Suma Ramanujana

Ponieważ suma Ramanujana jest w teorii liczb , gałąź matematyki , pewna suma skończona , zależy od wartości liczby naturalnej i liczby całkowitej . Ona przechodzi ${\ displaystyle c_ {q} (n)}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle c_ {q} (n) = \ suma _ {a = 1 \ atop (a, q) = 1} ^ {q} e ^ {2 \ pi ja {\ frac {a} {q}} n }}$

Są określone. Notacja oznacza największy wspólny dzielnik z i sumowanie rozciąga się więc na numery z którego jest liczbą pierwszą. Sumy w sumie są potęgami ustalonego złożonego pierwiastka jedności . ${\ displaystyle (a, q)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 1 \ leq a \ leq q}$${\ displaystyle q}$

S. Ramanujan wprowadził te kwoty w 1916 roku. Odgrywają one ważną rolę w sposobie okręgu o Hardy , Littlewoodem i Winogradow . → Zobacz także wielomian trygonometryczny .

Z sum Ramanujana można uzyskać interesujące reprezentacje funkcji teorii liczb, które pozwalają na analityczną kontynuację tych funkcji.

Pisownia

Dla jasnej reprezentacji teoria liczb jest zapisana w skrócie, a funkcja nazywa się funkcją wykładniczą opartą na teorii liczb .${\ Displaystyle e (x) = e ^ {2 \ pi ix}}$${\ displaystyle e}$

Dzięki wykładniczej funkcji teoretycznej liczby sumę Ramanujana można wyrazić jako ${\ displaystyle c_ {q} (n)}$

${\ Displaystyle c_ {q} (n) = \ suma _ {a = 1 \ na szczycie (a, q) = 1} ^ {q} e \ lewo ({\ Frac {a} {q}} \ cdot n \ dobrze)}$ pisać.

Dla liczb całkowitych i jeden zapisuje , czytaj „a dzieli b”, jeśli istnieje liczba całkowita, z którą nie ma takiej liczby, pisze się , czytaj „a nie dzieli b”. Symbol sumowania oznacza, że ​​indeks sumowania przebiega przez wszystkie pozytywne czynniki . Dla potęgi pierwszej i liczby całkowitej pisze się (czytaj „ dokładnie dzieli b”), ale jeśli , innymi słowy, jeśli . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ mid b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle b = a \ cdot c}$${\ displaystyle a \ nmid b}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {d \, \ mid \, m} f (d)}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle p ^ {k}, k \ in \ mathbb {N} \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle p ^ {k} \ równolegle b}$${\ displaystyle p ^ {k}}$${\ displaystyle p ^ {k} \ mid b}$${\ Displaystyle p ^ {k + 1} \ nmid b}$${\ Displaystyle (p ^ {k + 1}, b) = p ^ {k}}$

Podstawowe właściwości

Jeśli posiadasz jedną ze zmiennych lub w sumie Ramanujan za stałą, wynikiem jest liczba teoretycznie funkcja jako funkcja innych zmiennych, musi za to określenie zmiennej aby być ograniczone. W przypadku stałej , funkcja jest - okresowa , czyli ma zastosowanie ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle c_ {q} (n)}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n \ mapsto c_ {q} (n)}$ ${\ displaystyle q}$

${\ Displaystyle c_ {q} (m) = c_ {q} (n)}$jeśli .${\ Displaystyle m \ equiv n {\ pmod {q}}, n, m \ in \ mathbb {Z}}$

Jeśli pominie się warunek liczb względnie pierwszych w sumowaniu, otrzymamy

${\ Displaystyle \ sum _ {a = 1} ^ {q} e \ lewo ({\ Frac {a} {q}} \ cdot n \ prawo) = {\ rozpocząć {przypadki} q \ quad {\ tekst {jeśli }} \; n \ equiv 0 {\ pmod {q}} \\ 0 \ quad {\ text {inaczej,}} \ end {przypadki}}}$

ponieważ wtedy lewa strona jest sumą geometryczną. Jeśli posortujemy sumę według największego wspólnego dzielnika i , otrzymamy splot Dirichleta funkcji teorii liczb z funkcją stałą : ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q \ mapsto c_ {q} (n)}$${\ Displaystyle I ^ {0} (q) = 1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {a = 1} ^ {q} e \ lewo ({\ Frac {a} {q}} \ cdot n \ prawo) = \ suma _ {d \ mid q} \ sum _ {a = 1 \ atop (a, q) = d} ^ {q} e \ left ({\ frac {a} {q}} \ cdot n \ right) = \ sum _ {d \ mid q} c_ {q / d} (n)}$.

