Forma modułowa Siegel

Formy modułowe Siegela są uogólnieniem form modułowych w kilku złożonych zmiennych i są przykładami form automorficznych .

Są one zdefiniowane w półprzestrzeni Siegela , przestrzeni złożonych symetrycznych macierzy z dodatnio określoną częścią urojoną. Formy modułowe Siegela to funkcje holomorficzne w półprzestrzeni Siegela, które spełniają warunek automorfizmu. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ razy g}$

Są one powiązane z odmianami abelowymi w podobny sposób, jak eliptyczne formy modułowe do eliptycznych krzywych. Zostały one pierwotnie wprowadzone przez Carla Ludwiga Siegela w 1935 roku jako część jego analitycznej teorii form kwadratowych i są używane w teorii liczb.

Istnieją formy modułowe Siegel, które są zbudowane w taki sam sposób jak Eisenstein dla form modułowych, oraz te, które są funkcjami theta form kwadratowych. Teoria była oparta jak najbliżej na teorii eliptycznych form modułowych.

definicja

Być

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma _ {g} & = Sp_ {2g} (\ mathbb {Z}) = \ lewo \ {\ gamma \ w GL_ {2g} (\ mathbb {Z}) \ { \ big |} \ \ gamma ^ {\ mathrm {T}} {\ begin {pmatrix} 0 & I_ {g} \\ - I_ {g} & 0 \ end {pmatrix}} \ gamma = {\ begin {pmatrix} 0 & I_ { g} \\ - I_ {g} & 0 \ end {pmatrix}} \ right \} \\ & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} \ in GL_ {2g} (\ mathbb {Z}): A ^ {T} C = C ^ {T} A \ ,, B ^ {T} D = D ^ {T} B \ ,, A ^ {T} DC ^ {T} B = I_ {g} \, \ right \} \ end {aligned}}}$

grupa macierzy symplektycznych z wartościami w liczbach całkowitych (grupa modułów Siegela). Gdzie macierzą jednostkową. Przykładami są matryce , i przy symetrycznym matrycy lub osnowy . Te 3 typy macierzy tworzą system generujący grupę. ${\ displaystyle I_ {g}}$${\ displaystyle g \ razy g}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} I_ {g} i S \\ 0 i I_ {g} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} U & 0 \\ 0 & (U ^ {- 1}) ^ {T} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 i I_ {g} \\ - I_ {g} i 0 \ end {pmatrix}}}$${\ Displaystyle S = S ^ {T}}$${\ Displaystyle U \ w GL_ {g} (\ mathbb {Z})}$

Grupa działa na półkuli Siegel

${\ Displaystyle Z \ do (AZ + B) {(CZ + D)} ^ {- 1}}$.

Forma modułowa Siegela jest holomorficzna w funkcji półprzestrzeni Siegela z ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle f ((AZ + B) {(CZ + D)} ^ {- 1}) = {(\ det \, (CZ + D))} ^ {k} f (Z)}$.

${\ displaystyle g}$nazywany jest stopniem (czasem również płcią), wagą. ${\ displaystyle k}$

Ponadto wymagane jest, aby forma modułowa była ograniczona w półprzestrzeni Siegela ( wynika to z tak zwanej zasady Koechera). ${\ displaystyle g> 1}$

Obowiązują następujące zasady:

${\ Displaystyle f (Z + S) = f (Z)}$dla wszystkich całkowych macierzy symetrycznych${\ displaystyle g \ razy g}$${\ Displaystyle S = S ^ {T}}$

${\ Displaystyle f (UZU ^ {T}) = {(\ det \, U)} ^ {k} f (Z)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle U \ w GL_ {g} (\ mathbb {Z})}$

${\ Displaystyle f (-Z ^ {- 1}) = {(\ det \, Z)} ^ {k} f (Z)}$

Zapewnia to zachowanie transformacji między generatorami grupy modułów Siegel . ${\ Displaystyle Sp_ {2g} (\ mathbb {Z})}$

Można wykazać, że formy modułowe Siegel mają rozszerzenie Fouriera.

${\ Displaystyle f (Z) = \ suma _ {T} a (T) e ^ {\ pi iSp (TZ)}}$

z symetrycznymi ( ) dodatnimi macierzami półskończonymi T (krótkie :) . ${\ Displaystyle T = T ^ {T}}$${\ displaystyle T \ geq 0}$

W zastosowaniach arytmetycznych zamiast grupy symplektycznej używa się podgrupy kongruencji (z liczbą naturalną , poziomem): ${\ displaystyle \ Gamma _ {g} = Sp_ {2g} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Gamma _ {g} (N)}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {g} (N) = \ lewo \ {\ gamma \ in \ Gamma _ {g}: \ gamma \ equiv I_ {2g} \ mod N \ prawo \},}$

Uwaga: Istnieje również rozszerzona definicja, w której postać modułu Siegel ma wartość wektorową (zdefiniowana powyżej forma modułu Siegel jest wtedy nazywana wartościami skalarnymi).

Do określenia wagi używa się racjonalnej reprezentacji

${\ displaystyle \ rho: {\ textrm {GL}} _ {g} (\ mathbb {C}) \ rightarrow {\ textrm {GL}} (V)}$

jest używany w złożonej przestrzeni wektorowej . Z definicją ${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle (f {\ duży |} \ gamma) (Z) = (\ rho (CZ + D)) ^ {- 1} f (\ gamma Z).}$

jest funkcją holomorficzną

${\ displaystyle f: {\ mathcal {H}} _ {g} \ rightarrow V}$

modułową formę stopnia Siegel , jeśli ${\ displaystyle g}$

${\ Displaystyle (f {\ duży |} \ gamma) = f}$

dla każdego . ${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {g}}$

literatura

• Eberhard Freitag: Formy modułowe Siegel, Springer 1983
• Eberhard Freitag: Siegelsche Module Functions, Raport roczny DMV, tom 79, 1977, s. 79-86, pdf
• Helmut Klingen: Wykłady wprowadzające na temat Siegel Modular Forms, Cambridge University Press 1990

linki internetowe

• Winfried Kohnen, Krótki kurs na temat form modułowych Siegel, pdf