Punkty Lagrange'a

Punkty Lagrange'a od L ₁ do L ₅ w układzie gwiazdy centralnej (żółtej) i planety (niebieskiej): L ₄ biegnie przed planetą, L ₅ za nią

Ekwipotencjalne linie w polu grawitacyjnym w systemie odniesienia współbieżnej są zasysane fioletowy jako model gumowa. Przekrój w płaszczyźnie obwodowej, stosunek mas 1:10, tak aby L ₁ i L _{2 były} wyraźnie rozdzielone.

W Lagrange'a punktów lub libracji punkty (od łacińskiego librare „aby zachować równowagę”) pięć punktów w układzie dwóch ciał niebieskich (np gwiazdy i planety na orbicie go ), w którym światło ciała (takie jak asteroidy lub sonda kosmiczna ) nie napędza bardziej masywnego ciała niebieskiego, które może okrążać ciało niebieskie, przez co ma taki sam okres obiegu jak ciało niebieskie o mniejszej masie i nie zmienia swojego położenia względem tych dwóch. W przypadku sztucznego ciała jest to wtedy satelita wokół masywniejszego ciała niebieskiego, ale żadnego satelity wokół ciała niebieskiego o mniejszej masie.

Mówiąc matematycznie, punkty Lagrange'a są punktami równowagi ograniczonego problemu trzech ciał . Ogólny problem trzech ciał w mechanice nieba można rozwiązać numerycznie tylko w przybliżeniu. Z ograniczeniem, że trzecie ciało ma znikomą masę, Leonhard Euler i Joseph-Louis Lagrange znaleźli pięć rozwiązań analitycznych : W punktach nazwanych na cześć Lagrange'a L ₁ do L ₅ , trzecie ciała mogą spoczywać bez użycia siły. Są to zera pola grawitacyjnego w wirującym układzie odniesienia, w którym spoczywają również dwa ciężkie ciała niebieskie (np. Słońce i planeta). Oznacza to, że siły grawitacyjne dwóch ciał na próbce są niwelowane przez siłę odśrodkową (z powodu obrotu układu odniesienia). W nieobrotowym układzie odniesienia punkty Lagrange'a biegną synchronicznie z dwoma ciałami niebieskimi po kołowych torach wokół wspólnego środka ciężkości.

L ₁ L ₃ jest stabilna w stycznym kierunku i niestabilne w kierunku promieniowym , a tym samym niestabilny ogólnej. L ₄ i L ₅ , z drugiej strony, są Lapunow stabilny : Jeżeli próbka znajduje się w okolicy punktu Lagrange, pozostaje na zamkniętej ścieżce w tej dziedzinie. Decydującym elementem jest siła Coriolisa , która poza tym środowiskiem jest znikoma .

Lokalizacja punktów Lagrange

Wszystkie pięć punktów Lagrange'a leży w płaszczyźnie orbity dwóch ciężkich ciał. Trzy leżą na linii łączącej dwa ciała, czwarte i piąte tworzą z dwoma ciałami punkty narożne trójkąta równobocznego (poza poprawkami relatywistycznymi) . Dla niebiesko-żółtej pary ciał niebieskich na powyższej grafice jako przykład posłużyło Słońce i Ziemia .

Punkt Lagrange'a L ₁

Temperatura wewnętrzna Lagrange'a L ₁ znajduje się pomiędzy dwoma korpusami pod uwagę ich linii połączenia. Ciało krążące wokół Słońca na orbicie Ziemi normalnie miałoby większą prędkość orbitalną niż Ziemia. Jednak na skutek grawitacyjnego przyciągania ziemi, grawitacyjne przyciąganie słońca do ciała jest osłabione (obie siły działają przeciwstawnie), tak że w L ₁ synchroniczna prędkość obrotu jest wystarczająca dla równowagi sił. Ten punkt znajduje się około 1,5 miliona km od Ziemi w kierunku Słońca, co odpowiada około czterokrotnej odległości między Ziemią a Księżycem.

