Rachunek odsetkowy

Obliczanie odsetek opisuje metody matematyczne do obliczania odsetek , który jest naładowany jak uwagę na pożyczonych sum pieniędzy .

Zasadniczo naliczanie odsetek dzieli się na „prostą kalkulację odsetek”, z odsetkami narosłymi i niezapłaconymi oraz kwotą pieniędzy, która ma być odsetkami, z. B. kredytu , pożyczki lub oszczędności, nie są doliczane, a naliczanie odsetek składanych , w których niespłacone odsetki doliczane są do kwoty podstawowej i uwzględniane w dalszych odsetkach.

Ponadto, w zależności od liczby okresów odsetkowych (płatności odsetek) w roku, można rozróżnić odsetki roczne (odsetki jednorazowe) i pośrednie (odsetki wielokrotne), a także szczególny przypadek odsetek stałych. Standardowym przypadkiem jest roczna stopa oprocentowania: kapitał jest wypłacany raz w roku, zwykle pod koniec roku. Stopa procentowa następująca po okresie odsetkowym nazywana jest dekursywną , a zaliczkową jako antycypacyjną .

Jeżeli płatności są dokonywane na konto oszczędnościowe lub z niego wypłacane w okresie odsetkowym, oprocentowanie mieszane jest zazwyczaj stosowane przez firmy finansowe. Ten rodzaj odsetek jest zatem również stosowany dla wszystkich inwestycji z terminem, który nie jest wielokrotnością okresu odsetkowego (np. 3,5 roku z oprocentowaniem rocznym). Nazywa się to zepsutym terminem.

Podczas gdy obliczanie odsetek jest zasadniczo oparte na jednorazowo wpłaconej lub pożyczonej kwocie lub kapitale początkowym, podobszar obliczania emerytury jest odwrotnie przede wszystkim związany z regularnie powtarzającymi się wpłatami i wypłatami, przy czym oba aspekty ostatecznie łączą się w forma naliczania amortyzacji , np. jeśli jednorazowo Po spłacie pożyczki następuje wtedy seria mniej lub bardziej regularnych spłat, którymi pożyczka jest ponownie „spłacana”, czyli jest spłacana.

Uwagi wstępne

Wzory obliczania odsetek w tym artykule wykorzystują następujące symbole:

• Kapitał zakładowy: (kapitał po 0 latach)${\ styl wyświetlania K_ {0}}$
• Kapitał końcowy: (kapitał po latach)${\ styl wyświetlania K_ {n}}$${\ styl wyświetlania n}$
• Czas trwania (całe lata): Wpis w latach${\ styl wyświetlania n}$
• Czas trwania (dni): Wejście w dniach${\ styl wyświetlania t}$
• Oprocentowanie w procentach: (na okres odsetkowy)${\ styl wyświetlania p}$
• Stopa procentowa jako ułamek dziesiętny: (na okres odsetkowy)${\ displaystyle i = {\ tfrac {p} {100}}}$
• Stopa procentowa jako czynnik odsetkowy: (za okres odsetkowy)${\ displaystyle q = 1 + i = 1 + {\ tfrac {p} {100}}}$

W zależności od metody obliczania rok waha się od 360 do 366 dni, miesiąc od 28 do 30 do 31 dni. Np. oprocentowanie 7% na okres 360 dni.

Roczne odsetki

Oprocentowanie proste bez odsetek składanych (oprocentowanie liniowe)

W przypadku odsetek rocznych dotyczy to kapitału końcowego

${\ displaystyle K_ {n} = K_ {0} + K_ {0} \ cdot n \ cdot i = K_ {0} \ cdot (1 + n \ cdot i)}$

Przeliczenie daje formuły obliczania kapitału początkowego, stopy procentowej lub terminu wymaganego dla określonego kapitału końcowego:

${\ displaystyle i = {\ frac {1} {n}} \ cdot \ po lewej ({\ frac {K_ {n}} {K_ {0}}} - 1 \ po prawej)}$

${\ displaystyle n = {\ frac {1} {i}} \ cdot \ po lewej ({\ frac {K_ {n}} {K_ {0}}} - 1 \ po prawej)}$

przykład

Kapitał początkowy w wysokości 1000 € jest inwestowany z oprocentowaniem 5 procent w ciągu 2 lat. Z prostym odsetkiem ostateczny kapitał byłby

