Prawa Keplera

Graficzne podsumowanie trzech praw Keplera:
1. Dwie orbity eliptyczne ze Słońcem w ognisku F ₁ .
F ₂ i ₁ to drugi punkt centralny lub główna półoś dla Planety1, F ₃ i ₂ dla Planety2.
2. Dwa szare sektory A ₁ i A ₂ , które mają ten sam obszar, są omiatane w tym samym czasie.
3. Kwadraty czasów orbity Planety1 i Planety2 zachowują się jak a ₁ ³  : a ₂ ³ .

Trzy prawa Keplera są podstawowymi prawami orbity planet wokół Słońca. Johannes Kepler odnalazł go na początku XVII wieku, kiedy próbował dostosować system heliocentryczny według Kopernika do precyzyjnych obserwacji astronomicznych Tycho Brahe . Pod koniec XVII wieku Isaac Newton był w stanie wyprowadzić prawa Keplera w mechanice klasycznej, którą założył jako dokładne rozwiązanie problemu dwóch ciał, gdy istnieje przyciąganie między dwoma ciałami, które zmniejsza się wraz z kwadratem odległości. Prawa Keplera to:

Pierwsze prawo Keplera

Planety poruszają się po orbitach eliptycznych . Słońce znajduje się w jednym z jego centralnych punktów.

Drugie prawo Keplera

Wiązka ciągnięta od Słońca do planety obejmuje jednocześnie obszary tej samej wielkości.

Trzecie Prawo Keplera

Te kwadraty czasów orbitalnych dwóch planet zachowywać się jak kostki (trzeci uprawnienia ) głównego semiaxes ich elips orbitalnych .

Prawa Keplera odnoszą się do planet Układu Słonecznego z dobrym przybliżeniem. Odchylenia pozycji na niebie są zwykle mniejsze niż jedna minuta kątowa , czyli ok. 1/30 średnicy pełni księżyca. Są one znane jako zakłócenia orbitalne i opierają się głównie na fakcie, że planety nie tylko są przyciągane przez słońce, ale również przyciągają się nawzajem. Co więcej, znacznie mniejsze poprawki można obliczyć zgodnie z ogólną teorią względności .

Prawa Keplera stanowiły istotny krok w przejściu nauki od średniowiecza do nowożytnej i do dziś mają fundamentalne znaczenie w astronomii .

historia

Punkt wyjścia Keplera

Kepler był przekonany o heliocentrycznym systemie Kopernika (1543), ponieważ był on koncepcyjnie prostszy i akceptował mniej zakładanych okręgów i parametrów niż geocentryczny system Ptolemeusza, który dominował od około 150 rne. System kopernikański umożliwił też dalsze pytania, bo po raz pierwszy, bez stawiania kolejnych hipotez, po raz pierwszy jasno określono wielkość wszystkich orbit planet w stosunku do wielkości orbity Ziemi . Kepler przez całe życie szukał głębszego wyjaśnienia tych proporcji. Wtedy też stało się jasne, że planety nie mogą być poruszane przez nieruchome, obracające się kryształowe kule w określony sposób wzdłuż ich deferentów i epicykli , ponieważ zgodnie z obserwacjami Tycho Brahe na komecie z 1577 roku, powinna była przebić kilka takich powłok. Najwyraźniej planety same odnalazły drogę w kosmosie. Ich prędkości, które można było określić na podstawie wielkości ich orbity i czasu orbitalnego, były również sprzeczne z filozoficznymi założeniami systemu Ptolemeusza. Wiadomo było, że nie pozostały one stałe na ścieżce, ale teraz, podobnie jak kształt ścieżek, domagały się nowego wyjaśnienia. Wszystko to skłoniło Keplera do podjęcia decydującego kroku w astronomii, do przyjęcia „fizycznych” przyczyn ruchu planet, czyli takich, które zostały już ujawnione podczas badania ruchów Ziemi. W ten sposób zaprzeczył dotychczas świętej arystotelesowskiej doktrynie o fundamentalnej opozycji między niebem a ziemią i wniósł znaczący wkład w zwrot kopernikański .