Sonda kosmiczna ACE na orbicie wokół L ₁

Przykłady

• Wewnętrzny punkt Lagrange'a L ₁ w układzie Słońce-Ziemia służy jako „podstawa” do obserwacji Słońca. Sonda ISEE-3 wyruszyła tam już w 1978 roku i krążyła wokół niej do 1982 roku. Była to pierwsza sonda, która okrążyła punkt Lagrange'a. Sonda obserwacji Słońca SOHO okrąża go z pakietem dwunastu przyrządów pomiarowych od 1995 roku . Z punktu widzenia układu odniesienia, który porusza się wraz z ruchem Ziemi, SOHO okrąża punkt Lagrange'a raz w ciągu sześciu miesięcy na odległość około 600 000 km, aby nie przeszkadzało mu słońce podczas komunikacji i aby uniknąć zbytniego wysiłek na korekty orbity. Advanced Composition Explorer (ACE) do badania cząstek z wszystkich możliwych źródeł w uniwersum (w tym słońcu ) został orbicie L ₁ od początku 1998 roku Genesis sondy kosmicznej z instrumentów badając wiatr słoneczny i uchwycenie jego cząstki tam od 2001 do pozycjonowania w 2004. Od 2015 roku Deep Space Observatory klimatu , a od roku 2016 LISA Pathfinder były w Lissajous orbicie wokół punktu Lagrange'a L ₁ .
• Wewnętrzny punkt Lagrange'a L ₁ Ziemi i Księżyca znajduje się średnio około 58 000 km od środka masy Księżyca w kierunku Ziemi, patrząc z Ziemi około 6/7 odległości między dwoma ciałami niebieskimi. ARTEMIS, rozszerzenie misji NASA THEMIS , doprowadziło między innymi do punktu Lagrange'a L ₁ na Ziemi i Księżycu.

L ₁ i L ₂ w układzie Ziemia-Księżyc, wierne skali

Punkt Lagrange'a L ₂

Pozycja L ₂ słońca i ziemi

Zewnętrzny punkt Lagrange'a L ₂ znajduje się za mniejszym z dwóch dużych ciał na ich linii łączącej. Przyczyną jest podobny skutek jak w przypadku L ₁ . Normalnie okres orbitalny byłby dłuższy niż w przypadku Ziemi poza orbitą ziemską. Dodatkowe przyciąganie ziemi (siły Słońca i ziemi na ciele są wyrównane) powoduje jednak krótszy okres obrotu, który w L _{2 jest} z kolei równy okresowi obrotu ziemi. Punkt ten znajduje się w odległości ok. 1,5 mln km poza orbitą Ziemi.

Przykłady

• Punkt L ₂ układu Słońce-Ziemia oferuje korzyści dla teleskopów kosmicznych . Ponieważ ciało w L _{2 zachowuje} swoją orientację względem Słońca i Ziemi, osłona go przed promieniowaniem słonecznym jest tam znacznie łatwiejsza niż na orbicie okołoziemskiej. Sonda WMAP (wmap), które zbadano w kosmicznym promieniowanie z Big Bang był na orbicie wokół L ₂ punkcie systemu słońcem ziemi. We wrześniu 2009 roku ESA umieściła tam teleskop na podczerwień Herschel i teleskop Planck w celu zbadania promieniowania tła. Astrometryczna sonda kosmiczna ESA Gaia krąży wokół L ₂ od stycznia 2014 roku . W dniu 13 lipca 2019 rozpoczęła się rosyjska Proton rakietę do teleskopu rentgenowskiego eROSITA L ₂ pozycji. Nawet James Webb Space Telescope jest dla L ₂ przewidzianym.
• Zewnętrzny punkt Lagrange'a Ziemi i Księżyca znajduje się średnio około 64 500 km od środka masy Księżyca w kierunku od Ziemi. Te misje ARTEMIS z NASA w 2011 roku doprowadziły między innymi do punktu Lagrange'a L ₂ ziemi i księżyca. 2018 objął Queqiao , satelitę przekaźnikowego chińskiej misji Chang'e-4 , orbitę halo wokół L ₂ a.

