System aksjomatów

System aksjomatów (także: system aksjomatyczny ) to system zdań fundamentalnych , aksjomatów , które są akceptowane bez dowodu iz którego logicznie wyprowadzane są wszystkie twierdzenia (twierdzenia) systemu. Wyprowadzenie odbywa się na podstawie reguł formalnego rachunku logicznego . Teoria składa się z systemu aksjomatów i wszystkich wywodzących się z niej twierdzeń. Teorie matematyczne są zwykle aksjomatyzowane jako język elementarny (także: język pierwszego poziomu z zestawem symboli) w ramach logiki predykatów pierwszego stopnia .

Generał

System aksjomatów jako produkt aksjomatyzacji dziedziny wiedzy służy precyzyjnemu, ekonomicznemu i klarownemu „przedstawieniu zdań, które mają w nim zastosowanie, oraz związków wnioskowania między nimi”. Jednocześnie aksjomatyzacja wymusza klarowną konceptualizację. Elementy systemu aksjomatycznego to:

alfabet, z którego wykonane są wyrażenia według określonych reguł;
wiele podstawowych wyrażeń - aksjomatów - i
system reguł wnioskowania logicznego (rachunku różniczkowego) do wyprowadzania dalszych wyrażeń, twierdzeń .

Przykład: teoria grup

Teorii grupa formułowane jako język elementarnej w ramach logiki bazowego pierwszego stopnia.

Alfabet: wszystkie wyrażenia języka elementarnego, który - oprócz symboli logicznych i równości (pokazanych tutaj z ) - zawiera zestaw symboli ; występuje dwucyfrowy symbol funkcji (łączenie elementów grupy) i stała (pojedynczy element). ${\ Displaystyle L ^ {S}}$ ${\ displaystyle \ equiv}$ ${\ Displaystyle S_ {Gr} = \ {\ Circ, e \}}$ ${\ displaystyle \ circ}$ ${\ displaystyle e}$
Te aksjomaty grupy są
1. ${\ Displaystyle \ forall x \ forall y \ forall Z ((x \ Circ r) \ Circ Z \ Equiv x \ Circ (Y \ Circ Z))}$
2. ${\ displaystyle \ forall x (x \ circ e \ equiv x)}$
3. ${\ displaystyle \ forall x \ istnieje r (x \ circ y \ equiv e)}$
Zastosowany system logiczny: rachunek sekwencyjny logiki predykatów pierwszego rzędu

Na tym systemie aksjomatów można zbudować całą teorię grup; re. to znaczy, wszystkie twierdzenia teorii grup można z tego wyprowadzić.

Własności systemów aksjomatów

Poniżej oznaczamy, jak zwykle, relację derywalności podstawowego rachunku logicznego (rachunek sekwencji, rachunek wnioskowania naturalnego) z ; być odpowiednią operacją wnioskowania , która w związku z tym przypisuje odpowiednią teorię do każdego zbioru M aksjomatów . ${\ displaystyle \ vdash}$ ${\ Displaystyle Cn (\ Gamma) = \ {\ mathrm {A} \ mid \ Gamma \ vdash \ mathrm {A} \}}$ ${\ Displaystyle T = Cn (M)}$

Operacja wnioskowania to operator kadłuba ; Oznacza to, że zachowuje w szczególności ( idempotencja operatora koperty ). ${\ Displaystyle Cn (T) = Cn (Cn (M)) = Cn (M)}$

Dlatego teorie są dedukcyjnie zamknięte , więc z T nie można wyprowadzić niczego, czego nie można już udowodnić na podstawie M. M jest również nazywany aksjomatyzacją T.

konsystencja

Zbiór M aksjomatów (a także odpowiadająca mu teoria T) nazywany jest spójnym (lub wolnym od sprzeczności ), jeśli z tych aksjomatów nie można wyprowadzić żadnych sprzeczności. To znaczy: nie jest możliwe wyprowadzenie zarówno zdania A, jak i jego negacji ¬ A z M (lub T) przy użyciu reguł systemu aksjomatów.

Słowami Tarskiego :

„Dyscyplinę dedukcyjną nazywa się spójną, jeśli żadne dwa twierdzenia tej dyscypliny nie są ze sobą sprzeczne lub, innymi słowy, jeśli co najmniej jednego z dwóch sprzecznych zdań (…) nie można udowodnić”.