Aby to dokładniej zbadać, najpierw trzeba było określić rzeczywiste orbity planet. W tym celu Kepler miał dostęp do danych z dziesięcioleci obserwacji nieba Tycho, które po raz pierwszy od czasów starożytnych były nie tylko znacznie dokładniejsze (maksymalna niepewność około dwóch minut kątowych), ale także rozciągały się na duże części orbit planet. Oceniając te dane, Kepler po raz pierwszy konsekwentnie kierował się naczelną zasadą, że fizyczna przyczyna ruchów planet leży w słońcu, a w konsekwencji nie w fikcyjnym punkcie zwanym „ środkowym słońcem ” (wprowadzonym przez Ptolemeusza i umieszczonym w pustym centrum tego okręgu przez Kopernika, który przypisał ziemi), ale w prawdziwym fizycznym słońcu. Wyobraził sobie, że słońce działa na planety jak magnes, a także szczegółowo wykonał to zdjęcie.

W swojej pracy Kepler przełamywał nowe drogi także w inny sposób. Za punkt wyjścia do analizy orbit, w przeciwieństwie do wszystkich wcześniejszych astronomów, nie przyjął on jednostajnego ruchu kołowego zalecanego przez filozofów od czasów Platona i Arystotelesa, do którego następnie dodano dalsze jednostajne ruchy kołowe, aby poprawić zgodność z pozycje planet obserwowane na niebie ( teoria epicykliczna ). Próbował raczej zrekonstruować rzeczywiste orbity i zmienną prędkość, z jaką planety biegną po nich bezpośrednio z obserwacji nieba.

Po trzecie, Kepler dokonał przełomu w sposobie prezentacji swojej twórczości. Do tego czasu astronomowie mieli zwyczaj opisywać swój pogląd na świat w stanie w pełni rozwiniętym. Wyjaśniali, jak budować go kawałek po kawałku, podając uzasadnienia filozoficzne lub teologiczne dla każdego z niezbędnych indywidualnych założeń. Z kolei Kepler krok po kroku opisał rzeczywisty postęp swojej wieloletniej pracy, w tym okresowe porażki spowodowane nieodpowiednim podejściem. W 1609 r. opublikował pierwszą część swoich wyników jako Astronomia Nova ze znaczącym dodatkiem w tytule (przetłumaczonym) „Nowa astronomia, przyczynowo ufundowana, czyli fizyka nieba, [...] według obserwacji szlachcica Tycho Brahe ”. Praca kończy się dwoma pierwszymi prawami Keplera, z których każde odnosi się do jednej orbity planetarnej. Głębsze wyjaśnienie Keplera dotyczące całego układu i relacji między orbitami planet pojawiło się w 1619 roku pod tytułem Harmonices mundi („Harmonie świata”). Jest w nim propozycja, która później stała się znana jako trzecie prawo Keplera.

Podejście Keplera

Pierwszym rezultatem pracy Keplera było to, że ani system ptolemejski, ani system kopernikański nie były w stanie odtworzyć pozycji planet z wystarczającą dokładnością, nawet po poprawie poszczególnych parametrów, m.in. B. mimośrody . Jednak nadal używał tych modeli jako przybliżenia, aby wybrać z obserwacji Tycho te, które byłyby najbardziej odpowiednie do dokładniejszego scharakteryzowania orbit. Odkrył więc, że ekscentryczne orbity Marsa i Ziemi względem gwiazd stałych (z wystarczającą dokładnością) pozostają stałe, że każda z nich biegnie w płaszczyźnie, w której znajduje się Słońce, i że obie płaszczyzny są lekko nachylone do siebie.

Tak więc Kepler mógł założyć, że Mars, chociaż jego dokładna orbita była wciąż nieznana, przyjmie tę samą pozycję w przestrzeni po każdej ze swoich orbit wokół Słońca, nawet jeśli pojawia się w różnych pozycjach niebieskich, gdy patrzy się z Ziemi, ponieważ wtedy każda ziemia Czasami znajduje się w innym miejscu na swojej drodze. Na tej podstawie wstępnie wyznaczył orbitę Ziemi z około czterocyfrową dokładnością. Na tej podstawie ocenił inne obserwacje Marsa, w których odchylenia od toru kołowego są wyraźniejsze niż w przypadku Ziemi. Gdy po wielu niepowodzeniach i długich próbach nie mógł wycisnąć maksymalnego błędu położenia Marsa na niebie poniżej ośmiu minut kątowych (około 1/4 średnicy pełni księżyca), podjął kolejną próbę i stwierdził – na wpół przypadkiem – że Orbita Marsa była najlepsza przez elipsę, która ma być odtworzona ze słońcem w jednym z jego ogniskowych. Ten wynik został również potwierdzony na orbicie Ziemi, a także zgadzał się z wszystkimi innymi planetami obserwowanymi przez Tycho. Kepler wiedział, że eliptyczny tor również może składać się dokładnie z dwóch ruchów okrężnych, ale nie rozważał dalej tej możliwości. Aby dokładnie odwzorować ruch, te ruchy okrężne musiałyby przebiegać wokół odpowiednich punktów środkowych ze zmienną prędkością, dla której nie widać żadnego fizycznego powodu:

W kolejnych poszukiwaniach prawa całej struktury Układu Słonecznego, które z kolei trwały około dekady, Kepler realizował ideę harmonii leżącej u podstaw planu stworzenia, która – podobnie jak w przypadku harmonii w muzyce – należy znaleźć w prostych zależnościach liczbowych. Swoje wyniki opublikował w 1619 r. jako Harmonice mundi („Harmonie Świata”). Dla późniejszej astronomii trwałej wartości ma jedynie krótka wiadomość (w księdze 5 pracy), zgodnie z którą kwadraty czasów orbitowania wszystkich planet są w takim samym stosunku, jak (we współczesnych słowach) trzecie potęgi półosi ich elips orbitalnych.

Kepler szukał również fizycznego wyjaśnienia, w jaki sposób Słońce może oddziaływać na planety, powodując obserwowane ruchy. Jego refleksje na temat oddziaływania magnetycznego na odległość lub anima motrix tkwiącego w planetach pozostały jednak bezowocne. Isaac Newton był później w stanie udowodnić, że trzy prawa Keplera odtwarzają dokładne rozwiązanie ruchu ciała pod działaniem siły zgodnie z prawem grawitacji Newtona . Uważa się to za znaczący krok w rozwoju mechaniki klasycznej i całej współczesnej nauki.

Heliocentryczne i fundamentalne sformułowanie praw

Kepler sformułował prawo dla znanych mu planet . W przypadku praw obowiązuje jednak zasada kosmologiczna , ponieważ obowiązują one wszędzie we wszechświecie .

Jednak heliocentryczny przypadek Układu Słonecznego jest zdecydowanie najważniejszy, dlatego literatura często formułowana jest restrykcyjnie tylko dla planet. Są one oczywiście ważne również dla księżyców , pasa asteroid i obłoku Oorta lub pierścieni Jowisza i Saturna , dla gromad gwiazd, jak również dla obiektów na orbicie wokół centrum galaktyki oraz dla wszystkich innych obiektów w kosmosie . Stanowią również podstawę podróży kosmicznych i orbit satelitów .

Jednak w skali kosmicznej efekty relatywistyczne zaczynają wywierać coraz większy wpływ, a różnice w stosunku do modelu Keplera służą przede wszystkim jako kryterium testowe dla bardziej nowoczesnych koncepcji dotyczących astrofizyki. Na przykład mechanizmów powstawania w galaktykach spiralnych nie można już konsekwentnie odtwarzać za pomocą modelu opartego wyłącznie na prawach Keplera.

Wyprowadzenie i współczesna reprezentacja

Kepler próbował opisać ruchy planet za pomocą swoich praw. Z obserwowanych przez siebie wartości, zwłaszcza orbity Marsa, wiedział, że musi odejść od ideału orbit kołowych. W przeciwieństwie do późniejszych teoretycznych wyprowadzeń Newtona, jego prawa są zatem empiryczne. Z dzisiejszego punktu widzenia możemy jednak zacząć od znajomości grawitacji Newtona i tym samym uzasadnić słuszność praw Keplera.

Prawa Keplera można elegancko wyprowadzić bezpośrednio z teorii ruchu Newtona.

Pierwsze prawo wynika z równania Clairauta , które opisuje kompletne rozwiązanie ruchu w obrotowo symetrycznych polach sił.

Drugie prawo to geometryczna interpretacja zasady zachowania momentu pędu .

