Prawo grawitacji Newtona

Równoważne siły przyciągania dwóch mas

Przez Prawo powszechnego ciążenia jest prawo fizyczne z fizyki klasycznej , zgodnie z którym każdy punkt grunt do każdego innego punktu masy z atrakcyjnym siły grawitacji działa. Ta siła grawitacji jest skierowana wzdłuż linii łączącej dwa punkty masy, a jej siła jest proporcjonalna do iloczynu obu mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości. W przypadku ciał rozciągniętych to prawo stosuje się do każdego punktu masy jednego ciała w stosunku do każdego punktu masy drugiego ciała, poszczególne siły sumują się do całkowitej siły.

Prawo grawitacji Newtona jest jednym z podstawowych praw fizyki klasycznej. Została założona przez Izaaka Newtona w jego pracy z 1687 roku, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Z tym Newtonem odniósł sukces w ramach mechaniki klasycznej, którą założył w tym samym czasie, pierwszego wspólnego wyjaśnienia siły grawitacji na Ziemi, księżyca krążącego wokół Ziemi i ruchu planet wokół Słońca. Teoria grawitacji Newtona z wielką dokładnością wyjaśnia te i inne zjawiska związane z grawitacją, takie jak pływy na Ziemi i zaburzenia orbitalne Księżyca i planet. Pozostałe rozbieżności wyjaśniła dopiero na początku XX wieku ogólna teoria względności opracowana przez Alberta Einsteina .

historia

Ilustracja kwadratowego spadku grawitacji wraz z odległością według Martina Wagenscheina ( Księżyc i jego ruch )

Pierwsze, bardziej intensywne zajęcie się przez Newtona fizycznym opisem orbit planet i rolą grawitacji, które miało miejsce w jego annus mirabilis 1665/66, częściowo zawierało koncepcję kwadratowo malejącej siły grawitacji. Newton nie usprawiedliwiał tego jednak lub poczynił błędne założenia, w szczególności jeszcze nie z idei uniwersalnego (tj. Pozaziemskiego) efektu grawitacji.

Od 1678 roku Newton we współpracy z Hooke i Flamsteed intensywnie pracował nad mechaniką, zwłaszcza nad prawami Keplera. W korespondencji z Newtonem Hooke wspomniał o swojej teorii ruchu planet, w której mówiono o przyciąganiu malejącym wraz z odległością; w odpowiedzi Newtona zakładał stałą grawitację. Ta korespondencja była punktem wyjścia dla późniejszego zarzutu plagiatu Hooke'a skierowanego do Newtona. Newton przyznał, że Hooke poprowadził go na właściwą ścieżkę: zarówno idea, że ​​elipsa orbitalna wynika z malejącej siły grawitacji (wraz z kwadratem odległości od punktu ogniskowego), jak i pomysł, że ta koncepcja również ma zastosowanie do ruchów planet. Sugestia Hooke'a dotycząca zmniejszenia grawitacji opierała się jednak na intuicji, a nie - jak w przypadku Newtona - na obserwacji i logicznej dedukcji.

Newton opublikował swoje wstępne wyniki w 1684 roku pod tytułem De Motu Corporum. Opierając się na tym, położył podwaliny pod mechanikę klasyczną w swojej trzytomowej pracy Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Matematyczne podstawy filozofii naturalnej) w 1687 roku . W nim Newton sformułował trzy prawa dynamiki Newtona i prawo grawitacji, jednak to ostatnie nie jest zwięzłe, jak podano na początku tego artykułu, ale zostało podzielone na kilka sekcji. Szczegółowo uzasadniał te prawa, używając geometrycznej formy rachunku nieskończenie małego stworzonego przez siebie po raz pierwszy . Trzecia część pracy, zatytułowana About the World System, dotyczy zastosowania nowych praw do rzeczywistych ruchów ciał niebieskich, przy czym Newton porównuje swoje obliczenia z dużą liczbą danych pomiarowych od innych przyrodników iw ten sposób udowadnia, że poprawność jego teoretycznych wyprowadzeń.

