Pasek Möbiusa

Pasek Möbiusa wykonany z papieru

Taśma Möbiusa wykonana z granitu: Nieskończona pętla rzeźby autorstwa Maxa Billa wykonana z granitu Tranas ; Stadtgarten Essen (przy Hohenzollernstrasse)

Pasek Möbiusa, pętla Möbiusa lub wstęga Möbiusa opisuje powierzchnię, która ma tylko jedną krawędź i jedną stronę. Nie można go zorientować , to znaczy nie można odróżnić od dołu i od góry ani między wnętrzem a zewnętrzem.

Pas Möbiusa został opisany niezależnie w 1858 roku przez matematyka i fizyka z Getyngi Johann Benedict Listing oraz matematyka i astronoma z Lipska August Ferdinand Möbius .

opis

Odtwórz plik multimedialny

Kulki na krawędzi listwy Möbiusa zmieniają strony

Pasek Möbiusa można łatwo wykonać, sklejając długi pasek papieru obiema końcami w pierścień, ale jeden koniec należy obrócić o 180 ° przed sklejeniem. Takie paski Möbiusa mają linię środkową, która nie może zajmować koła - chyba że pasek jest miejscowo rozciągnięty. Kształt, jaki taka taśma może przyjąć w stanie nierozciągniętym, jest całkowicie opisany przebiegiem linii środkowej. Paski Möbiusa, których linia środkowa jest okręgiem nawet w stanie rozluźnionym, nie mogą być wykonane z prostego dwuwymiarowego paska papieru - mają na obwodzie nierównomiernie ukształtowane elementy podrzędne, z których można je uznać za zmontowane.

Paski Möbiusa są chiralne .

Pasek Möbiusa łączy się ze sobą w taki sposób, że jeśli zaczniesz kolorować powierzchnię na jednej z pozornie dwóch stron, na końcu pokolorujesz cały obiekt.

Pasek Möbiusa przecięty raz

Podwójne nacięcie paska Möbiusa

Inne interesujące efekty pojawiają się, gdy narysujesz linię środkową lub dwie linie równoległe do linii środkowej na taśmie i przecinasz taśmę wzdłuż tej linii, tj. Wydaje się, że jest ona przepołowiona lub trzecia. W pierwszym przypadku, tj. Podczas cięcia wzdłuż linii środkowej, powstaje podwójnie skręcony pierścień (skręcony o 720 °) z dwoma bokami i dwoma krawędziami. W drugim przypadku podwójnie skręcony pierścień jest tworzony z zewnętrznych tercji, tak jak w pierwszym przypadku środkowa tercja powoduje zawieszenie nowego paska Möbiusa. Ta gra może być kontynuowana z dowolną liczbą małych podziałów: jeśli „ćwiartujesz” wstążkę, otrzymujesz dwie podwójnie skręcone wstążki, które nie tylko zwisają razem, ale także są częściej zapętlone wokół siebie; Jeśli „piątym” to otrzymamy tę samą liczbę z dodatkowym wewnętrznym paskiem Möbiusa, który wisi w dwóch pierścieniach; Jeśli „szóstym” paskiem, otrzymujesz dwa pierścienie, które są zapętlone dwukrotnie wokół siebie i są owinięte dwa razy innym pierścieniem, przy czym zewnętrzny i dwa wewnętrzne pierścienie są wymienne w razie potrzeby; Jeśli ponownie „siódmy” zostanie dodany pasek Möbiusa, który wisi w trzech pierścieniach itd. Jeśli mianownik ułamka, na który pasek jest najwyraźniej podzielony, jest prosty , otrzymujesz pierścienie; jeśli to jest dziwne, taśma Möbiusa jest również zapętlone przez pierścienie. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle n = 2r + 1}$

Z matematycznego punktu widzenia pasek Möbiusa jest nieorientowanym kolektorem . Innym obszarem, który należy do tej kategorii jest butelka Kleina ; butelkę Kleina można podzielić na dwie części, dzięki czemu powstają z niej dwa paski Möbiusa.

W naturze

• Naładowane cząstki uwięzione w polu magnetycznym Ziemi mogą poruszać się po pasku Möbiusa.
• Cykliczne białko Kalata B1, składnik aktywny rośliny Oldenlandia. O. affinis , jako środek naturalny z. B. do indukcji porodu, ma topologię Möbiusa.

