staje się dowolnie mała, wartość graniczna wynosi 2.

Zbieżne szeregi geometryczne są również przedmiotem paradoksów Zenona .

Przykładem rozbieżnego szeregu z kilkoma punktami akumulacji jest suma w ciągu +1, −1, +1, −1, ... Szereg zmienia się między wartościami 1 i 0 (sekwencja zmienia się jednak między 1 i -1).

semantyka

Symbol

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}}$

mają dwa różne znaczenia, między którymi należy podjąć decyzję na podstawie kontekstu. Gdy symbol oznacza wartość szeregu, który istnieje w przypadku zbieżnych szeregów lub nie istnieje w przypadku rozbieżnych szeregów:

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {N} a_ {i}}$.

Z drugiej strony symbol przedstawia szereg jako sekwencję sum częściowych, niezależnie od zachowania zbieżności:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} = (a_ {0}, a_ {0} + a_ {1}, a_ {0} + a_ {1} + a_ {2 }, a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + a_ {3}, ...)}$.

Symbol prawie zawsze odnosi się do wartości granicznej. Jeśli chcesz mieć na myśli sekwencję sum częściowych, użyj wyrażeń takich jak „... szereg, postrzegany jako sekwencja sum częściowych, ...”

Obliczanie za pomocą serii

W przeciwieństwie do zwykłych (skończonych) sum, niektóre zwykłe zasady dodawania mają zastosowanie tylko w ograniczonym zakresie do szeregów. Więc nie możesz lub tylko w pewnych warunkach z nimi, jak w przypadku wyrażeń o sumie skończonej.

Sumy i wielokrotności

Szereg zbieżny można zbiegać przez termin, dodawać, odejmować lub przez ustalony współczynnik (ale nie inny wiersz) mnożyć (mnożyć). Otrzymane szeregi są również zbieżne, a ich wartością graniczną jest suma lub różnica wartości granicznych szeregu wyjściowego lub wielokrotność wartości granicznej szeregu wyjściowego. I. E.

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (a_ {i} + b_ {i}) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} + \ sum _ { i = 0} ^ {\ infty} b_ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (a_ {i} -b_ {i}) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} - \ sum _ { i = 0} ^ {\ infty} b_ {i}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} A \ cdot a_ {i} = A \ cdot \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}}$

Produkty

Można całkowicie zbieżny wyraz mnożąc każdą serię. Linia produktów jest również absolutnie zbieżna, a jej wartość graniczna jest iloczynem wartości granicznych serii wyjściowej. I. E.

${\ Displaystyle \ sum _ {i, j = 0} ^ {\ infty} (a_ {i} \ cdot b_ {j}) = \ lewo (\ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i } \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} b_ {j} \ right)}$

Ponieważ notacja (po lewej stronie równania) linii iloczynu z dwoma indeksami jest „nieporęczna” w pewnych kontekstach, linia iloczynu jest również zapisana w postaci iloczynu Cauchy'ego . Nazwa wynika z faktu, że ogniwa szeregu produktów tworzone są za pomocą metody diagonalnej Cauchy'ego, w której ogniwa ciągów wyjściowych są ułożone parami na schemacie kwadratowym, a (ponumerowane) przekątne tego schematu tworzą linki do produktów. Potrzebujesz wtedy tylko jednego indeksu dla linii produktów. Linia produktów ma wówczas następującą postać:

${\ Displaystyle \ sum _ {i, j = 0} ^ {\ infty} (a_ {i} \ cdot b_ {j}) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (a_ {0} \ cdot b_ {n} + a_ {1} \ cdot b_ {n-1} + \ dotsb + a_ {n-1} \ cdot b_ {1} + a_ {n} \ cdot b_ {0}) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {m = 0} ^ {n} a_ {m} \ cdot b_ {nm} \ right)}$

Oblicz w ramach serii

Nawiasy (skojarzenie)

Terminy w zbieżnych szeregach można pogrupować za pomocą nawiasów. Możesz więc wstawić dowolną liczbę nawiasów w „wyrażeniu o sumie nieskończonej”, po prostu nie możesz ich umieszczać w wyrażeniu (złożonym z kilku terminów). Wartość serii nie zmienia się, jeśli wstawione są również nawiasy.

