Ta lista jednozmiennowych rozkładów prawdopodobieństwa zawiera przegląd najpopularniejszych jednozmiennowych (jednowymiarowych) rozkładów prawdopodobieństwa .
Rozkłady prawdopodobieństwa opisać, w jaki sposób prawdopodobieństwa są dystrybuowane wśród możliwych wyników o zmiennej losowej . Rozróżnia się rozkłady dyskretne , które są zdefiniowane w zestawie skończonym lub policzalnym , oraz rozkłady ciągłe (ciągłe) , które są zwykle definiowane w przedziałach.
Rozkłady dyskretne można opisać gęstością zliczania . Dla każdej z maksymalnej liczby wartości zmiennej losowej , które można policzyć, oznacza to prawdopodobieństwo, że dokładnie ta wartość zostanie uzyskana.
x {\ displaystyle x} X {\ displaystyle X}
W przypadku rozkładów ciągłych nie można określić prawdopodobieństw poszczególnych wartości, ponieważ zawsze mają one prawdopodobieństwo . Jednak często można przedstawić prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość w przedziale jako całkę po funkcji gęstości (lub gęstości prawdopodobieństwa) :
0 {\ displaystyle 0} X {\ displaystyle X} [ za , b ] {\ displaystyle [a, b]} fa ( x ) {\ displaystyle f (x)}
P. ( za ≤ X ≤ b ) = ∫ za b fa ( x ) re x {\ Displaystyle P (a \ równoważnik X \ równoważnik b) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx} Z ciągłymi rozkładami zawartymi na tej liście, taka reprezentacja jest możliwa poprzez funkcję gęstości.
Rozkłady dyskretne Poniższe tabele przedstawiają parametry na nośnik , funkcji prawdopodobieństwa , funkcja rozkładu , oczekiwaną wartość i zmienność w następujących odrębnych rozkładów:
To wskazuje na funkcję zaokrąglania , w funkcję zaokrąglania i odpowiednio rozmieszczone zmienną losową.
⌈ . ⌉ {\ Displaystyle \ lceil. \ rceil} ⌊ . ⌋ {\ displaystyle \ lfloor. \ rfloor} X {\ displaystyle X}
Zakres wartości parametrów:
n ∈ N {\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}} k ja ∈ R. ( ja = 1 , ... , n ) {\ Displaystyle k_ {i} \ w \ mathbb {R} \; (i = 1, \ kropki, n)}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: { 0 , 1 , ... , 20 } {\ displaystyle \ {0,1, \ kropki, 20 \}} n = 21 {\ displaystyle n = 21}
Nośnik:
{ k ja : ja = 1 , ... , n } {\ Displaystyle \ {k_ {i}: i = 1, \ kropki, n \}}
Gęstość liczenia:
fa ( k ja ) = 1 n {\ Displaystyle f (k_ {i}) = {\ Frac {1} {n}}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = | { ja : k ja ≤ x } | n {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = {\ Frac {| \ {i: k_ {i} \ równoważnik x \} |} {n}}}
P. ( { X < x } ) = | { ja : k ja < x } | n {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = {\ Frac {| \ {i: k_ {i} <x \} |} {n}}}
Wartość oczekiwana:
1 n ∑ ja = 1 n k ja {\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}}
Zmienność:
1 n ( ∑ ja = 1 n k ja 2 - 1 n ( ∑ ja = 1 n k ja ) 2 ) {\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}} \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} ^ {2} - {\ Frac {1} {n}} \ lewo ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} \ right) ^ {2} \ right)}
Zakres wartości parametrów:
p ∈ [ 0 , 1 ] {\ displaystyle p \ in [0,1]}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
p = 0 , 2 {\ displaystyle p = 0 {,} 2} p = 0 , 5 {\ displaystyle p = 0 {,} 5} p = 0 , 8th {\ displaystyle p = 0 {,} 8}
Nośnik:
{ 0 , 1 } {\ displaystyle \ {0,1 \}}
Gęstość liczenia:
fa ( k ) = { p Dla k = 1 1 - p Dla k = 0 {\ Displaystyle f (k) = {\ rozpocząć {przypadków} p & {\ tekst {za}} k = 1 \\ 1-p i {\ tekst {za}} k = 0 \ koniec {przypadków}}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = { 0 Dla x < 0 1 - p Dla 0 ≤ x < 1 1 Dla x ≥ 1 {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {za}} x <0 \\ 1-p i {\ tekst {za}} 0 \ równoważnik x <1 \\ 1 & {\ text {for}} x \ geq 1 \ end {sprawy}}}
