Mediana (stochastics)

W stochastykę The mediana , zwany także centralny wartość jest miarą pozycji z rozkładów prawdopodobieństwa i rozkładów zmiennych losowych . Zatem, podobnie jak wartość oczekiwana i tryb, jest wskaźnikiem, gdzie znajduje się „środek” rozkładu prawdopodobieństwa. Mediana jest wyraźnie liczbą, dla której

• prawdopodobieństwo otrzymania wartości mniejszej lub równej medianie oraz
• prawdopodobieństwo otrzymania wartości większej lub równej medianie

jest równe. Istnieje kilka formalizacji tego intuicyjnego pojęcia, które różnią się pod względem istnienia i wyjątkowości mediany.

W statystyki opisowej , która jest mediana dla próbkowania zdefiniowane. Te dwa terminy różnią się tym, że jeden jest kluczową liczbą próby (podobną do średniej arytmetycznej ), a drugim jest rozkład prawdopodobieństwa (podobny do wartości oczekiwanej ). Oba są różne per se, ale można je połączyć poprzez dystrybucję empiryczną .

Pierwsza definicja

Dla rozkładów prawdopodobieństwa

Rozkład prawdopodobieństwa jest podane , to znaczy liczb rzeczywistych , zabezpieczone Borel w Ď-Algebra . ${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}$

Wtedy liczba rzeczywista nazywana jest medianą (z ), jeśli:${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle P ((- \ infty, m]) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$i .${\ Displaystyle P ([m, + \ infty)) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$

Dla zmiennych losowych

Podana jest rzeczywista zmienna losowa . ${\ displaystyle X}$

Wtedy liczba rzeczywista nazywana jest medianą (z ), jeśli:${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle P (X \ leq m) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$i .${\ Displaystyle P (m \ równoważnik X) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$

Dlatego mediana zmiennej losowej jest dokładnie medianą jej rozkładu . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P_ {X}}$

Definicja poprzez funkcje dystrybucji

Medianę można również zdefiniować za pomocą funkcji rozkładu . Jeśli funkcja rozkładu jest z lub z , wówczas wywoływana jest mediana (z lub z ) if ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle F (m) \ geq {\ tfrac {1} {2}} \ quad}$i .${\ displaystyle \ quad \ lim _ {t \ uparrow m} F (t) \ leq {\ tfrac {1} {2}}}$

Oto wartość graniczna w lewo . ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ uparrow m} F (t)}$

Określenie i przykłady

Z ciągłą funkcją dystrybucji

Jeśli funkcja rozkładu jest ciągła , to jest medianą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rozwiązanie równania ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle F (m) = {\ tfrac {1} {2}}}$

jest.

Opiera się to na fakcie, że wartość graniczna po lewej stronie pokrywa się wtedy z wartością funkcji.

Przykłady

Jeśli weźmiesz pod uwagę rozkład wykładniczy jako przykład , ma on funkcję rozkładu

${\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 1- \ mathrm {e} ^ {- \ lambda x} i x \ geq 0, \\ 0 i x <0. \ koniec {przypadków}}}$

dla parametru . Zrównywanie z prowadzi do równania ${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda m}}$,

co jest rozwiązaniem

${\ Displaystyle m = {\ Frac {\ ln 2} {\ lambda}}}$

posiada. W tym przypadku mediana jest wyraźna.

Ale mediana może być niejednoznaczna nawet przy stałej funkcji rozkładu. Na przykład, jeśli spojrzymy na rozkład Cantora , którego funkcja rozkładu jest pokazana po prawej stronie, to ze względu na swoją konstrukcję przyjmuje wartość w całym przedziale . Każdy punkt w tym przedziale jest zatem medianą. W przypadku stałej funkcji rozkładu mediana jest jednoznaczna, na przykład gdy funkcja dystrybucji rośnie w ściśle monotonny sposób. Dokładniej mówiąc, wyjątkowość ma już zastosowanie, gdy funkcja dystrybucji w jednym środowisku, w którym przyjmuje wartość , rośnie ściśle monotonicznie. ${\ displaystyle [{\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {2} {3}})}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Z gęstościami prawdopodobieństwa

Jeśli zmienna losowa lub rozkład prawdopodobieństwa ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa (jest to więc rozkład absolutnie ciągły ), mediana jest rozwiązaniem równania ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {m} f (x) \ mathrm {d} x = {\ tfrac {1} {2}}}$.

Wynika to bezpośrednio z faktu, że rozkłady absolutnie ciągłe zawsze mają ciągłą funkcję dystrybucji, którą można wyznaczyć za pomocą całki i instrukcji w powyższej sekcji.