${\ displaystyle K_ {2} = 1000 \; \ mathm {\ euro} \ cdot (1 + 2 \ cdot 0 {,} 05) = 1100 \; \ mathrm {\ euro}}$

Obliczanie odsetek składanych (wykładnicza stopa procentowa)

Wzór na kapitał po latach z odsetkami rocznymi i odsetkami składanymi to: ${\ styl wyświetlania n}$

${\ displaystyle K_ {n} = K_ {0} \ cdot (1 + i) ^ {n} = K_ {0} \ cdot q ^ {n}}$

Formuła może zostać zmieniona w celu określenia kapitału początkowego, stopy procentowej lub terminu podanego na kapitał końcowy:

${\ displaystyle K_ {0} = {\ frac {K_ {n}} {(1 + i) ^ {n}}} = {\ frac {K_ {n}} {q ^ {n}}}}$

${\ displaystyle i = {\ sqrt [{n}] {\ frac {K_ {n}} {K_ {0}}}} - 1 \ qquad {\ text {lub}} \ qquad q = {\ sqrt [{ n}] {\ frac {K_ {n}} {K_ {0}}}}}$

${\ displaystyle p = \ po lewej ({\ sqrt [{n}] {\ frac {K_ {n}} {K_ {0}}}} - 1 \ po prawej) \ cdot 100}$

${\ displaystyle n = {\ frac {\ ln {\ frac {K_ {n}} {K_ {0}}}} {\ ln {(1 + i)}}} = {\ frac {\ ln {K_ { n}} - \ ln {K_ {0}}} {\ ln {q}}}}$

Przykłady

Kapitał początkowy w wysokości 1000 € jest inwestowany z oprocentowaniem 5 procent w ciągu 2 lat. Przy oprocentowaniu rocznym ostateczny kapitał byłby

${\ displaystyle K_ {2} = 1000 \; \ mathm {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 05) ^ {2} = 1102 {,} 50 \; \ mathm {\ euro}}$

Wartość końcowa / kapitał końcowy / wartość bieżąca

Kapitał początkowy w wysokości 1.000 € jest wypłacany przy oprocentowaniu 5% p. za. rozłożony na 2 lata. Przy oprocentowaniu składanym kapitał końcowy wynosi

${\ displaystyle K_ {2} = K_ {0} \ cdot (q) ^ {n} = 1000 \; \ mathrm {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 05) ^ {2} = 1102 {, } 50 \; \ matematyka {\ euro}}$.

Jeśli szukasz terminu, po którym kapitał początkowy podwoił się , generalnie obowiązują następujące zasady:

${\ displaystyle n = {\ frac {\ log {2}} {\ log {(1 + i)}}} = {\ frac {\ log {2}} {\ log {q}}}}$

Wartość tę można również oszacować stosując regułę 72 .

Jeżeli natomiast dana wartość końcowa jest przeliczana z powrotem do kapitału początkowego, który byłby niezbędny do osiągnięcia wartości końcowej dla danego terminu i danej stopy procentowej, wartość tę określa się jako wartość bieżącą wartości końcowej lub kapitału:

${\ displaystyle K_ {0} = K_ {2} \, / \, (q) ^ {n} = 1100 \; \ mathrm {\ euro} \, / \, (1 + 0 {,} 05) ^ { 2} = 997 {,} 73 \; \ mathm {\ euro}}$

Słowem: aby otrzymać 1100 euro w ciągu 2 lat od 5% p. za. Aby móc wypłacić oprocentowane konto, trzeba by w tej chwili na to konto wpłacić 997,73 €, czyli 1100 € za 2 lata będzie warte praktycznie tyle, ile ta kwota w gotówce dzisiaj.

Odsetki w ciągu roku

W przypadku inwestycji oprocentowanych w ciągu roku odsetki naliczane są kilka razy w roku. Okres zainteresowania wynosi zatem mniej niż rok. Na przykład okresy:

• pół roku,
• ćwierć lub
• miesiąc lub
• codziennie z pozostałymi miesiącami.