Poprzez całkowanie, równanie Keplera i stałą Gaussa , trzecie prawo wynika z drugiego lub, za pomocą hodografu, bezpośrednio z praw Newtona. Ponadto, zgodnie z zasadą podobieństwa mechanicznego , wynika to bezpośrednio z odwrotno-kwadratowej zależności siły grawitacji od odległości.

Pierwsze prawo Keplera (twierdzenie elips)

Pierwsze prawo Keplera

Orbita satelity jest elipsą . Jeden z ich centralnych punktów znajduje się w środku ciężkości układu.

Prawo to wynika z prawa ciążenia Newtona pod warunkiem, że masa ciała centralnego jest znacznie większa niż masa satelity i można pominąć wpływ satelity na ciało centralne.

Energia dla satelity o masie w newtonowskim polu grawitacyjnym Słońca o masie jest we współrzędnych cylindrycznych${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania M}$

${\ displaystyle E = E _ {\ matematyka {kin}} + E _ {\ matematyka {pot}} = {\ frac {1} {2}} m ({\ kropka {r}} ^ {2} + r ^ { 2} {\ kropka {\ phi}} ^ {2}) - {\ frac {GMm} {r}}.}$

Za pomocą momentu pędu i ${\ displaystyle L = pan ^ {2} d \ phi / dt}$

${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = {\ frac {dr} {d \ phi}} {\ frac {d \ phi} {dt}} \ \ strzałka w prawo \ {\ kropka {r}} = {\ frac {dr} {d \ phi}} {\ kropka {\ phi}}}$

pozwala na równanie energii

${\ displaystyle \ lewo ({\ frac {dr} {d \ phi}} \ po prawej) ^ {2} = 2 m {\ frac {r ^ {4}} {L ^ {2}}} \ po lewej [E + { \ frac {GMm} {r}} - {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} \ po prawej]}$

przefasonować. To równanie różniczkowe jest używane z reprezentacją współrzędnych biegunowych

${\ displaystyle r (\ phi) = {\ frac {p} {1+ \ varepsilon \ cdot \ cos \ phi}}}$

przekroju stożkowego. Odbywa się to za pomocą pochodnej

${\ displaystyle {\ frac {dr} {d \ phi}} = {\ frac {p \ varepsilon \ cdot \ sin \ phi} {(1+ \ varepsilon \ cdot \ cos \ phi) ^ {2}}}}$

a wszystkie wyrażenia, które zawierają, są tworzone przez podstawienie to ${\ styl wyświetlania \ phi}$

${\ displaystyle \ varepsilon \ cdot \ cos \ phi = {\ frac {p} {r}} - 1}$

przekształcone równanie trajektorii jest eliminowane:

${\ displaystyle {\ frac {dr} {d \ fi}} = {\ frac {r ^ {2} \ varepsilon \ cdot \ sin \ fi} {p}} \ strzałka w prawo}$

${\ displaystyle \ lewo ({\ frac {dr} {d \ phi}} \ po prawej) ^ {2} = {\ frac {r ^ {4} \ varepsilon ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ phi)} {p ^ {2}}} = {\ frac {r ^ {4}} {p ^ {2}}} \ po lewej (\ varepsilon ^ {2} - \ po lewej ({\ frac {p} {r}} - 1 \ po prawej) ^ {2} \ po prawej) = {\ frac {r ^ {4}} {p ^ {2}}} \ po lewej (\ varepsilon ^ {2} -1 + {\ frac {2p} {r}} - {\ frac {p ^ {2}} {r ^ {2}}} \ w prawo) \ Strzałka w prawo}$

${\ displaystyle p = {\ frac {({\ frac {L} {m}}) ^ {2}} {GM}} {\ tekst {i}} \ varepsilon = {\ sqrt {1 + {\ frac { 2 {\ frac {E} {m}} ({\ frac {L} {m}}) ^ {2}} {G ^ {2} M ^ {2}}}}}}$

porównując współczynniki potęg ${\ displaystyle r.}$

To rozwiązanie zależy tylko od określonej energii i określonego orbitalnego momentu pędu . Parametr i mimośród liczbowy są elementami projektu ścieżki . W przypadku, zastosowanie mają następujące zasady: ${\ styl wyświetlania E / m}$${\ styl wyświetlania L / m}$${\ styl wyświetlania p}$ ${\ styl wyświetlania \ varepsilon}$${\ displaystyle 0 <\ varepsilon <1 \, (E <0)}$