Występuje tutaj kilka median, na przykład, jeśli funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest stale zerowa w przedziale czasu.

przykład

Spojrzenie na funkcję prawdopodobieństwa

${\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {if}} \ quad x \ leq -1 {\ tekst {lub}} x> 1 \\ {\ tfrac {1} {2} } & {\ text {if}} \ quad x \ in (-1, - {\ tfrac {1} {2}}] {\ text {lub}} x \ in ({\ tfrac {1} {2} }, 1] \\ 0 & {\ text {if}} \ quad x \ in (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}] \\\ end {cases} }}$,

więc jest to stałe zero w przedziale . Z podstawowych reguł całkowania wynika, że ​​każda wartość znajduje się w medianie. Rozwiązanie równania całkowego najczęściej odpowiada wyznaczeniu odpowiedniej funkcji rozkładu i dlatego może być postrzegane jako szczególny przypadek procedury opisanej w powyższej sekcji. ${\ displaystyle (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$${\ displaystyle [- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$

Jasna definicja

Podaje się rozkład prawdopodobieństwa lub rzeczywistą zmienną losową . Niech będzie funkcją dystrybucyjną or . Następnie jest nazywany ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle m = \ inf \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid F (x) \ geq {\ tfrac {1} {2}} \}}$

mediana lub . Odpowiada następującą definicję: Czy odwrotna dystrybuanta do mediana jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle m: = Q ({\ tfrac {1} {2}})}$.

Ze względu na prawną ciągłość funkcji dystrybucji, dolne minimum można również zastąpić minimum w górnej z dwóch definicji .

cechy

Mediana to kwantyl , a dokładniej kwantyl 50%.

Jeśli rozkład jest symetryczny , to znaczy zero jest medianą. Mówiąc bardziej ogólnie, oś symetrii jest medianą dowolnego rozkładu symetrycznego. ${\ displaystyle P _ {- X} = P_ {X}}$

Każda mediana minimalizuje odchylenie bezwzględne, tj. Jeśli jest zmienną losową z , zawsze ma to zastosowanie ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (| X |) <\ infty}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (| Xa |) \ geq \ operatorname {E} (| Xm |)}$ dla wszystkich ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$

a równość obowiązuje wtedy i tylko wtedy, gdy jest również medianą. ${\ displaystyle a}$

Relacja z medianą statystyki opisowej

Mediana w statystyki opisowej (jako kluczowa postać próbki) może być związana z medianą prawdopodobieństwo dystrybucji poprzez rozkładu empirycznego : Jeżeli próbka jest podana i rozkład empiryczny jest wtedy Mediana (w sensie teorii prawdopodobieństwa) od Mediana (w sensie statystyki opisowej) z . Jednak ze względu na różne definicje mogą wystąpić niewielkie odchylenia. ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n})}$${\ Displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x}$

Dalsze definicje

Mediana jest uważana za najbardziej bezpośrednią wartość, dla której

${\ Displaystyle P (X \ równoważnik m) = {\ Frac {1} {2}} = P (X \ geq m)}$

ma zastosowanie lub jest zdefiniowana. Jednak istnienie mediany nie jest gwarantowane w obu definicjach. Tak jest dla ${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}})}$

${\ Displaystyle P (X = 0) = 0 {,} 2 = 1-P (X = 1)}$

zawsze , ponieważ funkcja dystrybucji nigdy nie przyjmuje wartości . Podobnie nie ma , więc powyższy łańcuch równań jest spełniony: bo wszystko jest , jak dla wszystkich nadal obowiązuje. ${\ Displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = \ emptyset}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m <1}$${\ displaystyle P (X \ leq m) <{\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle m \ geq 1}$${\ Displaystyle P (X \ równoważnik m) = 1}$

Ponadto należy zauważyć, że funkcje dystrybucyjne w starszej literaturze rosyjskojęzycznej są definiowane jako ciągłe lewostronnie, a nie tak ciągłe prawostronnie, jak w obszarze niemieckojęzycznym. Na przykład w przypadku uczciwego rzutu monetą raz zamiast . ${\ Displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = (0,1]}$${\ Displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = [0,1)}$

linki internetowe

• Mediana (w statystykach) . W: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopaedia of Mathematics . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (angielski, online ). 
• VV Senatov: Quantiles . W: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopaedia of Mathematics . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (angielski, online ). 
• Eric W. Weisstein : Mediana statystyczna . W: MathWorld (angielski).

literatura

• Christian Hesse : Stosowana teoria prawdopodobieństwa . Wydanie 1. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2 , doi : 10.1007 / 978-3-663-01244-3 . 
• Norbert Kusolitsch: Teoria miary i prawdopodobieństwa . Wstęp. Wydanie drugie poprawione i rozszerzone. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-45387-8 . 

Indywidualne dowody

1. ^ Hans-Otto Georgii: Stochastics . Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i statystyki. Wydanie 4. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , s. 101 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
2. ↑ ^{a b} Hans-Otto Georgii: Stochastics . Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i statystyki. Wydanie 4. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , s. 233 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
3. ↑ Norbert Kusolitsch: Teoria miary i prawdopodobieństwa . Wstęp. Wydanie drugie poprawione i rozszerzone. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , s. 113 , doi : 10.1007 / 978-3-642-45387-8 .