Zwykle nie dotyczy to rozbieżnych szeregów, co można łatwo zauważyć na poniższym przykładzie.

Serie

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {i} = 1-1 + 1-1 + \ dotsb}$

rozbiega się, podczas gdy wiersz w nawiasach

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} ((- 1) ^ {2i} + (- 1) ^ {2i + 1}) = (1-1) + (1-1) + \ dotsb = 0 + 0 + \ dotsb = 0}$

zbiega się do zera, a szereg jest inaczej ujęty w nawiasy

${\ Displaystyle 1+ \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} ((- 1) ^ {2i-1} + (- 1) ^ {2i}) = 1 + (- 1 + 1) + ( -1 + 1) + \ dotsb = 1 + 0 + 0 + \ dotsb = 1}$

zbiega się do kolejnej liczby.

Z drugiej strony, nie można łatwo klipów stąd wyjechać. Ale zawsze możesz to zrobić, gdy wynikowy szereg ponownie się zbiegnie. W tym przypadku wartość serii również pozostaje niezmieniona. Jeśli seria „mniej w nawiasach” jest zbieżna, możesz dodać do niej ponownie te same nawiasy, które usunąłeś wcześniej, a równość limitu wynika z tego, co zostało powiedziane powyżej, jeśli zamienisz role w niej i „mniej w nawiasach ”teraz jako Spójrz na wiersz, do którego dodano nawiasy.

Przegrupowanie (przemienność)

Przegrupowanie szeregu jest reprezentowane przez permutację jego zbioru indeksów. Na przykład, jeśli zestaw jest wskaźnik (jak to zwykle bywa) zbiór liczb naturalnych bijective odwzorowania liczb naturalnych do siebie, to jest nazywany ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ sigma \ colon \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}, \ i \ mapsto \ sigma (i)}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (i)}}$

przegrupowanie serii

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}.}$

Szeregi zbieżne można dowolnie zmieniać , zachowując ich wartość wtedy i tylko wtedy, gdy są bezwarunkowo lub absolutnie zbieżne . Dla bezwarunkowo (lub absolutnie) zbieżnych szeregów:

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (i)}}$dla wszystkich bijectives .${\ Displaystyle \ sigma \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$

Szeregi warunkowo zbieżne można uporządkować tylko w sposób skończony, tj. H. powyżej pewnego wskaźnika musi mieć zastosowanie do przegrupowania . ${\ Displaystyle \ sigma (i) = i}$

Absolutna i bezwarunkowa konwergencja

Szereg nazywany jest zbieżnym absolutnie, jeśli szereg jego składników bezwzględnych jest zbieżny. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lewo | a_ {n} \ prawo |}$

Szereg zbieżny jest formalnie definiowany jako zbieżny bezwarunkowo, jeśli każde z jego przegrupowań ponownie zbiega się i ma tę samą granicę. Nie trzeba jednak zakładać ostatniej właściwości, ponieważ każdy szereg, którego kolejność jest zbieżna, ma również tę samą wartość dla każdego rzędu. Szereg zbieżny, który niekoniecznie jest zbieżny, nazywany jest zbieżnym warunkowo.

W przestrzeniach o skończonych wymiarach obowiązują następujące zasady:

Liczba jest zbieżnością „jeśli” i zbieżnością bezwarunkową, jeśli jest zbieżna absolutnie.

Dla szeregów warunkowo zbieżnych można określić dowolną liczbę, a następnie znaleźć przegrupowanie tego szeregu, które jest zbieżne dokładnie do tej liczby ( twierdzenie o przegrupowaniu Riemanna ). W szczególności nie możesz określić liczby jako liczby, co oznacza, że ​​szeregi powinny się różnić, a znajdziesz odpowiednie przestawienie, które to zrobi.