Liczba okresów odsetkowych w roku wyrażona jest we wzorach symbolem . Na przykład przy oprocentowaniu kwartalnym wyniesie 4 (4 kwartały rocznie). Często podaje się tzw. nominalną roczną stopę procentową ( ). ${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania i _ {\ matematyka {nom}}}$

Względna stopa procentowa okresu wynosi wtedy: ${\ displaystyle i _ {\ matematyka {rel}}}$

${\ displaystyle ja _ {\ mathrm {rel}} = {\ frac {i _ {\ mathrm {nom}}} {m}}}$.

Formuły na pośrednią stopę procentową należy zatem stosować w sposób opisany powyżej; stopa procentowa nie obowiązuje już w skali roku, ale w okresie odsetkowym. Termin nie jest również określony w latach, ale w okresach odsetkowych.

Jednolita stopa zwrotu (liniowa)

Do ostatecznego kapitału po latach z każdym okresem odsetkowym, a także kolejnymi okresami odsetkowymi w ciągu roku stosuje się : ${\ styl wyświetlania K_ {n, k}}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania k}$

${\ displaystyle K _ {\ mathrm {n, k}} = K_ {0} \ cdot (1+ [n \ cdot m + k] \ cdot i _ {\ mathrm {rel}})}$.

Reprezentuje całkowitą liczbę okresów odsetkowych według lat i okresów (okres w okresach odsetkowych). ${\ styl wyświetlania n \ cdot m + k}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania k}$

przykład

Kapitał w wysokości 1000 € jest inwestowany z miesięcznymi odsetkami ( ) przy nominalnej rocznej stopie procentowej wynoszącej 6%. ${\ styl wyświetlania m = 12}$

Względna okresowa stopa procentowa wynosi 0,5%. Po 2 latach i 4 miesiącach, z prostymi odsetkami, ostateczny kapitał wynosi

${\ displaystyle K _ {\ mathrm {2,4}} = 1000 \; \ mathrm {\ euro} \ cdot (1+ [2 \ cdot 12 + 4] \ cdot 0 {,} 005) = 1000 \; \ mathm {\ euro} \ cdot 1 {,} 140 = 1140 \; \ mathrm {\ euro}}$

Odsetki składane (wykładnicze)

Do ostatecznego kapitału po latach z każdym okresem odsetkowym, a także z kolejnymi okresami odsetkowymi w ciągu roku, stosuje się${\ styl wyświetlania K_ {n, k}}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania k}$

${\ displaystyle K _ {\ matematyka {n, k}} = K_ {0} \ cdot (1 + i _ {\ matematyka {rel}}) ^ {n \ cdot m + k}}$.

Okres w okresach odsetkowych oblicza się ponownie w taki sam sposób, jak proste obliczanie odsetek . ${\ styl wyświetlania n \ cdot m + k}$

Oprócz względnej i nominalnej stopy procentowej, która może być stosowana w przypadku odsetek składanych, efektywna roczna stopa procentowa określa, w którym jednorazowa roczna stopa procentowa tego samego wyniku jest powtarzana śródroczna stopa procentowa względnej stopy procentowej. Z tej nominalnej rocznej stopy procentowej p. a. jako liczba okresów odsetkowych w roku i iloraz obu zmiennych jako względna stopa procentowa okresu ma zastosowanie:${\ displaystyle i _ {\ matematyka {eff}}}$${\ styl wyświetlania i _ {\ matematyka {nom}}}$${\ styl wyświetlania m}$${\ displaystyle {\ tfrac {i _ {\ matematyka {nom}}} {m}}}$${\ displaystyle i _ {\ matematyka {rel}}}$

${\ displaystyle ja _ {\ matematyka {eff}} = \ po lewej (1 + {\ frac {i _ {\ matematyka {nom}}} {m}} \ po prawej) ^ {m} -1}$.