P. ( { X < x } ) = { 0 Dla x ≤ 0 1 - p Dla 0 < x ≤ 1 1 Dla x > 1 {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {za}} x \ równoważnik 0 \\ 1-p i {\ tekst {za}} 0 <x \ leq 1 \\ 1 & {\ text {for}} x> 1 \ end {sprawy}}}
Wartość oczekiwana:
p {\ displaystyle p}
Zmienność:
p ( 1 - p ) {\ Displaystyle p (1-p)}
Zakres wartości parametrów:
n ∈ N + {\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {+}} p ∈ [ 0 , 1 ] {\ displaystyle p \ in [0,1]}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: ; (niebieski), (zielony) i (czerwony)
n = 20 {\ displaystyle n = 20} p = 0 , 1 {\ displaystyle p = 0 {,} 1} p = 0 , 5 {\ displaystyle p = 0 {,} 5} p = 0 , 8th {\ displaystyle p = 0 {,} 8}
Nośnik:
{ 0 , 1 , ... , n } {\ Displaystyle \ {0,1, \ kropki, n \}}
Gęstość liczenia:
fa ( k ) = ( n k ) p k ( 1 - p ) n - k {\ Displaystyle f (k) = {n \ wybierz k} p ^ {k} (1-p) ^ {nk}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = ∑ ja = 0 ⌊ x ⌋ ( n ja ) p ja ( 1 - p ) n - ja {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lfloor x \ rfloor} {\ binom {n} {i}} p ^ {i} (1-p ) ^ {ni}}
P. ( { X < x } ) = ∑ ja = 0 ⌈ x - 1 ⌉ ( n ja ) p ja ( 1 - p ) n - ja {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lceil x-1 \ rceil} {n \ wybierz i} p ^ {i} (1-p) ^ { ni}}
Wartość oczekiwana:
n p {\ displaystyle np}
Zmienność:
n p ( 1 - p ) {\ Displaystyle np (1-p)}
Zakres wartości parametrów:
r ∈ N + {\ displaystyle r \ in \ mathbb {N} ^ {+}} p ∈ ] 0 , 1 ] {\ displaystyle p \ in {] 0,1]}}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: ; (niebieski), (zielony) i (czerwony)
r = 10 {\ displaystyle r = 10} p = 0 , 2 {\ displaystyle p = 0 {,} 2} p = 0 , 5 {\ displaystyle p = 0 {,} 5} p = 0 , 8th {\ displaystyle p = 0 {,} 8}
Nośnik:
{ x ∈ N : x ≥ r } {\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {N} \ dwukropek x \ geq r \}}
Gęstość liczenia:
P. ( { X = k } ) = ( k - 1 r - 1 ) p r ( 1 - p ) k - r {\ Displaystyle P (\ {X = k \}) = {{k-1} \ wybierz {r-1}} p ^ {r} (1-p) ^ {kr}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = ∑ ja = r ⌊ x ⌋ ( ja - 1 r - 1 ) p r ( 1 - p ) ja - r {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = \ suma _ {i = r} ^ {\ lfloor x \ rfloor} {i-1 \ wybierz r-1} p ^ {r} (1-p ) ^ {ir}}
P. ( { X < x } ) = ∑ ja = r ⌈ x - 1 ⌉ ( ja - 1 r - 1 ) p r ( 1 - p ) ja - r {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = \ suma _ {i = r} ^ {\ lceil x-1 \ rceil} {i-1 \ wybierz r-1} p ^ {r} (1- p) ^ {ir}}
Wartość oczekiwana:
r p {\ displaystyle {\ frac {r} {p}}}
Zmienność:
r ( 1 - p ) p 2 {\ Displaystyle {\ Frac {r (1-p)} {p ^ {2}}}}
opcja A
Zakres wartości parametrów:
p ∈ ] 0 , 1 [ {\ displaystyle p \ in {] 0,1 [}}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
p = 0 , 2 {\ displaystyle p = 0 {,} 2} p = 0 , 5 {\ displaystyle p = 0 {,} 5} p = 0 , 8th {\ displaystyle p = 0 {,} 8}
Nośnik:
N + {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}
Gęstość liczenia:
fa ( k ) = p ( 1 - p ) k - 1 {\ Displaystyle f (k) = p (1-p) ^ {k-1}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = 1 - ( 1 - p ) ⌊ x ⌋ {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = 1- (1-p) ^ {\ lfloor x \ rfloor}}
P. ( { X < x } ) = 1 - ( 1 - p ) ⌈ x - 1 ⌉ {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = 1- (1-p) ^ {\ lceil x-1 \ rceil}}
Wartość oczekiwana:
1 p {\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}