Punkt Lagrange'a L ₃

Punkt Lagrange'a L ₃ znajduje się (patrząc z mniejszego ciała) za większym ciałem na linii łączącej nieco poza orbitą mniejszego z dwóch ciał. W przypadku Słońce-Ziemia, trzeci punkt Lagrange'a znajduje się po przeciwnej stronie Słońca, około 190 km dalej od Słońca niż Ziemia. W tym momencie (wyprostowane) połączone siły grawitacyjne Ziemi i Słońca powodują okres rotacji, który jest taki sam jak Ziemi.

przykład

• Punkt L ₃ był popularnym miejscem w książkach i komiksach science fiction za hipotetyczną (niewidoczną dla nas ze względu na słońce) „ przeciwziemię ”. Jednakże, ponieważ masa „przeciwziemi” o tej samej masie w układzie nie mogła być dłużej lekceważona, był to nieco inny problem trzech ciał i L ₃ leżałaby dokładnie na orbicie Ziemi ze względu na symetrię .

Punkty Lagrange'a L ₄ i L ₅

Każdy z tych dwóch punktów Lagrange'a znajduje się w trzecim punkcie trójkąta równobocznego, którego linia bazowa jest linią łączącą dwa duże ciała. L ₄ jest w kierunku obrotu mniejszego z dwóch dużych ciał przed nim, L ₅ za nim.

Jeśli dwa duże ciała mają bardzo różne masy, L ₄ i L _{5 znajdują się w} przybliżeniu na orbicie ciała średniej wielkości, 60° przed nim lub za nim.

W przeciwieństwie do L ₁ , L ₂ i L ₃ L ₄ i L _{5 jest} stabilna; H. Ciała mogą przebywać w ich pobliżu na stałe, nawet bez korekcji orbity. Dlatego w tych punktach można spodziewać się obiektów naturalnych. Jeśli punkt L ₄ lub L ₅ nie _jest dokładnie trafiony, odpowiedni obiekt opisuje orbitę wokół punktu Lagrange'a. W rzeczywistości w pobliżu L ₄ i L _{5 znajduje} się duża liczba obłoków pyłu i małych ciał, zwłaszcza na orbitach dużych planet. Astronomowie nazywają również asteroidy lub księżyce w pobliżu tych punktów Trojanami lub księżycami Trojan . 2010 TK _7, odkryta w 2010 roku, znajduje się na orbicie wokół L ₄ Ziemi .

Przykłady

• Jupiter Trojan W pobliżu punktów L ₄ i L ₅ z Jupiter , Trojan (tak zwane po raz pierwszy w Jupiter) są grupą asteroid. Mają taki sam okres obiegu jak Jowisz, ale przeciętnie biegną 60° przed lub za nim i okresowo okrążają punkty L ₄ i L ₅ szerokimi łukami. Do tej pory znanych jest odpowiednio ponad 3600 i 2000 trojanów w L ₄ i L ₅ i są one odnotowane na listach planetoid Centrum Minor Planet , ich łączną liczbę szacuje się na kilkadziesiąt tysięcy. Pierwszy trojan (588) Achilles został odkryty przez Maxa Wolfa w 1906 roku . Zdecydowanie największym koniem trojańskim jest prawdopodobnie (624) Hektor , odkryty w 1907 roku , asteroida o nieregularnym kształcie o wymiarach 416 km × 131 km × 120 km. Trojany Jowiszowe w rejonie punktu Lagrange'a L ₄ są również znane jako Grecy.