Jeśli pomnożysz nawiasy i pominiesz wyższe potęgi (które prawie nic nie wnoszą do sumy dla małych ), możesz dobrze oszacować efektywne oprocentowanie : ${\ styl wyświetlania i _ {\ matematyka {nom}}}$${\ styl wyświetlania i _ {\ matematyka {nom}}}$

${\ displaystyle ja _ {\ matematyka {eff}} \ ok ja _ {\ matematyka {nom}} + {\ frac {\ binom {m} {2}} {m ^ {2}}} \ cdot ja _ { \ mathrm {nom}} ^ {2} = ja _ {\ mathrm {nom}} + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {m-1} {m}} \ cdot i _ { \ mathrm {nom} } ^ {2}}$.

Dodatkowy zysk z odsetek w przypadku wielokrotnych płatności odsetek w ciągu roku w porównaniu z jednorazowymi odsetkami rocznymi można zatem oszacować w następujący sposób:

${\ displaystyle ja _ {\ mathrm {eff}} -i _ {\ mathrm {nom}} \ ok {\ frac {m-1} {2m}} \ cdot i _ {\ mathrm {nom}} ^ {2 } \ ok. 0 {,} 5 \ cdot i _ {\ mathrm {nom}} ^ {2}}$.

Jeżeli podano tylko efektywne oprocentowanie, to względna okresowa stopa procentowa, w tym przypadku nazywana przez niektórych autorów również stopą „zgodną” , wynika z następującego wzoru: ${\ displaystyle i _ {\ matematyka {kon}}}$

${\ displaystyle ja _ {\ mathrm {rel}} = {\ sqrt [{m}] {1 + ja _ {\ mathrm {eff}}}} - 1 = ja _ {\ mathrm {kon}}}$.

Jeśli chodzi o wspomniany termin „konformalna” stopa procentowa lub stopa procentowa, jest on niestety używany w literaturze, podobnie jak „efektywna” stopa procentowa, na kilka sposobów, które nie zawsze są łatwe do odróżnienia od siebie, co łatwo prowadzi do zamieszanie i nieporozumienia. Decydującym czynnikiem we wszystkich przypadkach jest to, co zostanie wybrane jako punkt odniesienia dla „zgodnej” stopy procentowej, tj. H. z którym ta stopa procentowa powinna być „zgodna” lub jaka powinna być „równoważna” lub „równej wartości”.

Używają go więc poszczególni autorzy, ale z. Na przykład SAP w ich oprogramowaniu bankowym jest utożsamiany jako roczna stopa oprocentowania zgodna z efektywną roczną stopą procentową, ale w większości przypadków definiowana tylko na podstawie tej lub nominalnej rocznej stopy procentowej.

Jeżeli „zgodna” stopa procentowa lub stopa jest określona według następującego wzoru tylko na podstawie efektywnej rocznej stopy procentowej, nie utożsamiając jej z nią, ostatecznie okazuje się, że jest to nic innego jak wspomniana już względna okresowa stopa procentowa:

${\ displaystyle i _ {\ mathrm {kon}} = {\ sqrt [{m}] {1 + i _ {\ mathrm {eff}}}} - 1 = {\ sqrt [{m}] {1+ ( 1+ {\ frac {i _ {\ mathrm {nom}}} {m}}) ^ {m} -1}} - 1 = {\ frac {i _ {\ mathrm {nom}}} {m}} = ja _ {\ matematyka {rel}}}$.

Ta „zgodna” stopa procentowa jest zatem stopą procentową, która przy m-krotnych geometrycznych lub wykładniczych stopach procentowych na koniec roku daje taki sam wynik, jak zwykłe zastosowanie efektywnej rocznej stopy procentowej :

${\ displaystyle (1 + ja _ {\ matematyka {kon}}) ^ {m} = 1 + ja _ {\ matematyka {wydajność}}}$.

Aby uniknąć nieporozumień, tak zdefiniowaną „zgodną” stopę procentową należy zatem dokładniej opisać jako (ekwiwalentną) stopę procentową śródroczną zgodną z efektywną roczną stopą procentową – lub zamiast tego lepiej dać pierwszeństwo do pojęcia względnej okresowej stopy procentowej o tym samym znaczeniu od samego początku .

Jednak druga część ogromnej liczby autorów, wybrane jako punkt odniesienia do definicji „zgodnego” stopy procentowej zamiast skutecznej w nominalnym roku stopy procentowej

${\ displaystyle ja _ {\ mathrm {kon}} = {\ sqrt [{m}] {1 + i _ {\ mathrm {nom}}}} - 1}$.