Zmienność:
1 p 2 - 1 p {\ Displaystyle {\ Frac {1} {p ^ {2}}} - {\ Frac {1} {p}}}
Wariant B
Zakres wartości parametrów:
p ∈ ] 0 , 1 [ {\ displaystyle p \ in {] 0,1 [}}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
p = 0 , 2 {\ displaystyle p = 0 {,} 2} p = 0 , 5 {\ displaystyle p = 0 {,} 5} p = 0 , 8th {\ displaystyle p = 0 {,} 8}
Nośnik:
N 0 {\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}
Gęstość liczenia:
fa ( k ) = p ( 1 - p ) k {\ Displaystyle f (k) = p (1-p) ^ {k}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = 1 - ( 1 - p ) ⌊ x + 1 ⌋ {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = 1- (1-p) ^ {\ lfloor x + 1 \ rfloor}}
P. ( { X < x } ) = 1 - ( 1 - p ) ⌈ x ⌉ {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = 1- (1-p) ^ {\ lceil x \ rceil}}
Wartość oczekiwana:
1 p - 1 {\ displaystyle {\ frac {1} {p}} - 1}
Zmienność:
1 p 2 - 1 p {\ Displaystyle {\ Frac {1} {p ^ {2}}} - {\ Frac {1} {p}}}
Zakres wartości parametrów:
N ∈ N + {\ Displaystyle N \ in \ mathbb {N} ^ {+}} M. ∈ N + {\ Displaystyle M \ in \ mathbb {N} ^ {+}} M. ≤ N {\ displaystyle M \ leq N} n ∈ N + {\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {+}} n ≤ N {\ displaystyle n \ leq N}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: ; (niebieski), (zielony) i (czerwony)
n = 20 {\ displaystyle n = 20} M. = 20 , N = 30 {\ Displaystyle M = 20, N = 30} M. = 50 , N = 60 {\ Displaystyle M = 50, N = 60} M. = 20 , N = 60 {\ Displaystyle M = 20, N = 60}
Nośnik:
{ Maks ( 0 , n + M. - N ) , ... , min ( n , M. ) } {\ Displaystyle \ {\ max (0, n + MN), \ dotsc, \ min (n, M) \}}
Gęstość liczenia:
fa ( k ) = ( M. k ) ( N - M. n - k ) ( N n ) {\ Displaystyle f (k) = {\ Frac {\ Displaystyle {M \ wybierz k} {NM \ wybierz nk}} {\ Displaystyle {N \ wybierz n}}}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = ∑ ja = Maks ( 0 , n - N ) ⌊ x ⌋ ( M. ja ) ( N n - ja ) ( M. + N n ) {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = \ suma _ {i = \ max (0, nN)} ^ {\ lfloor x \ rfloor} {\ Frac {{M \ wybierz i} {N \ wybierz ni}} {M + N \ wybierz n}}}
P. ( { X < x } ) = ∑ ja = Maks ( 0 , n - N ) ⌈ x - 1 ⌉ ( M. ja ) ( N n - ja ) ( M. + N n ) {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = \ suma _ {i = \ max (0, nN)} ^ {\ lceil x-1 \ rceil} {\ Frac {{M \ wybierz i} {N \ wybierz ni}} {M + N \ wybierz n}}}
Wartość oczekiwana:
n M. N {\ displaystyle n {\ frac {M} {N}}}
Zmienność:
n M. N ( 1 - M. N ) N - n N - 1 {\ Displaystyle n {\ Frac {M} {N}} \ lewo (1 - {\ Frac {M} {N}} \ prawo) {\ Frac {Nn} {N-1}}}
Zakres wartości parametrów:
λ ∈ R. + {\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
λ = 1 {\ displaystyle \ lambda = 1} λ = 5 {\ displaystyle \ lambda = 5} λ = 10 {\ displaystyle \ lambda = 10}
Nośnik:
N 0 {\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}
Gęstość liczenia:
fa ( k ) = λ k k ! ⋅ mi - λ {\ Displaystyle f (k) = {\ Frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- \ lambda}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = ∑ ja = 0 ⌊ x ⌋ λ ja ja ! mi - λ {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lfloor x \ rfloor} {\ Frac {\ lambda ^ {i}} {i!}} \; \ mathrm {e} ^ {- \ lambda}}
P. ( { X < x } ) = ∑ ja = 0 ⌈ x - 1 ⌉ λ ja ja ! mi - λ {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lceil x-1 \ rceil} {\ Frac {\ lambda ^ {i}} {i!}} \; \ mathrm {e} ^ {- \ lambda}}
Wartość oczekiwana:
λ {\ displaystyle \ lambda}
Zmienność:
λ {\ displaystyle \ lambda}
Zakres wartości parametrów:
p ∈ ( 0 , 1 ) {\ displaystyle p \ in (0,1)}