W sztuce i literaturze

Kolorystyka Möbiusa jako modyfikacja zestawu czterokolorowego

Szalik Möbius

Rzeźba Möbiusa - paski Möbiusa, każdy o grubości równej szerokości, przekrój kwadratowy, skręt o 180 °.

Logo niemieckiej prezydencji w Radzie UE 2020

Znane są przedstawienia paska Möbiusa w sztuce . B. przez M. C. Eschera (Möbius tom I i II, 1963), a ostatnio przez Gideona Möbiusa-Shermana . Tematem tym zajmuje się także argentyński film fabularny Moebius . Pasek Möbiusa jest również omawiany w literaturze: Struktura opowiadań Johna Bartha Lost in the Funhouse (ang. "Ambrose im Juxhaus") opiera się na zasadzie nieskończoności lub powtarzalności (np. Brakujący środek) paska Möbiusa. Do książki dołączony jest również pasek Möbiusa, który odzwierciedla postmodernistyczne podejście literackie („frame-tale”). Jest opatrzony etykietą: „Dawno, dawno temu była taka historia, która zaczęła się kiedyś ...”. Ta forma samoodniesienia jest typowa dla tzw. Dziwnych pętli . W swoim wierszu Topologik autor tekstów Erich Fried odwołuje się do paska Möbiusa: „Stworzyłem serce Möbiusa, które tnie się na beznadziejne paski”. Od lat trzydziestych XX wieku Max Bill stworzył liczne rzeźby, które odpowiadają wizualnym przedstawieniom paska Möbiusa : z. B. Nieskończona pętla (1935/37), Ciągłość (Jezioro Zuryskie; 1947, zniszczona 1948) lub Nieskończona pętla (Stadtgarten Essen, przy Hohenzollernstrasse; 1974). Jednak jego rzeźba Continuity (1986) nie przedstawia wstęgi Möbiusa, wbrew powszechnemu przekonaniu.

Logo zaprojektowane na sześciomiesięczną prezydencję Niemiec w Radzie Unii Europejskiej 1 lipca 2020 r. Przedstawia pas Möbiusa i symbolizuje „integracyjną i innowacyjną Europę, w której najróżniejsze osoby i interesy łączą się, tworząc wspólną całość” , zgodnie z deklaracją firmy rząd federalny w kontekście prezentacji.

Möbiusa pas również odgrywa ważną rolę w Nekroskop serii powieści autora angielskiej Brian Lumley , która istnieje już od 1986 roku . Jest to symbol niektórych postaci, ale szczególnie ważny dla głównego bohatera Harry'ego Keogha. Umiejętności podróżowania w czasie uczy się za pomocą tzw. Kontinuum Möbiusa, które zachowuje się podobnie do pasma Möbiusa.

Pasek Möbiusa jest również tematem w serii Perry-Rhodan i tutaj tworzy trójwymiarowy opis modelu dla dwóch stron -wymiarowego wszechświata (arresum i paresum). ${\ displaystyle n}$

Lars Gustafsson dalej rozwija pasek Möbiusa w swojej powieści Piękne białe ramiona Frau Sorgedahl w butelkę czasu Möbiusa, w której jesteśmy uwięzieni. Poza naszym życiem nie ma nic.

W mandze Angel Sanctuary losy wielkiego anioła Aleksiela i ciągłe odradzanie się jego duszy w ludzkich ciałach, dla których z góry ustalony jest okrutny i krwawy los, porównuje się z pętlą Möbiusa.

W 2011 roku, opublikowanym w niemieckiej powieści języka Mapa i terytorium od Michel Houellebecq , pasek Moebius jest wygrawerowany na płycie grobu fikcyjna Michel Houellebecq.

W 2011 roku student robotyki Aaron Hoover z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley stworzył skrzynię biegów Möbius jako sztuczkę techniczną wykorzystującą drukowanie 3D .

Szachy Möbius to odmiana szachów cylindrycznych , w których można również myśleć o skręcaniu pola gry podczas „łączenia” długich boków.