„Zgodna” stopa procentowa jest teraz – inaczej niż wcześniej – stopą procentową, która z m-krotnymi geometrycznymi lub wykładniczymi stopami procentowymi na koniec roku daje taki sam wynik, jak zwykłe zastosowanie nominalnej rocznej stopy procentowej

${\ displaystyle (1 + ja _ {\ matematyka {kon}}) ^ {m} = 1 + ja _ {\ matematyka {nom}}}$,

dlatego też jest określana przez niektórych autorów jako – należy dodać „przy nominalnej rocznej stopie procentowej” – zgodna (ekwiwalentna) śródroczna lub okresowa stopa procentowa.

Przykład 1

Inwestuje się kapitał w wysokości 1000 € jak powyżej ; , . ${\ styl wyświetlania (m = 12}$${\ displaystyle i _ {\ mathrm {nom}} = 6, \%}$${\ displaystyle i _ {\ mathrm {rel}} = {\ tfrac {0 {,} 06} {12}} = 0 {,} 005, i _ {\ mathrm {kon}} = {\ sqrt [{12 }] {1 {,} 06}} - 1 \ około 0 {,} 004868}$

Po 2 latach i 4 miesiącach, a więc 28-krotności odsetek geometrycznych lub wykładniczych ze względną okresową stopą procentową, kapitał wraz z odsetkami składanymi wynosi wtedy ${\ displaystyle i _ {\ matematyka {rel}}}$

${\ displaystyle K _ {\ matematyka {2,4}} = 1000 \; \ matematyka {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 005) ^ {2 \ cdot 12 + 4} \ ok 1149 {,} 87 \; \ matematyka {\ euro}}$.

Ten sam wynik uzyskalibyśmy również, gdyby od początku zastosować efektywną roczną stopę procentową, w tym przypadku

${\ displaystyle i _ {\ matematyka {eff}} = \ po lewej (1 + {\ frac {0 {,} 06} {12}} \ po prawej) ^ {12} -1 \ około 0 {,} 061678 \ około 6 {,} 1678 \, \%}$,

obliczy:

${\ displaystyle K _ {\ matematyka {2,4}} = 1000 \; \ matematyka {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 061678) ^ {\ frac {28} {12}} \ ok 1149 { , } 87 \; \ mathrm {\ euro}}$.

Jednak w ten sam sposób, tylko tym razem z (dla nominalnej rocznej stopy procentowej) zgodnymi okresami, odsetki oprocentowania , które wynikałyby z 28 miesięcy po tylko kapitale obejmującym odsetki składane w wysokości ${\ displaystyle i _ {\ matematyka {kon}}}$

${\ displaystyle K _ {\ matematyka {2,4}} = 1000 \; \ matematyka {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 06) ^ {\ frac {28} {12}} = 1000 \; \ mathrm {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 004868 ^ {2 \ cdot 12 + 4} \ ok 1145 {,} 64 \; \ mathrm {\ euro}}$.

Przykład 2

Rocznie inwestuje się kapitał w wysokości 10 000 euro . ${\ displaystyle i _ {\ mathrm {nom}} = 3 \, \%}$

Przy oprocentowaniu rocznym ( ), kapitał z odsetkami po roku wynosi: ${\ styl wyświetlania m = 1}$

${\ displaystyle K_ {1} = 10000 \; \ mathm {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 03/1) ^ {1} = 10300 {,} 00 \; \ mathrm {\ euro}}$

efektywna stopa procentowa wynosi . ${\ displaystyle ja _ {\ mathrm {eff}} = ja _ {\ mathrm {nom}} = 3 {,} 00 \, \%}$

Przy kwartalnej stopie procentowej ( ) w ciągu roku kapitał z odsetkami po roku wynosi: ${\ styl wyświetlania m = 4}$

${\ displaystyle K _ {\ matematyka {1,0}} = 10000 \; \ matematyka {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 03/4) ^ {4} \ ok 10303 {,} 39 \; \ matematyka {\ euro}}$

Dodatkowy zysk odsetkowy wraz z odsetkami kwartalnymi w porównaniu z odsetkami rocznymi wynosi

${\ displaystyle ja _ {\ matematyka {eff}} -i _ {\ matematyka {nom}} = \ po lewej (1 + {\ frac {0 {,} 03} {4}} \ po prawej) ^ {4} - 1- 0 {,} 03 \ około 0 {,} 03392 \, \%}$.

i można ją oszacować za pomocą:

${\ displaystyle ja _ {\ matematyka {eff}} -i _ {\ matematyka {nom}} \ około {\ frac {4-1} {2 \ cdot 4}} \ cdot 0 {,} 03 ^ {2} = 0 {,} 03375 \, \%}$.