Henry Cavendish był pierwszym, któremu udało się w 1797 r. Przeprowadzić eksperyment z czułą wagą obrotową, aby eksperymentalnie zmierzyć wzajemne przyciąganie dwóch ciał o znanej masie, zgodnie z prawem grawitacji Newtona. Urządzenie pomiarowe jest podobne do wagi skrętnej, za pomocą której Charles Augustin de Coulomb badał przyciąganie i odpychanie elektrostatyczne w 1785 roku; pierwotnie zostało zaprojektowane przez geologa Johna Michella . Aby udowodnić grawitację, Cavendish musiał wykluczyć wpływ najmniejszych zakłóceń, na przykład przeprowadzał eksperyment z innego pomieszczenia i odczytywał teleskopem.

W używanej dziś jednoznacznej formie prawo grawitacji nie zostało sformułowane przez samego Newtona, a dopiero w 1873 roku, czyli 200 lat później, przez Alfreda Cornu i Jean-Baptist Baille'a . Do tego czasu prawo grawitacji Newtona było używane tylko w swojej pierwotnej formie; H. w postaci proporcjonalności i bez definicji „stałej grawitacyjnej”. ${\ Displaystyle F \ propto m_ {1} \, \ F \ propto m_ {2} \, \ F \ propto r ^ {- 2}}$

Prawo grawitacji Newtona umożliwiło obliczenie pozycji planet znacznie dokładniej niż wcześniej. Pozycje obliczone według Ptolomäusa lub Kopernika często odbiegały o (odpowiada to 1/3 średnicy księżyca) od obserwacji, które obliczono zgodnie z prawami Keplera aż do . Z drugiej strony, z pomocą mechaniki nieba Newtona , można było przypisać te odchylenia , zwane zaburzeniami orbitalnymi , przyciąganiu innych planet. W przypadku Urana wyciągnięto nawet wniosek, że istnieje wcześniej nieznana planeta, Neptun , której przybliżona pozycja została po raz pierwszy obliczona przez Urbaina Le Verriera na podstawie dokładnych wartości zakłócenia orbity. Wkrótce potem Johann Gottfried Galle odkrył nową planetę w odległości zaledwie jednego stopnia łuku od prognozy. Jednak później odkryte peryhelium orbity Merkurego można było wytłumaczyć tylko w około 90% tą samą metodą. Aby uzyskać pełne wyjaśnienie, najpierw trzeba było opracować ogólną teorię względności . Ta znacznie bardziej wszechstronna teoria zawiera prawo grawitacji Newtona jako przypadek ograniczający, który ma zastosowanie tylko do wystarczająco małych gęstości mas i prędkości. ${\ displaystyle 10 ^ {\ prime}}$${\ displaystyle 1 ^ {\ prime}}$

Sformułowanie matematyczne

Punkty masowe

Ilość siły pomiędzy dwoma punktami masowych i w odległości jest ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle F = G {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

Wielkość to stała grawitacji . Siły działające na dwie masy mają taką samą wielkość i każdy z nich jest skierowany na drugi punkt masy (patrz ilustracja). W przeciwieństwie do matematycznie podobnego prawa Coulomba, prawo grawitacji Newtona opisuje zawsze przyciągającą siłę. ${\ displaystyle G}$

Wektorowe

W postaci wektorowej dotyczy siły działającej na punkt masy 1 ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = G {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {3}}} {\ vec {r}} _ {12} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {| {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1} | ^ {3}}} ({\ vec { r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1})}$,

gdzie i są położeniami ( wektorami położenia ) dwóch punktów masy.${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}$wskazuje na punkt masy 1 i jest wektorem przeciwnym do :${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$.

Jeśli punkt masy 1 jest przyciągany przez kilka punktów masy 2, 3, ..., n, poszczególne siły sumują się do całkowitej siły działającej na punkt masy 1

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = Gm_ {1} \ sum _ {i = 2} ^ {n} m_ {i} {\ frac {{\ vec {r}} _ {i} - {\ vec {r}} _ {1}} {| {\ vec {r}} _ {i} - {\ vec {r}} _ {1} | ^ {3}}}}$

Przyspieszenie grawitacyjne

Zgodnie z drugim aksjomatem Newtona skutkuje to przyspieszeniem o wartości bezwzględnej

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {F_ {1}} {m_ {1}}}}$,

który jest również nazywany przyspieszeniem grawitacyjnym lub siłą pola grawitacyjnego w miejscu, w którym znajduje się masa (patrz pole grawitacyjne ). ${\ displaystyle m_ {1}}$

