Numer trójkątny
Liczba trójkątna to liczba będąca sumą wszystkich liczb od 1 do górnej granicy . Na przykład 10 to liczba trójkątna . Pierwsze liczby w kształcie trójkąta to:
Dla niektórych autorów zero nie jest liczbą trójkątną, więc ciąg liczb zaczyna się tylko od jedynki.
Liczba Określenie trójkąt pochodzi od geometrycznej postaci do trójkąta . Liczba kamieni, które musisz ułożyć w trójkącie równobocznym, zawsze odpowiada liczbie trójkąta. Na przykład trójkąt może być wykonany z dziesięciu kamieni, z których każdy bok składa się z czterech kamieni.
Ze względu na tę zależność z figurą geometryczną, liczby trójkątne należą do liczb zliczanych , które obejmują również liczby kwadratowe i sześcienne . Pitagoras miał już do czynienia z liczbami trójkątnymi.
obliczenie
-Ty Liczba trójkątna jest sumą liczb od 1 do .
Zamiast sumować poszczególne liczby, liczby trójkątne można również obliczyć za pomocą wzoru na sumę Gaussa :
Prawa strona jest identyczna z dwumianowym współczynnikiem powyżej 2:
Tę formułę można zilustrować, interpretując numer trójkąta. Numer trójkąta można interpretować jako trójkąt lub klatkę schodową. Podwójna liczba trójkąta odpowiada dwóm identycznym schodom, które można połączyć w prostokąt.
Ten prostokąt ma kule wysokie i szerokie, a zatem zawiera kulki. Liczba trójkątna odpowiada połowie kulek, co daje powyższy wzór na liczby trójkątne.
nieruchomości
- Wszystkie liczby trójkątne> 3 są liczbami złożonymi .
- Suma pierwszej n liczby kostek jest równa kwadratu z n -tego numeru trójkątnym [przykład 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10 2 ]
- Różnica między kwadratami dwóch kolejnych liczb trójkątnych daje w wyniku liczbę sześcianu.
Można to wywnioskować z powyższej właściwości. Ponieważ kwadrat n-tej liczby trójkątnej jest tworzony z sumy pierwszych n liczb sześciennych, a kwadrat (n + 1)-tej liczby trójkątnej jest tworzony z sumy pierwszych n + 1 liczb sześciennych, różnica musi być wychodzi (n + 1) -ta liczba kostki. - Osiem razy liczba trójkątna dodana do 1 zawsze daje nieparzystą liczbę kwadratową:
7 | 9 |
- Każda liczba parzysta doskonała jest również liczbą trójkątną:
według Leonharda Eulera liczbę parzystą doskonałą można przedstawić wzorem , przy czym musi to być liczba pierwsza ( liczba pierwsza Mersenne'a ). Jeśli wzór z 2 rozciąga się i przez podstawiony, dochodzi się do wzoru reprezentującego postać trójkąta:
- Suma dwóch trójkątnych liczb nie jest przystająca 5 (mod 9).
- kiedy .
- Obowiązują następujące zasady:
- N-ta liczba trójkątna jest równa różnicy między n-tą liczbą wyśrodkowanego sześciokąta i n-tą liczbą środkowego ośmiokąta:
- .
- Ta tożsamość (z n-tym w każdym przypadku) jest minimalnym rozwiązaniem z policzalnie nieskończonej liczby rozwiązań (patrz tutaj ).
Suma trzech liczb trójkątnych
Pierre de Fermat zasugerował, że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę maksymalnie trzech liczb trójkątnych. To przypuszczenie udowodnił Carl Friedrich Gauß , który w swoim dzienniku z 10 lipca 1796 r. Napisał:
- Numer EYPHKA = Δ + Δ + Δ.
Bardziej ogólne stwierdzenie jest znane jako twierdzenie Fermata o wielokątach .
Relacje do liczb kwadratowych
Następca sumy dwóch poczwórnych liczb trójkątnych
Następcą sumy dwóch poczwórnych liczb trójkątnych jest suma dwóch liczb kwadratowych o różnej parzystości .