${\ displaystyle {\ text {Sekcja stożkowa opisana przez}} r (\ phi) {\ tekst {jest elipsą.}}}$... pierwsze prawo Keplera

Opis elipsy

Główna półoś	${\ displaystyle a = {\ frac {p} {1- \ varepsilon ^ {2}}}}$
Mała półoś	${\ displaystyle b = {\ frac {p} {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2}}}}}$
Foci	${\ styl wyświetlania F_ {1} = (0,0)}$ ${\ displaystyle F_ {2} = \ po lewej (- {\ frac {2 \ varepsilon p} {1- \ varepsilon ^ {2}}}, 0 \ po prawej)}$
Perycentrum	${\ displaystyle P = \ lewo (r _ {\ matematyka {min}} = {\ frac {p} {1+ \ varepsilon}}, 0 \ po prawej)}$
Apocentrum	${\ displaystyle A = \ lewo (-r _ {\ matematyka {max}} = - {\ frac {p} {1- \ varepsilon}}, 0 \ po prawej)}$

Dwa ciała krążą wokół wspólnego środka ciężkości -
tutaj wyidealizowane kołowe ścieżki jako specjalny kształt elipsy

Jeśli (w przeciwieństwie do Keplera) nie przyjmie się za podstawę centralnie symetrycznego pola sił, ale naprzemiennie działającej grawitacji, wówczas powstają również orbity eliptyczne. Oba ciała poruszają się, jednak środek orbit stanowi wspólny środek ciężkości „ciała centralnego” i Trabantu, za fikcyjną masę centralną należy przyjąć całkowitą masę układu. Jednak wspólny środek ciężkości planet Układu Słonecznego i Słońca (barycentrum Układu Słonecznego) nadal znajduje się wewnątrz Słońca: Słońce nie spoczywa w stosunku do niego, ale raczej kołysze się nieco pod wpływem orbitujących planet ( długość słońca  ≠ 0). Z drugiej strony układ Ziemia-Księżyc wykazuje większe wahania w zakresie geometrii orbity, tutaj również środek ciężkości nadal znajduje się na Ziemi. Satelity reagują nawet na wahania pola sił, które jest nieregularne ze względu na kształt ziemi .

Chociaż prawa Keplera zostały pierwotnie sformułowane tylko dla siły grawitacyjnej, powyższe rozwiązanie dotyczy również siły Coulomba . Dla ładunków, które się odpychają, efektywny potencjał jest wtedy zawsze dodatni i uzyskuje się tylko orbity hiperboliczne.

Dla sił istnieje również zachowana wielkość, która decyduje o kierunku orbity eliptycznej, wektor Runge-Lenza , który wskazuje wzdłuż głównej osi. Niewielkie zmiany pola siłowego (zwykle spowodowane wpływem innych planet) powodują, że wektor ten powoli zmienia swój kierunek. B. można wyjaśnić peryhelium orbity Merkurego. ${\ styl wyświetlania 1 / r ^ {2}}$

Drugie prawo Keplera (twierdzenie o powierzchni)

Drugie prawo Keplera

W tym samym czasie światło drogowe przesuwa środek ciężkości obiektu nad tymi samymi obszarami.

Światła drogowego jest linia łącząca punkt ciężkości z ciał niebieskich , np B. planeta lub księżyc i środek ciężkości , z. B. w pierwszym przybliżeniu Słońca lub planety, wokół której się porusza.

Ilustracja do wyprowadzenia zestawu powierzchni z małego kroku czasowego

Proste wyprowadzenie uzyskuje się, gdy przyjrzymy się obszarom, które światło drogowe pokrywa w krótkim czasie. Na grafice po prawej Z jest środkiem siły. Trabant początkowo porusza się z punktu A do punktu B. Jeśli jego prędkość się nie zmienia, w następnym kroku czasowym przemieści się z punktu B do C. Szybko można zauważyć, że dwa trójkąty ZAB i ZBC zawierają ten sam obszar. Jeśli siła działa teraz w kierunku Z, prędkość jest odchylana o taką, która jest równoległa do wspólnej podstawy ZB dwóch trójkątów. Zamiast C Trabant ląduje w C '. Ponieważ dwa trójkąty ZBC i ZBC 'mają tę samą podstawę i tę samą wysokość, ich powierzchnia jest również taka sama. Oznacza to, że prawo obszarowe ma zastosowanie do dwóch małych segmentów czasowych i . Jeśli jeden integruje takie małe kroki czasowe (z nieskończenie czasowych etapów ), otrzymujemy twierdzenie miejsc. ${\ styl wyświetlania v}$${\ styl wyświetlania \ Delta v}$${\ styl wyświetlania [- \ Delta t, 0]}$${\ styl wyświetlania [0, \ Delta t]}$${\ styl wyświetlania \ Delta t}$