W przypadku miesięcznych spłat odsetek ( ) w ciągu roku kapitał wraz z odsetkami po roku wynosi: ${\ styl wyświetlania m = 12}$

${\ displaystyle K _ {\ matematyka {1,0}} = 10000 \; \ matematyka {\ euro} \ cdot (1 + 0 {,} 03/12) ^ {12} \ około 10304 {,} 16 \; \ matematyka {\ euro}}$

Dodatkowy zysk z odsetek z oprocentowaniem miesięcznym w stosunku do odsetek rocznych wynosi

${\ displaystyle ja _ {\ matematyka {eff}} -i _ {\ matematyka {nom}} = \ po lewej (1 + {\ frac {0 {,} 03} {12}} \ po prawej) ^ {12} - 1- 0 {,} 03 \ około 0 {,} 04160 \, \%}$.

i można ją oszacować za pomocą:

${\ displaystyle ja _ {\ matematyka {eff}} -i _ {\ matematyka {nom}} \ około {\ frac {12-1} {2 \ cdot 12}} \ cdot 0 {,} 03 ^ {2} = 0 {,} 04125 \, \%}$.

Przy stałej stopie procentowej w ciągu roku ( patrz niżej), kapitał z odsetkami po roku wynosi: ${\ styl wyświetlania m = \ infty}$

${\ displaystyle K_ {1} = 10000 \; \ mathrm {\ euro} \ razy e ^ {1 \ razy 0 {,} 03} \ ok. 10304 {,} 55 \; \ mathrm {\ euro}}$

Dodatkowy zysk z odsetek przy stałej stopie procentowej w stosunku do rocznej stopy procentowej wynosi

${\ displaystyle ja _ {\ mathrm {eff}} -i _ {\ mathrm {nom}} = e ^ {1 \ cdot 0 {,} 03} -1-0 {,} 03 \ około 0 {,} 04545 \, \%}$.

i można ją oszacować za pomocą:

${\ displaystyle ja _ {\ mathrm {eff}} -i _ {\ mathrm {nom}} \ ok {\ frac {1} {2}} \ cdot 0 {,} 03 ^ {2} = 0 {,} 04500 \ , \%}$.

Inwestycja z jednorazową roczną stopą procentową w wysokości z. B. 3,05% będzie zatem zawsze skutkowało wyższym dochodem odsetkowym niż inwestycja finansowa z nominalną stopą procentową tylko 3,00% i częstszymi płatnościami odsetek w ciągu roku. Z drugiej strony wiele instytucji finansowych reklamuje wyższe dochody odsetkowe z niższym rokiem, z. B. Odsetki kwartalne bez dokładnej kwantyfikacji wyższych dochodów odsetkowych. W powyższym przykładzie łatwo zauważyć, że kwartalna stopa oprocentowania w ciągu roku dla inwestycji o wartości 10 000 euro zapewnia jedynie minimalny dodatkowy dochód odsetkowy w wysokości 3,39 euro, a nawet w idealnym przypadku stałego oprocentowania nie byłby on wyższy niż 4,55 euro.

Mieszane zainteresowanie

Banki i inne firmy finansowe zazwyczaj kredytują rachunki bieżące i książeczki oszczędnościowe odsetkami na koniec okresu odsetkowego. W przypadku ksiąg oszczędnościowych i innych rachunków bieżących jest to zazwyczaj koniec roku, w przypadku inwestycji umownie uzgodnionych często jest to inny czas.