Obraz funkcji prawdopodobieństwa: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
p = 0 , 2 {\ displaystyle p = 0 {,} 2} p = 0 , 5 {\ displaystyle p = 0 {,} 5} p = 0 , 8th {\ displaystyle p = 0 {,} 8}
Nośnik:
N + {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}
Gęstość liczenia:
fa ( k ) = p k k ⋅ 1 - ln ( 1 - p ) {\ Displaystyle f (k) = {\ Frac {p ^ {k}} {k}} \ cdot {\ Frac {1} {- \ ln (1-p)}}}
Funkcja dystrybucyjna:
P. ( { X ≤ x } ) = ∑ ja = 0 ⌊ x ⌋ p ja ja ⋅ 1 - ln ( 1 - p ) {\ Displaystyle P (\ {X \ równoważnik x \}) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lfloor x \ rfloor} {\ Frac {p ^ {i}} {i}} \ cdot {\ Frac {1} {- \ ln (1-p)}}}
P. ( { X < x } ) = ∑ ja = 0 ⌈ x - 1 ⌉ p ja ja ⋅ 1 - ln ( 1 - p ) {\ Displaystyle P (\ {X <x \}) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lceil x-1 \ rceil} {\ Frac {p ^ {i}} {i}} \ cdot {\ frac {1} {- \ ln (1-p)}}}
Wartość oczekiwana:
p - ( 1 - p ) ln ( 1 - p ) {\ Displaystyle {\ Frac {p} {- (1-p) \ ln (1-p)}}}
Zmienność:
p ( - ln ( 1 - p ) - p ) ( 1 - p ) 2 ln 2 ( 1 - p ) {\ Displaystyle {\ Frac {p (- \ ln (1-p) -p)} {(1-p) ^ {2} \ ln ^ {2} (1-p)}}}
Ciągłe dystrybucje Poniższe tabele przedstawiają parametry na nośnik , funkcja gęstości , funkcja rozkładu , oczekiwaną wartość i zmienność w następujących stałych rozkładu:
Funkcją gamma , Funkcja P i każdy oznaczają odpowiednio rozmieszczone zmienną losową o gęstości i funkcji rozkładu .
Γ ( r ) {\ Displaystyle \ Gamma (r)} B. ( p , q ) {\ Displaystyle B (p, q)} X {\ displaystyle X} fa ( x ) {\ displaystyle f (x)} FA. ( x ) {\ Displaystyle F (x)}
Zakres wartości parametrów:
za , b ∈ R. {\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}} za < b {\ displaystyle a <b}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
za = 4 , b = 8th {\ Displaystyle a = 4, b = 8} za = 1 , b = 18 {\ Displaystyle a = 1, b = 18} za = 1 , b = 11 {\ Displaystyle a = 1, b = 11}
Nośnik:
[ za , b ] {\ displaystyle [a, b]}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = { 1 b - za Dla za < x ≤ b 0 Inaczej {\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadków} {\ Frac {1} {ba}} i {\ tekst {za}} a <x \ leq b \\ 0 i {\ tekst {inaczej}} \ koniec {sprawy}}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { 0 Dla x ≤ za x - za b - za Dla za < x ≤ b 1 Dla x > b {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {za}} x \ leq a \\ {\ Frac {xa} {ba}} i {\ tekst {za}} a <x \ leq b \\ 1 & {\ text {for}} x> b \ end {sprawy}}}
Wartość oczekiwana:
za + b 2 {\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}
Zmienność:
( b - za ) 2 12 {\ Displaystyle {\ Frac {(ba) ^ {2}} {12}}}
Zakres wartości parametrów:
za , b , do ∈ R. {\ Displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R}} za ≤ do ≤ b {\ displaystyle a \ leq c \ leq b}
Obraz funkcji gęstości:
Nośnik:
[ za , b ] {\ displaystyle [a, b]}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = { 2 ( x - za ) ( b - za ) ( do - za ) , gdyby za ≤ x < do 2 b - za , gdyby x = do 2 ( b - x ) ( b - za ) ( b - do ) , gdyby do < x ≤ b . {\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadków} {\ Frac {2 (xa)} {(ba) (ca)}} i {\ tekst {if}} a \ równoważnik x <c \\ { \ frac {2} {ba}}, & {\ text {if}} x = c \\ {\ frac {2 (bx)} {(ba) (bc)}}, & {\ text {if}} c <x \ leq b. \ end {sprawy}}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { ( x - za ) 2 ( b - za ) ( do - za ) , gdyby za ≤ x < do do - za b - za , gdyby x = do 1 - ( b - x ) 2 ( b - za ) ( b - do ) , gdyby do < x ≤ b . {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} {\ Frac {(xa) ^ {2}} {(ba) (ca)}} i {\ text {if}} a \ równoważnik x <c \\ {\ frac {ca} {ba}}, & {\ text {if}} x = c \\ 1 - {\ frac {(bx) ^ {2}} {(ba) (bc)}}, & {\ text {if}} c <x \ leq b. \ end {cases}}}
