Wielokąt

Różne koncepcje wielokątów i obszarów wielokątów

Wielokąt (od starożytnego greckiego πολυγώνιον polygṓnion „wielokąta”; z πολύς wieloboków „wiele” i γωνία Goniá „kąta”) lub wielokąta jest płaska geometrycznej w podstawowej geometrii , która jest tworzona przez zamkniętą linię .

Wielokąt jest dwuwymiarowy Polytope .

Wielokąt jest uzyskiwany przez (niewspółliniowe) w płaszczyźnie co najmniej trzy różne punkty przez rozciąganie są połączone ze sobą. Tworzy to zamkniętą linię ( wielokąt ) z tyloma narożnikami , na przykład trójkąt (3 punkty, 3 linie) lub kwadrat (4 punkty, 4 linie).

Zamknięty obszar jest często określany jako wielokąt, tak jak w planimetrii .

Definicja i terminy

Wielokąta postać określone przez krotki z różnych punktów. ${\ displaystyle P: = \ lewo (P_ {1}, P_ {2}, \ dotsc, P_ {n} \ prawo), P_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {2}, 1 \ leq i \ leq n}$${\ styl wyświetlania n}$

• Te punkty nazywane są punkty narożne lub narożników wielokąta za krótki , wielokąt z narożników nazywa -Eck lub (zwłaszcza w języku angielskim literatura) również -on.${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n}$
• Linie i nazywane są bokami wielokąta.${\ displaystyle {\ overline {P_ {i} P_ {i + 1}}} \ lewo (i = 1, \ kropka, n-1 \ prawo)}$${\ styl wyświetlania {\ overline {P_ {n} P_ {1}}}}$
• Wszystkie linie łączące dwa punkty narożne, które nie są bokami, nazywane są przekątnymi .

Czasami do zdefiniowania wielokąta wymagane są dodatkowe warunki, ale nie są one formalnie konieczne:

• Wielokąt ma co najmniej trzy punkty narożne, które różnią się od siebie parami. To wyklucza „dwutrójkąt”.
• Trzy sąsiadujące punkty narożne nie leżą na linii prostej. Ponadto , , i , , będą uważane za sąsiednich wierzchołków. Wyklucza to narożniki z kątami prostymi.${\ styl wyświetlania P_ {n}}$${\ styl wyświetlania P_ {1}}$${\ styl wyświetlania P_ {2}}$${\ styl wyświetlania P_ {n-1}}$${\ styl wyświetlania P_ {n}}$${\ styl wyświetlania P_ {1}}$

Klasyfikacja

Historyczna ilustracja wielokątów (1699)

Według liczby rogów

Wielokąty są zwykle nazywane po liczbie narożników (ciężaru wielokąta).

Wielokąt foremny

Jeśli wielokąt ma te same boki i te same kąty wewnętrzne, nazywamy go wielokątem foremnym lub wielokątem foremnym. Wiele regularnych wielokątów można zbudować za pomocą cyrkla i linijki ( wielokąty możliwe do zbudowania ).