Kryteria konwergencji

W dalszej części liczby są zawsze liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a szereg jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

Aby udowodnić zbieżność tego szeregu, istnieją różne kryteria zbieżności, które pokazują częściowo warunkową, a częściowo silniejszą absolutną zbieżność (zbieżność szeregu wielkości wyrażeń):

Kryterium kolejności zerowej

Jeśli szereg jest zbieżny, to sekwencja ( ) sum w kierunku 0. Sformułowana: Jeśli ( ) nie jest sekwencją zerową , odpowiedni szereg rozbiega się. Odwrócenie nie jest generalnie poprawne (kontrprzykładem jest szereg harmonicznych ). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle a_ {n}}$

Główne kryterium

Jeśli wszystkie wyrazy w szeregu są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to zbieżność i dla wszystkich${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle a_ {n} \ geq | b_ {n} |}$

z liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi , to szereg również jest zbieżny ${\ displaystyle b_ {n}}$

${\ displaystyle T = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n}}$

absolutnie i tak jest . ${\ displaystyle | T | \ leq S}$

Kryterium drugorzędne

Jeśli wszyscy członkowie szeregu są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to rozbieżności i dla wszystkich${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n}}$

z nieujemnymi liczbami rzeczywistymi , to szereg również się rozbiera ${\ displaystyle b_ {n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n}}$.

Kryterium ilorazowe

Jeśli istnieje stała i indeks , to dla wszystkich jest prawdziwe ${\ displaystyle C <1}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle n \ geq N}$

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ prawo | \ równoważnik C,}$

wtedy szereg jest zbieżny absolutnie. ${\ displaystyle S}$

Kryterium korzeni

Jeśli istnieje stała i indeks , to dla wszystkich jest prawdziwe ${\ displaystyle C <1}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle n \ geq N}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ równoważnik C,}$

wtedy szereg jest zbieżny absolutnie. ${\ displaystyle S}$

Kryterium całkowe

Jest nieujemną, monotonicznie malejącą funkcją z ${\ Displaystyle f \ dwukropek [1, \ infty) \ do [0, \ infty)}$

${\ displaystyle f (n) = a_ {n}}$dla wszystkich ,${\ displaystyle n}$

następnie zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy całka${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

istnieje.

Kryterium Leibniza

Szereg formularza

${\ Displaystyle S = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$

z wartością nieujemną nazywa się serią naprzemienną . Taki szereg jest zbieżny, gdy sekwencja zbiega się monotonicznie do 0. Odwrotność nie jest uniwersalna. ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

Przykłady

• Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy .${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n}}$${\ displaystyle | z | <1}$

• W Dirichleta zbieżny dla i odchyla do tego, co można pokazać ze zintegrowanym kryterium. Rozważana jako funkcja , ta seria daje funkcję zeta Riemanna .${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {r}}}}$${\ displaystyle r> 1}$${\ displaystyle r \ leq 1}$${\ displaystyle r}$

• Seria teleskop jest zbieżny wtedy i tylko wtedy sekwencję dla zbieżny przed szereg . Wartość zakresu wynosi wtedy .${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (b_ {n} -b_ {n + 1})}$${\ displaystyle b_ {n}}$${\ Displaystyle n \ do \ infty}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle b_ {1} -L}$

Aplikacje

Reprezentacja stałych matematycznych

Oprócz zbieżności i wartości liczbowej wiersza ważna jest również wartość symboliczna wiersza. Na przykład stałe matematyczne można przedstawić i obliczyć numerycznie. Przykład dla ( logarytm naturalny ) ${\ displaystyle \ ln 2}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k2 ^ {k}}} \ quad {\ tekst {lub}} \ quad \ ln 2 = { \ tfrac {2} {3}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + 1) 9 ^ {k}}} \,.}$

Istnieje zestawień w tabelach serii dla ważnych przedstawień serii .

