Produkt (matematyka)

Produkt jest wynikiem rozmnażania , jak również określenie , który reprezentuje mnożenia. Połączone elementy nazywane są czynnikami.

W tym sensie produkt jest reprezentacją formy

${\ displaystyle \ cdot \;: \; A \ razy B \; \ rightarrow \; C}$

gdzie iloczyn i jest zwykle odnotowywany jako. ${\ displaystyle a \ w A}$${\ styl wyświetlania b \ w B}$${\ styl wyświetlania a \ cdot b}$

Wywodzące się z łacińskiego słowa producee w znaczeniu przedstawiać , „produkt” jest pierwotnie określeniem wyniku mnożenia dwóch liczb (z łac. multiplicare = mnożyć). Użycie punktu malarskiego sięga czasów Gottfrieda Wilhelma Leibniza , symbolu alternatywnego dla Williama Oughtreda .${\ styl wyświetlania \; \ cdot \;}$${\ styl wyświetlania \ razy}$

Produkty dwóch liczb

Tutaj jest zawsze , ja. Oznacza to, że iloczyn dwóch liczb jest znowu liczbą. Zakłada się również, że produkty są tu asocjacyjne , tj. H. ${\ styl wyświetlania A = B = C}$

${\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} a, b, c \ w A}$

Iloczyn dwóch liczb naturalnych

Na przykład, jeśli ułożysz elementy gry w prostokątnym schemacie w r rzędach po s elementów , potrzebujesz do tego you

${\ displaystyle r \ cdot s = \ suma _ {i = 1} ^ {s} r = \ suma _ {j = 1} ^ {r} s}$

Kawałki gry. Mnożenie jest krótką formą wielokrotnego dodawania r sum (odpowiadających r rzędom), z których wszystkie mają wartość s (w każdym rzędzie jest s kamieni). Całkowitą liczbę można również obliczyć, dodając liczbę s (odpowiadającą liczbie kamieni stojących jeden za drugim w kolumnie) r razy (odpowiadającą liczbie r takich kolumn ułożonych obok siebie) (trzeba r-1 znak plus dla tego ). To już pokazuje przemienność mnożenia dwóch liczb naturalnych .

Jeśli odliczymy liczbę 0 do liczb naturalnych, to tworzą one półpierścień . Te elementy odwrotne w odniesieniu addycyjnych brakuje w pierścieniu : nie ma liczbę naturalną X z 3 + x = 0.

Produkt, w którym liczba 0 występuje jako czynnik, zawsze ma wartość zero: Układ zerowych rzędów sztuk nie obejmuje jednej sztuki, niezależnie od liczby sztuk w rzędzie.

Iloczyn dwóch liczb całkowitych

Dodawanie liczb całkowitych ujemnych wyników w ringu z liczb całkowitych . Dwie liczby całkowite mnoży się przez pomnożenie ich odpowiednich kwot i dodanie następującego znaku : ${\ styl wyświetlania \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ początek {tablica} {| c | cc |} \ hline \ cdot & - & + \\\ hline - & + & - \\ + & - & + \\\ hline \ end {tablica}} }$

Słowem, ta tabela mówi:

• Minus razy minus wyniki w plus
• Minus razy plus wyniki w minus
• Plus razy minus daje minus
• Plus razy plus równa się plus

Aby uzyskać ściśle formalną definicję klas równoważności par liczb naturalnych, zobacz artykuł o liczbach całkowitych .

Produkt dwóch frakcji fraction

Możesz bez ograniczeń dodawać, odejmować i mnożyć w liczbach całkowitych. Dzielenie przez liczbę różną od zera jest możliwe tylko wtedy, dzielna jest wielokrotnością dzielnik. Ograniczenie to może być usunięte z przejściem do dziedziny z liczb wymiernych , to jest do zestawu wszystkich frakcji . W przeciwieństwie do ich sumy, iloczyn dwóch frakcji nie wymaga utworzenia głównego mianownika : ${\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle {\ frac {z} {n}} \ cdot {\ frac {z '} {n'}} = {\ frac {z \ cdot z '} {n \ cdot n'}}}$

W razie potrzeby wynik można skrócić .