Suma dwóch kolejnych liczb trójkątnych
Suma dwóch kolejnych liczb trójkątnych daje w wyniku liczbę kwadratową. Na sąsiednim rysunku pokazano, jak liczby trójkątne i 25 dodają się do kwadratu.
Zjawisko to można również opisać wzorem.
Na innym wyjaśnieniem tego zjawiska jest rozkładany liczbę trójkątną w sumie i poprzedniego numeru trójkątnym : . Obowiązują odpowiednio następujące zasady
Fakt, że dwie następujące po sobie liczby trójkątne składają się na liczbę kwadratową, spisał już w II wieku grecki matematyk Theon von Smyrna w swojej pracy „Przydatność wiedzy matematycznej do czytania Platona”.
Zmienna suma liczb kwadratowych
Jeśli weźmiesz kwadratową liczbę i odejmiesz i dodasz na przemian mniejsze kwadratowe liczby, otrzymasz -tą trójkątną liczbę jako wynik . Na przykład czwarta i piąta liczba trójkątna obliczana jest w następujący sposób:
Wykorzystując fakt, że każda liczba kwadratowa jest sumą dwóch kolejnych liczb trójkątnych, zależność tę można wyjaśnić za pomocą jej geometrycznej ilustracji.
Widać, że (z wyjątkiem największego) każdy trójkąt występuje w sumie dokładnie dwa razy: raz z plusem i raz z minusem. W rezultacie małe trójkąty znoszą się nawzajem, pozostawiając duży trójkąt sam.
Przy pomocy słownictwa matematycznego powyższe fakty można odtworzyć w bardzo zwięzły sposób: -ta liczba trójkątna jest naprzemienną sumą liczb kwadratowych od do 1. Odpowiedni wzór matematyczny to
Kwadratowe liczby trójkątne
Liczby kwadratowo-trójkątne to liczby trójkątne, które są również liczbami kwadratowymi. Pierwsze kwadratowe liczby trójkątów to
Są to trójkątne liczby z indeksami
Aby liczba trójkątna była liczbą kwadratową, liczba ta musi być
Obowiązują następujące zasady: Z dwóch liczb i , jedna z nich musi być nieparzystą liczbą kwadratów, podczas gdy druga musi być podwójną liczbą kwadratów. Ponieważ dwie kolejne liczby są zawsze pierwsze; w szczególności jeden z nich jest zawsze nieparzysty, a drugi parzysty. Liczba parzysta jest więc podwójną liczbą kwadratową, a liczba nieparzysta jest (nieparzystą) liczbą kwadratową.
Liczby trójkątne i wyśrodkowane liczby wielokątne
Wyśrodkowane wielokątne liczby odnoszą się do regularnych wielokątów , które są ułożone według następującego wzoru: Pojedynczy kamień leży w środku wielokąta. Wokół tego kamienia umieszczane są dalsze wielokąty, których długość boków zwiększa się o jeden od wewnątrz na zewnątrz.
Te wzory można również układać według innej zasady. Ponownie zacznij od pojedynczego kamienia pośrodku. Ale w drugim kroku trójkąty są umieszczane wokół środka dla -tej wyśrodkowanej liczby -neck zgodnie ze wzorem -tej liczby trójkątnej. Poniższy rysunek przedstawia to dla wyśrodkowanej liczby kwadratów od pierwszego do czwartego .
Daje to następujący wzór na -ty numer narożnika wyśrodkowanego :
Suma trzech kolejnych liczb trójkątnych to wyśrodkowana liczba trójkątna. Ponieważ moduł 3 ma cykl (1,0,0) dla liczb trójkątnych, każda wyśrodkowana liczba trójkątna jest równoważna 1 (mod 3).
Palindromy liczb pod liczbami trójkątnymi
Wśród liczb trójkątnych jest kilka palindromów liczb . przykłady są
Wśród nich są 11, 1111, 111, 111 i 11 111 111 liczb trójkątnych. Charles Trigg znalazł to dla 1111 i 111 111 liczb trójkątnych .