Chociaż faktycznie stosuje się obliczanie odsetek składanych, kapitał, który nie został zainwestowany w ostatnim terminie rozliczania odsetek, a zatem nie za cały okres odsetkowy, jest oprocentowany z odsetkami prostymi, podobnie jak odsetki narosłe do tego momentu w roku w dniu płatności w ciągu okres odsetkowy.

Poniższa grafika przedstawia typową inwestycję: inwestycja przypada w dowolny dzień w roku, kapitał jest oprocentowany przez kilka lat i ostatecznie jest wypłacany w dowolnym dniu w ciągu roku.

Cały okres inwestycji składa się z:

${\ displaystyle {\ tekst {Pozostały okres 1}} + n ~ {\ tekst {lata}} + {\ tekst {Pozostały okres 2}}}$.

Przede wszystkim od kapitału wypłacane są odsetki przez pozostały okres 1 ( dni) wraz z odsetkami prostymi. Uzyskany w ten sposób kapitał wypłaca odsetki na przestrzeni lat według formuły odsetek składanych. Pozostały okres 2 ( dni) jest następnie ponownie wypłacany przez kapitał odsetki na koniec n-tego roku. Podsumowując, na kapitał w dniu wpłaty wynika następujący wzór: ${\ styl wyświetlania t_ {1}}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania t_ {2}}$

${\ displaystyle K = K_ {0} \ cdot \ po lewej (1 + ja \ cdot {\ frac {t_ {1}} {360}} \ po prawej) \ cdot (1 + i) ^ {n} \ cdot \ po lewej (1 + i \ cdot {\ frac {t_ {2}} {360}} \ po prawej)}$

Zgodnie z niemiecką metodą obliczania odsetek na rok ustala się 360 dni (patrz odpowiedni rozdział w artykule o oprocentowaniu ).

W przypadku przerwanych okresów inwestycyjnych należy przestrzegać praktyki banków w zakresie daty waluty: w Niemczech dzień inwestycji jest zwykle uwzględniany w przypadku sald oszczędności, ale odsetki nie są już wypłacane w dniu wypłaty. W przeciwnym razie - z. B. dla lokat awizowych i terminowych - odwrotnie, odsetki są płacone w dniu wpłaty, a nie w dniu wpłaty.

W przypadku płatności odsetek w ciągu roku postępuje się w ten sam sposób i odpowiednio zmienia okres rozliczeniowy (np. w kwartałach 90 zamiast 360 w mianowniku). ${\ styl wyświetlania n}$

przykład

W dniu 25 czerwca 2008 r. 1000 euro zostanie zainwestowane na koncie oszczędnościowym z oprocentowaniem 2,5%. Jaka jest kwota wypłaty, jeśli konto oszczędnościowe zostanie zamknięte 12 kwietnia 2013 roku?

Według niemieckiej metody naliczania odsetek do końca 2008 r . minie dni. Kapitał jest stały na całe lata 2009–2012 ( ). W 2013 roku odsetki będą nadal płacone za dni. ${\ displaystyle t_ {1} = 6 \ cdot 30 + 6 = 186}$${\ styl wyświetlania n = 4}$${\ displaystyle t_ {2} = 3 \ cdot 30 + 11 = 101}$

Kapitał w dniu wpłaty wynosi zatem

${\ displaystyle K = 1000 \; \ mathrm {\ euro} \ cdot \ po lewej (1 + 0 {,} 025 \ cdot {\ frac {186} {360}} \ po prawej) \ cdot (1 + 0 {,} 025) ^ {4} \ cdot \ w lewo (1 + 0 {,} 025 \ cdot {\ frac {101} {360}} \ w prawo) = 1125 {,} 91 \; \ mathrm {\ euro}}$

Kalkulacja odsetek prostych jest korzystna dla inwestora: gdyby odsetki składane były naliczane w całym okresie, to w tym przypadku otrzymalibyśmy

${\ displaystyle K = 1000 \; \ mathm {\ euro} \ cdot 1 {,} 025 ^ {4 + {\ frac {287} {360}}} \ ok 1125 {,} 76 \; \ mathrm {\ euro }}$.

Stałe zainteresowanie

Ciągły mieszająca jest szczególnym przypadkiem wykładniczego przedmiotem zainteresowania w stojącą (związek procentowej), w którym liczba okresów dąży do nieskończoności (także chwilowe powrotnego lub ciągły procentowej ). Okres indywidualnego okresu odsetkowego zbliża się zatem do 0.

