Transformacja Gabora

Transformacja Gabor (po Dennis Gabor ) jest specjalnym (aw pewnym sposób optymalny) okienkiem transformację Fouriera . Jest ściśle powiązany z teorią falkową i jest stosowany w wielu obszarach cyfrowego przetwarzania sygnałów i obrazów . Jest to szczególny przypadek krótkoterminowej transformaty Fouriera .

Generał

Dwuwymiarowa falka Gabora

Każda lokalna zmiana sygnału powoduje zmianę transformaty Fouriera (FT) na całej osi częstotliwości. Na przykład wykres FT rozkładu delta (funkcja Diraca) obejmuje cały zakres częstotliwości. Dlatego FT nie zawiera żadnych lokalnych informacji o sygnale . Z drugiej strony oznacza to, że informacje w widmie częstotliwości nie wskazują bezpośrednio obszaru lokalnego, w którym częstotliwość występuje. Jednym ze sposobów umiejscowienia FT w dziedzinie przestrzennej jest krótkoterminowa transformata Fouriera ( angielska krótkoterminowa transformata Fouriera , krótka STFT ), której lokalna częstotliwość jest opisana w oknie wokół punktu . Funkcja, która szybko spada do 0, jest zwykle wybierana w tym celu, aby działała jak okno. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle g}$

${\ Displaystyle F ^ {\ mathrm {Fen}} (\ omega, \ tau) = \ int \ ograniczenia _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) g (t- \ tau) e ^ { -i \ omega t} dt}$

Dlatego transformata Fouriera z oknem jest zależna od dwóch parametrów, częstotliwości i środka lokalizacji . Dlatego mówi się o reprezentacji w przestrzeni przestrzennej / częstotliwości . ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ tau}$

STFT z funkcją Gaussa jako funkcją okna został opracowany przez Dennisa Gabora i używany w 1946 roku: ${\ Displaystyle g _ {\ sigma} (t)}$

${\ Displaystyle g _ {\ sigma} (t) = {\ Frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ Frac {t ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$

Ta specjalna STFT nazywa się transformacją Gabora . Jeśli oznaczymy wynik transformacji Dał z, to ze względu na symetrię${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G_ {f}}$${\ displaystyle g _ {\ sigma}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G_ {f} (\ omega, \ tau) & = \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) g _ {\ sigma} (t- \ tau) e ^ {- i \ omega t} dt \\ & = e ^ {- i \ omega \ tau} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) g _ {\ sigma} (\ tau -t) e ^ {i \ omega (\ tau -t)} dt \\ & = e ^ {- i \ omega \ tau} (f (\ tau) \ ast (g _ {\ sigma} (\ tau) e ^ {i \ omega \ tau})) \\ & = e ^ {- i \ omega \ tau} (f (\ tau) \ ast h (\ tau)) \ end {wyrównane}}}$

W lokalnej przestrzeni, Gabor filtrowanie zatem oznacza to splot aż do czynnika . Jednak ten czynnik powoduje jedynie przesunięcie fazowe , a zatem mogą być pomijane w aplikacjach, które tylko biorą się amplitudę wyniku pod uwagę. ${\ displaystyle e ^ {- i \ omega \ tau}}$

Ponieważ transformacja Fouriera funkcji Gaussa ponownie daje funkcję Gaussa, wynik transformacji Gave reprezentuje informacje lokalne zarówno w przestrzeni przestrzennej, jak i częstotliwości. Filtr może obejmować dowolny eliptyczny obszar częstotliwości lub przestrzeni przestrzennej. Ponadto transformacja Gave osiąga - niezależnie od aranżacji - maksymalną rozdzielczość symultaniczną w przestrzeni przestrzennej i częstotliwościowej , tj . Funkcja Gaussa osiąga minimum relacji niepewności jako (jedyna) funkcja okna , przy czym wariancja funkcji okna w przestrzeni przestrzennej (niepewność przestrzenna) i odpowiednio Określa przestrzeń częstotliwości (niepewność częstotliwości). Prowadzi to bezpośrednio do wzajemnego związku między rozmyciem, a zatem stanowi ważny kompromis . Oznacza to, że aby podwoić rozdzielczość w przestrzeni przestrzennej, należy zaakceptować zmniejszenie o połowę rozdzielczości w przestrzeni częstotliwości i odwrotnie. ${\ displaystyle \ sigma _ {g} ^ {2} \ cdot \ sigma _ {G} ^ {2} \ geq {\ tfrac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {g} ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {G} ^ {2}}$

Filtry o niskiej szerokości pasma w dziedzinie częstotliwości są pożądane, ponieważ umożliwiają dokładne rozróżnienie między różnymi teksturami . Z drugiej strony filtry, które mają wąskie pasmo w obszarze przestrzennym, są wymagane do precyzyjnego wykrywania granic tekstury.

Inną interesującą właściwością filtrów Gabora jest to, że wydają się one dobrym przybliżeniem profili wrażliwości neuronów w korze wzrokowej , ponieważ przetwarzają sygnały specyficzne dla częstotliwości i kierunku.

Zobacz też

• Transformata Laplace'a
• Dyskretna transformata Fouriera
• Dyskretna transformacja kosinusowa
• Transformacja falkowa

literatura

• Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Gabor Analysis and Algorithms”, Birkhäuser, 1998; ISBN 0817639594
• Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Postępy analizy Gabor”, Birkhäuser, 2003; ISBN 0817642390
• Karlheinz Gröchenig: „Podstawy analizy częstotliwości i czasu”, Birkhäuser, 2001; ISBN 0817640223

linki internetowe

• Strona główna NuHAG: wiele innych linków
• Serwer Gabor