Dwie masy punktowe i doświadcz przyspieszenia na odległość przy braku innych sił zgodnie z prawem grawitacji Newtona: ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle a_ {1} = {\ Frac {F} {m_ {1}}} = G {\ Frac {m_ {2}} {r ^ {2}}} \ qquad {\ text {lub}} \ qquad a_ {2} = {\ frac {F} {m_ {2}}} = G {\ frac {m_ {1}} {r ^ {2}}}}$

Masa przyciąga masę i odwrotnie. Obie masy są przyspieszane w kierunku wspólnego środka ciężkości . Widziane z jednego ciała drugie porusza się z przyspieszeniem będącym sumą poszczególnych przyspieszeń: ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$

${\ Displaystyle a_ {1} + a_ {2} = G \, {\ Frac {m_ {1} + m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

Jeśli jedna z mas jest znacznie mniejsza od drugiej, w przybliżeniu wystarczy wziąć pod uwagę tylko większą masę. Ziemia ma znacznie większą masę niż jabłko, człowiek czy ciężarówka, więc wystarczy, że wszystkie te obiekty wstawią masę Ziemi do równania przyspieszenia. Jeśli znajdują się w tym samym miejscu, wszystkie trzy obiekty są jednakowo silnie przyspieszane w kierunku środka ziemi. Spadają z tą samą prędkością iw tym samym kierunku. Jednak patrząc na układ podwójny gwiazd , należy wziąć pod uwagę obie masy gwiazd, ponieważ są one mniej więcej tej samej wielkości.

Jeśli obiekt zmienia się tylko bardzo nieznacznie podczas ruchu, przyspieszenie grawitacyjne jest praktycznie stałe, na przykład w przypadku obiektu znajdującego się blisko powierzchni ziemi, który spada tylko na kilka metrów w głąb ziemi, tj. Znikomo niewiele w porównaniu z promieniem Ziemi wynoszącym r = około 6370 km. W związku z tym na wystarczająco małym obszarze pole grawitacyjne można uznać za jednorodne. Jeśli nie można pominąć zmiany siły grawitacji wraz z odległością, to za pomocą rachunku całkowego można obliczyć np. Prędkość uderzenia swobodnie spadającego ciała. H. o potencjale grawitacyjnym${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle \ Phi (r) = - {\ Frac {Gm} {r}}}$.

Ekspansywne ciała

Ciała rzeczywiste nie są masami punktowymi, ale mają rozszerzenie przestrzenne. Ponieważ prawo grawitacji jest liniowe w masach, ciało można podzielić na małe części, których udział, jak pokazano w poprzedniej sekcji, można dodać wektorowo. Przy przekraczaniu granicy do nieskończenie małych części, zamiast sumy powstaje całka .

W ten sposób można między innymi wykazać, że obiekt o sferycznie symetrycznym rozkładzie masy w przestrzeni kosmicznej ma taki sam efekt grawitacyjny, jak gdyby cała jego masa została zjednoczona w środku ciężkości. Dlatego rozległe ciała niebieskie można traktować w przybliżeniu jako punkty masy. W wewnętrznej wystąpienia eliptyczny lub sferycznych symetryczny jednorodny rozkład masy, z. B. wydrążona kula , siła grawitacji pochodząca z tej masy wynosi zero. Z tego wynika, że ​​w dowolnej odległości od środka sferycznie symetrycznego rozkładu masy, siła grawitacji jest wytwarzana dokładnie na podstawie proporcji całkowitej masy znajdującej się w kuli o promieniu . Newton udowodnił to twierdzenie (znane również jako twierdzenie powłoki Newtona ) w swoim Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Zasadniczo twierdzenie to nie dotyczy ciał, które nie są eliptycznie symetryczne lub niejednorodnych rozkładów masy. Należy również zauważyć, że grawitacja nie ma siły przeciwnej, więc nie można jej osłonić. Rzeczywiste pole grawitacyjne w wydrążonej kuli nie byłoby zatem zerowe, ponieważ siły grawitacyjne wszystkich innych mas we Wszechświecie w naturalny sposób działałyby wewnątrz - tylko sama sferyczna powłoka nic nie wnosi. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Granice teorii

Chociaż jest wystarczająco dokładne ze względów praktycznych, prawo grawitacji Newtona jest jedynie przybliżeniem słabych i niezależnych od czasu pól grawitacyjnych. W przypadku silnych pól dokładniejszego opisu używa się za pomocą ogólnej teorii względności , z której można bezpośrednio wyprowadzić równanie Poissona klasycznej teorii grawitacji, a tym samym również prawo grawitacji Newtona, jeśli tylko przyjmie się, że grawitacja jest konserwatywny pola . Dlatego prawo jest dziś często określane jako ograniczający przypadek małych pól. Ogólna teoria względności rozwiązuje również opisane tutaj problemy teorii grawitacji Newtona.