W grze wideo Mario Kart 8 tor Marios Piste reprezentuje pas Möbiusa. 8 w logo przedstawia również pasek Möbiusa.

Chusty Möbius również zostały zaprojektowane w modzie.

W sztuce Solaris opartych na Stanisława Lema przez Bettina Bruinier i Katja Friedrich w Münchner Volkstheater (2011), taśma Möbiusa na której jednostka napędy model samochodu jest ważną część produkcji (scenografia: Markus Karner).

Loga Commerzbanku i niemieckich targów czyszczenia budynków przedstawiają pasek Möbiusa.

GDR Avantgarde Band AG. Geige zadedykował piosenkę zespołowi Möbius na albumie Trickbeat z 1989 roku .

W technologii

mechanika

• Taśma z napędem pasowym może być zaprojektowany jako Möbiusa pasa . W skrzyniach biegów z kołami pasowymi o równoległych osiach ułatwia zakładanie i zdejmowanie paska. Przełożenie o 180 ° powinno wtedy leżeć w pustym pasie, można je delikatnie prowadzić w podłużnym środku pasa za pomocą dwóch rolek w położeniu bocznym. W wyniku tego skręcenia strefy w pobliżu krawędzi taśmy są nieco bardziej rozciągnięte. W przypadku zmiany trzepotania „obie strony pasa” zazębiają się, a materiał pasa jest zakrzywiony w jednym kierunku podczas jednego obrotu, a w przeciwnym podczas następnego.

Elektroniki użytkowej

• W przypadku Tefifonu taśma dźwiękowa zeskanowana za pomocą igły może być zaprojektowana jako taśma Möbius, ale okazało się to niepraktyczne.

Inżynieria elektryczna

• Obwody analogowe taśmy Möbius jest pierścień zliczający z inwersją ( przeciw Johnson ): sekwencja bitowy osiąga stan początkowy po dwóch cyklach tak komórek pamięci może być używany do liczyć się z; Liczenie impulsów w krótkich odstępach czasu.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$
• Jako kompaktowy rezonator o częstotliwości rezonansowej równej połowie identycznych cewek liniowych.
• Jako rezystor bezindukcyjny, znany również jako rezystor Möbiusa .

fizyka

• Jako nadprzewodnik o wysokiej temperaturze przejścia.
• Stellaratora jest typem reaktora syntezy jądrowej , w którym plazma jest wprowadzone do Moebiusa kształcie toru za pomocą odpowiednio ukształtowanych cewek.

chemia

• Jako „cząsteczki węzłów” o specjalnych właściwościach ( węzły , chiralność ).

nanotechnologia

• Jak silniki molekularne.
• Jako taśma grafenowa (nano-grafit) o ​​nowych właściwościach elektronicznych, takich jak magnetyzm helikalny.

W matematyce

Reprezentacja parametryczna

Działka pasma Möbiusa

Widoki 3D
ślimaka Möbius

Pasek Möbiusa można narysować jako powierzchnię przy użyciu następującej reprezentacji parametrów :

${\ Displaystyle x (r, \ alfa) = \ cos (\ alfa) \ cdot \ lewo (1 + {\ Frac {r} {2}} \ cos {\ Frac {\ alfa} {2}} \ prawej) }$

${\ Displaystyle y (r, \ alfa) = \ sin (\ alfa) \ cdot \ lewo (1 + {\ Frac {r} {2}} \ cos {\ Frac {\ alfa} {2}} \ prawej) }$

${\ displaystyle z (r, \ alpha) = {\ Frac {r} {2}} \ sin {\ Frac {\ alpha} {2}}}$

z i . Stwarza Möbius pasek o szerokości 1, przy czym pokrywa się z linii środkowej okręgu jednostkowego na płaszczyźnie XY . Narożnik ma wierzchołek pośrodku; gdy się zmienia, zmienność prowadzi do powierzchni, która rozciąga się między pojedynczą krawędzią. Jak łatwo zauważyć na zdjęciu po prawej, nie jest to pasek Möbiusa do wykonania z paska papieru - w poziomej części elementy podrzędne przypominają symetryczne trapezoidy . ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ alfa <2 \ pi}$${\ Displaystyle -1 \ równoważnik r \ równoważnik 1}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle r}$

