Efektywna stopa procentowa

Efektywna roczna stopa procentowa określa ilościowo roczne koszty kredytów w stosunku do nominalnej pożyczki kwoty . Jest podawany jako procent wypłaty. W przypadku pożyczek, których oprocentowanie lub inne czynniki wpływające na cenę mogą ulec zmianie w okresie, określa się ją jako początkową RRSO .

Efektywna stopa procentowa jest zasadniczo określana przez nominalną stopę procentową , stopę płatności ( dyskonto ), spłatę oraz stały okres odsetkowy.

Warunki ramowe obliczania efektywnej rocznej stopy procentowej

Przy pomocy efektywnej stopy procentowej można porównać tylko oferty pożyczek o tym samym stałym okresie oprocentowania.

Jeśli czynniki takie jak w szczególności spłaty bezpłatnych lat , wymiana spłaty, rodzaj spłaty kompensowania, przetwarzania opłat i opłat kredytowych są matematycznie prawidłowo ujęte w kalkulacji efektywnej procentowej stawki, a następnie mogą być zupełnie różne dla porównywanych kredytów, ponieważ Najważniejszym zadaniem kalkulacji efektywnej stopy procentowej jest zapewnienie porównywalności kredytów o różnej strukturze.

Efektywna stopa procentowa nie zawiera żadnych opłat Ocena (koszty podatkowe lub wyceny opłat ), zaangażowanie zainteresowanie , częściowe opłaty notarialne płatniczych, opłat i opłat za zarządzanie kontem. Należy to wziąć pod uwagę, jeśli otrzymane oferty mają być porównane w obiektywny sposób. W przeciwieństwie do nominalnej stopy procentowej, efektywna stopa procentowa uwzględnia wszystkie inne czynniki determinujące cenę z regularnej historii kredytowej, tj. Innymi słowy , efektywna stopa procentowa wskazuje całkowity koszt kredytu w skali roku jako wartość procentową. Czynnikami determinującymi cenę są: nominalna stopa procentowa, opłaty manipulacyjne, stopa płatności, stopa spłaty, data rozpoczęcia i kwota, terminy rozliczenia odsetek i spłaty.

Porównanie pożyczek i inwestycji o różnej strukturze

Oprócz obliczeń wymaganych przez prawo, istnieją również powszechnie stosowane finansowe metody matematyczne, które określają efektywną stopę procentową jako miarę porównawczą ze wszystkich wpłat na instalację i płatności z instalacji, niezależnie od rodzaju i przeznaczenia tych płatności , które można również wyrazić jako efektywną roczną stopę procentową. Niezależność rodzaju i przeznaczenia rozważanych wpłat i wypłat jest zaletą tej klasycznej metody obliczania tzw. Emerytury . Podstawowa matematyka szeregu geometrycznego jest stosunkowo stara, ale nie była wystarczająco łatwa do wdrożenia w przypadku wcześniejszych przepisów dotyczących informacji o cenach. Jednak niezbędne (iteracyjne) metody obliczeniowe mogą być teraz używane bez żadnych problemów po zaimplementowaniu w komputerze. W celu czystej kalkulacji kosztów lub zwrotów, obliczenia takie można nawet wykorzystać do porównania pożyczek i inwestycji o bardzo różnej strukturze , zwłaszcza w przypadku późniejszej wyceny. Jest to szczególnie ważne, gdy pożyczki i inwestycje są zaprojektowane w taki sposób, że trudno je porównać z innymi produktami finansowymi na rynku. Jako pomoc w podejmowaniu decyzji przy wyborze pożyczek i inwestycji, ta efektywna stopa procentowa mierzy również tylko jeden aspekt pożyczki lub inwestycji. Należy również ocenić inne aspekty, takie jak ryzyko, bezpieczeństwo, rozwój cen itp.

Niemieckie rozporządzenie w sprawie podawania cen

Zgodnie z § 6 ust. 1 niemieckiego rozporządzenia w sprawie wskazywania cen całkowity koszt pożyczki jako roczny procent pożyczki należy podać jako cenę i wskazać jako efektywną roczną stopę procentową .

Procedura określona w rozporządzeniu odpowiada teraz obliczaniu wewnętrznej stopy zwrotu . Jest to od dawna dobrze znana procedura w rachunkowości emerytalnej i została wprowadzona w Niemczech w 2000 r. Pod naciskiem Rady Ministrów ds. Konsumenckich UE (1996). W przeciwieństwie do starej metody, przy dzisiejszej metodzie obliczeń, efektywną stopą procentową nie można już tak łatwo manipulować, rozkładając koszty kredytu na kategorie kosztów o różnych ważeniach.