Iloczyn dwóch liczb rzeczywistych

Jak Euklides był w stanie wykazać, nie ma czegoś takiego jak liczba wymierna, której kwadrat wynosi dwa. Podobnie stosunek obwodu do średnicy, czyli liczba kół  π, nie może być reprezentowany jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Obie „luki” zamyka tzw. uzupełnienie w przejściu do pola liczb rzeczywistych . Ponieważ dokładna definicja produktu w przedstawionej tutaj zwięzłości nie wydaje się możliwa, pomysł jest tylko krótko naszkicowany: ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$

Każda liczba rzeczywista może być rozumiana jako nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład i Przybliżenia wymierne - takie jak 1,41 i 3,14 - można łatwo pomnożyć przez siebie. Poprzez stopniowe zwiększanie liczby miejsc po przecinku uzyskuje się ciąg przybliżonych wartości dla produktu - w procesie, którego nie da się przeprowadzić w skończonym czasie${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = 1 {,} 4142 \ ldots}$${\ displaystyle \ pi = 3 {,} 1415 \ ldots}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ cdot \ pi = 4 {,} 4428 \ ldots}$

Iloczyn dwóch liczb zespolonych

Nawet na zbiorze liczb rzeczywistych istnieją nierozwiązywalne równania, takie jak . Zarówno dla ujemnych, jak i dodatnich wartości kwadracik po lewej stronie jest zawsze liczbą dodatnią. Poprzez przejście do korpusu z liczb zespolonych , które często określa się jako adjunction , to znaczy dodawanie , tak zwane Gaussa liczba płaszczyzny wychodzi z rzeczywistego numer linii . Dwa punkty na tym poziomie, czyli dwie liczby zespolone, mnoży się formalnie biorąc pod uwagę : ${\ styl wyświetlania x ^ {2} = - 1}$${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathrm {i} = {\ sqrt {-1}}}$${\ styl wyświetlania \ matematyka {i} ^ {2} = - 1}$

${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (a + b \, \ mathrm {i}) \ cdot (c + d \, \ mathrm {i}) & = a \ cdot c + a \ cdot d \, \ mathrm {i} + b \ cdot c \, \ mathrm {i} + b \ cdot d \ cdot \ mathrm {i} ^ {2} \\ & = (a \ cdot cb \ cdot d) + (a \ cdot d + b \ cdot c) \, \ mathrm {i} \ end {wyrównany}}}$

Interpretacja geometryczna

Liczbę zespoloną można również zapisać we współrzędnych biegunowych płaskich :

${\ displaystyle a + b \, \ mathrm {i} = r \ cdot (\ cos (\ varphi) + \ mathrm {i} \ sin (\ varphi)) = r \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ varphi}}$

Jest dalej

${\ displaystyle c + d \, \ mathrm {i} = s \ cdot (\ cos (\ psi) + \ mathrm {i} \ sin (\ psi)) = s \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ matherm {i} \ psi}}$

więc ma zastosowanie ze względu na twierdzenia o dodawaniu dla sinusa i cosinusa

${\ displaystyle (a \ cdot cb \ cdot d) + (a \ cdot d + b \ cdot c) \, \ mathrm {i} = r \ cdot s \ cdot (\ cos (\ varphi + \ psi) + \ mathrm {i} \ sin (\ varphi + \ psi)) = r \ cdot s \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ varphi + \ psi)}}$

Geometrycznie oznacza to: Mnożenie długości z jednoczesnym dodawaniem kątów.

Iloczyn dwóch kwaternionów

Nawet liczby zespolone można rozszerzyć algebraicznie. Powstaje rzeczywista przestrzeń czterowymiarowa, tzw. kwaterniony hamiltonowskie . Powiązane zasady mnożenia są szczegółowo opisane w artykule Quaternion. W przeciwieństwie do powyższych zakresów liczbowych, mnożenie kwaternionów nie jest przemienne, tj. tj. i są na ogół różne. ${\ styl wyświetlania \ mathbb {H}}$${\ styl wyświetlania a \ cdot b}$${\ styl wyświetlania b \ cdot a}$

Więcej przykładów pierścieni przemiennych

Pozostałe klasy liczb całkowitych

Powszechnie wiadomo, że iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy oba czynniki są nieparzyste. Podobne zasady dotyczą również podzielności przez liczbę całkowitą N większą niż dwa. Liczby parzyste odpowiadają tutaj wielokrotnościom N; liczba parzysta jest podzielna przez dwa bez reszty. W przypadku liczb nieparzystych należy rozróżnić, jaka reszta pozostaje po podzieleniu tej liczby przez N jako liczbę całkowitą. Modulo 3 - jak to się mówi - istnieją trzy klasy pozostałych liczb całkowitych: te, które są wielokrotnościami trzech, te z resztą 1 i te z resztą 2. Iloczyn dwóch takich liczb zawsze ma resztę jeden moduł trzy.

