Rotacja (fizyka)

Obrót również ruch obrotowy , ruch obrotowy , ruch obrotowy lub gyral ruch , w fizyce klasycznej przemieszczanie się korpusu wokół osi obrotu . Termin jest używany zarówno do pojedynczego obrotu o pewien kąt, jak i do ciągłego ruchu z określoną prędkością kątową . Oś obrotu może, ale nie musi przechodzić przez środek ciężkości ciała. Należy odróżnić omawiany tu obrót od ruchu okrężnego , w którym ciało obraca się wokół koła bez zmiany jego orientacji, a wszystkie punkty ciała poruszają się po kołach tej samej wielkości i są przesunięte względem siebie. Te dwie formy ruchu pokrywają się tylko z ruchem masy punktowej .

Obrotowe pierścienie

W fizyce termin ten należy do podobszarów mechaniki i kinematyki . W astronomii występuje między innymi w związku ze zmianami rotacji Ziemi i ruchami innych obiektów aż do galaktyk . Codzienne aplikacje i przykłady, które są często używane do jasnego wyjaśnienia zjawisk związanych z obrotem, to góra i karuzela .

Podczas obrotu wszystkie punkty osi obrotu pozostają na swoim miejscu ( punkty stałe ), podczas gdy wszystkie inne punkty poruszają się wokół niej w ustalonej odległości od osi po okręgu prostopadłym do osi pod tym samym kątem lub z tą samą prędkością kątową. Dlatego też długości linii łączących dla dwóch punktów na obiekcie i kąty między nimi również pozostają takie same.

Parametry rotacji

Skończony obrót jest wyraźnie scharakteryzowany przez określenie stałego punktu i wektora, który leży równolegle do osi obrotu i który określa kąt obrotu na podstawie swojej długości. W przypadku progresywnego ruchu obrotowego wektorem tym jest prędkość kątowa. Obrót wokół określonego punktu stałego układu odniesienia można zatem opisać za pomocą trzech składowych skojarzonego wektora. Inną możliwością jest określenie trzech kątów Eulera .

Porównanie z ruchem postępowym

W poniższej tabeli zestawiono charakterystyczne ilości i równania ruchu dla translacyjnego ruchu z danymi o ruchu obrotowym . Dzięki analogiom każde zdanie dotyczące tłumaczenia można zamienić na zdanie o rotacji, zastępując odpowiednie wielkości.

Ruch translacyjny	Ruch obrotowy
Wektor pozycji : ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$	Kąt obrotu lub macierz obrotu : ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle A}$
Prędkość : ⁽¹⁾ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ kropka {\ vec {r}}}}$	Prędkość kątowa : ⁽³⁾ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ kropka {\ psi}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {1} + {\ dot {\ theta}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {2} + {\ dot {\ phi}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {3}}$
Przyspieszenie : ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ kropka {\ vec {v}}} = {\ ddot {\ vec {r}}}}$	Przyspieszenie kątowe : ${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ kropka {\ vec {\ omega}}}}$
Masa : ( skalarna ) ${\ displaystyle \ m}$	Tensor bezwładnościowy : ( tensor drugiego rzędu , w szczególnych przypadkach skalarny ) ⁽²⁾ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Theta}}$ ${\ displaystyle I}$
Moc : ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$	Moment obrotowy : ${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ razy {\ vec {F}}}$
Impuls : ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m \, {\ vec {v}}}$	Moment pędu ⁽²⁾ : ${\ Displaystyle {\ vec {L}} = \ mathbf {\ Theta} {\ vec {\ omega}}}$
Napęd (liniowy) / impuls : ${\ Displaystyle \ Delta {\ vec {p}} = \ int {\ vec {F}} \ mathrm {d} t}$	Napęd (obrót) / szok obrotowy : ${\ Displaystyle \ Delta {\ vec {L}} = \ int {\ vec {M}} \ mathrm {dt}}$
Energia kinetyczna : ${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ Frac {1} {2}} m \, {\ vec {v}} ^ {2} \ equiv {\ Frac {1} {2}} {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {p}}}$	Energia rotacyjna : ${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {rot}} = {\ Frac {1} {2}} {\ vec {\ omega}} \ cdot \ mathbf {\ Theta} {\ vec {\ omega}}}$
Praca : ${\ Displaystyle W = \ int {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}} = \ int {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} \ \ mathrm {d} t}$	Praca z ruchem obrotowym (praca toczenia): ${\ Displaystyle W = \ int {\ vec {M}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ varphi}} = \ int {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {\ omega}} \ \ mathrm {d} t}$
Wydajność : ${\ Displaystyle P = {\ kropka {W}} = {\ vec {F}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {s}}} {\ mathrm {d} t}} = { \ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}}}$	Moc obrotowa (moc obrotowa): ${\ displaystyle P = {\ kropka {W}} = {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {\ omega}}}$
Równania ruchu
Ogólne: Siła jest związana ze zmianą pędu ( zestaw pędu ): ${\ displaystyle {\ kropka {\ vec {p}}} = {\ vec {F}}}$	Ogólne: moment obrotowy jest powiązany ze zmianami momentu pędu (zasada skręcenia ): ${\ displaystyle {\ kropka {\ vec {l}}} = {\ vec {M}}}$
W przypadku stałej masy ( drugi aksjomat Newtona ): ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m \, {\ vec {a}} = {\ vec {F}}}$	W przypadku stałego momentu bezwładności : ⁽²⁾ ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle I {\ vec {\ alpha}} = {\ vec {M}}}$

