Płaska grupa krystalograficzna

Te płaskie grupy krystalograficzne , zwane także ścienne grupy wzór lub dekoracyjnego grupy , to grupa symetrii w powtarzalne wzory lub Dachówka w euklidesowej płaszczyźnie . Z wyjątkiem równoważności afinicznej jest dokładnie 17 takich grup. W przestrzeni trójwymiarowej odpowiada im 230 krystalograficznych grup przestrzennych .

W sensie teorii grup , z grupy składają się z zestawu wszystkich kongruencji map , które mapują się wzór na siebie wraz z kompozycją z mapy jako działanie grupy .

Elementy symetrii

Wzór okresowy może mieć kombinacje następujących elementarnych elementów symetrii :

1. Tłumaczenie (przemieszczenie)
2. Dublowanie osi
3. Lustrzane odbicie ślizgowe , tj. Połączenie translacji i odbicia lustrzanego osi
4. obrót
   • 2-cyfrowe, tj. Obrót o 180 ° lub lustrzane odbicie punktu
   • 3-cyfrowy, czyli obrót o 120 °
   • 4 cyfry, czyli obrót o 90 °
   • 6 cyfr, czyli obrót o 60 °

Rotacje inne niż wymienione są niemożliwe. Dzieje się tak, ponieważ (poza podwójnym obrotem) każda grupa symetrii ma okresowe kafelki płaszczyzny regularnymi wielokątami o odpowiednich liczbach. A na przykład układanie płytek za pomocą pięciokątów jest niemożliwe, ponieważ suma kątów wewnętrznych daje kąt wewnętrzny 108 °, tak że takie płytki nie otwierałyby się w rogach. Jednak w geometriach nieeuklidesowych możliwe są również grupy symetrii z innymi liczbami.

Czterocyfrowa symetria obrotowa w naturalny sposób implikuje dwucyfrową, tak jak sześciocyfrowa oznacza zarówno trzycyfrową, jak i dwucyfrową. Zwykle dla każdego środka obrotu podawana jest tylko najwyższa wartość.

Każdy wzór okresowy można wygenerować, powtarzając te operacje na ograniczonej komórce elementarnej, aż cała płaszczyzna zostanie wyłożona kafelkami. Z definicji grupa symetrii wzorca okresowego zawsze zawiera dwa liniowo niezależne translacje. Umożliwia to również wygenerowanie całego wzoru po prostu przez wielokrotne przesuwanie komórki translacyjnej. Komórka translacyjna zawiera jedną lub więcej kopii komórki elementarnej.

notacja

Notacja Orbifold

Właściwości grupy symetrii można również opisać za pomocą tak zwanej notacji orbifold .

• Liczby n (2, 3, 4, 6) oznaczają n- krotny środek obrotu.
• ∗ oznacza oś lustra.
  • Liczby przed ∗ są poza osiami lustrzanymi
  • Liczby po znaku ∗ znajdują się na osiach lustrzanych
• Znak × oznacza przesuwające się odbicie.
• A ∘ oznacza brak symetrii poza tłumaczeniami
• Tłumaczenia występujące w każdej grupie nie są wyraźnie odnotowane.

Krótki przegląd

Grupa	Notacja Orbifold	Komórka tłumacząca (np.)	Komórki elementarne w komórce minimalnej translacji
p1	∘1	równoległobok	1
p2	2222	równoległobok	2
po południu	**	prostokąt	2
str	× θ	prostokąt	2
cm	∗ ×	Romb	2
pmm	∗ 2222	prostokąt	4 prostokąty
pmg	22 ∗	prostokąt	4
pgg	22 ×	prostokąt	4
cmm	2 * 22	Romb	4
p4	442	plac	4
p4m	∗ 442	plac	8 prostokątów równoramiennych
p4g	4 ∗ 2	plac	8th
p3	333	Diament złożony z dwóch równobocznych trójkątów	3
p3m1	∗ 333	Diament złożony z dwóch równobocznych trójkątów	6 trójkątów równobocznych
p31m	3 ∗ 3	Diament złożony z dwóch równobocznych trójkątów	6th
p6	632	Diament złożony z dwóch równobocznych trójkątów	6th
p6m	632	Diament złożony z dwóch równobocznych trójkątów	12 trójkątów prostokątnych o stosunku boków 2: 1

lista

Elementy wskazane na schematach konstrukcji są identyfikowane w następujący sposób:

	Środek podwójnego obrotu (180 °).
	Środek potrójnego obrotu (120 °).
	Środek czterokrotnego obrotu (90 °).
	Środek sześciokrotnego obrotu (60 °).
	Oś lustrzana.
	Oś ślizgu.