Zbiór tych pozostałych klas , napisany, ma dokładnie N elementów. Typowy element ma postać i oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych, które podzielone przez N dają taką samą resztę jak liczba a. Na zbiorze wszystkich takich pozostałych klas dane jest przez ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle a + N \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle (a + N \ mathbb {Z}) + (b + N \ mathbb {Z}) = a + b + N \ mathbb {Z}}$

dodatek i poprzez

${\ displaystyle (a + N \ mathbb {Z}) \ cdot (b + N \ mathbb {Z}) = a \ cdot b + N \ mathbb {Z}}$

wyjaśnione mnożenie. Powstały pierścień nazywany jest resztą klasy ring modulo N. Jeśli N jest liczbą pierwszą , w rzeczywistości jest to pole. Przykład: modulo 5 to klasa rezydualna 2 odwrotnie do klasy 3, ponieważ 6 modulo 5 to jeden. Systematyczne znajdowanie odwrotności multiplikatywnych modulo N odbywa się za pomocą algorytmu euklidesowego .

Pierścienie funkcyjne

Jeśli pierścień R jest przemienny, zbiór (zbiór wszystkich funkcji niepustego zbioru M o wartościach w R ) również tworzy pierścień przemienny, jeśli dodawanie i mnożenie są zdefiniowane składową. To znaczy, jeśli możesz ${\ displaystyle \ mathbb {F}: = R ^ {M}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {F}}$

${\ styl wyświetlania (f + g) (m): = f (m) + g (m)}$

${\ styl wyświetlania (f \ cdot g) (m): = f (m) \ cdot g (m)}$

wyjaśnione wszystkim . ${\ styl wyświetlania m \ w M}$

Jeśli wybierze się liczby rzeczywiste ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem jako pierścień R , a jako M otwarty podzbiór lub ogólniej , wtedy terminy ciągłość i różniczkowalność funkcji mają sens. Zestaw funkcji ciągłych lub różniczkowalnych następnie tworzy podpierścień z funkcji pierścienia , który ma być trywialny przemienne ponownie, czy R jest przemienne. ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ styl wyświetlania f: M \ do R}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {F}}$

Produkt składany

Niech będą dwie całkowalne funkcje rzeczywiste, których wartości bezwzględne mają skończoną niewłaściwą całkę : ${\ displaystyle f, g \ dwukropek \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \,}$

${\ displaystyle \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (t) | \, \ mathrm {d} \, t \; <\; \ infty \ quad {\ text {i}} \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} | g (t) | \, \ mathrm {d} \, t \; <\; \ infty}$

Wtedy całka niewłaściwa

${\ displaystyle (f * g) (t) \;: = \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) \ cdot g (t- \ tau) \, \ mathm {d } \ tau}$

dla każdej liczby rzeczywistej t również skończonej. Zdefiniowana przez to funkcja f * g nazywana jest iloczynem splotu lub splotem f i g. Tutaj f * g jest ponownie całkowalna ze skończoną niewłaściwą całką wartości bezwzględnej. Ponadto f * g = g * f, tj. to znaczy splot jest przemienny.

Po przekształceniu Fouriera iloczyn splotu jest iloczynem określonym punkt po punkcie z wyjątkiem stałego współczynnika normalizacji (tzw. twierdzenie o splocie ). Iloczyn splotu odgrywa ważną rolę w matematycznym przetwarzaniu sygnałów .

Krzywej Gaussa dzwon można scharakteryzować przez to, że ich składane ze sobą ponownie powoduje krzywą w kształcie dzwonu, który jest nieco rozszerzonym (patrz tutaj ). To właśnie ta własność stanowi podstawę centralnego twierdzenia granicznego .