Za pomocą współrzędnych cylindrycznych może przejść pasek Möbiusa ${\ displaystyle (r, \ theta, z)}$

${\ Displaystyle \ log (r) \ cdot \ sin (\ teta / 2) = z \ cdot \ cos (\ teta / 2)}$

do opisania.

topologia

Pasek Möbiusa jako przestrzeń ilorazowa

W topologii oferty matematyczny sposób wytwarzania wstęgę Möbiusa przez klejenie końce taśmy papierowej razem w przeciwnych kierunkach. Tam pasek Möbiusa jest przestrzenią ilorazową zdefiniowanego kwadratu , przy czym dwie przeciwległe strony przez relację równoważności dla każdego zidentyfikowanego są. Ilustruje to diagram po prawej stronie. ${\ Displaystyle (x, y) \ w [0,1] \ razy [0,1]}$ ${\ Displaystyle (0, r) \ sim (1,1-r)}$${\ Displaystyle 0 \ równoważnik y \ równoważnik 1}$

Pasek Möbiusa jest zwartym rozgałęźnikiem topologicznym o wymiarze 2.

geometria

W obszarze geometrii różniczkowej pasek Möbiusa jest rozumiany jako nieorientowana powierzchnia z otworem . Może być osadzony w. Taśma jest standardowym przykładem powierzchni nieorientowanej. Pasek Möbiusa pozwala na zróżnicowaną strukturę . Nie jest to jednak powierzchnia riemannowska , ponieważ powierzchnie nieorientowane nie pozwalają na tworzenie złożonych struktur .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Papierowy model paska Möbiusa omówiony w pierwszej części można rozwinąć na płaszczyznę . Dlatego znika krzywizna Gaussa takich pasków Möbiusa. Jak pokazano w sekcji dotyczącej parametryzacji paska Möbiusa, istnieją również paski Möbiusa, których nie można wywołać na płaszczyźnie. Tak więc, zgodnie z theorema egregium, nie wszystkie paski Möbiusa są izomorficzne względem siebie izometrycznie .

Rachunek wariacyjny

Nowe odkrycia dotyczące matematycznego opisu paska Möbiusa zostały opublikowane w 2007 roku przez naukowców EL Starostin i GHM van der Heijden . W szczególności obliczyli matematycznie kształt, jaki pasek Möbiusa wykonany z paska stara się przyjąć samodzielnie, aby przyjąć najniższy stan energetyczny.

literatura

• Rainer Herges: Möbius, Escher, Bach - Nieskończona więź w sztuce i nauce. W: Naturwissenschaftliche Rundschau . 58, 6, 2005, s. 301-310.
• Clifford A. Pickover: The Möbius Strip: Dr. Cudowny zespół Augusta Möbiusa w dziedzinie matematyki, gier, literatury, sztuki, technologii i kosmologii. Nowy Jork 2006.

linki internetowe

• Eric W. Weisstein : Moebius Strip . W: MathWorld (angielski).
• Pasek Möbiusa - strona internetowa z filmami (w języku angielskim).
• Zawiąż pasek Möbiusa (PDF; 271 kB; angielski).
• Logo niemieckiej prezydencji w Radzie UE 2020 - „silna więź dla zjednoczonej Europy”