- Tarski

niezależność

Mówi się, że wyrażenie A jest niezależne od zbioru M aksjomatów, jeśli A nie można wyprowadzić z aksjomatów w M. Podobnie, zbiór M jest niezależny od aksjomatów, jeśli każdy z aksjomatów w M jest niezależny od pozostałych aksjomatów:

${\ Displaystyle M \ setminus A \ nvdash A}$ dla każdego . ${\ displaystyle A \ in M}$

W skrócie: „Aksjomaty są niezależne, jeśli żadnego z nich nie można wyprowadzić z innych”.

kompletność

Zbiór M aksjomatów nazywamy kompletnym (także wiernym zaprzeczeniu ), jeśli dla każdego zdania A języka prawdą jest, że samo zdanie A lub jego negacja ¬ A można wyprowadzić z aksjomatów w M. Jest to równoważne z faktem, że każde rozszerzenie M przez twierdzenie, którego wcześniej nie można było udowodnić, staje się sprzeczne. To samo dotyczy teorii. Kompletne teorie charakteryzują się zatem tym, że nie mają spójnych rozszerzeń.

Uwaga: kompletność teorii lub zbioru aksjomatów jest właściwością czysto syntaktyczną i nie należy jej mylić z kompletnością semantyczną.

Modele i dowody spójności, niezależności i kompletności

Dla poniższych zakładamy, że rachunek, na którym opiera się rachunek, jest poprawny ; re. Oznacza to, że każde wyprowadzenie syntaktyczne implikuje również wnioskowanie semantyczne (jest to minimalne wymaganie dla systemu aksjomatycznego, które dotyczy np. Rachunku sekwencyjnego logiki predykatów pierwszego rzędu).

Jeśli ma model systemu aksjomatów , to M jest wolny od sprzeczności. Bo przypuśćmy, że istnieje wyrażenie A z i . Każdy model M byłby wówczas zarówno modelem, jak i - czego nie może być. ${\ displaystyle M \ vdash A}$ ${\ displaystyle M \ vdash \ neg A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ neg A}$

Tak więc spójność systemu aksjomatów można wykazać, określając jeden model. Tak więc wynika np. B. spójność powyższych aksjomatów teorii grup poprzez specyfikację konkretnego zbioru z i definicję poprzez dodanie modulo 2 ( ). ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle e = 0}$ ${\ displaystyle \ circ}$ ${\ Displaystyle 0 \ Circ 0 = 0,0 \ Circ 1 = 1 \ Circ 0 = 1,1 \ Circ 1 = 0}$

Modele można również wykorzystać do pokazania niezależności aksjomatów systemu: jeden konstruuje dwa modele dla podsystemu, z którego usunięto określony aksjomat A - jeden, w którym A zachowuje, a drugi, w którym A nie trzyma się.

Dwa modele nazywane są izomorficznymi, jeśli istnieje relacja jeden do jednego między ich elementami, która zawiera zarówno relacje, jak i funkcje. System aksjomatów, dla których wszystkie modele są ze sobą izomorficzne, nazywa się kategorialnymi . Kategoryczny system aksjomatów jest kompletny . Ponieważ system aksjomatów nie jest kompletny; re. Oznacza to, że istnieje wyrażenie A, dla którego ani A, ani nie można wyprowadzić z systemu. Jest też model dla i model dla . Te dwa modele, które oczywiście są również modelami , nie są izomorficzne. ${\ displaystyle \ neg A}$ ${\ Displaystyle M \ kubek \ {A \}}$ ${\ displaystyle M \ cup \ {\ neg A \}}$ ${\ displaystyle M}$

Systemy aksjomatyczne w poszczególnych obszarach

logika

W przypadku elementarnej logiki zdań, logiki predykatów pierwszego rzędu i różnych logik modalnych istnieją systemy aksjomatyczne, które spełniają wymienione wymagania.

W przypadku logiki predykatów wyższych poziomów można opracować tylko spójne, ale nie kompletne systemy aksjomatyczne. Problemem decyzja nie może być rozwiązany w nich.

arytmetyka

Do arytmetyki stosuje się twierdzenie Gödla o niezupełności . Omówiono to dokładniej poniżej.

geometria

Davidowi Hilbertowi udało się zaksjomatyzować geometrię euklidesową w 1899 roku .