Pierścienie wielomianowe

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej X o rzeczywistych współczynnikach również tworzy tzw. pierścień wielomianowy . Produkt jest obliczany w następujący sposób: ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$

${\ styl wyświetlania \ po lewej (\ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i} \ po prawej) \ cdot \ po lewej (\ suma _ {j = 0} ^ {m} b_ {j } X ^ {j} \ po prawej) = \ suma _ {k = 0} ^ {n + m} c_ {k} X ^ {k}}$

Z

${\ displaystyle c_ {k} = \ suma _ {i + j = k} a_ {i} \ cdot b_ {j}}$

Pierścienie te odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach algebry. Na przykład ciało liczb zespolonych można elegancko zdefiniować jako czynnik ring . ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X] / (X ^ {2} +1)}$

W przejściu od sum skończonych do absolutnie zbieżnych szeregów lub formalnych szeregów potęgowych omawiany iloczyn staje się tak zwanym iloczynem Cauchy'ego .

Produkty w algebrze liniowej

W algebry liniowej dotyczy przestrzeni wektorowej i odwzorowań liniowych między takimi. W tym kontekście pojawiają się różne produkty. Poniżej, dla uproszczenia, pole liczb rzeczywistych jest najczęściej używane jako pole podstawowe.

Produkt skalarny

Już w definicji przestrzeni wektorowej V pojęcie zanurzonego mnożenia skalarnego dalej. Pozwala to na „rozciągnięcie” wektorów na ogół o czynnik rzeczywisty, przy czym w przypadku mnożenia przez ujemny skalar kierunek wektora jest również odwracany.

Produkt skalarny to obraz! ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ razy V \ rightarrow V}$

Produkt skalarny

Należy od tego ściśle odróżnić pojęcie iloczynu skalarnego . To jest mapowanie dwuliniowe

${\ displaystyle \ cdot: V \ razy V \ rightarrow \ mathbb {R}}$

z dodatkowym wymogiem, który jest dla wszystkich . ${\ styl wyświetlania v \ cdot v> 0}$${\ styl wyświetlania 0 \ nie = v \ w V}$

Dlatego wyrażenie jest zawsze obliczalne i zapewnia pojęcie normy (długości) wektora. ${\ displaystyle \ | v \ |: = {\ sqrt {v \ cdot v}}}$

Iloczyn skalarny pozwala również na zdefiniowanie kąta między dwoma niezerowymi wektorami v i w:

${\ displaystyle \ cos \ kąt (v, w) = {\ frac {v \ cdot w} {\ | v \ | \ cdot \ | w \ |}}}$

Wzór na polaryzację pokazuje, że takie pojęcie długości zawsze odwrotnie prowadzi do iloczynu skalarnego, a więc także do pojęcia kąta.

Układ ortonormalny można znaleźć w każdej n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej poprzez ortonormalizację . Jeśli wszystkie wektory są reprezentowane jako kombinacje liniowe w odniesieniu do bazy ortonormalnej , iloczyn skalarny dwóch takich krotek współrzędnych można obliczyć jako standardowy iloczyn skalarny : ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots e_ {n}}$

${\ styl wyświetlania \ po lewej (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i} e_ {i} \ po prawej) \ cdot \ po lewej (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ beta _ {i} e_ {i} \ prawo) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i} \, \ beta _ {i}}$

Produkt krzyżowy w przestrzeni trójwymiarowej

W , jako standardowy model trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, można zdefiniować inny iloczyn, tzw. iloczyn krzyżowy . Świetnie radzi sobie z różnymi zagadnieniami geometrii analitycznej w przestrzeni. ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R} ^ {3}}$

Produkt krzyżowy jest ilustracją

${\ displaystyle \ times: \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$

Jak każdy produkt Lie , jest antyprzemienny: w szczególności jest${\ styl wyświetlania v \ razy w = -w \ razy v}$${\ styl wyświetlania v \ razy v = 0}$

Późny produkt

Tak zwany późny produkt - również wyjaśniony tylko w - nie jest iloczynem dwóch, ale trzech wektorów. We współczesnym języku odpowiada ona wyznacznikowi trzech wektorów kolumnowych zapisanych obok siebie i jest prawdopodobnie najłatwiejsza do obliczenia zgodnie z regułą Sarrusa . Formalnie jest ilustracja ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ det: \ mathbb {R} ^ {3} \ razy \ mathbb {R} ^ {3} \ razy \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

który do dziś jest określany jako produkt, prawdopodobnie tylko ze względów historycznych. Produkt Spat wyraźnie mierzy objętość Spat w przestrzeni.