Do końcowego kapitału po latach z oprocentowaniem stosuje się : ${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania i}$

${\ displaystyle {\ begin {macierz} K & = & \ lim _ {m \ do \ infty} \ lewy [K_ {0} \ cdot \ lewy (1 + {\ frac {i} {m}} \ prawy) ^ {mn} \ prawy] \\\\ & = & K_ {0} \ cdot e ^ {n \ cdot i} \ end {macierz}}}$

Kapitał początkowy w wysokości 1000 € jest inwestowany z oprocentowaniem 5 procent w ciągu 2 lat. Przy stałym oprocentowaniu ostateczny kapitał byłby

${\ displaystyle K_ {2} = 1000 \; \ mathrm {\ euro} \ razy e ^ {2 \ razy 0 {,} 05} = 1105 {,} 17 \; \ mathrm {\ euro}}$

Jedną z zalet stałego oprocentowania jest to, że nie musisz się martwić o kapitalizację odsetek, ponieważ kapitalizacja ma miejsce niemal w każdej chwili. Oznacza to, że stała stopa procentowa jest często podstawą matematycznych modeli finansowych, gdyż ten rodzaj oprocentowania jest szczególnie łatwy w użyciu. Znanym tego przykładem jest model Blacka-Scholesa .

Zobacz też

• Renta
• Pożyczka dożywotnia
• Josephspfennig
• Pożyczka na raty
• Rachunek emerytalny
• Formuła banku oszczędnościowego
• Formuła Hardy
• Numery odsetek

linki internetowe

• @1@2Szablon: Toter Link / www.hans-markus.de( Strona niedostępna , szukaj w archiwach internetowych: wyprowadzenie wzoru na stałą stopę procentową )
• Przegląd różnych metod oprocentowania, tj. dni odsetkowych w miesiącu lub roku oraz początek i koniec oprocentowania

Indywidualne dowody

1. ↑ Efektywna kalkulacja odsetek - efektywna stopa procentowa. Źródło 17 sierpnia 2016.
2. ↑ Joseph Leydold: Metody matematyczne w ekonomii. Kurs podstawowy . Rozdział 1: Zwroty . WU Wiedeń, SS 2006; Źródło 18 sierpnia 2016.
3. ↑ Obliczanie odsetek składanych w ciągu roku. SOK ROŚLINNY; Źródło 17 sierpnia 2016.
4. ^ Alfred Brink: Finanzmatematik . Rozdział C. Zestawienia odsetek . ( Pamiątka z oryginałem z 11 grudnia 2015 w Internet Archive ; PDF) Info: archiwum Link został wstawiony automatycznie i nie została jeszcze sprawdzona. Sprawdź link do oryginału i archiwum zgodnie z instrukcjami, a następnie usuń to powiadomienie. Uniwersytet w Münster, s. 31; Źródło 17 sierpnia 2016. @1@2Szablon: Webachiv / IABot / www.wiwi.uni-muenster.de
5. ↑ Jürgen Tietze: Zeszyt ćwiczeń do matematyki finansowej, wzór załącznik 1 (z podstaw klasycznej matematyki finansowej) ; Wiesbaden 2011, s. 422–423 [dostępne w formacie PDF, ale bez stałego linku ].
6. ↑ Wolfgang Blaas: Finanzmathematik – slajdy do wykładu . (PDF) TU Wiedeń, s. 12; Źródło 17 sierpnia 2016.
7. ^ Zbiór formuł do matematyki finansowej . (PDF) FH Düsseldorf; Źródło 18 sierpnia 2016.
8. ↑ Jutta Gerhard: Obliczanie odsetek, odsetek składanych i emerytury . VHS Floridsdorf; Źródło 18 sierpnia 2016.
9. ↑ Obliczanie efektywnego oprocentowania - Względna i zgodna okresowa stopa procentowa. Źródło 17 sierpnia 2016.
10. ↑ Zgodne okresowe odsetki. Źródło 17 sierpnia 2016.
11. ↑ Metody oprocentowania i prawo oprocentowania, dostęp 18 sierpnia 2016 r.