Różne klasy równoważności elementów charakteryzują się różnymi kolorami i rotacjami.

Obszar zaznaczony na żółto oznacza komórkę elementarną, cały pokazany obszar jest komórką translacyjną.

Grupa P1

Klasy elementów symetrii w p1

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
-	-	-	-	-	-

• Notacja Orbifold : ∘1 .
• Ta grupa ma tylko przemieszczenie jako jedyną formę symetrii.

Grupa P2

Klasy elementów symetrii w p2

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
4	-	-	-	-	-

• Notacja Orbifold: 2222 .
• Ta grupa ma cztery klasy centrów lustra punktowego. Ta podwójna rotacja jest jedyną formą symetrii poza translacją.

Grupa popoł

Klasy elementów symetrii w pm

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
-	-	-	-	2	-

• Notacja Orbifold: ∗∗ .
• Ta grupa ma dwie równoległe do siebie osie lusterek. Nie ma symetrii obrotowej.

Grupa str

Klasy elementów symetrii w str

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
-	-	-	-	-	2

• Notacja Orbifold: × phia .
• Ta grupa ma dwie równoległe przesuwne osie lusterek. Nie ma symetrii obrotowej.

Grupa cm

Klasy elementów symetrii w cm

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
-	-	-	-	1	1

• Notacja Orbifold: ∗ × .
• Ta grupa ma naprzemienne osie lusterek i przesuwne osie lusterek równoległe do siebie.

Grupa pmm

Klasy elementów symetrii w pmm

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
4	-	-	-	4	-

• Notacja Orbifold: ∗ 2222 .
• Ta grupa charakteryzuje się wzajemnie prostopadłymi osiami lustrzanymi. Podwójne środki obrotu powstają na przecięciu dwóch osi lustrzanych. Istnieją łącznie cztery klasy centrów tokarskich i cztery klasy osi lustrzanych.

Grupa pmg

Klasy elementów symetrii w pmg

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
2	-	-	-	1	2

• Notacja Orbifold: 22 ∗ .
• Istnieje jedna klasa osi lustrzanych, jak również dwie różne klasy osi ślizgowych prostopadłych do nich, na których powstają podwójne środki obrotu.

Grupa pgg

Klasy elementów symetrii w pgg

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
2	-	-	-	-	2

• Notacja Orbifold: 22 × .
• Ta grupa nie ma prostej symetrii osi, ale ma dwie wzajemnie prostopadłe osie zwierciadeł przesuwnych i dwie klasy środków zwierciadeł punktowych.

Grupa cmm

Klasy elementów symetrii w cmm

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
3	-	-	-	2	2

• Notacja Orbifold: 2 ∗ 22 .
• Ta grupa zawiera dwie klasy osi lustrzanych, które są prostopadłe do siebie, z podwójnymi środkami obrotu w punktach przecięcia. Dodatkowa klasa podwójnych centrów tokarskich znajduje się poza osiami lustrzanymi. Prowadzi to również do dwóch klas przesuwnych osi lusterek.

Grupa P4

Klasy elementów symetrii w p4

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
1	-	2	-	-	-

• Notacja Orbifold: 442 .
• Ta grupa nie ma formy symetrii osiowej. Cechą wyróżniającą są czterokrotne obroty, dla których wyróżniono dwie klasy ośrodków. Pomiędzy nimi znajdują się dwa centra tokarskie.

Grupa p4m

Klasy elementów symetrii w p4m

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
1	-	2	-	3	1

• Notacja Orbifold: ∗ 442 .
• Ta grupa jest również znana jako p4mm .