Kompozycja obrazów liniowych

Jeśli f: U → V i g: V → W są dwoma liniowymi odwzorowaniami , to ich wykonanie następuje jedno po drugim

${\ displaystyle g \ circ f: U \ ni u \ mapsto g (f (u)) \ in W}$

liniowy. Jeśli oznaczymy zbiór wszystkich odwzorowań liniowych od U do V , to z zestawienia odwzorowań otrzymamy iloczyn ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {Dom} (U, V)}$

${\ displaystyle \ circ: \ operatorname {Hom} (V, W) \ razy \ operatorname {Hom} (U, V) \ rightarrow \ operatorname {Hom} (U, W)}$

W szczególnym przypadku U = V = W, tak zwany pierścień endomorfizmu V. ${\ displaystyle \ operatorname {End} (V) = \ operatorname {Hom} (V, V)}$

Iloczyn dwóch macierzy

Podane są dwie macierze i . Ponieważ liczba kolumn w A jest taka sama jak liczba wierszy w B, iloczyn macierzy może być${\ displaystyle A = (a_ {i, j}) _ {i = 1 \ ldots s; j = 1 \ ldots r} \ in \ mathbb {R} ^ {s \ razy r}}$${\ displaystyle B = (b_ {j, k}) _ {j = 1 \ ldots r; k = 1 \ ldots t} \ in \ mathbb {R} ^ {r \ razy t}}$

${\ displaystyle A \ cdot B = \ po lewej (\ suma _ {j = 1} ^ {r} a_ {i, j} \ cdot b_ {j, k} \ po prawej) _ {i = 1 \ ldots s; k = 1 \ ldots t} \; \ in \ mathbb {R} ^ {s \ razy t}}$

Formularz. W szczególnym przypadku r = s = t macierzy kwadratowych tworzy to pierścień macierzy . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {r \ razy r}}$

Kompozycja obrazów liniowych jako iloczyn macierzowy

Istnieje ścisły związek między kompozycją obrazów linearnych a iloczynem dwóch matryc. Niech R = słabe (U), a s = słabe (V) i t = słabe (W) oznacza (Finite) Wymiary przestrzeni nosicieli U, V i W. Let być ponadto podstawa U, podstawa V i podstawą von W. w odniesieniu do powyższych zasad, niech matrycy reprezentujący się z F: U → V i reprezentującego matrycy z g V → W. Następnie jest ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {u_ {1}, \ ldots u_ {r} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ {v_ {1}, \ ldots v_ {s} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = \ {w_ {1}, \ ldots w_ {t} \}}$${\ displaystyle A = M _ {\ mathcal {V}} ^ {\ mathcal {U}} (f) \ in \ mathbb {R} ^ {s \ razy r}}$${\ displaystyle B = M _ {\ mathcal {W}} ^ {\ mathcal {V}} (g) \ in \ mathbb {R} ^ {r \ razy t}}$

${\ displaystyle B \ cdot A = M _ {\ mathcal {W}} ^ {\ mathcal {U}} (g \ circ f) \ in \ mathbb {R} ^ {s \ razy t}}$

reprezentatywna macierz . ${\ displaystyle g \ circ f: U \ rightarrow W}$

Innymi słowy: iloczyn macierzy dostarcza zależny od współrzędnych opis składu dwóch odwzorowań liniowych.

Iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych

Produkt tensor dwa miejsca rzeczywistego wektora V i W jest rodzajem produktu dwóch przestrzeni wektorowej. Jest zatem podobny do produktu mnogościowego omówionego poniżej . W przeciwieństwie do tego jednak nie jest to kwestia iloczynu kategorycznego w kategorii rzeczywistych przestrzeni wektorowych. Niemniej jednak można go skategoryzować za pomocą uniwersalnej właściwości w odniesieniu do odwzorowań dwuliniowych. Potem następuje osadzanie kanoniczne ${\ displaystyle V \ czasami W}$

${\ displaystyle V \ razy W \ ni (v, w) \ mapsto v \ otimes w \ in V \ otimes W}$

„Matka wszystkich produktów, które można zdefiniować na V i W”, że tak powiem. Każdy inny prawdziwy produkt dwuliniowy

${\ displaystyle B: V \ razy W \ rightarrow Y}$

z wartościami w dowolnej przestrzeni wektorowej Y uzyskuje się poprzez połączenie jednoznacznie określonego odwzorowania liniowego

${\ displaystyle {\ tylda {B}}: V \ czasami W \ rightarrow Y}$

warunki.