Przemiatany obszar dotyczy nieskończenie małego kroku czasowego

${\ displaystyle F (t, t + \ operatorname {d} t) = 1/2 | \ mathbf {r} (t) \ razy \ mathbf {\ kropka {r}} (t) \ operatorname {d} t | = {\ frac {L} {2m}} \ nazwa operatora {d} t}$.

Ponieważ moment pędu jest spowodowany siłą centralną

${\ displaystyle \ mathbf {\ kropka {L}} = m (\ mathbf {\ kropka {r}} \ razy \ mathbf {\ kropka {r}} + \ mathbf {r} \ razy \ mathbf {\ ddot {r }}) = m \ mathbf {r} \ razy \ mathbf {\ ddot {r}} = m \ mathbf {r} \ razy f (r) \ mathbf {r} = 0}$

jest stała, całka powierzchni jest prosta

${\ displaystyle F (t_ {0}, t) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} | \ mathbf {r} (\ tau) \ razy \ mathbf {\ kropka {r}} (\ tau) | \ nazwa operatora {d} \ tau = {\ frac {1} {2}} {\ frac {L} {m}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ nazwa operatora {d} \ tau = {\ frac {1} {2}} {\ frac {L} {m}} (t-t_ {0})}$.

Ten sam obszar zamiatania skutkuje zatem tymi samymi różnicami czasowymi . ${\ displaystyle t-t_ {0}}$

Drugie prawo Keplera definiuje zarówno podstawę geometryczną orbity astrometrycznej (jako tor w płaszczyźnie), jak i dynamikę orbity (zachowanie w czasie). Kepler sformułował prawo tylko dla orbity planet wokół Słońca, ale dotyczy to również orbit niezamkniętych . W przeciwieństwie do dwóch pozostałych praw, drugie prawo Keplera nie ogranicza się do siły grawitacji (w rzeczywistości Kepler przy swojej anima motrix przyjął również siłę), ale ma zastosowanie ogólnie do wszystkich sił centralnych i ruchów o stałym pędzie kątowym. Keplera interesował tylko opis orbit planet, ale drugie prawo jest już pierwszym sformułowaniem prawa, które znamy dzisiaj jako zachowanie momentu pędu . Drugie prawo Keplera można traktować jako specjalne sformułowanie twierdzenia o pędzie pędu, patrz także prawo wiru # powierzchni . ${\ styl wyświetlania 1 / r ^ {2}}$${\ styl wyświetlania 1 / r}$

Drugie prawo Keplera ma również dwie fundamentalne konsekwencje dla relacji ruchu w układach wielociałowych, zarówno dla układów słonecznych, jak i podróży kosmicznych: Stałość wektora normalnego orbity oznacza, że elementarna mechanika nieba jest problemem płaskim. W rzeczywistości występują tu również odchylenia ze względu na objętości ciał niebieskich, tak że masa leży poza płaszczyzną orbity i płaszczyznami orbity precesji (zmieniają swoje położenie w przestrzeni). Dlatego też nie wszystkie orbity planet leżą w jednej płaszczyźnie (idealna płaszczyzna Układu Słonecznego, ekliptyka ), wykazują raczej nachylenie, a także rotację peryhelium , a także zmienia się szerokość ekliptyczna Słońca . I odwrotnie, stosunkowo łatwo jest poruszać statkiem kosmicznym w płaszczyźnie Układu Słonecznego, ale jest to niezwykle skomplikowane, na przykład umieszczenie sondy nad biegunem północnym Słońca.