• Trojany z innych planet: W 1990 Mars Trojan został również odkryte w punkcie Libracja L ₅ z Marsa , który został ochrzczony (5261) Eureka . W międzyczasie, cztery kolejne Marsjanie trojany zostały odkryte, jeden z nich w L ₄ pkt. Pod koniec 2001 roku znaleziono trojana 60 stopni przed Neptunem . Zdjęcie wykonane 4-metrowym teleskopem zwierciadlanym na Cerro Tololo otrzymało prowizoryczną nazwę 2001 QR ₃₂₂ , ale zostało "zabezpieczone" dopiero po roku. Podobnie jak Neptun, krąży wokół Słońca przez 166 ziemskich lat. W 2010 roku po raz pierwszy wykryto trojana Neptuna w punkcie Lagrange'a L ₅ , 60° za Neptunem, w 2008 roku LC ₁₈ . Ponadto w 2011 QF ₉₉ znaleziono trojana uranowego w L ₄ .

• Towarzysz Ziemi: W 2010 roku astronomowie z Uniwersytetu Athabasca w Kanadzie odkryli jedynego znanego konia trojańskiego dla Ziemi , asteroidę 2010 TK ₇ . Odkrycie opublikowano w lipcu 2011 roku. Porusza się wokół punktu Lagrange'a L ₄ .
  W latach pięćdziesiątych w punktach L ₄ i L ₅ układu Słońce-Ziemia znaleziono chmury pyłu . W punktach L ₄ i L ₅ układu ziemia-księżyc znaleziono również bardzo słabe chmury pyłu, chmury Kordylewska , które są nawet słabsze niż słaby przeciwny blask. Jednak istnieją pewne asteroidy, które poruszają się wokół Słońca w tzw orbicie podkowy wraz z ziemią (czyli średni okres orbita jednego roku). Przejście od trojana do podkowy jest płynne: jeśli odległość trojana do punktu L ₄ lub L ₅ jest zbyt duża, to na orbicie ziemskiej przetnie punkt przeciwny do ziemi, a następnie w kierunku drugiego Lagrange'a. W szczególności godna uwagi jest orbita asteroidy 2002 AA ₂₉ (obiekt o średnicy poniżej 100 m) odkrytej 9 stycznia 2002 r. za pomocą automatycznego monitoringu nieba LINEAR ( Lincoln Near Earth Asteroid Research ). Okrąża Słońce po orbicie bardzo podobnej do orbity ziemskiej, przez co opisuje łuk o prawie 360 ​​° wzdłuż orbity Ziemi na przestrzeni 95 lat, widziany z układu odniesienia, który porusza się wraz z ruchem Ziemi, który odchyla się do tyłu ponownie za 95 lat. Kształt łuku przypomina podkowę , stąd nazwa podkowa. Najbardziej stabilna obecnie znana podkowa towarzysza ziemi ma (419624) 2010 SO ₁₆ .

• Księżyce (co-orbitalne księżyce trojańskie ): Inne trojany są w księżycowej systemu z Saturna . Tak więc księżyc Saturna Tethys ma małe księżyce Telesto w swoim punkcie L ₄ - i Calypso w swoim punkcie L ₅ ; Saturn księżyca Dione ma księżyce Helene i Polydeuces w L ₄ i L ₅ punkcie.

Uproszczony model Lagrange

Model dla punktów Lagrange'a L ₁ do L ₃

Pozycje można wyprowadzić analitycznie, jeśli ułoży się trzy masy na obracającej się linii i zażąda od każdej z trzech mas, aby przyciąganie grawitacyjne pozostałych dwóch mas utrzymywało je na ścieżce kołowej. Prowadzi to jednak do równań piątego stopnia .