Indywidualne dowody

1. ^ JJ O'Connor, EF Robertson: Johann Benedict Listing. Biografia. W: mathshistory.st-andrews.ac.uk. Źródło 10 kwietnia 2020 r.
2. ↑ ^{a b} Holger Dambeck: Licznik. Tajemnica taśmy Möbiusa rozwiązana. W: Spiegel.de . 19 lipca 2007, dostęp 10 kwietnia 2020.
3. ↑ SC Hsu, PM Bellan: Badanie wstrzykiwania helikoptera magnetycznego poprzez obrazowanie plazmowe przy użyciu szybkiej kamery cyfrowej . W: IEEE Transactions on Plasma Science . taśma 30 , nie. 1 , luty 2002, s. 10-11 , doi : 10.1109 / TPS.2002.1003898 . 
4. ^ VB Gerritsen: Białko o skręcie topologicznym. W: Protein Spotlight 20th Issue 20, marzec 2002, dostęp 10 kwietnia 2020.
5. ↑ Np. Anne Schloen: Renesans złota. Złoto w sztuce XX wieku. (PDF; 1,8 MB). W: Uni-Koeln.de. Rozprawa doktorska na Wydziale Filozoficznym Uniwersytetu w Kolonii, rozdział 2.2. Kolonia 2006, dostęp 10 kwietnia 2020.
6. ↑ Rząd federalny przedstawia motto, stronę internetową i logo. W: eu2020.de. 29 maja 2020, obejrzano 12 kwietnia 2021 . 
7. ↑ Sanktuarium Anioła . Tom 3. Carlsen Comics, 1995, str. 92.
8. ↑ Charlie Sorrel: Prawdziwy sprzęt Möbiusa roztopi twój umysł. W: Wired.com. 4 lipca 2011, dostęp 10 kwietnia 2020 . 
9. ↑ Lawendowa wiedźma: szalik Möbiusa. W: Lavendelhexe.net. 31 grudnia 2009, dostęp 10 kwietnia 2020 . 
10. ^ Anne Steiner: Produkcja w Volkstheater - Bettina Bruinier (reżyseria). W: Solaris wg Stanisława Lema - materiały do ​​inscenizacji. 27 listopada 2011.
11. ↑ Patent DE400399 : Urządzenie do fotograficznego rejestrowania dźwięków i ich odtwarzania. Opublikowano 6 sierpnia 1924 r. , Zgłaszający: Dr. Lee de Forest. ‌
12. ↑ NTZ. Wydanie 1, styczeń 1964, str. 24-34.
13. ^ W. Hilberg: Licznik 500 Mc Twisted Ring, którego rozdzielczość jest ograniczona tylko prędkością przełączania bramki . W: Nuclear Instruments and Methods . taśma 33 , 1965, s. 322-324 , doi : 10.1016 / 0029-554X (65) 90064-9 . 
14. ↑ JM Pond: Rezonatory dwumodowe Mobiusa i filtry pasmowe . W: IEEE Trans. Microwave Theory and Tech. taśma 48 , 2000, s. 2465-2471 , doi : 10,1109 / 22,898999 . 
15. ↑ Patent US3267406 : Nieindukcyjny rezystor elektryczny. Opublikowany 16 sierpnia 1966 , Wynalazca: Richard L. Davis. ‌
16. ^ R. Pérez-Enríquez: parametr strukturalny dla nadprzewodnictwa o wysokiej Tc z ośmiościennego paska Moebiusa w perowskitach typu RBaCuO: 123 . W: Rev. Mex. Fis. 48, suplement 1, marzec 2002, str. 262-267 , arxiv : cond-mat / 0308019 . 
17. ↑ Gaston R. Schaller, Rainer Herges: molekuły Möbiusa z zakrętami i skrętami. W: Chem. Comm. 2013, s. 1254-1260.
18. ^ Oleg Lukin, Fritz Vögtle : Knotting and Threading of Molecules: Chemistry and Chirality of Molecular Knots and their Assemblies . W: Angew. Chem. Int. Ed. taśma 44 , 2005, s. 1456–1477 , doi : 10.1002 / anie.200460312 . 
19. ↑ Atsushi Yamashiro, Yukihiro Shimoi, Kikuo Harigaya, Katsunori Wakabayashi: Nowe stany elektroniczne w grafenowych wstążkach - konkurujące zamówienia spinów i ładunków . W: Physica E . taśma 22 , 2006, s. 688-691 , doi : 10.1016 / j.physe.2003.12.100 , arxiv : cond-mat / 0309636v1 . 
20. ^ Manfredo Perdigão do Carmo: Różnicowa geometria krzywych i powierzchni. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7 , s. 106 ( PDF; 18,7 MB ).
21. ↑ Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic: Applied Differential Geometry. Nowoczesne wprowadzenie . World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-614-0 , s. 18 . 
22. ↑ Pasek Möbiusa . W: Guido Walz (red.): Lexicon of Mathematics . Wydanie 1. Wydawnictwo Akademickie Spectrum, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
23. ↑ EL Starostin, GHM van der Heijden: Kształt paska Möbiusa. 2007, streszczenie. W: Nature Materials ( PDF; 442 kB ).