Ze względu na słabość metody PAngV w tamtym czasie istniały w bankach programy, w których stosowano metodę ówczesnej AIBD (Standard Method of Calculating Yields for International Bonds, Association of International Bond Dealers, 1969–1992, Zurych). do wewnętrznego obliczania efektywnych odsetek. Jednak efektywna stopa procentowa według PAngV w tamtym czasie musiała zostać wskazana klientowi. Oprócz zainteresowania banków stopami procentowymi, którymi można manipulować poprzez projektowanie produktów, innym powodem ich oporu przed zastosowaniem wewnętrznej stopy zwrotu był fakt, że proces ten jest iteracyjny: komputer potrzebuje kilku przebiegów, aby obliczyć wewnętrzną stopę zwrotu aż do osiągnięcia wymaganej dokładności. Ale już w latach 80. metoda ta była również dostępna w kalkulatorach kieszonkowych i arkuszach kalkulacyjnych.

W przypadku kredytów konsumenckich wskazanie efektywnej rocznej stopy oprocentowania zgodnie z § 492 ust. 2 BGB w połączeniu z art. 247 ust. 3 pkt 1 pkt 3 EGBGB jest obowiązkowe, aby konsument mógł porównać stopy procentowe. Aby chronić konsumenta, art. 494 ust. 3 niemieckiego kodeksu cywilnego (BGB) stanowi również:

Jeżeli RRSO zostanie wskazana jako zbyt niska, stopa oprocentowania kredytu, na której oparta jest umowa kredytu konsumenckiego, jest pomniejszana o procent, o jaki RRSO wskazywana jest jako zbyt niska.

Obliczanie rocznej stopy oprocentowania przy użyciu jednolitej metody

Najłatwiejszym sposobem obliczenia przybliżonej RRSO jest metoda ujednolicona:

${\ displaystyle {\ text {ef. Roczna stopa procentowa}} = {\ frac {\ text {Koszty kredytu}} {\ text {Kwota pożyczki netto}}} \ cdot {\ frac {24} {({\ text {Okres w miesiącach}} + 1)} }}$

Koszty kredytu = (całkowita spłata - kwota wypłaty) lub (liczba rat × kwota raty - kwota wypłaty)

to zawiera:

• Opłata manipulacyjna
• zainteresowanie
• Ewentualne ubezpieczenie długu rezydualnego lub ubezpieczenie kredytu na życie (jeśli jest w ofercie)

Kwota netto pożyczki = nominalna kwota pożyczki - koszt pożyczki

szereg zastosowań

Jednolita metoda umożliwia oszacowanie efektywnej stopy procentowej dla niektórych rodzajów kredytów. Prawnie ważne i wykazane przez dostawców usług finansowych jest trudniejsze do obliczenia, ale dokładniejsze efektywne oprocentowanie według PAngV. Metodę jednolitą należy traktować jako przybliżoną kalkulację, dzięki której można szybko zorientować się, jaka jest faktycznie oczekiwana efektywna stopa procentowa, zwłaszcza w przypadku kredytów spłacanych w tych samych miesięcznych ratach. Wynik może różnić się od efektywnej stopy procentowej PAngV.

Przykład kredytu ratalnego ze stałymi miesięcznymi ratami

Zaciągnięty zostaje kredyt konsumencki w wysokości 10.000,00 EUR. Oprocentowanie wynosi 0,5% miesięcznie i odnosi się do pierwotnej kwoty 10.000,00 EUR na cały okres, termin wynosi 60 miesięcy. Za udostępnienie pobierana jest opłata manipulacyjna w wysokości 3%. Opłata manipulacyjna uiszczana jest w momencie zaciągnięcia pożyczki, udostępnienie pełnej kwoty 10.000,00 EUR.

${\ displaystyle {{\ text {Interest}} = 0 {,} 5 \% {\ text {na miesiąc}} \ cdot 10 000 {,} 00 \ mathrm {\ euro} \ cdot 60 {\ tekst {miesięcy}} = 3000 {,} 00 \ mathrm {\ euro}}}$

${\ Displaystyle {{\ tekst {opłata za przetwarzanie}} = 3 \% \ cdot 10 000 {,} 00 \ mathrm {\ euro} = 300 {,} 00 \ mathrm {\ euro}}}$

${\ displaystyle {{\ text {koszty kredytu}} = {\ tekst {odsetki}} + {\ tekst {opłata za przetwarzanie}} = 0 {,} 005 \ cdot 10000 \ cdot 60 + 0 {,} 03 \ cdot 10000 = 3 300 {,} 00 \ mathrm {\ euro}}}$

Uwaga: Odsetki i spłata są spłacane co miesiąc, ale kwota pożyczki jest uważana za całkowicie spłaconą dopiero na koniec okresu, tj. H. miesięcznie to stawka

${\ Displaystyle {\ Frac {3,300 \ mathrm {\ euro}} {60}} + {\ Frac {10 000 \ mathrm {\ euro}} {60}} = 55 \ mathrm {\ euro} +166 {,} 67 \ mathrm {\ euro} = 221 {,} 67 \ mathrm {\ euro}}$ z powodu.