Przybliżone rozwiązania tych równań to (błąd w układzie Słońce-Ziemia około 0,33%, w układzie Ziemia-Księżyc do 6%):

${\ displaystyle \ textstyle l_ {1} = r \ po lewej (1 - {\ sqrt [{3 \,}] {\ frac {\ mu} {3}}} \ po prawej)}$

${\ displaystyle \ textstyle l_ {2} = r \ po lewej (1 + {\ sqrt [{3 \,}] {\ frac {\ mu} {3}}} \ po prawej)}$

${\ displaystyle \ textstyle l_ {3} = - r \ po lewej (1 + {\ frac {5 \ mu} {12}} \ po prawej)}$

z odległością między dwoma ciałami z masami, a także . , i są (ze znakiem) odległościami odpowiednich punktów Lagrange'a od cięższego ciała masy . ${\ styl wyświetlania r}$${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania M}$${\ displaystyle \ textstyle \ mu = {\ frac {m} {m + M}}}$
${\ styl wyświetlania l_ {1}}$${\ styl wyświetlania l_ {2}}$${\ styl wyświetlania l_ {3}}$${\ styl wyświetlania M}$

Model dla punktów Lagrange'a L ₄ i L ₅

Jeśli pozwolisz trzem bryłom o tej samej masie obracać się wokół siebie po wspólnej kołowej ścieżce, środek masy i środek ciężkości układu znajdują się w środku kołowej ścieżki. Przy pewnej prędkości kątowej, która zależy od odległości między masami, każde z trzech ciał jest wolne od sił, a układ jest w równowadze. Bezpośrednie oddziaływanie grawitacyjne trzech ciał na siebie jest zrównoważone, gdy trzy ciała znajdują się w tej samej odległości od siebie na torze kołowym. Ale może tak być tylko w przypadku trójkąta równobocznego . Tam kąt poszczególnych boków jest równy i wynosi 60°.

Jeśli teraz zmienisz masy, to wspólny środek ciężkości, wokół którego obraca się układ, zostanie przesunięty w kierunku najcięższej masy. Nie ma to wpływu na właściwość, że trójkąt jest równoboczny, a co za tym idzie kąty mas są względem siebie o 60°.

Zatem odległość do dwóch punktów Lagrange'a L ₄ i L _{5 jest} równa odległości między dwoma ciężkimi ciałami niebieskimi r , a odległość do punktu bazowego lub współrzędna x i odległość boczna lub współrzędna y są równe

${\ displaystyle \ textstyle l_ {x} = r \ cos (60 ^ {\ circ}) = r / 2}$

${\ displaystyle \ textstyle l_ {y} = r \ sin (60 ^ {\ circ}) = r {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$

Wyprowadzenie punktów libracji przez Lagrange

Przy porównywalnie dużych masach trzy ciała w układzie rotacyjnym zazwyczaj poruszają się wokół siebie chaotycznie . Wygląda inaczej, jeśli masa trzech ciał jest taka sama lub jedno z trzech ciał jest bardzo małe w porównaniu z pozostałymi dwoma. Lagrange rozważył ten drugi przypadek. Pierwsza z kolei może być wykorzystana jako wprowadzenie do zrozumienia efektu, który prowadzi do równowagi w drugim przypadku:

W swoim wyprowadzeniu Lagrange założył, że jedno z ciał powinno mieć pomijalnie małą masę, tak że środek masy wyznaczają tylko dwa cięższe ciała i leży między nimi; również, że dwie cięższe mają znacząco różne masy, tj. zasadniczo ta o średniej masie (planeta) krąży wokół najcięższej (słońce). Oprócz tego, że nawet jeśli jedno z dwóch masywnych ciał jest wyraźnie najcięższe (słońce), ten środek masy jest wyraźnie wypchnięty ze swojego środka. Oznacza to między innymi, że ciało o największej masie (słońce), ze względu na oddziaływanie z drugim najcięższym ciałem (planetą), porusza się znacznie wokół wspólnego środka masy. Dokładnie wtedy i proporcjonalnie do tego przesunięcia środka masy zdarza się, że dwa masywne ciała mogą oddziaływać poza środek ciężkości z przeciwnych kierunków na najmniejsze ciało w rozpatrywanym układzie - podobnie jak układ rotacji rozważany na początku z trzema równie duże masy, tyle że kąt, pod którym najcięższe ciało (słońce) działa na obserwowane małe ciało poza środkiem masy, jest ekstremalnie mały (ale nie równy 0 ).