Wartość oczekiwana:
MI. ( X ) = za + b + do 3 . {\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = {\ frac {a + b + c} {3}}.}
Zmienność:
Var ( X ) = ( za - b ) 2 + ( b - do ) 2 + ( za - do ) 2 36 . {\ Displaystyle \ operatorname {Var} (X) = {\ Frac {(ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ac) ^ {2}} {36}}.}
Zakres wartości parametrów:
μ ∈ R. {\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} σ ∈ R. + {\ Displaystyle \ sigma \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
μ = 0 , σ = 1 {\ Displaystyle \ mu = 0, \ sigma = 1} μ = 0 , σ = 2 {\ Displaystyle \ mu = 0, \ sigma = 2} μ = - 1 , σ = 2 {\ Displaystyle \ mu = -1, \ sigma = 2}
Nośnik:
R. {\ displaystyle \ mathbb {R}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = 1 σ 2 π mi - 1 2 ( x - μ σ ) 2 {\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \, \ mathrm {e} ^ {- {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = 1 σ 2 π ⋅ ∫ - ∞ x mi - 1 2 ⋅ ( t - μ σ ) 2 re t {\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left ({\ frac {t- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2}} \ mathrm {d} t}
Wartość oczekiwana:
μ {\ displaystyle \ mu}
Zmienność:
σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
rozkład normalny (logarytmiczny rozkład normalny)
Zakres wartości parametrów:
μ ∈ R. {\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} σ ∈ R. + {\ Displaystyle \ sigma \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
μ = 0 , σ = 1 {\ Displaystyle \ mu = 0, \ sigma = 1} μ = 0 , σ = 2 {\ Displaystyle \ mu = 0, \ sigma = 2} μ = - 1 , σ = 2 {\ Displaystyle \ mu = -1, \ sigma = 2}
Nośnik:
R. 0 + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = 1 σ 2 π 1 x mi - 1 2 ( ln x - μ σ ) 2 {\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \, {\ Frac {1} {x}} \, \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ operatorname {ln} \, x- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { 0 Dla x ≤ 0 1 σ ⋅ 2 π ⋅ ∫ 0 x 1 t mi - 1 2 ⋅ ( ln t - μ σ ) 2 re t Dla x > 0 {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {for}} x \ równoważnik 0 \\ {\ Frac {1} {\ sigma \ cdot {\ sqrt {2 \ pi}}} } \ cdot \ int _ {0} ^ {x} \, {\ frac {1} {t}} \, \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left ( {\ frac {\ operatorname {ln} \, t- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2}} \ mathrm {d} t & {\ text {for}} x> 0 \ end {cases }}}
Wartość oczekiwana:
exp ( μ + σ 2 / 2 ) {\ Displaystyle \ exp (\ mu + \ sigma ^ {2} / 2)}
Zmienność:
exp ( 2 μ + σ 2 ) ⋅ ( exp ( σ 2 ) - 1 ) {\ Displaystyle \ exp (2 \ mu + \ sigma ^ {2}) \ cdot (\ exp (\ sigma ^ {2}) - 1)}
Zakres wartości parametrów:
α ∈ R. + {\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
α = 1 {\ displaystyle \ alpha = 1} α = 5 {\ displaystyle \ alpha = 5} α = 10 {\ displaystyle \ alpha = 10}
Nośnik:
R. 0 + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = α ⋅ mi - α x {\ Displaystyle f (x) = \ alfa \ cdot \ mathrm {e} ^ {- \ alfa x}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { 0 Dla x ≤ 0 1 - mi - α x Dla x > 0 {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {za}} x \ równoważnik 0 \\ 1- \ mathrm {e} ^ {- \ alfa x} i {\ tekst {za} } x> 0 \ end {sprawy}}}
Wartość oczekiwana:
1 α {\ displaystyle {\ frac {1} {\ alpha}}}
Zmienność:
1 α 2 {\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ alpha ^ {2}}}}
Zakres wartości parametrów:
n ∈ N + {\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
n = 2 {\ displaystyle n = 2} n = 5 {\ displaystyle n = 5} n = 10 {\ displaystyle n = 10}
Nośnik:
R. 0 + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}
Funkcja gęstości:
fa n ( x ) = 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 - 1 exp { - x 2 } {\ Displaystyle f_ {n} (x) = {\ Frac {1} {2 ^ {\ Frac {n} {2}} \ Gamma ({\ tfrac {n} {2}})}} x ^ {{ \ frac {n} {2}} - 1} \ nazwa operatora {exp} \ left \ {- {\ frac {x} {2}} \ right \}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { 0 Dla x ≤ 0 1 - Γ ( n 2 , x 2 ) Γ ( n 2 ) Dla x > 0 {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} \ Displaystyle 0 i {\ tekst {za}} x \ równoważnik 0 \\ 1 - {\ Frac {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {n} {2 }}, {\ frac {x} {2}} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} & {\ text {for}} x> 0 \ koniec {sprawy}}}
Wartość oczekiwana:
n {\ displaystyle n}
Zmienność:
2 n {\ displaystyle 2n}
Zakres wartości parametrów:
k ∈ N + {\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
k = 2 {\ displaystyle k = 2} k = 5 {\ displaystyle k = 5} k = 10 {\ displaystyle k = 10}
Nośnik:
R. {\ displaystyle \ mathbb {R}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = Γ ( k + 1 2 ) Γ ( k 2 ) k π ⋅ ( 1 + x 2 k ) - k + 1 2 {\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ Frac {k} {2}}) \, {\ sqrt { k \, \ pi \,}}}} \, \ cdot \, \ left (1 + {\ frac {x ^ {2}} {k}} \ right) ^ {- {\ frac {k + 1} {2}}}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = Γ ( k + 1 2 ) Γ ( k 2 ) k π ⋅ ∫ - ∞ x ( 1 + t 2 k ) - k + 1 2 re t {\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ Frac {k} {2}}) \, {\ sqrt { k \, \ pi \,}}}} \, \ cdot \, \ int _ {- \ infty} ^ {x} \, \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {k}} \ right) ^ {- {\ frac {k + 1} {2}}} \ mathrm {d} t}
Wartość oczekiwana:
0 {\ displaystyle 0}
Zmienność:
k k - 2 {\ displaystyle {\ frac {k} {k-2}}}
Zakres wartości parametrów:
m ∈ N + {\ Displaystyle m \ in \ mathbb {N} ^ {+}} n ∈ N + {\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
m = 2 , n = 10 {\ Displaystyle m = 2, n = 10} m = 10 , n = 10 {\ Displaystyle m = 10, n = 10} m = 10 , n = 2 {\ Displaystyle m = 10, n = 2}
Nośnik:
R. 0 + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = Γ ( m + n 2 ) ( m n ) m 2 Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) x ( m 2 - 1 ) ( 1 + m n x ) ( - m + n 2 ) {\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {m + n} {2}}) \, \ lewo ({\ Frac {m} {n}} \ prawej) ^ {\ Frac {m} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {m} {2}}) \, \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} x ^ {({\ frac {m } {2}} - 1)} \ left (1 + {\ frac {m} {n}} x \ right) ^ {(- {\ frac {m + n} {2}})}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { 0 Dla x ≤ 0 Γ ( m + n 2 ) ( m n ) m 2 Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ∫ 0 x t ( m 2 - 1 ) ( 1 + m n t ) ( - m + n 2 ) re t Dla x > 0 {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 \\\ quad {\ tekst {for}} x \ równoważnik 0 \\ {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {m + n} {2} }) \, \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) ^ {\ frac {m.} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {m} {2}}) \, \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} \ int _ {0} ^ {x} \, t ^ {({\ frac {m} {2}} - 1)} \ left (1+ {\ frac {m} {n}} t \ right) ^ {(- {\ frac {m + n} {2}})} \ mathrm {d} t \\\ quad {\ text {for}} x > 0 \ end {cases}}}
Wartość oczekiwana:
n n - 2 {\ displaystyle {\ frac {n} {n-2}}} n > 2 {\ displaystyle n> 2}
Zmienność:
2 n 2 ( m + n - 2 ) m ( n - 2 ) 2 ( n - 4 ) {\ Displaystyle {\ Frac {2n ^ {2} (m + n-2)} {m (n-2) ^ {2} (n-4)}}} n > 4 {\ displaystyle n> 4}
Zakres wartości parametrów:
p ∈ R. + {\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {+}} b ∈ R. + {\ Displaystyle b \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
p = 0 , 5 , b = 2 {\ Displaystyle p = 0 {,} 5, b = 2} p = 1 , b = 1 {\ Displaystyle p = 1, b = 1} p = 2 , b = 1 {\ Displaystyle p = 2, b = 1}
Nośnik:
R. 0 + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = b p Γ ( p ) x p - 1 mi - b x {\ Displaystyle f (x) = {b ^ {p} \ ponad \ Gamma (p)} x ^ {p-1} \ mathrm {e} ^ {- bx}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { 0 Dla x ≤ 0 b p Γ ( p ) ⋅ ∫ 0 x t p - 1 mi - b t re t Dla x > 0 {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {dla}} x \ równoważnik 0 \\ {b ^ {p} \ ponad \ Gamma (p)} \, \ cdot \, \ int _ {0} ^ {x} \, t ^ {p-1} \ mathrm {e} ^ {- bt} \ mathrm {d} t & {\ text {for}} x> 0 \ end {cases} }}
Wartość oczekiwana:
p b {\ displaystyle {\ frac {p} {b}}}
Zmienność:
p b 2 {\ Displaystyle {\ Frac {p} {b ^ {2}}}}
Zakres wartości parametrów:
p ∈ R. + {\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {+}} q ∈ R. + {\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
p = 0 , 5 , q = 2 {\ Displaystyle p = 0 {,} 5, q = 2} p = 2 , q = 2 {\ displaystyle p = 2, q = 2} p = 2 , q = 5 {\ displaystyle p = 2, q = 5}
Nośnik:
[ 0 , 1 ] {\ displaystyle [0,1]}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = 1 B. ( p , q ) x p - 1 ( 1 - x ) q - 1 {\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {B (p, q)}} x ^ {p-1} (1-x) ^ {q-1}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { 0 Dla x < 0 1 B. ( p , q ) ∫ 0 x u p - 1 ( 1 - u ) q - 1 re u Dla 0 ≤ x ≤ 1 1 Dla x > 1 {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {for}} x <0 \\ {{1} \ ponad {B (p, q)}} \ int _ {0} ^ {x} u ^ {p-1} (1-u) ^ {q-1} \ mathrm {d} u & {\ text {for}} 0 \ leq x \ leq 1 \\ 1 & {\ text { for}} x> 1 \ end {sprawy}}}
Wartość oczekiwana:
p p + q {\ displaystyle {\ frac {p} {p + q}}}
Zmienność:
p q ( p + q + 1 ) ( p + q ) 2 {\ Displaystyle {\ Frac {pq} {(p + q + 1) (p + q) ^ {2}}}}
Zakres wartości parametrów:
α ∈ R. {\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}} β ∈ R. + {\ Displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
α = 0 , β = 1 {\ Displaystyle \ alpha = 0, \ beta = 1} α = 0 , β = 2 {\ Displaystyle \ alpha = 0, \ beta = 2} α = - 1 , β = 1 {\ Displaystyle \ alpha = -1, \ beta = 1}
Nośnik:
R. {\ displaystyle \ mathbb {R}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = mi - x - α β β ( 1 + mi - x - α β ) 2 {\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {\ mathrm {e} ^ {- {\ Frac {X- \ alpha} {\ beta}}}} {\ beta \ lewo (1+ \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x- \ alpha} {\ beta}}} \ right) ^ {2}}}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = 1 1 + mi - x - α β {\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {1} {1+ \ mathrm {e} ^ {- {\ Frac {x- \ alfa} {\ beta}}}}}}
Wartość oczekiwana:
α {\ displaystyle \ alpha}
Zmienność:
β 2 π 2 3 {\ Displaystyle {\ Frac {\ beta ^ {2} \ pi ^ {2}} {3}}}
Zakres wartości parametrów:
α ∈ R. + {\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ {+}} β ∈ R. + {\ Displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
α = 1 , β = 1 {\ Displaystyle \ alpha = 1, \ beta = 1} α = 1 , β = 2 {\ Displaystyle \ alpha = 1, \ beta = 2} α = 5 , β = 3 {\ Displaystyle \ alpha = 5, \ beta = 3}