${\ displaystyle {\ text {ef. Roczna stopa procentowa}} = {\ frac {3,300 {,} 00 \ mathrm {\ euro}} {10 000 {,} 00 \ mathrm {\ euro}}} \ cdot {\ frac {24} {60 + 1}} = 12 {,} 9836 \%}$

Ef. Stopa procentowa (roczna stopa procentowa) jest obliczana poprzez dodanie odsetek do wszystkich przychodów i kosztów w momencie odsetkowym z wynikiem „zero”. Wtedy wszystkie dochody i wydatki są równe odsetkom.

W porównaniu z metodą rentowną aproksymacja metodą jednolitą skutkuje niższą stopą procentową na krótki okres (lub wyższą w przypadku długoterminowej). W powyższym przykładzie metoda renty daje efektywną roczną stopę procentową w wysokości 12,5115%.

Obliczenie ef. Roczne oprocentowanie obligacji

Efektywna roczna stopa procentowa dla obligacji typu bullet z kilkuletnim okresem zapadalności i ponownie stopa procentowa ( odsetki składane ) obliczana jest przy użyciu współczynników procentowych:

${\ displaystyle {\ text {ef. Roczna stopa procentowa}} = \ left [\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {\ text {term}} \ left (1 + {\ frac {\% {\ text {oprocentowanie}} _ {i }} {100 \%}} \ right) \ right) ^ {\ frac {1} {\ text {Runtime}}} - 1 \ right] \ cdot 100 \%}$

Przykład: Obligacja jest ważna przez 3 lata i jest oprocentowana w wysokości 1,5% w pierwszym, 2% w drugim i 3% w trzecim roku.

${\ displaystyle {\ text {ef. Roczna stopa procentowa}} = \ left [\ left (\ left (1 + {\ frac {1 {,} 5 \%} {100 \%}} \ right) \ cdot \ left (1 + {\ frac {2) \%} {100 \%}} \ right) \ cdot \ left (1 + {\ frac {3 \%} {100 \%}} \ right) \ right) ^ {\ frac {1} {3}} - 1 \ dobrze] \ cdot 100 \%}$

${\ Displaystyle = \ lewo [(1 {,} 015 \ cdot 1 {,} 02 \ cdot 1 {,} 03) ^ {\ Frac {1} {3}} - 1 \ prawo] \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = \ lewo [{\ sqrt [{3}] {1 {,} 06636}} - 1 \ prawo] \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = \ lbrack 1 {,} 02165-1 \ rbrack \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = 0 {,} 02165 \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = 2 {,} 165 \%}$

W przypadku obligacji często stosuje się przybliżoną formułę z narzutami ( premia ) i rabatami ( dyskonto ):

${\ Displaystyle \% {\ text {Yield pa}} \ około \% {\ text {stopa procentowa pa}} \ cdot {\ frac {\ text {wartość nominalna}} {\ text {cena zakupu}}} \ pm {\ frac {\ text {Agio lub Disagio}} {\ text {Czas trwania}}}}$

(Ta formuła prawie nie odbiega od prawidłowego wyniku dla małych wartości terminu i premii / rabatu, ale zawodzi dla odpowiednio dużych wartości).

Jednak czynnik ten jest tylko kolejnym czynnikiem zainteresowania, za pomocą którego można skonstruować bardziej precyzyjny wzór: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ tekst {Wartość nominalna}} {\ tekst {Kup cenę}}}}$

${\ displaystyle {\ text {ef. Roczna stopa procentowa}} = \ left [\ left ({\ frac {\ text {wartość nominalna}} {\ text {cena zakupu}}} \ prod _ {i = 1} ^ {\ text {term}} \ left (1+ {\ frac {\% {\ text {Stopa procentowa}} _ {i}} {100 \%}} \ right) \ right) ^ {\ frac {1} {\ text {Term}}} - 1 \ right] \ cdot 100 \%}$

Obliczenie ef. Roczne oprocentowanie kredytów ze stałymi miesięcznymi ratami

Dla kredytów, dla których nie ustalono jednorazowych dopłat (opłat manipulacyjnych) ani rabatów (rabatów), stosuje się następującą zasadę kalkulacji.

Tzw. Zwykle określane przez banki. „Nominalna” roczna stopa procentowa nie jest, ściśle rzecz biorąc, rzeczywistą roczną stopą procentową, a jedynie - jeśli pożyczka jest miesięcznie spłacana - stopą dwunastokrotności faktycznie nadchodzącej „efektywnej miesięcznej stopy procentowej” (tej z uwzględnieniem „nominalnej rocznej stopy procentowej” w kalkulacji odsetek zwanej również „stopą procentową w okresie względnym”), co oznacza, że ​​po każdym okresie odsetkowym - w tym przypadku po każdym miesiącu lub dwunastym roku - saldo jest zbilansowane i przeliczone. W przeciwieństwie do realnych rocznych odsetek, składany efekt procentowy zaczyna obowiązywać po pierwszym miesiącu, co oznacza, że ​​w tych warunkach „efektywna roczna stopa procentowa” jest zawsze wyższa niż „nominalna” stopa procentowa zgłaszana przez banki.