Lista regularnych wielokątów

Narożniki	opis	grecki	Kompas + linijka	Specjalność
1	Jeden róg	Monogoniczny	-	Punkt
2	Delta	Digon	-	trasa
3	trójkąt	Troisty	tak	1. Liczba pierwsza Fermata ${\ styl wyświetlania 3 = 2 ^ {2 ^ {0}} + 1}$
4.	kwadrat	Tetragon	tak	kwadrat
5	pięciokąt	Pięciokąt	tak	2. Liczba pierwsza Fermata ${\ styl wyświetlania 5 = 2 ^ {2 ^ {1}} + 1}$
6.	sześciokąt	sześciokąt	tak
7th	siedmiokąt	siedmiokąt	nie	Możliwa przybliżona konstrukcja, siedmiokąt według Archimedesa
ósmy	ośmiokąt	Ośmiokąt	tak	angielski oct a gon
9	Neuneck	Nonagon	nie	rzadki Enneagon , możliwa konstrukcja aproksymacyjna
10	dziesięciobok	Dziesięciobok	tak
11	Elf	Hendekagon	nie	Przybliżona konstrukcja możliwa
12.	Dodekagon	Dodekagon	tak
13th	Trójkąt	Tridecagon	nie
14.	Czternaście	Tetradekagon	nie
15.	Piętnasty	Pięciokąt	tak
16	Sześciokąt	Sześciokąt	tak
17.	Siedemnasty róg	Heptadekagon	tak	3. Liczba pierwsza Fermata ${\ displaystyle 17 = 2 ^ {2 ^ {2}} + 1}$
18.	Osiemnasty	Oktodekagon	nie	angielski października dziesięciokąta octakaidecagon
19.	Dziewiętnasty	Nonadekagon	nie	angielski także enneadecagon , enneakaidecagon
20.	Dwudziesty	Ikosagon	tak
21	Dwadzieścia jeden	Ikosihenagon	nie
24	Dwadzieścia cztery kwadraty	Ikozytragon	tak
30.	Trzydzieści cztery rogi	Triakontagon	tak
40	Tetragonalny	Tetrakontagon	tak
50	Pięćdziesiąt punktów	Pentakontagon	nie
51	Pięćdziesiąt jeden	Pentakontahenagon	tak
60	Sześciokąt	Sześciokątny kontakt	tak
70	Siedemdziesiąty	Heptakontagon	nie
80	Ośmioboczny	Octocontagon	tak	angielski oct a zaraza
85	Osiemdziesiąt pięć kwadratów	Oktokontagon	tak	angielski oct a contapentagon
90	Dziewięćdziesiąt cztery	Enneakontagon	nie
100	Hunderteck	Hektogon	nie
257	257 rogu		tak	4. Liczba pierwsza Fermata ${\ styl wyświetlania 257 = 2 ^ {2 ^ {3}} + 1}$
1000	Tysiące sztuk	Chiliagon
10 000	Dziesiątki tysięcy	Myriagon
65 537	65537-narożny		tak	5. Liczba pierwsza Fermata ${\ Displaystyle 65 537 = 2 ^ {2 ^ {4}} + 1}$
100 000	Setki tysięcy
1 000 000	1000000 rogu	Megagon
4 294 967 295	4294967295-narożnik		tak	Największa znana nieparzysta liczba rogów, które teoretycznie można zbudować za pomocą kompasu i linijki
${\ styl wyświetlania 10 ^ {100}}$	Googolec	Googolgon		Numer rogu: 1 ze 100 zerami
∞	Nieskończony róg	Apeirogon		Teoretyczny kształt graniczny o nieskończonej liczbie boków

Więcej typów

Klasyfikacja wielokątów

Odwrócony wielokąt

Jeśli krawędzie przecinają się (dotykają) nie tylko w punktach narożnych, wielokąt jest określany jako przewracanie . Jeśli nie ma samoprzecięcia, wielokąt nazywa się prostym .

Wielokąt nieodwrócony

Wieloboki, które nie są obrócone, mogą być wypukłe (wszystkie kąty wewnętrzne są mniejsze niż 180 °) lub niewypukłe (co najmniej jeden kąt wewnętrzny jest większy niż 180 °).

Wielokąt planarny

W płaszczyźnie (planarnej) wielokąta.

Wielokąt niepłaski

W przestrzeni (niepłaski) wielokąt.

Wielokąty mogą być równoboczne lub równokątne :

Wielokąt foremny

Jeśli wielokąt ma te same boki i te same kąty wewnętrzne, nazywamy go wielokątem foremnym lub wielokątem foremnym.

Wielokąt gwiazdy

Planarne odwrócone wielokąty foremne są również znane jako wielokąty gwiaździste ze względu na swój wygląd .

Wielokąt ortogonalny

W przypadku wielokątów ortogonalnych wszystkie krawędzie spotykają się pod kątem prostym (to znaczy kąt wewnętrzny wynosi 90 ° lub 270 ° na każdej krawędzi).

nieruchomości

kąt

W płaskim narożniku, który nie jest odwrócony, jest suma kątów wewnętrznych${\ styl wyświetlania n}$

${\ displaystyle \ alfa _ {1} + \ kropki + \ alfa _ {n} = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$.

Następujące następnie stosuje się do sumy zewnętrznych kątów niezależnie od liczby rogów

${\ displaystyle \ alfa _ {1} '+ \ kropki + \ alfa _ {n}' = 360 ^ {\ circ}}$.