Nośnik:
R. 0 + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = α β x β - 1 mi - α x β {\ Displaystyle f (x) = \ alfa \ beta x ^ {\ beta -1} \ operatorname {e} ^ {- \ alfa x ^ {\ beta}}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = { 1 - mi - α x β Dla x > 0 0 Dla x ≤ 0 {\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 1- \ mathrm {e} ^ {- \ alpha x ^ {\ beta}} i {\ text {for}} x> 0 \\ 0 & {\ text {for}} x \ leq 0 \ end {cases}}}
Wartość oczekiwana:
α - 1 / β ⋅ Γ ( 1 β + 1 ) {\ Displaystyle \ alpha ^ {- 1 / \ beta} \ cdot \ Gamma \ lewo ({\ Frac {1} {\ beta}} + 1 \ prawo)}
Zmienność:
α - 2 / β ⋅ ( Γ ( 2 β + 1 ) - Γ ( 1 β + 1 ) 2 ) {\ Displaystyle \ alpha ^ {- 2 / \ beta} \ cdot \ lewo (\ Gamma \ lewo ({\ Frac {2} {\ beta}} + 1 \ prawo) - \ Gamma \ lewo ({\ Frac {1 } {\ beta}} + 1 \ right) ^ {2} \ right)}
Zakres wartości parametrów:
s ∈ R. + {\ Displaystyle s \ in \ mathbb {R} ^ {+}} t ∈ R. {\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
s = 1 , t = 0 {\ Displaystyle s = 1, t = 0} s = 2 , t = 0 {\ Displaystyle s = 2, t = 0} s = 2 , t = - 1 {\ Displaystyle s = 2, t = -1}
Nośnik:
R. {\ displaystyle \ mathbb {R}}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = 1 π ⋅ s s 2 + ( x - t ) 2 {\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ cdot {\ Frac {s} {s ^ {2} + (xt) ^ {2}}}}
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = 1 2 + 1 π ⋅ arctan ( x - t s ) {\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {\ pi}} \ cdot \ arctan \ lewo ({\ Frac {xt} {s}} \ prawej) }
Wartość oczekiwana:
nie zdefiniowano
Zmienność:
nie zdefiniowano
Zakres wartości parametrów:
x min ∈ R. + {\ Displaystyle x _ {\ min} \ in \ mathbb {R} ^ {+}} k ∈ R. + {\ Displaystyle k \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
Obraz funkcji gęstości: (niebieski), (zielony) i (czerwony)
x min = 1 , k = 1 {\ Displaystyle x _ {\ min} = 1, k = 1} x min = 1 , k = 2 {\ Displaystyle x _ {\ min} = 1, k = 2} x min = 2 , k = 1 {\ Displaystyle x _ {\ min} = 2, k = 1}
Nośnik:
[ x min , ∞ ) {\ displaystyle [x _ {\ min}, \ infty)}
Funkcja gęstości:
fa ( x ) = k x min ( x min x ) k + 1 {\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {k} {x _ {\ min}}} \ lewo ({\ Frac {x _ {\ min}} {x}} \ prawo) ^ {k + 1} }
Funkcja dystrybucyjna:
FA. ( x ) = 1 - ( x min x ) k {\ Displaystyle F (x) = 1- \ lewo ({\ Frac {x _ {\ min}} {x}} \ prawo) ^ {k}}
Wartość oczekiwana:
{ x min k k - 1 Dla k > 1 ∞ Dla k ≤ 1 {\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ Displaystyle x _ {\ min} {\ Frac {k} {k-1}} i {\ tekst {za}} k> 1 \\\ infty i {\ tekst {dla }} k \ leq 1 \ end {sprawy}}}
Zmienność:
{ x min 2 k ( k - 2 ) ( k - 1 ) 2 Dla k > 2 ∞ Dla k ≤ 2 {\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ Displaystyle x _ {\ min} ^ {2} {\ Frac {k} {(k-2) (k-1) ^ {2}}} & {\ tekst {dla }} k> 2 \\\ infty & {\ text {for}} k \ leq 2 \ end {sprawy}}}
Zobacz też linki internetowe
Dyskretne rozkłady jednowymiarowe
Ciągłe dystrybucje jednowymiarowe
<img src="//de.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![[od]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![p \ in [0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c3a52aa7b2d00227e85c641cca67e85583c43c)
![{\ displaystyle p \ in {] 0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4422a7c67c29f23fe2caa5c56d310107a3220d53)
![{\ displaystyle p \ in {] 0,1 [}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa00844369e4b0ecff8963fc6b57dcfda8ad3d66)
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