Grupa p4g

Klasy elementów symetrii w p4g

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
1	-	1	-	1	2

• Notacja Orbifold: 4 ∗ 2 .
• Ta grupa jest również znana jako p4gm .

Grupa P3

Klasy elementów symetrii w p3

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
-	3	-	-	-	-

• Notacja Orbifold: 333 .

Grupa P3M1

Klasy elementów symetrii w p3m1

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
-	3	-	-	1	1

• Notacja Orbifold: ∗ 333 .

Grupa P31m

Klasy elementów symetrii w p31m

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
-	2	-	-	1	1

• Notacja Orbifold: 3 ∗ 3 .

Grupa P6

Klasy elementów symetrii w p6

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
1	1	-	1	-	-

• Notacja Orbifold: 632 .

Grupa p6m

Klasy elementów symetrii w p6m

Rotacje				osie
2	3	4	6th	Lustro-	Lustro ślizgowe
1	1	-	1	2	2

• Notacja Orbifold: ∗ 632 .
• Ta grupa jest również znana jako p6mm .

Grupy ozdobne w sztuce

W podwójnych okresowych wzorach ze starożytnego Egiptu wykryto 12 z 17 grup ozdób; brakuje 5 grup z 3 lub 6-krotną symetrią obrotową. W arabeski w Alhambra uważane są za doskonały przykład stosowania podwójnych okresowych wzorców w sztuce islamskiej . To, czy wszystkie 17 grup ornamentów pojawi się w Alhambrze, jest kontrowersyjne: Edith Müller i Branko Grünbaum mówią nie, José María Montesinos i Marcus du Sautoy mówią tak. Z możliwym wyjątkiem pm, p3 i pg, wszystkie grupy ozdób były używane w Chinach .

Zobacz też

• Symetria (geometria)
• Grupa punktów

literatura

• Branko Grünbaum , Geoffrey C. Shephard: Płytki i wzory. Freeman, Nowy Jork NY 1987, ISBN 0-7167-1193-1 .
• Michael Klemm: Symetrie ozdób i kryształów. Springer, Berlin i wsp. 1982, ISBN 3-540-11644-3 .
• Klaus Lamotke: Grupy symetrii ornamentów samolotów . W: Matematyczne sprawozdania semestralne . taśma 52 , nie. 2 , sierpień 2005, s. 153-174 , doi : 10.1007 / s00591-005-0092-y . 

Indywidualne dowody

1. ^ Branko Grünbaum: Nowe szaty cesarza: pełne regalia, stringi G czy nic? W: The Mathematical Intelligencer. Tom 6, nr 4, 1984, str. 47-53, doi: 10.1007 / BF03026738 .
2. ↑ Edith Müller: Grupowe badania teoretyczne i analizy strukturalne ornamentów mauretańskich z Alhambry w Granadzie. Baublatt, Rüschlikon 1944 (też: Zurich, university, dissertation, 1944).
3. ^ Branko Grünbaum: Jakie grupy symetrii są obecne w Alhambrze? W: Notices of the American Mathematical Society. Tom 53, nr 6, 2006, ISSN  0002-9920 , s. 670-673, wersja zdigitalizowana (PDF; 1,97 MB) .
4. ↑ José M. Montesinos: Klasyczne parkietki i trzy rozmaitości. Springer, Berlin i wsp. 1987, ISBN 3-540-15291-1 .
5. ↑ Marcus du Sautoy : Finding Moonshine. Podróż matematyka przez symetrię. Fourth Estate, Londyn 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 , rozdział 3.
6. ^ Doris Schattschneider : Grupy symetrii płaszczyzny: ich rozpoznawanie i notacja. W: The American Mathematical Monthly. Tom 85, nr 6, 1978, str. 439-450, doi: 10.2307 / 2320063 .

linki internetowe

• morenaments euc , aplet i aplikacja Java. Zachowuje narysowane linie podczas zmiany grupy.
• Escher Web Sketch , aplet Java. Oprócz rysowania odręcznego pozwala również na użycie poszczególnych innych obiektów.