Stałość powierzchni pomocą prędkości, że urojona linia łącząca pomiędzy centralnym korpusie, dokładniej środek ciężkości dwóch ciał niebieskich, a satelity zawsze wymiata się w tym samym obszarze, w tym samym czasie. Tak więc ciało porusza się szybciej, gdy znajduje się blisko środka ciężkości, a im wolniej, im dalej się od niego znajduje. Dotyczy to na przykład ruchu Ziemi wokół Słońca, a także Księżyca lub satelity wokół Ziemi. Ścieżka przedstawia się jako ciągły swobodny spadek , kołysząc się blisko środka ciężkości i ponownie wznosząc się do najdalszego punktu kulminacyjnego ścieżki: ciało staje się coraz szybsze, ma największą prędkość w perycentrum (punkt najbliżej środka ), a następnie staje się coraz wolniejszy do apocentrum (najdalszy punkt), od którego ponownie przyspiesza. Widziana w ten sposób Keplerellipse jest szczególnym przypadkiem krzywego rzutu, który zamyka się na swojej orbicie. Zagadnienie to odgrywa kluczową rolę w fizyce kosmosu, gdzie chodzi o wygenerowanie odpowiedniej orbity z odpowiednio dobranym impulsem początkowym (poprzez start): im bardziej okrągła orbita, tym bardziej jednorodna prędkość orbitalna.

Trzecie Prawo Keplera

Reprezentacja zależności między promieniem orbity a okresem orbitalnym

Te kwadraty z czasów orbitalnych i dwóch satelitów wokół wspólnego środka są proporcjonalne do trzeciej uprawnień z głównych semiaxes i ich eliptycznych orbitach.${\ styl wyświetlania T_ {1}}$${\ styl wyświetlania T_ {2}}$ ${\ styl wyświetlania a_ {1}}$${\ styl wyświetlania a_ {2}}$

lub

Kwadraty czasów orbitalnych są w takim samym stosunku jak sześciany (trzecie potęgi) głównych półosi:

${\ displaystyle \ po lewej ({\ frac {T_ {1}} {T_ {2}}} \ po prawej) ^ {2} = \ po lewej ({\ frac {a_ {1}} {a_ {2}}} \ prawo) ^ {3}}$... trzecie prawo Keplera

Kepler wykorzystywane do średnich odległości od Słońca do połowy osi orbity (w sensie wartości średniej peryhelium odległości i apheld odległości ). ${\ styl wyświetlania a_ {1,2}}$

${\ displaystyle C = {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}}}$... trzecie prawo Keplera, sformułowanie niezależne od masy ze stałą Keplera masy centralnej ( stała grawitacyjna Gaussa Układu Słonecznego)

W połączeniu z prawem grawitacji trzecia zasada jest podana przez Keplera dla ruchu dwóch mas i postaci ${\ styl wyświetlania M}$${\ styl wyświetlania m}$

${\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} \ cdot a ^ {3} \ ok {\ frac {4 \ pi ^ {2} } {GM}} \ cdot a ^ {3}}$... trzecie prawo Keplera, sformułowanie z dwiema masami

Przybliżenie ma zastosowanie, jeśli masa jest pomijalnie mała w porównaniu do (np. w Układzie Słonecznym). Za pomocą tej postaci można wyznaczyć całkowitą masę układów podwójnych gwiazd na podstawie pomiaru okresu obrotu i odległości. ${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania M}$

Biorąc pod uwagę różne masy dwóch ciał niebieskich oraz powyższy wzór, dokładniejszym sformułowaniem trzeciego prawa Keplera jest:

${\ displaystyle \ po lewej ({\ frac {T_ {1}} {T_ {2}}} \ po prawej) ^ {2} = \ po lewej ({\ frac {a_ {1}} {a_ {2}}} \ po prawej) ^ {3} {\ frac {M + m_ {2}} {M + m_ {1}}}}$... trzecie prawo Keplera, sformułowanie z trzema masami

Oczywiście odchylenie staje się ważniejsze tylko wtedy, gdy oba satelity różnią się znacznie masą, a centralny obiekt ma masę , która nie odbiega znacząco od masy jednego z dwóch satelitów. ${\ styl wyświetlania M}$

Trzecie prawo Keplera stosuje się do wszystkich sił, które maleją kwadratowo wraz z odległością, co można łatwo wywnioskować z rozważania skali . W równaniu