(Inne) systemy aksjomatów z zakresu matematyki

fizyka

Günther Ludwig ustanowione w 1980 roku, co stanowi aksjomatyzacji mechaniki kwantowej przed

Językoznawstwo

W 1933 roku Karl Bühler próbował opracować aksjomatyczny system językoznawstwa .

Teoria ekonomiczna

W 1991 roku Arnis Vilks zaproponował system aksjomatów dla neoklasycznej teorii ekonomii .

System aksjomatyczny i twierdzenie Gödla o niezupełności

Twierdzenia Gödla o niezupełności z 1931 r. Mówią o co najwyżej rekurencyjnie wyliczalnych aksjomatyzowanych teoriach, które są formułowane w logice pierwszego rzędu. Zakłada się kompletny i prawidłowy rachunek dowodowy. Pierwsze zdanie mówi: Jeśli aksjomaty arytmetyki są spójne, to arytmetyka jest niekompletna. Jest więc co najmniej jedno zdanie , tak że ani jego zaprzeczenie, ani jego zaprzeczenie ¬ nie mogą być udowodnione w arytmetyce . Ponadto można wykazać, że każde rozszerzenie aksjomatów, które pozostaje rekurencyjnie wyliczalne, jest również niekompletne. Tak więc niekompletność arytmetyki jest zjawiskiem systematycznym i nie można jej naprawić prostym rozszerzeniem aksjomatów. Drugie zdanie o niezupełności mówi, że w szczególności spójności arytmetyki nie można udowodnić w aksjomatycznym systemie arytmetyki. ${\ displaystyle \ Phi _ {G}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {G}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {G}}$

Zobacz też

puchnąć

↑ Bochenski, Współczesne metody myślenia, wydanie 10 (1993), str.79
↑ ^a^b H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Wprowadzenie do logiki matematycznej. Mannheim-Lipsk-Wiedeń-Zurych; BI-Wiss. Verlag, 1992, ISBN 3-411-15603-1
↑ ^a^b^c Regenbogen / Meyer, Słownik terminów filozoficznych (2005) / System aksjomatyczny
^ Tarski, Wprowadzenie, 5 wydanie (1977), s.144
↑ Bochenski, Współczesne metody myślenia, wydanie 10 (1993), s.80
↑ patrz także Prechtl, w: Metzler Philosophie Lexikon, wyd. 2 (1999) / Axiom, Axiomensystem
↑ patrz kompletność
^ Günther Ludwig, Aksjomatyczna podstawa mechaniki kwantowej. 2 tomy, Springer 1985, 1987 (Vol. 1 Derivation of Hilbert Space Structure. Vol. 2 Quantum Mechanics and Macrosystems.).
↑ Arnis Vilks, Neoklasycyzm, Równowaga i rzeczywistość. Badanie podstaw teorii ekonomii. Physica, Heidelberg 1991, ISBN 3-7908-0569-6 .

[1] Bochenski, Współczesne metody myślenia, wydanie 10 (1993), str.79

[Ebbinghaus-2] H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Wprowadzenie do logiki matematycznej. Mannheim-Lipsk-Wiedeń-Zurych; BI-Wiss. Verlag, 1992, ISBN 3-411-15603-1

[rm-as-3] Regenbogen / Meyer, Słownik terminów filozoficznych (2005) / System aksjomatyczny

[ta144-4] Tarski, Wprowadzenie, 5 wydanie (1977), s.144

[bo80-5] Bochenski, Współczesne metody myślenia, wydanie 10 (1993), s.80

[vglPrechtl-6] trz także Prechtl, w: Metzler Philosophie Lexikon, wyd. 2 (1999) / Axiom, Axiomensystem

[7] trz kompletność

[8] Günther Ludwig, Aksjomatyczna podstawa mechaniki kwantowej. 2 tomy, Springer 1985, 1987 (Vol. 1 Derivation of Hilbert Space Structure. Vol. 2 Quantum Mechanics and Macrosystems.).

[9] Arnis Vilks, Neoklasycyzm, Równowaga i rzeczywistość. Badanie podstaw teorii ekonomii. Physica, Heidelberg 1991, ISBN 3-7908-0569-6 .

Languages