Ponadto, jeśli wszystkie kąty wewnętrzne i zewnętrzne są takie same, to mają one wartość

${\ displaystyle \ alfa = {\ frac {(n-2)} {n}} \ cdot 180 ^ {\ circ}}$   lub   .${\ displaystyle \ alfa '= {\ frac {1} {n}} \ cdot 360 ^ {\ circ}}$

Przekątne

W przypadku wielokątów, które się nie przecinają, podczas obliczania liczby przekątnych należy wziąć pod uwagę następujące kwestie:

1. Każdy z narożników można połączyć z jednym z pozostałych narożników za pomocą łącznika.${\ styl wyświetlania n}$
2. Połączenie od narożnika do narożnika jest identyczne jak połączenie od do .${\ styl wyświetlania P_ {a}}$${\ styl wyświetlania P_ {b}}$${\ styl wyświetlania P_ {b}}$${\ styl wyświetlania P_ {a}}$
3. Dokładnie połączenia są bokami wielokąta.${\ styl wyświetlania n}$

Tak więc narożnik, który nie jest przewrócony, ma dokładnie przekątne. W przypadku wielokąta niewypukłego występują przekątne poza wielokątem (w obszarze ściętego kąta wewnętrznego). ${\ styl wyświetlania n}$${\ displaystyle {\ tfrac {n \ cdot (n-1)} {2}} - n = {\ tfrac {n \ cdot (n-3)} {2}}}$

zakres

Jeżeli punkty narożne płaskiego prostego wielokąta są podane przez współrzędne kartezjańskie , obwód wielokąta można określić dodając długości boków obliczonych za pomocą twierdzenia Pitagorasa : ${\ styl wyświetlania (x_ {i}, y_ {i})}$

${\ displaystyle \ mathrm {U} \ = \ {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {n}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {n}) ^ {2}}} \ + \ \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} {\ sqrt {(x_ {i + 1} -x_ {i}) ^ {2} + (y_ {i + 1} -y_ {i}) ^ {2}}}}$

powierzchnia

Jeżeli punkty narożne płaskiego wielokąta prostego są podane przez współrzędne kartezjańskie , powierzchnię wielokąta można obliczyć według wzoru trapezów Gaussa : ${\ styl wyświetlania (x_ {i}, y_ {i})}$

${\ displaystyle \ mathrm {2} A \ = \ \ lewo | \ suma _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} + y_ {i + 1}) \ cdot (x_ {i} -x_ { i + 1}) \ prawo | \ = \ \ lewo | \ suma _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} + x_ {i + 1}) \ cdot (y_ {i + 1} -y_ {i}) \ prawo | \ = \ \ lewo | \ suma _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} \ cdot y_ {i + 1} -y_ {i} \ cdot x_ {i + 1 }) \ prawo |}$.

Tutaj, indeksy, które są większe niż są zawsze uważane modulo , czyli co się rozumie się przez: ${\ styl wyświetlania n}$ ${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania x_ {n + 1}}$${\ styl wyświetlania x_ {1}}$

${\ displaystyle 2A \ = \ \ lewo | x_ {n} \ cdot y_ {1} -y_ {n} \ cdot x_ {1} + \ suma _ {i = 1} ^ {n-1} (x_ {i } \ cdot y_ {i + 1} -y_ {i} \ cdot x_ {i + 1}) \ prawo |}$

W postaci zdeterminowanej wzór trapezoidalny Gaussa to:

${\ displaystyle 2A \ = \ \ lewo | \ quad {\ początek {vmatrix} x_ {n} & y_ {n} \\ x_ {1} & y_ {1} \ koniec {vmatrix}} + \ suma _ {i = 1 } ^ {n-1} {\ begin {vmatrix} x_ {i} & y_ {i} \\ x_ {i + 1} & y_ {i + 1} \ end {vmatrix}} \ quad \ prawo | }$

Oprócz wzoru trapezów Gaussa pole powierzchni wielokąta można obliczyć za pomocą podpisanej sumy pól trójkątów, które są utworzone z krawędziami wielokąta jako podstawy i punktu stałego (np. punktu początkowego ) jako wierzchołek. Obszary trójkątów o podstawie odwróconej od punktu stałego (jako krawędzi wielokąta) otrzymują znak ujemny.

Obszar wielokątów kratowych, których wszystkie narożniki znajdują się na jednej siatce, można obliczyć za pomocą twierdzenia Picka .