⁽¹⁾Punkt nad ilością oznacza, że jest to zmiana w czasie ( pochodna ). Punkt między dwoma wektorami oznacza iloczyn skalarny.

{\ Displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}

⁽²⁾Generalnie i nie jest skierowany w tym samym kierunku (obracający się korpus będzie się „kołysał” lub wytrącał ), więc moment bezwładności nie jest na ogół stały. Ekwiwalentem masy ruchu postępowego jest zatem tensor drugiego rzędu - tensor bezwładności . Stały moment bezwładności występuje właśnie wtedy, gdy ciało obraca się wokół jednej z głównych osi bezwładności .

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}

{\ Displaystyle {\ vec {L}} = \ mathbf {\ Theta} {\ vec {\ omega}}}

⁽³⁾wyrażone w pochodnych kątów Eulera . Osie obrotowe (wektory jednostkowe).

{\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {i}}

Sztywny obrót ciała

Aby jasno opisać orientację ciała sztywnego w przestrzeni, potrzebne są trzy specyfikacje skalarne (kąty). Dwa z nich wskazują tylko kierunek jego osi obrotu, trzeci to, jak daleko ciało zostało obrócone wokół tej osi.

Ruch obrotowy ciała sztywnego ma co najmniej dwie stabilne osie obrotu (oś wolną od momentu) przez środek masy przy swobodnym ruchu obrotowym: główna oś bezwładności z najmniejszym lub największym momentem bezwładności jest stabilna. Jeśli wszystkie trzy główne momenty bezwładności są różne, obrót wokół głównej osi bezwładności ze średnim głównym momentem bezwładności jest w stanie niestabilnym, ponieważ najmniejsze zakłócenia prowadzą do silnych ruchów oszałamiających (patrz np. Efekt Dschanibekowa ).

Jeśli spróbujesz obrócić sztywny korpus wokół innej osi niż jedna z jego głównych osi bezwładności, pojawią się momenty, które chcą spowodować zmianę bieżącej osi obrotu. Jeśli oś nie jest utrzymywana na miejscu przez łożyska, które wywierają na nią momenty , nadwozie będzie się chwiać.

W przypadku obrotu bez siły, zachowany jest moment pędu, który na ogół nie jest współliniowy z prędkością kątową. Zatem oś obrotu zmienia się w sposób ciągły, który jest potocznie znany jako „zdumiewające” lub „jajko”, technicznie i naukowo - w zależności od rodzaju osi ruchu - jak chwieje od tej osi obrotu lub jako wtórny osi błędu , precesji lub nutacji .

Niezależnie od innych wpływów, każdy wierzchołek jest quasi-integrowalny, z bardzo małą lub dużą energią (w porównaniu z potencjalną różnicą energii między dolnym i górnym martwym punktem) w rotacji. Najbardziej chaotyczne ruchy w typach niecałkowalnych występują, niezależnie od kształtu, kiedy energia kinetyczna wierzchołka jest wystarczająca do osiągnięcia górnego martwego punktu. Bardziej precyzyjne leczenie przeprowadza się za pomocą równań żyroskopowych Eulera , bardziej szczegółowe wyjaśnienia znajdują się w głównym artykule lub tam.

W następujących szczególnych przypadkach równania żyroskopowe Eulera można rozwiązać analitycznie. Te trajektorie układu, w szczególności prędkości kątowe, mają tu okresowe kurs.

Sprawa Eulera

Przypadek Eulera opisuje blat zawieszony dokładnie w środku ciężkości . Niezależnie od kształtu wierzchołka, przypadek jest całkowalny , ponieważ istnieje więcej zachowanych wielkości niż stopni swobody : energia i moment pędu względem wszystkich trzech kierunków przestrzennych w układzie inercjalnym.