Mapowanie macierzy jako tensorów drugiego rzędu

Przestrzeń wektorowa Hom (V, W) wszystkich odwzorowań liniowych między dwiema przestrzeniami wektorowymi V i W może być interpretowana w naturalny (bifunkcjonalny) sposób jako iloczyn tensorowy przestrzeni dualnej V ^* z V z W:

${\ displaystyle V ^ {*} \ otimes W \ rightarrow \ operatorname {Hom} (V, W)}$

Tutaj rozkładalny tensor , czyli funkcjonał f: V → R i wektor w w W, staje się odwzorowaniem liniowym g: V → W z ${\ displaystyle f \ orazy w \ w V ^ {*} \ orazy W \,}$

${\ styl wyświetlania g (v) = f (v) \ cdot w \,}$

przydzielony. Czy w ten sposób można uzyskać każde odwzorowanie liniowe od V do W? Nie, ale nie każdy tensor też jest rozkładalny. Tak jak każdy tensor można zapisać jako sumę tensorów rozkładających się, tak każde liniowe odwzorowanie od V do W można również uzyskać jako sumę odwzorowań, takich jak g zdefiniowane powyżej.

Fakt, że Hom (V, W) jest naturalnie izomorficzny z iloczynem tensorowym przestrzeni dualnej V z W oznacza również, że macierz reprezentująca odwzorowanie liniowe g: V → W jest tensorem po prostu kontrawariantnym i po prostu kowariantnym. Wyraża się to również w zachowaniu transformacyjnym macierzy reprezentacyjnych przy zmianie bazy .

Ustaw teoretyczny produkt

Iloczyn M x N, z dwóch zestawów M i N jest wpasowana na pierwszy rzut oka nie swobodnie w przedstawionym jeden określony produkt. Niemniej jednak, jest to połączenie nie tylko słowa „produkt”: w iloczyn dwóch liczb naturalnych i m zostało wyjaśnione powyżej jako liczności przez iloczyn kartezjański zestawu M-elementu z zestawem n elementów. Obowiązują również niektóre formy prawa dystrybucyjnego .

Produkt kartezjański jest również produktem kategorycznym w kategorii ilości .

Produkty skończone i nieskończone

Skończone produkty z wieloma czynnikami

Silnia liczby naturalnej n (napisany jak ! N ) Opisuje liczbę możliwych rozmieszczeń n rozróżnialnych obiektów w wierszu:

${\ displaystyle n! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot n = \ prod _ {i = 1} ^ {n} i}$

Symbol produktu jest oparty na pierwszej literze słowa produkt od wielkiej greckiej litery Pi ; jest również używany jako symbol sumy oparty na sigma . ${\ styl wyświetlania \ styl tekstu \ produkt}$ ${\ styl wyświetlania \ styl tekstu \ suma}$

Ponieważ iloczyn liczb naturalnych jest przemienny, można również użyć zbioru indeksów (a tym samym pozostawić kolejność czynników nieokreśloną)

${\ displaystyle n! = \ prod _ {i \ in \ {1, \ ldots, n \}} i}$

Oto animacja pisowni produktu:

Pusty produkt

Pusty produkt ma jedną wartość ( neutralne elementu z pomnożenia) - podobnie jak pusty suma powoduje zawsze zero (element neutralny dodawania).

Nieskończone produkty

John Wallis odkrył zaskakujący fakt, że fact

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2i) (2i)} {(2i-1) (2i + 1) }}}$

ma zastosowanie (porównaj produkt Wallis ). Ale co dokładnie oznacza produkt nieskończony po prawej stronie? Aby to zrobić, rozważmy sekwencję skończonych produktów cząstkowych

${\ displaystyle P_ {n}: = \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {(2i) (2i)} {(2i-1) (2i + 1)}}}$

Jeśli ciąg ten jest zbieżny do liczby rzeczywistej P , to definiuje się

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2i) (2i)} {(2i-1) (2i + 1)}} \;: = P}$

Sekwencja liczb jest bardziej precyzyjna . Nieskończony produkt ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$

jest nazywany zbieżnym wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:

1. Prawie wszystkie z nich są niezerowe, tj. tj. istnieje , więc dotyczy to wszystkich ,${\ styl wyświetlania a_ {n}}$${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N}}$${\ styl wyświetlania a_ {n} \ neq 0}$${\ styl wyświetlania n> n_ {0}}$
2. granica istnieje i${\ displaystyle \ lim _ {N \ do \ infty} \ prod _ {n = n_ {0} +1} ^ {N} a_ {n}}$
3. ta wartość graniczna jest różna od zera.