${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} r} {(dt) ^ {2}}} = {\ frac {GMm} {r ^ {2}}}}$

pojawia się w trzeciej potędze i jako kwadrat. Przekształcenie skali daje zatem to samo równanie, jeśli jest. Z drugiej strony łatwo rozpoznać fakt, że analogiem Trzeciego Prawa Keplera o zamkniętych ścieżkach w polu siłowym jest dla każdego z obecnych .${\ styl wyświetlania r}$${\ styl wyświetlania t}$${\ displaystyle r '= \ alfa r, t' = \ beta t}$${\ displaystyle \ alfa ^ {3} = \ beta ^ {2}}$${\ styl wyświetlania 1 / r ^ {k}}$${\ styl wyświetlania k}$${\ styl wyświetlania (a_ {1} / a_ {2}) ^ {k + 1} = (T_ {1} / T_ {2}) ^ {2}}$

Zobacz też

• Hohmann-Transfer , linia łącząca dwie koleje Keplera w podróży kosmicznej
• Określony moment pędu , stosunkowo proste wyprowadzenie praw Keplera na podstawie zasady zachowania momentu pędu

literatura

• Johannes Kepler: Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis . W: Max Caspar (red.): Dzieła zebrane . taśma 3 . CH Beck, Monachium 1938. 
• Johannes Kepler: Harmonice Mundi Libri V . W: Max Caspar (red.): Dzieła zebrane . taśma 6 . CH Beck, Monachium 1990, ISBN 3-406-01648-0 . 
• Andreas Guthmann: Wprowadzenie do mechaniki nieba i rachunku efemerycznego . BI-Wiss.-Verlag, Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4 . 

linki internetowe

• Walter Fendt: 1. Prawo Keplera , 2. Prawo Keplera (aplikacje HTML5).
• Prawa Keplera ( LEIFI ).
• Joachim Hoffmüller: 2. Prawo Keplera (Twierdzenie o obszarze): Zrozum sam dowód dzięki arkuszom dynamicznym. Dowód geometryczno-opisowy według Newtona, bez wyższej matematyki ( aplet Java ).
• Wideo: Prawa Keplera dotyczące ruchów planet . Instytut Filmu Naukowego (IWF) 1978, udostępniony przez Bibliotekę Informacji Technicznej (TIB), doi : 10.3203 / IWF / C-1286 .

Indywidualne dowody

1. ↑ Thomas S. Kuhn: Rewolucja Kopernikańska. Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-08433-2 .
2. ^ Carl B. Boyer: Uwaga na temat Epicykli i elipsy od Kopernika do Lahire'a . W: Izyda . taśma 38 , 1947, s. 54-56 .  Cytowane tu zdanie Keplera pisane kursywą jest tam podane jako bezpośrednie tłumaczenie.
3. ↑ Arthur Koestler: Die Nachtwandler: Historia naszej wiedzy o świecie . Suhrkamp, ​​1980. 
4. ↑ Bruce Stephenson: Fizyczna astronomia Keplera . Springer Science & Business Media Vol. 13, 2012. 
5. ↑ Martin Holder: Elipsa Keplera . universi, Siegen 2015 ( online [PDF; dostęp 1 listopada 2017]). 
6. ↑ Curtis Wilson: Jak Kepler odkrył swoje pierwsze dwa prawa? W: Scientific American . taśma 226 , nr. 3 , 1972, s. 92-107 , JSTOR : 24927297 . 
7. ↑ Guthmann, § II.2.37 Rozwiązanie równania Clairota: przypadek e <1. str. 81 n.
8. ↑ Guthmann, § II.1 Problem jedno- i dwuciałowy. Wstęp, s. 64 f. I 30. Równanie Clairota. str. 71 i nast.
9. ↑ Guthmann, § II.1.26 Wyznaczony obszar. str. 66
10. ↑ Guthmann, § II.5 Dynamika orbitalna zagadnienia Keplera. str. 108 i nast.
11. ↑ David L. Goodstein, Judith R. Goodstein: Zaginiony wykład Feynmana: Ruch planet wokół Słońca . Piper Verlag GmbH, Monachium 1998.
12. ^ LD Landau i EM Lifshitz: Mechanika . 3. Wydanie. Butterworth-Heinemann, Oxford 1976, ISBN 978-0-7506-2896-9 , s. 22-24 (angielski). 
13. ↑ J. Wess: Mechanika teoretyczna. Skoczek. Rozdział o problemie dwóch ciał.