Aby wyprowadzić regułę obliczania, porównujemy tworzenie miesięcznych lub rocznych kwot na rachunkach dla bilansowania miesięcznego (wykładniczego) i na koniec roku (liniowego). Następujące zmienne odgrywają rolę:

G 0	=	Zadłużenie na początku roku
R.	=	Miesięczna rata zawierająca odsetki i ewentualnie również spłatę
z	=	nominalna stopa procentowa banku
z eff	=	efektywna roczna stopa procentowa

Określona przez bank nominalna roczna stopa oprocentowania obowiązuje wówczas po 12 miesiącach i tym samym 12 dodatkowych ratach:

${\ Displaystyle G_ {1} = G_ {0} \ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12}} \ prawej) -R}$

${\ Displaystyle G_ {2} = G_ {1} \ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12}} \ prawej) -R = G_ {0} \ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12 }} \ right) ^ {2} -R \ left [\ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) +1 \ right]}$

${\ Displaystyle G_ {3} = G_ {0} \ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12}} \ prawej) ^ {3} -R \ lewo [\ lewo (1 + {\ Frac {z}) ) {12}} \ right) ^ {2} + \ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) ^ {1} + \ left (1 + {\ frac {z} {12} } \ right) ^ {0} \ right]}$

${\ displaystyle \ vdots}$

${\ Displaystyle G_ {12} = G_ {0} \ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12}} \ prawej) ^ {12} -R \ lewo [\ lewo (1 + {\ Frac {z}) } {12}} \ right) ^ {11} + \ cdots + \ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) ^ {0} \ right]}$

${\ Displaystyle G_ {12} = G_ {0} \ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12}} \ prawej) ^ {12} -R {\ Frac {\ lewo (1 + {\ Frac {Z } {12}} \ right) ^ {12} -1} {\ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) -1}}}$

${\ Displaystyle G_ {12} = G_ {0} \ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12}} \ prawej) ^ {12} - {\ Frac {12R} {z}} \ lewo [\ lewo (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) ^ {12} -1 \ right]}$

${\ Displaystyle G_ {12} = \ lewo (G_ {0} - {\ Frac {12R} {Z}} \ prawej) \ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12}} \ prawo) ^ {12 } + {\ frac {12R} {z}}}$

Natomiast efektywna roczna stopa procentowa obowiązuje po roku, czyli ponownie 12 dodatkowych ratach:

${\ Displaystyle G_ {12} = G_ {0} \ lewo (1 + Z _ {\ operatorname {eff}} \ prawej) -R \ lewo [12+ \ lewo ({\ Frac {1} {12}} + \ cdots + {\ frac {11} {12}} \ right) z _ {\ mathrm {eff}} \ right] = G_ {0} \ left (1 + z _ {\ mathrm {eff}} \ right) -R \ left [12+ \ left ({\ frac {11 \ cdot 12} {2 \ cdot 12}} \ right) z _ {\ mathrm {eff}} \ right]}$

Odejmowanie wynika z jednej strony z rat, które nie zawierają żadnych spłat odsetek w ciągu roku - ponieważ efektywna roczna stopa procentowa jest stosowana dopiero na koniec roku - oraz z odsetek od tych rat spłaconych przed końcem roku. rok do końca roku: pierwszy przypada jedenaście miesięcy później, drugi dziesięć itd., a ostatni jest wypłacany dokładnie na koniec roku i dlatego nie jest oprocentowany. Odsetki te należy również przelać na stronę dokonującą płatności.

Zrównanie obu wzorów na G ₁₂ i zastąpienie R przez x G ₀ ostatecznie daje następujący wzór na z _eff :

${\ Displaystyle z _ {\ mathrm {eff}} = 2 {\ Frac {\ lewo (1 + {\ Frac {Z} {12}} \ prawej) ^ {12} (z-12x) + 12x (z + 1) -z} {z (2-11x)}}}$

Obliczenie efektywnej rocznej stopy procentowej zależy więc nie tylko od stopy procentowej banku, ale także od szybkości spłaty, czyli od stosunku rat R do zadłużenia początkowego G ₀ . Formuła jest znacznie uproszczona, jeśli w ogóle nie ma spłaty, ale raty spłacają tylko należne odsetki (tzw. „Kredyt wieczysty”). Wtedy x = z / 12, a stąd wynika:

${\ displaystyle z _ {\ mathrm {eff}} = {\ frac {24z} {24-11z}}}$

Ta formuła może wydawać się nieprawdopodobna, ponieważ nie jest zdefiniowana dla z = 24/11, a nawet daje bezsensowne ujemne wyniki dla jeszcze wyższych wartości z . Trzeba jednak zrozumieć, co to znaczy otrzymać bankową stopę procentową na poziomie 218%. W ciągu sześciu miesięcy z miesięcznych kwot wypłacona zostanie kwota wyższa niż kwota zadłużenia na początku roku. Zgodnie z metodą efektywnej rocznej stopy procentowej oznacza to, że dłużnik, który nie płaci odsetek w ciągu roku, a jedynie je spłaca, ma saldo kredytowe w banku od szóstego miesiąca. Oczywiście bank musi płacić odsetki od tego salda, tak jak od długu - tylko z przeciwnym znakiem . Obie stopy procentowe są wzajemnie kompensowane i muszą dawać zerową wartość bez żadnej spłaty. To jednak nie zadziała, jeśli kwota zadłużenia z początku roku została już spłacona przed połową roku. W rezultacie decydujące muszą być odsetki od rat płaconych w ciągu roku, a nie na koniec roku. A do tego muszą być bardzo wysokie - w skrajnych przypadkach nieskończone.

