Zdanie (matematyka)

W matematyce, propozycja lub twierdzenie jest spójne logiczne stwierdzenie , które mogą być uznane za prawdziwe za pomocą dowodu , że jest, można wyprowadzić z aksjomatów , definicji i twierdzeń już znanych.

Zdanie jest często określane inaczej w zależności od jego roli, znaczenia lub kontekstu. W artykule lub monografii (np. Rozprawie lub podręczniku) stosuje się

Lemat (lub klauzula pomocnicza ) dla stwierdzenia, które jest używane tylko w dowodzie innych zdań w tym samym dziele i niezależnie od tego nie ma znaczenia,
Twierdzenie dotyczące stwierdzenia, które jest również istotne lokalnie, na przykład twierdzenie używane w więcej niż jednym dowodzie,
Twierdzenie (lub twierdzenie ) dotyczące podstawowej wiedzy przedstawionej w pracy, i
Wniosek (lub blok sekwencyjny ) dla trywialnego wniosku, wyniki ze zbioru lub definicji bez większego wysiłku.

Zaklasyfikowanie wyroku do jednej z powyższych kategorii jest subiektywne i nie ma wpływu na wykonanie wyroku. Wielu autorów rezygnuje z terminu zdanie i używa do tego lematu lub twierdzenia . Również następstwo nie zawsze jest zestaw wyróżnia. Z drugiej strony jest dość powszechne i pomocne dla czytelnika, jeśli czyste klauzule pomocnicze są rozpoznawalne jako takie.

Zdania, które są ogólnie znane i zwykle nie są cytowane wraz z oryginalnym źródłem, zawierają nazwę tematu, na który się wypowiadają, lub nazwisko autora lub jedno i drugie. W tym kontekście używane są również terminy klauzula podstawowa lub klauzula główna (dziedzina matematyki), a rozróżnienie między klauzulą a lematem często rozwijało się w przeszłości, a nie było określane przez treść i znaczenie. Wiele przykładów takich nazw można znaleźć na Liście twierdzeń matematycznych .

Przykłady zdań

Poniżej znajduje się kilka prostych zdań. W nawiasach podano rachunek, którego należy użyć.

Jeśli każdy człowiek jest śmiertelny, a Sokrates jest człowiekiem, to Sokrates jest śmiertelny. ( Logika predykatów ).
Każdy niepusty zestaw ma co najmniej jeden element . ( Teoria mnogości )
Suma tych wewnętrznych kątów w trójkącie 180 stopni . ( Geometria euklidesowa )
Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje większa liczba naturalna . ( Porządek Archimedesa , analiza )
Nie ma czegoś takiego jak liczba wymierna, której kwadrat wynosi 2. ( Teoria liczb )
Niech będzie stabilnie . Wtedy też jest stabilny. (Analiza) ${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ circ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

budowa

sformułowanie

Chociaż matematycznym zestaw z rachunku mogą być wykonane z dowolnego kształtu (np „nie V lub A ”)., Matematyczne twierdzenie głównie w trybie łączącym sformułowany wymóg i jako deklaratywna zdania sformułowanego oświadczenia podzielonej (przykład: „Bądź V . Wtedy A. ”), tak że powstaje wrażenie implikacji .

Uwaga: Nieostrożne usuwanie i używanie poszczególnych części zdania może prowadzić do fałszywych wniosków, ponieważ te części generalnie nie muszą być ważne.

Przykłady

„ ” ${\ Displaystyle n \ notin \ mathbb {N} \ quad \ vee \ quad n {\ mbox {nie jest liczbą pierwszą}} \ quad \ vee \ quad n = 2 \ quad \ vee \ quad n {\ mbox {jest dziwne} }}$
„Niech n będzie liczbą pierwszą . Dla n obowiązuje, co następuje: " ${\ Displaystyle n = 2 \ quad \ vee \ quad n \ w 2 \ cdot \ mathbb {N} +1}$
„ Kiedy pada deszcz, droga staje się mokra. „(To nie jest zdanie w sensie matematycznym)
Z geometrii płaszczyzny: „ Jeśli to prawdziwy plac jest równoległobok , a następnie przeciwległe boki są tej samej długości. ”(Tutaj„ prawdziwy kwadrat ”oznacza, że zdegenerowane i przewrócone kwadraty są wyłączone z rozważań).

Twierdzenie odwrotne

Jeśli zamienisz przesłankę i zdanie zdania w zdaniu , otrzymasz odpowiednie zdanie odwrotne. Są to logiczne stwierdzenia w formie „stwierdzenie wymagań ”. Należy zatem dokonać rozróżnienia między następującymi przypadkami:

Jeśli klauzula odwrotna nie jest klauzulą - to znaczy jest fałszywa - to przesłanka klauzuli jest wystarczająca, ale nie jest konieczna .
Jeżeli zdanie odwrotne jest zdaniem - to znaczy ma zastosowanie - to przesłanka wyroku jest konieczna i wystarczająca. W takim przypadku można sformułować dalsze zdanie, w którym przesłanka i stwierdzenie zdania są równoważne (przykład: „ V zachowuje się wtedy i tylko wtedy, gdy A zachowuje ”).

Przykłady

„ Jeśli ulica jest mokra, to padał deszcz. „To odwrotne zdanie jest błędne, bo woda mogła inaczej dostać się na ulicę. Warunkiem zdania „ to padało ” jest zatem wystarczające, ale nie jest to konieczne .
„ Jeśli przeciwległe boki prawdziwego kwadratu mają taką samą długość, to jest to równoległobok. „To zdanie odwrotne jest prawdziwe. Przesłanką zdanie jest konieczne i wystarczające . Zdanie i zdanie odwrotne można podsumować: „ Prawdziwy kwadrat jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwległe boki mają tę samą długość. "

Zależność od podziału na przesłankę i oświadczenie

Można mieć to samo zdanie logiczne na różne sposoby warunek i zdanie dzielą, a szybkość odwrócenia zależy od tego podziału.

Twierdzenie logiczne można zapisać jako zdanie w następujący sposób, na przykład: ${\ Displaystyle \ lnot A \ lor \ lnot B \ lor C}$

${\ Displaystyle (A \ ziemia B) \ Rightarrow C}$ - twierdzenie odwrotne: ${\ Displaystyle C \ Rightarrow (A \ klin B) \ quad \ equiv \ quad (A \ vee \ neg C) \ wedge (B \ vee \ neg C)}$
${\ Displaystyle A \ Rightarrow (\ lnot B \ lor C)}$ - twierdzenie odwrotne: ${\ Displaystyle (\ lnot B \ lor C) \ Rightarrow A \ quad \ equiv \ quad (A \ vee B) \ klin (A \ vee \ neg C)}$