Rzędy funkcji

Zamiast ciągów liczb można również rozważyć sekwencje funkcji i odpowiednio zdefiniować wiersze. Oprócz kwestii zbieżności pojawia się pytanie o właściwości funkcji granicznej. I odwrotnie, można zapytać, który wiersz może być użyty do reprezentowania funkcji. Taka reprezentacja nazywa się rozwojem serii .

Seria potęgowa

Niektóre ważne funkcje można przedstawić za pomocą szeregu Taylora . Są to pewne nieskończone szeregi, w których występują potęgi zmiennej niezależnej. Takie szeregi są ogólnie nazywane szeregami potęgowymi . Jeśli ujemne potęgi zmiennych są również dozwolone, mówi się o szeregach Laurenta .

Szereg Fouriera

Szereg Fouriera funkcji jest jego rozwój według funkcji trygonometrycznych i . Liczba Eulera również jest tego typu. ${\ Displaystyle \ sin (nx)}$${\ Displaystyle \ cos (nx)}$ ${\ Displaystyle (n = 0,1,2,3, \ kropki)}$

Seria Dirichleta

Rozwój nazywany jest Dirichlet seria

${\ Displaystyle F (s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {f (n)} {n ^ {s}}},}$ Z ${\ displaystyle s = \ sigma + it \ in \ mathbb {C}.}$

Ważnym przykładem jest szeregowa reprezentacja funkcji zeta Riemanna

${\ Displaystyle \ zeta (s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {s}}},}$z .${\ displaystyle \ operatorname {Re} \, s> 1}$

Suma prefiksu

W informatyce suma przedrostków jest algorytmem, który zastępuje każdy wpis w tablicy sumą częściową . Suma prefiksów może być zrównoleglona i dlatego jest podstawowym algorytmem dla systemów komputerowych z kilkoma rdzeniami procesorów , GPU lub klastrami komputerów . ${\ displaystyle a_ {k}}$${\ displaystyle s_ {k}}$

linki internetowe

literatura

• Konrad Knopp : Teoria i zastosowanie nieskończonej serii . Szósta edycja. Springer, Berlin i in. 1996, ISBN 3-540-59111-7 , The Basic Teachings of Mathematical Sciences in Individual Representations 2).
• Izrail Solomonovic Gradshteyn, Iosif Mojseevic Ryzhik: Tabela całek, szeregów i produktów . Pod redakcją Alana Jeffreya i Daniela Zwillingera. 7. edycja. Elsevier Academic Press, Amsterdam i in.2007 , ISBN 978-0-12-373637-6 .

Indywidualne dowody

1. ↑ sekwencja sum . W: Guido Walz (red.): Lexicon of Mathematics . Wydanie 1. Wydawnictwo Akademickie Spectrum, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
2. ↑ wiersz . W: Guido Walz (red.): Lexicon of Mathematics . Wydanie 1. Wydawnictwo Akademickie Spectrum, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
3. ↑ Otto Forster : Analiza Tom 1: Rachunek różniczkowy i całkowy zmiennej. Vieweg-Verlag, 8. wydanie 2006, ISBN 3-528-67224-2 , s. 37.
4. ^ ^{A b c} Herbert Amann, Joachim Escher: Analiza 1 , wydanie trzecie, Birkhäuser, s.195.
5. ↑ Michelle Kuttel (2012): Równoległa Java. §5 Slajdy z wykładów
6. ↑ Stefan Edelkamp (2010): Inżynieria algorytmów. Slajdy wykładowe ( pamiątka z oryginałem od 11 maja 2015 w Internet Archive ) Info: archiwum Link został wstawiony automatycznie i nie została jeszcze sprawdzona. Sprawdź oryginalny i archiwalny link zgodnie z instrukcjami, a następnie usuń to powiadomienie. @ 1@ 2Szablon: Webachiv / IABot / www.tzi.de