Jednak w przypadku stóp procentowych o normalnej wielkości wzór zapewnia nie tylko (również) poprawne, ale także wiarygodne wyniki. Jeżeli dług w wysokości 100 euro jest spłacany w miesięcznych ratach w ciągu jednego roku, przy nominalnej stopie procentowej banku w wysokości 10%, efektywna roczna stopa procentowa wynosi 10,65%. Jeżeli dług ma być utrzymywany tylko przy tej samej stopie procentowej banku, efektywna roczna stopa procentowa wynosi 10,48%.

Efektywne oprocentowanie kredytów budowlanych

11 czerwca 2010 roku weszła w życie nowa dyrektywa o kredycie konsumenckim. W ramach tego wdrożenia nowe zasady mają zastosowanie do obliczania efektywnej rocznej stopy procentowej dla kredytów na nieruchomości: Jeżeli umowa przewiduje dalsze oprocentowanie pożyczki ze zmiennymi stopami procentowymi, jeżeli dłużnik i wierzyciel nie uzgodnią nowej stałej stopy procentowej do końca obowiązywania stałej stopy procentowej rozporządzenie w sprawie wskazania ceny wymaga, aby bank stosował bieżącą stopę procentową dla kredytów o zmiennym oprocentowaniu na pozostały okres. Jest to na ogół poniżej stopy procentowej w okresie stałego oprocentowania. Skutkuje to często efektywną stopą procentową poniżej stopy oprocentowania kredytu.

Efektywna stopa procentowa z dyskontem

Zniżka jest zniżka od wartości nominalnej lub odsetek zapłaconych z góry za okres obowiązywania stałej stopy procentowej, która wyraża się w niższej wypłaty kwoty pożyczki. Efektywna stopa procentowa jest obliczana na podstawie nominalnej stopy procentowej (oraz innych parametrów, takich jak termin, spłata). I odwrotnie, powiązaną nominalną stopę procentową można określić na podstawie efektywnej stopy procentowej.

W przypadku dyskonta efektywna stopa procentowa działa jako miara, która sprawia, że ​​wariant pożyczki oparty jest na niższej spłacie iw konsekwencji oferowany jest z inną nominalną stopą procentową porównywalną do wariantu pełnej spłaty. Zasadniczo każdy z dwóch wariantów jest innym opakowaniem tego samego produktu, więc wymagana jest równoważność dwóch wariantów, a modelowanie matematyczne do obliczenia efektywnej stopy procentowej przeprowadza się w sensie tej równoważności.

Istnieją różne podejścia do określania efektywnej stopy procentowej, które wynikają z różnych interpretacji terminu dyskonto i w konsekwencji niekoniecznie prowadzą do tego samego wyniku. Jedno podejście zakłada, że ​​kwoty odsetek obliczone według nominalnej lub efektywnej stopy procentowej muszą być takie same przez cały okres trwania pożyczki. (Disagio jako odsetki zapłacone z góry, patrz pożyczki ratalne poniżej). Inne podejście stosowane zgodnie z PAngV wymaga, aby przepływy płatności odpowiadające nominalnej stopie procentowej (renta, zadłużenie rezydualne) były zgodne z ostateczną kalkulacją wartości według efektywnej stopy procentowej (patrz pożyczka dożywotnia poniżej).

Efektywna stopa procentowa w przypadku dyskonta będzie wyższa niż nominalna stopa procentowa, ponieważ, mówiąc jasno, płatności rat / renty na podstawie niższej wypłaty są niższe i dlatego muszą odpowiadać wyższej stopie procentowej, aby zrekompensować .

Dla uproszczenia zakłada się pożyczkę w wysokości 1 jednostki pieniężnej z okresem odsetkowym (około lat), która jest zaciągana przy nominalnej stopie procentowej wynoszącej . Stopa dyskontowa jest tutaj . Np. Powinno to oznaczać, że 90% kapitału zostanie wypłacone. Stopa dyskontowa równa 0 oznacza brak rabatu, a stopa dyskonta 1 oznacza, że ​​żadna płatność nie zostanie dokonana. Ponieważ ostatni przypadek nie ma żadnego praktycznego sensu, stopa dyskontowa będzie wynosić tylko od 0 do 1. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d = 0 {,} 1}$

Poniżej znajdują się przykłady niektórych rodzajów pożyczek wraz z odpowiednią kalkulacją efektywnej stopy procentowej.