Algorytmy

Powierzchnia

Specjalnie do programowania poniższa reprezentacja jest szczególnie odpowiednia dla wzoru trapezu Gaussa, ponieważ aby zapisać, tablice współrzędnych oferują indeksowanie tablicy w wielu językach programowania zaczyna się już od zera, a zatem funkcja modulo może być szczególnie elegancko użyta. Funkcja modulo jest tutaj niezbędna, aby wykluczyć tak zwane błędy „off-by-one” w indeksowaniu tablicy. Tutaj , , , że współrzędne tych wierzchołków wielokąta. ${\ styl wyświetlania (x_ {i}, y_ {i})}$${\ styl wyświetlania i = 0 \ kropki n-1}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ styl wyświetlania n \ geq 3}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ lewo | \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} (y_ {i} + y_ {i + 1 {\ bmod {n}} }) (x_ {i} -x_ {i + 1 {\ bmod {n}}}) \ prawo |}$

Poniższy kod programu ma na celu pokazanie przykładowej implementacji - tutaj w języku programowania C# :

public double berechnePolygonFlaeche(double[] x, double[] y)
{
    if ((x == null) || (y == null)) // auf leere Argumente testen
    {
        return 0.0;
    }
    int anzahlDerEcken = Math.Min(x.Length, y.Length);
    if (anzahlDerEcken < 3) // ein Polygon hat mindestens drei Eckpunkte
    {
        return 0.0;
    }
    double flaecheninhalt = 0.0;
    
    // Schleife zwecks Summenbildung
    for (int i = 0; i < anzahlDerEcken; i++)
    {
        // Modulo-Funktion für die Indexe der Koordinaten
        flaecheninhalt += (y[i] + y[(i + 1) % anzahlDerEcken]) * (x[i] - x[(i + 1) % anzahlDerEcken]);
    }
    return Math.Abs(flaecheninhalt / 2.0);
}

Te współrzędne tych punktów narożnych są przechowywane w dwóch tablic x i y. Dla przykładu pentagon , który ma powierzchnię 45, tablice te mogą np. B. zainicjowane w następujący sposób:${\ styl wyświetlania ((7,0), (8,7), (4,9), (1,6), (1,2)}$

double[] x = {7.0, 8.0, 4.0, 1.0, 1.0}; // beispielhafte x-Koordinaten des Polygons
double[] y = {0.0, 7.0, 9.0, 6.0, 2.0}; // beispielhafte y-Koordinaten des Polygons

Wypukły kadłub

Wypukłe kadłuba z punktów na płaszczyźnie

Algorytmy dla określenia wypukłej z punktów w płaszczyźnie mieć jako dolna granica jest asymptotycznej czas pracy z . Dowód polega na sprowadzeniu go do sortowania liczb (patrz procedura sortowania ). Jeśli tylko te punkty leżą na krawędzi wypukłej, limit jest włączone . ${\ styl wyświetlania n}$ ${\ displaystyle \ Omega (n \ log n)}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania k}$${\ styl wyświetlania n}$${\ displaystyle \ Omega (n \ log k)}$

Istnieje kilka algorytmów określania wypukłego kadłuba :

• Algorytm skanowania Grahama
• Algorytm owijania trucizną
• QuickHull
• Algorytm przyrostowy
• Algorytm Chana

Punkt w wielokącie

Liczba przecięć do promienia , przy czym krawędzie wskazuje, czy jest to, wewnątrz lub na zewnątrz wieloboku.

Istnieje prosty algorytm , za pomocą którego można sprawdzić, czy punkt znajduje się w wieloboku na płaszczyźnie :

Promień poziomy jest umieszczany przez badany punkt i określa, jak często promień przecina krawędzie wielokąta. Punkt znajduje się wewnątrz wielokąta, jeśli liczba punktów przecięcia na prawo od tego punktu jest nieparzysta. Jeśli liczba jest parzysta, punkt jest na zewnątrz.