Z tego wynika odwrotna formuła Möbiusa :

${\ displaystyle c_ {q} (n) = \ suma _ {{d \ mid q} \ atop {n \ equiv 0 {\ pmod {d}}}} \ mu (q / d) \ cdot d = \ suma _ {d \ mid (q, n)} \ mu (q / d) \ cdot d.}$

Wynika z tego:

• Suma Ramanujana zawsze przyjmuje wartości rzeczywiste, a nawet całkowite,${\ displaystyle c_ {q} (n)}$
• to jest , ,${\ Displaystyle c_ {q} (n) = c_ {q} (- n)}$${\ Displaystyle c_ {q} (0) = \ varphi (q)}$
• na stałe jest to multiplikatywna funkcja teoretyczna liczby , to znaczy${\ displaystyle n}$${\ displaystyle q}$

z następujących${\ Displaystyle (q, r) = 1}$${\ Displaystyle c_ {qr} (n) = c_ {q} (n) \ cdot c_ {r} (n)}$

• i zawsze ma to zastosowanie .${\ Displaystyle c_ {q} (n) = c_ {q} ((q, n))}$
• Ramanujan suma może być reprezentowany przez funkcję cp Eulera i Funkcja Möbiusa :${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle c_ {q} (n) = \ varphi (q) \ cdot {\ Frac {\ mu (q / (q, n))} {\ varphi (q / (q, n))}}}$(dla jednego zestawu , bardziej ogólnie jako dodatni GCD),${\ displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle (q, 0) = q}$${\ displaystyle (q, n)}$

• ich wartości są ograniczone kwotowo w przypadku kwot stałych ,${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle \ varphi (q)}$
• nie jest wolny od kwadratów , tak jest .${\ Displaystyle \! \, q / (q, n)}$${\ displaystyle c_ {q} (n) = 0}$

Sumy Ramanujana do reprezentacji funkcji teoretycznych liczb

Ramanujan już pokazał dla niektórych ważnych przypadków specjalnych, że dzięki jego sumom można uzyskać interesujące reprezentacje funkcji teorii liczb. W tym celu wprowadzono specjalny rodzaj dyskretnej transformaty Fouriera dla teoretycznych funkcji największego wspólnego dzielnika:

Be i funkcja teorii liczb. Następnie jest nazywany ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {Z}, \; q \ w \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle F_ {f} (n, q) = \ suma _ {a = 1} ^ {q} f ((a, q)) \ cdot e \ lewo (- {\ Frac {a} {q}} \ cdot n \ right)}$

dyskretnej transformaty Fouriera z .${\ Displaystyle f ((n, q))}$

Poniższe dotyczy tej transformaty Fouriera:

1. ${\ Displaystyle F_ {f} (n, q) = (f * c _ {\ podkreślenie {\ quad}} (n)) (q) = \ suma _ {d \ mid q} f \ lewo ({\ Frac {q} {d}} \ right) \ cdot c_ {d} (n)}$ i
2. ${\ Displaystyle f ((n, q)) = {\ Frac {1} {q}} \ suma _ {a = 1} ^ {q} F_ {f} (a, q) e \ lewo ({\ Frac {a} {q}} \ cdot n \ right)}$dla transformacji odwrotnej .

W tych przekształceniach równania determinujące muszą uwzględniać tylko skończoną liczbę współczynników z dodatnim indeksem, tworząc największy wspólny czynnik.

Przykłady

• Największy wspólny dzielnik:

${\ Displaystyle (n, q) = \ suma _ {a = 1} ^ {q} e \ lewo ({\ Frac {a} {q}} \ cdot n \ prawo) \ cdot \ suma _ {d \ mid q} {\ frac {c_ {d} (a)} {d}}}$. Ta reprezentacja pozwala analityczne kontynuację największy wspólny dzielnik w pierwszej kolejności na tej całej funkcji !${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {C}}$

• Funkcja φ Eulera:

${\ Displaystyle \ varphi (q) = \ suma _ {a = 1} ^ {q} (a, q) \ cdot e \ lewo (- {\ Frac {a} {q}} \ prawej)}$. Z tego wynikają relacje trygonometryczne, dzieląc je na części rzeczywiste i urojone