Pożyczka ratalna

Spłata w ostatecznym terminie zapadalności

W przypadku tej pożyczki amortyzacyjnej w trakcie okresu spłacane są tylko odsetki. Spłata następuje dopiero na koniec okresu.

Obowiązują następujące zasady:

${\ Displaystyle nie _ {\ tekst {nom}} + d = (1-d) nie _ {\ tekst {ef}}}$.

Z tego wynika dla efektywnej stopy procentowej:

${\ Displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + {\ Frac {d} {n}}} {(1-d)}}}$.

Przykład 1

Stopa dyskontowa i nominalna stopa procentowa wynosząca dla okresów daje efektywną stopę procentową w wysokości 11,58%. ${\ displaystyle d = 0 {,} 05}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}} = 0 {,} 1}$${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = 0 {,} 1158}$

Spłata w regularnych ratach

Pozostała kwota pożyczki w tym okresie wynosi, a suma odsetek w obu przypadkach wynosi: ${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle {\ Frac {(ni)} {n}}, i = 0, \ ldots, n-1}$${\ displaystyle Z}$

${\ Displaystyle Z _ {\ tekst {eff}} = (1-d) {\ Frac {r _ {\ tekst {eff}}} {n}} \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} ni = (1-d) {\ frac {(n + 1)} {2}} r _ {\ text {eff}}}$ lub.

${\ Displaystyle Z _ {\ tekst {nom}} = {\ Frac {(n + 1)} {2}} r _ {\ tekst {nom}}}$.

Obowiązują następujące zasady:

${\ displaystyle Z _ {\ text {nom}} + d = Z _ {\ text {eff}}}$.

Z tego wynika efektywna stopa procentowa

${\ Displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ Frac {2 (Z _ {\ tekst {nom}} + d)} {(1-d) (n + 1)}}}$.

Wyrażenie można postrzegać jako średni czas trwania. ${\ displaystyle {\ frac {n + 1} {2}}}$

Wariant pożyczki bullet jest tutaj przypadkiem szczególnym, czyli gdy liczba rat wynosi 1, czyli 1 . ${\ displaystyle n = 1}$

Przykład 2

Stopa dyskontowa i nominalna stopa procentowa wynosząca dla okresów daje efektywną stopę procentową w wysokości 12,28%. ${\ displaystyle d = 0 {,} 05}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}} = 0 {,} 1}$${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = 0 {,} 1228}$

Spłata po k okresach bez spłaty w okresowych równych ratach

Jest to wariant połączenia dwóch poprzednich. Oto przyjęte okresy karencji. Suma odsetek w obu przypadkach wynosi: ${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle Z _ {\ text {eff}} = (1-d) [kr _ {\ text {eff}} + {\ frac {r _ {\ text {eff}}} {nk}} \ sum _ {i = 0} ^ {nk-1} {nki}] = (1-d) \ left [{\ frac {(n + k + 1)} {2}} \ right] r _ {\ text {eff }}}$ lub.

${\ Displaystyle Z _ {\ tekst {nom}} = \ lewo [{\ Frac {(n + k + 1)} {2}} \ prawo] r _ {\ tekst {nom}}}$.

Z warunku jaki wynika dla efektywnej stopy procentowej: ${\ displaystyle Z _ {\ text {nom}} + d = Z _ {\ text {eff}}}$

${\ Displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ Frac {2 (Z _ {\ tekst {nom}} + d)} {(1-d) (n + k + 1)}}}$.

Widać, że wariant ten jest identyczny jak w przypadku spłaty w okresowo równych ratach . ${\ Displaystyle k = 0}$

Przykład 3

Stopa dyskontowa i nominalna stopa procentowa w wysokości dla okresów z 2 okresami karencji dają efektywną stopę procentową w wysokości 11,84%. ${\ displaystyle d = 0 {,} 05}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}} = 0 {,} 1}$${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = 0 {,} 1184}$

Pożyczka dożywotnia

W przeciwieństwie do omawianej powyżej pożyczki amortyzacyjnej, pożyczka dożywotnia to taka, w przypadku której stała stopa procentowa składająca się z odsetek i amortyzacji jest płacona okresowo przez ustalony stały okres odsetkowy . Okres stałego oprocentowania może różnić się od okresu spłaty , który jest niezbędny do pełnej spłaty kredytu na ustalonych warunkach. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle N}$

Podejście do wyznaczania efektywnej stopy procentowej polega na ważeniu przepływów pieniężnych wynikających z nominalnej stopy procentowej efektywną stopą procentową prowadzącą do rozwiązania równania równoważności.

Równanie równoważności

Najpierw określa się pozostały dług na koniec okresu stałego odsetkowego. Obowiązują następujące zasady: ${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle R = (1 + r _ {\ tekst {nom}}) ^ {n} - (r _ {\ tekst {nom}} + t) {\ Frac {(1 + r _ {\ tekst {nom }}) ^ {n} -1} {r _ {\ text {nom}}}} = 1-t {\ frac {(1 + r _ {\ text {nom}}) ^ {n} -1} {r _ {\ text {nom}}}}}$.