Teraz okazuje się, że w przypadku stosunkowo dużych stosunków masy, po pierwsze, powstaje stabilna ścieżka trzech ciał, a po drugie, konstrukcja zawsze pozostaje tym trójkątem równobocznym, niezależnie od wskaźnika masy betonu (tylko, że znajduje się wokół środka grawitacja blisko słońca zamiast dokładnie w środku trzech krążących ciał).

Model nie jest łatwy do zastosowania w układach wieloplanetarnych, takich jak nasz Układ Słoneczny. O odchyleniu Słońca wokół jego środka decyduje głównie Jowisz . Ta planeta jest wówczas również jedyną , która zgromadziła pewną liczbę cząstek masowych wokół swoich punktów Lagrange'a L ₄ i L ₅ . W związku z tym wszystkie inne planety odchylają Słońce tylko w ułamku, tak że z ich punktu widzenia na ruch Słońca nakłada się chaotyczna funkcja o dużej amplitudzie w stosunku do modelu Lagrange'a. Jednak ze względu na efekty statystyczne (różne częstotliwości orbitalne) i liniową superpozycję punkty Lagrange'a mogą mieć również wpływ na mniejsze planety.

Stabilność punktów Lagrange'a

Jakościowy wykres konturowy potencjału efektywnego V _eff (x ₃ , y ₃ ) dla masy testowej 3 w układzie planety (ziemia) i jej gwiazdy centralnej (słońca), we wspólnej płaszczyźnie przez ciała niebieskie.

Pierwsze trzy punkty Lagrange'a są stabilne tylko w odniesieniu do odchyleń prostopadłych do linii łączącej między dwoma dużymi ciałami, podczas gdy są niestabilne w odniesieniu do odchyleń w kierunku tej linii łączącej. Najprostszym sposobem, aby zobaczyć to, patrząc na L ₁ punkt. Siła działa z powrotem do punktu równowagi (w kierunku y: przyciągająca siła efektywna) na masę testową, która jest usuwana z L ₁ wzdłuż jednej z czerwonych strzałek prostopadłych do linii łączącej. Powodem tego jest to, że poziome składowe siły dwóch dużych ciał znoszą się nawzajem, podczas gdy ich pionowe składowe siły sumują się. Z drugiej strony, jeśli obiekt zostanie przesunięty nieco bliżej jednego z pozostałych dwóch ciał z punktu L ₁ (niebieskie strzałki!), siła grawitacyjna ciała, do którego dotarł, jest większa: dlatego porusza się od punktu równowagi (w kierunku x: skuteczna siła odpychająca). Obiekt zachowuje się podobnie jak kula na powierzchni siodła , której głębsze obszary wskazują na dwa duże ciała.

Punkty L ₁ i L ₂ są zatem niestabilne, ale nadal przydatne, ponieważ małe manewry korekcyjne sondy kosmicznej wystarczą, aby je tam utrzymać. Bez tego odejdzie od tych punktów.

W przeciwieństwie do tego, stabilne orbity wokół L ₄ i L ₅ są możliwe, pod warunkiem, że stosunek mas dwóch dużych ciał jest większy niż 24,96. Jeśli małe ciało znajdujące się w tych punktach jest lekko odchylone, siła Coriolisa, z punktu widzenia układu odniesienia, w którym spoczywają punkty Lagrange'a, wprowadza je na orbitę w kształcie nerki wokół tego punktu. W związku z tym pozostaje blisko tych punktów, nawet bez manewrów naprawczych.