Teoretyczne ograniczenia

• Teoria Newtona jest skuteczną teorią, co oznacza, że ​​nie podaje przyczyny siły grawitacji ani nie wyjaśnia, w jaki sposób grawitacja może działać na odległość. Wielu współczesnych, w tym sam Newton, a także Leonhard Euler , odrzucało możliwość natychmiastowego efektu dalekiego zasięgu przez pustą przestrzeń. Aby wypełnić tę lukę wyjaśniającą, jako model opracowano tak zwaną grawitację Le Sage , która jednak nigdy się nie przyjęła .
• Teoria Newtona zakłada, że ​​efekt grawitacji rozprzestrzenia się nieskończenie szybko, tak że prawa Keplera są spełnione. Prowadzi to do konfliktów ze szczególną teorią względności . Wymaga to, aby grawitacja również rozprzestrzeniała się tylko z prędkością światła.
• Równoważność obojętnego i ciężkiego masy nie jest wyjaśnione w mechanice Newtona.

Sprzeczności z obserwacją

• Teoria Newtona nie wyjaśnia w pełni peryhelium orbit planet, zwłaszcza Merkurego . W tym przypadku różnica między rotacją peryhelium obliczoną zgodnie z teorią Newtona a obserwowaną rotacją peryhelium wynosi 43 sekundy łuku na stulecie.
• W teorii Newtona to, czy światło jest odchylane w polu grawitacyjnym, zależy od natury światła. Jeśli jest rozumiana jako fala elektromagnetyczna , to odchylenie nie występuje. Jeśli jednak rozumie się ją jako cząstkę o masie zgodnie z teorią korpuskuł , to zgodnie z prawem grawitacji Newtona powstaje ugięcie światła , dzięki czemu można przewidzieć z równania ruchu, które jest niezależne od masy, a zatem pozostaje ważne nawet w granicy zanikającej masy. Jednak ta wartość stanowi tylko połowę rzeczywistego ugięcia. Zmierzona wartość prawidłowo wynika z równań ogólnej teorii względności.

literatura

• Wolfgang Demtröder : Fizyka eksperymentalna 1 . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-26034-9 . 

Indywidualne dowody

1. ↑ Jürgen Ready: pierwszy test księżyca Isaaca Newtona, który nie był! (PDF; 4,5 MB). W: Komunikaty Niemieckiego Towarzystwa Geofizycznego eV 1/2016.
2. ^ Henry Cavendish: Eksperymenty w celu określenia gęstości Ziemi. (PDF) 1798 (angielski).
3. ↑ Clive Speake, Terry Quinn: Poszukiwanie stałej Newtona . W: Physics Today . taśma 67 , nie. 7 , 2014, s. 27 , doi : 10.1063 / PT.3.2447 . 
4. ^ A. Cornu, J. Baille: Détermination nouvelle de la constante de l'attraction et de la densité moyennede la Terre . W: Comptes Rendus Hebd. Seances Acad. Sci. taśma 76 , 1873, s. 954 ( online [dostęp 3 kwietnia 2019 r.]). 
5. ↑ Gearhart, Kalifornia: Epicykle, mimośrody i elipsy: predykcyjne możliwości modeli planetarnych Kopernika . W: Archiwum historii nauk ścisłych . taśma 32 , nie. 3 , 1985, s. 207-222 , doi : 10.1007 / BF00348449 . 
6. ↑ James Lequeux: Le Verrier - wspaniały i obrzydliwy astronom. Springer Verlag, 2013. s. 23.
7. ↑ Thomas Bührke: Wspaniałe chwile astronomii. Od Kopernika do Oppenheimera. Monachium 2001, s. 150.
8. ↑ Walter Greiner: Mechanika klasyczna 1. Kinematyka i dynamika cząstek punktowych. Względność . 8. poprawione. i exp. Harri Deutsch, Frankfurt 2008, ISBN 978-3-8171-1815-1 , s. 4 .