Poszczególne przepływy pieniężne to ważone renty w odpowiednim okresie . ${\ Displaystyle (r _ {\ tekst {nom}} + t)}$

Równanie równoważności brzmi następnie:

${\ Displaystyle (1-d) (1 + r _ {\ tekst {eff}}) ^ {n} = (r _ {\ tekst {nom}} + t) {\ Frac {(1 + r _ {\) tekst {eff}}) ^ {n} -1} {r _ {\ text {eff}}}} + R}$

lub przeformułowane:

${\ Displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ Frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}} {\ Frac {(1 + r _ {\ text {eff}) }) ^ {n} -1} {(1 + r _ {\ text {eff}}) ^ {n} - {\ frac {R} {1-d}}}}}$

Efektywna stopa procentowa jest wówczas stopą procentową, według której suma składanych rent jest równa końcowej wartości spłaty pomniejszonej o pozostałą część zadłużenia.

Przykład 4

Stopa dyskontowa i nominalna stopa procentowa w wysokości za okresy dają efektywną stopę procentową w wysokości 11,37%. ${\ displaystyle d = 0 {,} 06}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}} = 0 {,} 1}$${\ displaystyle n = 7}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = 0 {,} 1137}$

Istnienie i wyjątkowość

Równanie punktu stałego nie zawsze daje się bezpośrednio rozwiązać, dlatego też, szczególnie w przypadku większych procesów iteracyjnych, konieczne jest przybliżenie rozwiązania. Możliwą metodą aproksymacji jest iteracja ustalonego punktu przy użyciu funkcji iteracji ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle r_ {i + 1} = F (r_ {i}) = {\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + t} {1-d}} {\ Frac {(1 + r_ {i })) ^ {n} -1} {(1 + r_ {i}) ^ {n} - {\ frac {R} {1-d}}}} =: {\ frac {r _ {\ text { nom}} + t} {1-d}} {\ frac {f_ {1} (r_ {i})} {f_ {2} (r_ {i})}}}$.

Korzystając z tej metody, postępujemy w taki sposób, że znajdujemy przedział, który jest sam w sobie odwzorowany przez funkcję iteracji i który spełnia wymagania z. B. następujące zdanie (patrz zdanie o istnieniu i niepowtarzalności w iteracji ustalonego punktu ) jest wystarczające.

Poniżej przedstawiono podejście paradygmatyczne, które bada warunki istnienia unikalnego rozwiązania. Jest założyć tutaj. ${\ displaystyle r _ {\ text {nom}}> 0}$

1. Jeśli . to jest .${\ Displaystyle {\ Frac {R} {1-d}} = 1}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}}$
2. Jeśli to ma zastosowanie ${\ displaystyle {\ frac {R} {1-d}} <1}$
   1. ${\ Displaystyle {\ Frac {f_ {1} (r)} {f_ {2} (r)}} <1}$dla każdego .${\ displaystyle r> 0}$
   2. ${\ displaystyle F}$jest jednostajnie wzrasta dla wszystkich .${\ displaystyle r> 0}$
   3. ${\ Displaystyle F (r)> {\ Frac {r _ {\ tekst {nom}}} {1-d}}}$dla wszystkich ( pełna indukcja powyżej z i 2.2).${\ displaystyle r \ geq {\ frac {r _ {\ text {nom}}} {1-d}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle r = {\ Frac {r _ {\ text {nom}}} {1-d}}}$
   4. ${\ Displaystyle F (r) <{\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + t} {1-d}}}$dla każdego (z powodu 2.1.).${\ displaystyle r> 0}$
   5. ${\ displaystyle F}$odwzorowuje sam przedział (ze względu na 2.3 i 2.4).${\ Displaystyle I_ {1} = \ lewo [{\ Frac {r _ {\ tekst {nom}}} {1-d}}, {\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + t} {1 -d}} \ right]}$
3. Jeśli tak , to trzyma ${\ displaystyle {\ frac {R} {1-d}}> 1}$
   1. ${\ Displaystyle {\ Frac {f_ {1} (r)} {f_ {2} (r)}}> 1}$dla każdego .${\ Displaystyle r> 0: f_ {2} \ lewo ({\ Frac {r + t} {1-d}} \ prawo)> 0}$
   2. ${\ displaystyle F}$jest jednostajnie maleje dla wszystkich .${\ Displaystyle r> 0: f_ {2} \ lewo ({\ Frac {r + t} {1-d}} \ prawo)> 0}$
   3. ${\ Displaystyle F (r)> {\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + t} {1-d}}}$dla wszystkich i dla (z powodu 3.1).${\ displaystyle r \ geq {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}}$${\ Displaystyle f_ {2} \ lewo ({\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + t} {1-d}} \ po prawej)> 0}$
   4. ${\ Displaystyle F (r) <F \ lewo ({\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + t} {1-d}} \ prawo)}$dla wszystkich i (z powodu 3.2).${\ displaystyle r> {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}}$${\ Displaystyle f_ {2} \ lewo ({\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + t} {1-d}} \ po prawej)> 0}$
   5. ${\ displaystyle F}$odwzorowuje sam przedział (ze względu na 3.3 i 3.4).${\ Displaystyle I_ {2} = \ lewo [{\ Frac {r _ {\ tekst {nom}} + t} {1-d}}, F \ lewo ({\ Frac {r _ {\ tekst {nom} } + t} {1-d}} \ right) \ right]}$
4. ${\ displaystyle F '\ neq 1}$dla każdego .${\ displaystyle r \ geq {\ frac {r _ {\ text {nom}}} {1-d}}}$