Zobacz też

• Obiekt współrzędnych
• Prawa Keplera
• Określanie orbity
• Rezonans kolejowy
• Orbita halo
• Kula wzgórza
• Orbita Lissajous
• Granica Roche

literatura

• Martin Hechler: Orbity teleskopów kosmicznych Herschela i Plancka. W: Gwiazdy i przestrzeń. Heidelberg 47.2008, nr 1 (styczeń), s. 48-55. ISSN  0039-1263
• Claudio Maccone: Strona nie jest już dostępna , szukaj w archiwach internetowych: Obrona planetarna z najbliższych 4 punktów lagrange'a oraz radioastronomia bez fal radiowych z drugiej strony Księżyca. Jednolita wizja. Acta Astronautica, tom 50, wydanie 3, luty 2002, s. 185-199. doi : 10.1016 / S0094-5765 (01) 00176-X@1@2Szablon: Dead Link / www.seti-italia.cnr.it

linki internetowe

Wikisłownik: Librationspunkt  - wyjaśnienia znaczeń, pochodzenie słów, synonimy, tłumaczenia

• Czy można zaparkować w kosmosie? z serialu alfa-Centauri (ok. 15 minut). Pierwsza emisja 28 kwietnia 2004 r.
• Michael Khan: Punkty Lagrange'a? Co, proszę? Na stronie: scilogs.de.
• Stefan Deiters: Genesis: Droga ekspresowa przez Układ Słoneczny. Na stronie: astronews.com.
• Neil J. Cornish: Punkty Lagrange'a. Pod adresem : nasa.gov. Artykuł na ten temat z prostymi wzorami i diagramami (angielski; PDF; 171 kB).
• Neil J. Cornish: Punkty Lagrange'a. Montana State University 21 maja, 1999; zarchiwizowane z oryginałem na 8 maja 2015 roku ; udostępniono 6 listopada 2017 r .  Artykuł o punktach Lagrange'a z dodatkowymi linkami.
• Symulacje grawitacyjne. Na stronie: princeton.edu. Program do symulacji systemów wielociałowych ( aplet Java ).

Indywidualne dowody

1. ↑ ZF Seidov: Problem Roche'a: niektóre analizy. W: The Astrophysical Journal. 603: 283-284, 1 marca 2004 r.
2. ↑ ^{a b} Jerome Pearson, Eugene Levin, John Oldson, Harry Wykes: Lunar Space Elevator. (PDF; 365 kB), STAR Inc., Mount Pleasant, SC USA, 55. Międzynarodowy Kongres Astronautyczny, Vancouver, Kanada, 4-8 października 2004 r.
3. ↑ ^{a b} Notacja i liczby. Grawitacja 4: Punkty Lagrange'a.
4. ^ ^B Mark A. Woodard, David C. Folta Dennis W. Woodfork: ARTEMIS: pierwszej misji księżycowego libracji orbitach. Międzynarodowe Sympozjum Dynamiki Lotów Kosmicznych, styczeń 2009 r.
5. ↑ Wiadomości ESA: ESA w drodze do początków Wszechświata. Źródło 15 maja 2009 . 
6. ↑ Gaia wchodzi na orbitę operacyjną. ESA News, 8 stycznia 2014, dostęp 8 stycznia 2014 . 
7. ↑ Uruchomienie eROSITA zwiastuje nową erę w astronomii rentgenowskiej. W: Instytut Fizyki Pozaziemskiej im . Maxa Plancka . 13 lipca 2019, dostęp 22 grudnia 2020 .  
8. ↑ Luyuan Xu: Jak chiński satelitarny przekaźnik satelitarny dotarł na swoją ostateczną orbitę. W: Towarzystwo Planetarne . 25 czerwca 2018, w archiwum z oryginałem na 17 października 2018 roku ; dostęp 22 grudnia 2020 r. (w języku angielskim). 
9. ↑ Lista trojanów Jupiter . W: minorplanetcenter.net. 8 grudnia 2020 r.
10. ↑ cib / dapd: asteroida trojańska: Astronomowie znajdują kolejnych towarzyszy na Ziemi. W: Der Spiegel (online) . 27 lipca 2011, dostęp 22 grudnia 2020 .  
11. ↑ Ziemska asteroida trojańska. W: Nature 475, 481-483, doi: 10.1038 / nature10233 .