Poniższy program komputerowy w języku programowania C# pokazuje możliwą implementację:

// Bestimmt, ob sich ein Punkt mit den Koordinaten (x, y) innerhalb des Polygons befindet
public bool PunktIstInnerhalb(PointF[] ecken, int x, int y)
{
	int anzahlDerSchnittpunkte = 0;
	int anzahlDerEcken = ecken.Length;
	
	// Ermittelt die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten des Polygons
	for (int i = 0; i < anzahlDerEcken; i++)
	{
		// Die Ecken der untersuchten Kante
		PointF ecke1 = ecken[i];
		PointF ecke2 = ecken[(i + 1) % anzahlDerEcken];
		double x1 = ecke1.X;
		double y1 = ecke1.Y;
		double x2 = ecke2.X;
		double y2 = ecke2.Y;
		
		// Prüft, ob der Strahl die Kante des Polygons schneidet
		if (x < x1 && x > x2 || x > x1 && x < x2 && y > (x * y1 - x * y2 - x2 * y1 + x1 * y2) / (x1 - x2))
		{
			anzahlDerSchnittpunkte++;
		}
	}
	// Wenn die Anzahl ungerade ist, gib true zurück
	// Wenn die Anzahl gerade ist, gib false zurück
	return anzahlDerSchnittpunkte % 2 == 1; // Modulo-Operation für Division durch 2
}

posługiwać się

W informatyce ważnymi przybliżeniami złożonych wielokątów są wypukły kadłub i minimalnie otaczający prostokąt . W algorytmach, możliwe niepuste przecięcie z innym obiektem geometrycznym jest często najpierw testowane (lub to wykluczone) na podstawie aproksymacji, dopiero potem cały wielokąt jest ładowany do pamięci i obliczane jest dokładne przecięcie.

W grafice komputerowej 3D , oprócz innych metod modelowania geometrycznego, dowolne (także zakrzywione) powierzchnie modelowane są jako siatka wielokątna . Siatki trójkątów są szczególnie odpowiednie do szybkiego wyświetlania powierzchni, ale nie można ich również interpolować za pomocą powierzchni podziału . Istnieje wiele znanych struktur danych do przechowywania sieci wielokątnych.

Wielokąty regularne są często używane jako plan piętra w architekturze. Znane przykłady:

• 05-Eck : Pentagon w Arlington w stanie Wirginia
• 0Oktagon : Castel del Monte w Apulii, Włochy
• 12-kąt : Saarpolygon , pomnik górnictwa węgla w Ensdorf (Saar), Saarland
• 16-narożnik : Latarnia morska Huisduinen w pobliżu Den Helder, Holandia
• 18-róg: Liberation Hall w Kelheim, Bawaria
• 30 róg: Wiener Riesenrad w Wiedniu, Austria

Przykłady wielokątów w inżynierii mechanicznej

Ponadto termin wielobok jest również używany w sposób analogiczny do zastosowania jako wielokątne połączenie wał-piasta z połączeniem kształtowym w inżynierii mechanicznej. Możliwe są tutaj dowolne profile wielokątów .

Przykłady wielokątów w geografii

Stany USA z wielokątnymi konturami

Granice stanów Kolorado i Wyoming w USA w przybliżeniu graniczy z prostokątem, a zatem z wypukłym wielokątem.

Stany Nowy Meksyk i Utah mają kształt wklęsłego wielokąta.

Zobacz też

• Konstruowany wielokąt
• wielościan

linki internetowe

Wikisłownik: Wielokąt  - wyjaśnienia znaczeń, pochodzenie słów, synonimy, tłumaczenia

Wikisłownik: Wielokąt  - wyjaśnienia znaczeń, pochodzenie słów, synonimy, tłumaczenia

• Eric W. Weisstein : Wielokąt . W: MathWorld (angielski).
• Do matematyki nieregularnych wielokątów
• Obliczanie online wielokątów płaskich z wyjściem graficznym

Indywidualne dowody

1. ↑ Wilhelm Gemoll : grecko-niemiecki słownik szkolny i podręcznik . G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, Monachium / Wiedeń 1965. 
2. ↑ Cha Zhang, Tsuhan Chen: Wydajna ekstrakcja cech dla obiektów 2D/3D w reprezentacji siatki (PDF; 66 kB). Przetwarzanie obrazu, 2001. Postępowanie. 2001 Międzynarodowa Konferencja w sprawie. Vol. 3. IEEE, 2001. APA (angielski).
3. ↑ GeeksforGeeks: Jak sprawdzić, czy dany punkt leży wewnątrz czy na zewnątrz wielokąta?