Z punktów 2.5, 3.5 i 4. wynika, że ​​iteracja punktu stałego w przedziałach lub ma jednoznaczny punkt stały, tj. Istnieje (patrz twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności iteracji punktu stałego ). ${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}}}$

Przykłady

${\ displaystyle d}$	${\ displaystyle n}$	${\ displaystyle t}$	${\ displaystyle r _ {\ text {nom}}}$	${\ displaystyle R}$	${\ displaystyle I_ {1}}$	${\ displaystyle I_ {2}}$	${\ displaystyle r _ {\ text {eff}}}$
0,06	5	0,02	0,1000	0,8779	[0,1064; 0,1277]		0,1172
0,06	7	0,02	0,1000	0,8103	[0,1064; 0,1277]		0,1137
0,05	1	1,00	0,0070	0,0000	[0,0074; 1,0600]		0,0599
0,05	5	0,01	0,0342	0.9465	[0,0359; 0,0465]		0,0458
0.10	7	0,01	0,0342	0.9224		[0,0491; 0,0523]	0,0521
0.10	15	0,02	0,0342	0,6165	[0,0379; 0,0602]		0,0450
0,15	5	0,01	0,0325	0.9360		[0,0524; 0,0803]	0,0699
0,25	5	0,01	0,0300	0.9469		[0,0533; 0,4637]	0,0695
0,30	2	0,07	0,0250	0,8583		[0,1357; 0,6168]	0,2368

literatura

• Wolfgang Lücke: Investment Lexicon , 1991, ISBN 3-8006-1194-5
• Konrad Wimmer: Jak kalkulują banki , 2000, ISBN 3-423-50822-1
• Jürgen Tietze: Wprowadzenie do matematyki finansowej , 2011, ISBN 3-8348-1545-4

linki internetowe

• Sekcja 6 rozporządzenia w sprawie podawania cen w zakresie kredytów

Indywidualne dowody

1. ↑ ^{a b} [ https://www.gesetze-im-internet.de/pangv/anlage.html Załącznik PAngV - jednolity standard z: Laws on the Internet ] Federalne Ministerstwo Sprawiedliwości ds. Ochrony Konsumentów. Źródło 5 października 2020 r.
2. ↑ stopa procentowa efektywna (PAngV, AIBD, wewnętrzna stopa procentowa) ( pamiątka z oryginałem od 18 października 2006 roku w Internet Archive ) Info: archiwum Link został wstawiony automatycznie i nie została jeszcze sprawdzona. Sprawdź oryginalny i archiwalny link zgodnie z instrukcjami, a następnie usuń to powiadomienie. @ 1@ 2Szablon: Webachiv / IABot / gaya.scienza.de
3. ↑ stopa procentowa efektywna (PAngV, AIBD, wewnętrzna stopa procentowa) ( pamiątka z oryginałem od 18 października 2006 roku w Internet Archive ) Info: archiwum Link został wstawiony automatycznie i nie została jeszcze sprawdzona. Sprawdź oryginalny i archiwalny link zgodnie z instrukcjami, a następnie usuń to powiadomienie. @ 1@ 2Szablon: Webachiv / IABot / gaya.scienza.de
4. ↑ AIBD ( pamiątka z oryginałem od 19 maja 2006 roku w Internet Archive ) Info: archiwum Link został wstawiony automatycznie i nie została jeszcze sprawdzona. Sprawdź oryginalny i archiwalny link zgodnie z instrukcjami, a następnie usuń to powiadomienie. @ 1@ 2Szablon: Webachiv / IABot / gaya.scienza.de
5. ↑ „Blinde Kuh”, Capital 2/1985, s. 34–35
6. ↑ „Oszukana ochrona konsumenta”, test 4/1987
7. ↑ Czy koszty ubezpieczenia pozostałego długu są uwzględnione w efektywnej stopie procentowej? ( Pamiątka z oryginałem od 8 sierpnia 2013 w Internet Archive ) Info: archiwum Link został wstawiony automatycznie i nie została jeszcze sprawdzona. Sprawdź oryginalny i archiwalny link zgodnie z instrukcjami, a następnie usuń to powiadomienie. , BaFin  @ 1@ 2Szablon: Webachiv / IABot / www.bafin.de