(Ważność dwóch ostatnich warunków jest niezależna od tego, który z nich został wybrany w pierwszym). W tym przypadku obstawiasz ${\ styl wyświetlania n_ {0}}$

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}: = \ lim _ {N \ do \ infty} \ prod _ {n = 1} ^ {N} a_ {n}}$.

Ta wartość graniczna istnieje, ponieważ albo istnieje co najmniej jeden czynnik i od tego momentu wszystkie iloczyny częściowe wynoszą zero, albo jeden może w drugim warunku o. B. d. A. wybrać. ${\ styl wyświetlania a_ {n} = 0}$ ${\ styl wyświetlania n_ {0} = 0}$

Kryterium szeregu rdzeni ( kryterium zbieżności dla produktów nieskończonych): Następujące stwierdzenia są równoważne:

• Nieskończony iloczyn z dodatnimi jądrami jest zbieżny absolutnie.${\ displaystyle \ textstyle P = \ prod \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} = \ prod \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} (1 + h_ {k}) }$${\ styl wyświetlania h_ {k}}$
• Seria rdzeń jest zbieżny bezwzględnie.${\ displaystyle \ textstyle S = \ suma \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} h_ {n}}$

nieruchomości

• Zbieżny iloczyn nieskończony wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników wynosi zero. Bez trzeciego warunku to stwierdzenie byłoby fałszywe.
• Czynniki iloczynu zbieżnego zbiegają się do 1 (kryterium konieczne).

Przykłady braku zbieżności

Chociaż sekwencja iloczynów częściowych jest zbieżna (w kierunku zera), iloczyny nieskończone, takie jak poniższe, nie są uważane za zbieżne:

• ${\ displaystyle \ prod \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} 0}$: Nieskończona liczba czynników wynosi zero, pierwszy warunek jest naruszony.
• ${\ displaystyle \ prod \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} (n-1)}$: Musisz wybrać. Ale jeśli pierwszy czynnik zostanie pominięty, sekwencja częściowego iloczynu nie jest zbieżna (zdecydowanie odbiega od ). Drugi warunek jest naruszony.${\ styl wyświetlania n_ {0} \ geq 1}$${\ styl wyświetlania + \ infty}$
• ${\ displaystyle \ prod \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {1} {n}}}$: Sekwencja produktów częściowych jest zbieżna, ale w kierunku zera, tak że trzeci warunek jest naruszony.

Te trzy przykłady również nie spełniają powyższych wymagań. niezbędne kryterium. Iloczyn spełnia niezbędne kryterium, ale konsekwencja iloczynów częściowych nie jest zbieżna: Iloczynem pierwszych czynników jest . ${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ po lewej (1 + {\ frac {1} {n}} \ po prawej)}$${\ styl wyświetlania N}$${\ styl wyświetlania N + 1}$

literatura

• Struktura systemu liczbowego. W: dtv-Atlas zur Mathematik, t. 1, wyd. 2 1976, s. 52 i n.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus i in.: Liczby. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55654-0 . ( Książki Google )

Można tam znaleźć obszerne odniesienia literaturowe dotyczące algebry liniowej .

linki internetowe

Indywidualne dowody

1. ↑ Appearance in Albertus Magnus ' Metaphysicorum in the form productum , według Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P) w odniesieniu do The Oxford English Dictionary, Second Edition (dostęp 10 sierpnia 2009).
2. ↑ Steven Schwartzman: Słowa matematyki: etymologiczny słownik terminów matematycznych używanych w języku angielskim. Verlag MAA, 1994. ISBN 0-88385-511-9 . Książki Google .
3. ↑ znak produktu . W: Guido Walz (red.): Leksykon matematyki . Wydanie I. Wydawnictwo Akademickie Spectrum, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
4. ↑ Alexander Hölzle: Nieskończone produkty. (PDF; 80 kB) 2 maja 2005, dostęp 26 grudnia 2012 .