Seria odwrotności
Suma wzajemnych wartości wszystkich liczb trójkątnych wynosi
Rozwiązanie według Gottfrieda Wilhelma Leibniza , z ,
Korzeń trójkąta
Analogicznie do pierwiastka kwadratowego z liczby kwadratowej, długość boku liczby trójkątnej można również określić za pomocą pierwiastka trójkątnego n :
Więc z. B. numer trójkąta utworzony z rzędów.
Za pomocą pierwiastka trójkątnego można odwrócić funkcję parowania Cantora .
Różne
- Dziesiąta, setna, tysięczna, dziesięciotysięczna itd. Liczba trójkątna to 55, 5 050, 500 500, 50 005 000 itd. ( OEIS , A037156 ).
- Ogólnie
- Sekwencje trójkątne dzielą się na dwie częściowe sekwencje. Wyrazy ciągu 3, 10, 21, 36, 55, 78,… ( OEIS , A014105 ) można utworzyć za pomocą wzoru (patrz także liczba pierwsza Sophie-Germain ). W przypadku drugiej połowy liczb heksagonalnych 1, 6, 15, 28, 45, 66, ... (OEIS, A000384 ) obowiązuje zasada formowania .
- Puerto Rico matematyk Pedro Antonio Piza stwierdzono zależność w 1950 roku
- między sumami i potęgami liczb trójkątnych.
- Liczba przekątnych w wypukłym narożniku wynosi .
- Sekwencję centralnych liczb wielokątnych (znanych również jako sekwencja liczb leniwego kelnera) uzyskuje się przez dodanie cyfry 1 do każdej z liczb trójkątnych.
- Dla funkcji Floor obowiązuje: .
- Pozostała część modułu zmienia się w n: jeśli n jest {nieparzyste, parzyste}, a r jest nieparzyste, ale jeśli r jest parzyste.
- Dla wszystkich , ale tylko dla niektórych trójek z ma zastosowanie (OEIS, A012132 ); dla trójkątów rozwartokątnych (a, b, c) obowiązuje :; ostrych trójkątów (A + 1, b + 1, C + 1) gdzie: . Dotyczy to również wierszy rzeczywistych , np. Liczba całkowita: (-1, -1, -1), (-2, -1, 1), (-1, 1, 1), (2, 2, 3), ponieważ te linie są elementami przestrzeni Hilberta .
Uogólnienia
patrz główny artykuł: liczba wielokątna , zwykła liczba liczbowa
Istnieją zasadniczo dwa uogólnienia liczb trójkątnych. Jeśli pozostaniesz w samolocie, możesz zastosować zasadę konstrukcji liczb trójkątnych do wielokątów z większą liczbą rogów. Tworzy to liczby wielokątne, które obejmują na przykład liczby kwadratowe i liczby pięciokątne .
Drugie uogólnienie to opuszczenie samolotu i przejście do wyższych wymiarów. W trzech wymiarach patrzy się wtedy na czworościan , czyli piramidę z trójkątami równobocznymi jako bokami. W czterowymiarowym osiąga pięciokąt , którego boki są czworościanami. To może być kontynuowane do woli. Odpowiednie numery zorientowali nazywa czworościennej numery , numery pentatopic oraz, w ogólnym przypadku, regularne numery zorientowali. W jednowymiarowym należy również wspomnieć o liczbach naturalnych .
W przypadku liczb trójkątnych reguła tworzenia dotyczy dokładnie jednej z trzech rozłącznych klas liczb (sekwencja A111774 w OEIS )
dla specjalnego przypadku .
Zobacz też
literatura
- John H. Conway , Richard K. Guy : Księga liczb. Copernicus, New York NY 1996, ISBN 0-387-97993-X .
linki internetowe
Indywidualne dowody
- ^ Leonard Eugene Dickson : Historia teorii liczb. Tom 2: Analiza diofantyny. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0 , s. 1.
- ↑ Hubert Mania : Gauss. Biografia. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2008, ISBN 978-3-498-04506-7 , s. 108.
- ^ Leonard Eugene Dickson: Historia teorii liczb. Tom 2: Analiza diofantyny. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0 , s. 2
- ↑ Pedro Antonio Pizá: Sumy potęg liczb trójkątnych. W: Scripta Mathematica 16 (1950), s.127.