${\ Displaystyle \ suma _ {a = 1} ^ {q} (a, q) \ cdot \ cos \ lewo (2 \ pi \ cdot {\ Frac {a} {q}} \ prawej) = \ varphi (q ) \ quad}$ i ${\ Displaystyle \ sum _ {a = 1} ^ {q} (a, q) \ cdot \ sin \ lewo (2 \ pi \ cdot {\ Frac {a} {q}} \ prawej) = 0}$

• Funkcję dzielnika można jawnie przedstawić jako szereg za pomocą sum Ramanujana:${\ displaystyle \ sigma _ {k}}$${\ displaystyle k> 0}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ zeta (k + 1) n ^ {k} \ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {c_ {m} (n)} {m ^ {k + 1}}}.}$

Obliczenie pierwszych wartości pokazuje fluktuacje wokół „średniej wartości” ( średni rząd wielkości ) : ${\ displaystyle c_ {m.} (n)}$${\ Displaystyle \ zeta (k + 1) n ^ {k}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ zeta (k + 1) n ^ {k} \ lewo [1 + {\ Frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {k + 1) }}} + {\ frac {2 \ cos {\ frac {2 \ pi n} {3}}} {3 ^ {k + 1}}} + {\ frac {2 \ cos {\ frac {\ pi n } {2}}} {4 ^ {k + 1}}} + \ cdots \ right]}$

• Rodzaj ortogonalności dla sum Ramanujana: Niech jedna funkcja o teorii liczb, tj. Element neutralny operacji splotu z${\ Displaystyle \ eta (n)}$

${\ Displaystyle \ eta (n) = {\ rozpocząć {przypadków} 1 \ quad (n = 1) \\ 0 \ quad \ lewo (n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ lbrace 1 \ rbrace \ prawej)). \ end {sprawy}}}$

Następnie następuje odwrotna transformata Fouriera dla ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {Z} \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace, q \ w \ mathbb {N}:}$

${\ Displaystyle \ eta ((n, q)) = {\ Frac {1} {q}} \ suma _ {a = 1} ^ {q} c_ {q} (a) \ cdot e \ lewo ({\ frac {a} {q}} \ cdot n \ right).}$

To znaczy: Dokładnie wtedy, gdy suma po prawej stronie nie znika, liczby i są pierwsze. Wtedy prawa strona równania ma wartość 1.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle q}$

literatura

• Jörg Brüdern : Wprowadzenie do analitycznej teorii liczb . Springer, Berlin, Heidelberg, Nowy Jork 1995, ISBN 3-540-58821-3 . 
• Godfrey Harold Hardy : Ramanujan: Dwanaście wykładów na tematy sugerowane przez jego życie i pracę . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne / Chelsea, Providence 1999, ISBN 978-0-8218-2023-0 . 
• Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright : Wprowadzenie do teorii liczb . Wydanie 5. Oxford University Press , Oxford 1980, ISBN 978-0-19-853171-5 . 
• John Knopfmacher: Abstrakcyjna analityczna teoria liczb . Nowa edycja. Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-66344-2 . 
• Srinivasa Ramanujan: O pewnych sumach trygonometrycznych i ich zastosowaniach w teorii liczb . W: Transactions of the Cambridge Philosophical Society . taśma 22 , nie. 15 , 1918, s. 259-276 . 
• Srinivasa Ramanujan: O pewnych funkcjach arytmetycznych . W: Transactions of the Cambridge Philosophical Society . taśma 22 , nie. 9 , 1916, s. 159-184 . 
• Srinivasa Ramanujan: Zebrane dokumenty . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne / Chelsea, Providence 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6 . 
• Robert Charles Vaughan : Metoda Hardy'ego-Littlewooda . Wydanie 2. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-57347-5 . 
• Wolfgang Schramm: Transformacja Fouriera funkcji największego wspólnego dzielnika . W: Integers: Electronic Journal of Combinatorical Number Theory . taśma 8 , nie. 50 , 2008 ( emis.de [PDF]). 
• Ivan Matveevitch Vinogradov: Metoda sum trygonometrycznych w teorii liczb . Przetłumaczone z języka rosyjskiego i opatrzone komentarzami Klausa Friedricha Rotha i Anne Ashley Davenport. Nowy Jork, Dover 2004. 

Indywidualne dowody

1. ↑ Ramanujan (1916)
2. ^ Vaughan (1997)
3. ↑ Brüdern (1995) str.20.
4. ↑ Lemat Brüdern (1995) 1.3.1
5. ↑ ^{a b c} Schramm (2008)
6. ↑ E. Krätzel: Teoria liczb . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, s. 130 .