Czy masa obracającego się ciała wokół osi obrotu jest rozłożona symetrycznie , tak więc działają na oś sprężyn dowolne siły obrotowe , ponieważ bezwładność ( siła odśrodkowa ) każdego Massenteilcens jest równa i przeciwnie znoszona; taka oś nazywana jest wolną osią lub główną osią bezwładności. Jeśli jednak obrót nie odbywa się wokół swobodnej osi, wówczas - nawet w bryle symetrycznej - powstają momenty sił odśrodkowych pozostające w dynamicznej równowadze z momentami sił Eulera , które są wyrazem ruchu osi obrotu.

Żyroskop Euler znajduje z. B. Zastosowanie techniczne w kompasach żyroskopowych i żyroskopowych systemach sterowania.

Upadek Lagrange

W przypadku Lagrange'a zakłada się, że momenty bezwładności odpowiadają dwóm głównym osiom. Spełniają to na przykład ciała promieniowo symetryczne . W tym przypadku istnieją trzy wielkości zachowania fizycznego: energia, całkowity moment pędu i moment pędu względem osi z (w kierunku pola siłowego). W stosunku do obracającego się ciała kierunek pola siłowego zmienia się w sposób ciągły, ale wektor kierunkowy ma zawsze tę samą długość: definiuje to czwartą, czysto geometryczną wielkość zachowania, która występuje podczas opisywania ruchu w polu sił.

Ponieważ każda cząstka masy obracająca się wokół swobodnej osi ma tendencję do pozostawania w swojej płaszczyźnie obrotu prostopadłej do osi, zgodnie z bezwładnością , sama swobodna oś musi również wykazywać tendencję do utrzymywania swojego kierunku w przestrzeni, a tym samym stać się siłą, która chce ją wynieść z tego kierunku , im większy moment bezwładności i prędkość kątowa wirującego ciała , tym większy opór . To dlatego blat, który obraca się wystarczająco szybko , nie przewraca się, nawet jeśli jego oś jest krzywa, tak jak koła , monety itp. Nie przewracają się, gdy są przewracane po krawędzi lub „tańczą” wokół średnicy pionowej .

Wpływ siły zakłócającej na żyroskop wyraża się w tym, że jego oś odchyla się w kierunku prostopadłym do kierunku działania siły zakłócającej i opisuje powierzchnię stożka w ruchu powolnym bez zmiany nachylenia osi do płaszczyzny poziomej. Ten ruch jest znany jako nutacja .

Upadek Lagrange jest realizowany przez typowy bączek z zabawkami, jeśli ustawisz jego punkt kontaktu na ziemi. Koła rowerów i motocykli również zachowują się jak żyroskopy w polu grawitacyjnym i oprócz prowadzenia pojazdu pomagają ustabilizować pojazd poprzez wysiłki mające na celu dostosowanie momentu pędu do momentu ciężaru . Zobacz też: jazda na rowerze .

Sprawa Kovalevskaya

Kovalevskaya żyroskop , nazwany Sofja Kovalevskaya , ma te same momenty bezwładności względem dwóch jego głównych osi i dokładnie połowa to samo w odniesieniu do trzeciej osi głównej. Fizyczne wielkości zachowawcze to energia, całkowity moment pędu i złożone wyrażenie matematyczne, dla którego nie ma ogólnie zrozumiałego odpowiednika.

Sprawa Goryachew-Chaplygin

Przypadek Dmitrija Nikanorowitscha Goryacheva (Goryachev) i Tschaplygin (Chaplygin) jest modyfikacją przypadku Kovalevskaya, który wymaga jednej czwartej, zamiast połowy trzeciego momentu bezwładności. W tym przypadku jednak istnieje tylko trzecia wielkość zachowania fizycznego, jeśli moment pędu w kierunku pola siłowego początkowo zanika. Ta składowa pędu jest wielkością zachowawczą, a zatem w tym przypadku trwale zerową.

Indywidualne dowody

↑ Hans Schmiedel, Johannes Süss: Fizyka - dla zawodów technicznych . Wydanie 16, Büchner, Hamburg 1963, s.74.
^ Teoretyczne dochodzenie w sprawie Goryachew-Chaplygin .

literatura

Peter Brosche, Helmut Lenhardt: Ruch bieguna z obserwacji FW Bessela 1842–1844 . W: zfv , czasopismo dla geodezji, geoinformacji i gospodarki gruntami , nr 6/2011, s. 329–337, DVW e. V. (redaktor), Wißner-Verlag, Augsburg 2011, ISSN 1618-8950 , on earth rotating .

linki internetowe

Wikisłownik: Rotacja - wyjaśnienia znaczeń, pochodzenie słów, synonimy, tłumaczenia

Wikisłownik: rotate - wyjaśnienia znaczeń, pochodzenie słów, synonimy, tłumaczenia

[1] Hans Schmiedel, Johannes Süss: Fizyka - dla zawodów technicznych . Wydanie 16, Büchner, Hamburg 1963, s.74.

[2] Teoretyczne dochodzenie w sprawie Goryachew-Chaplygin .

Languages