Forma modułowa

Klasyczny termin formy modułowej to ogólny termin określający szeroką klasę funkcji na górnym półpoziomie (eliptyczne formy modułowe) i ich wielowymiarowe uogólnienia (np. Formy modułowe Siegela ), które są rozważane w podobszarach matematycznych z teorii funkcji i teorii liczb . Nowoczesna koncepcja formy modularnej polega na jej wszechstronnym przeformułowaniu w kategoriach teorii reprezentacji (reprezentacje automorficzne) i geometrii arytmetycznej ( p -adyczne formy modularne). Klasyczne formy modułowe to szczególne przypadki tzw. Form automorficznych. Oprócz zastosowań w teorii liczb mają również ważne zastosowania , na przykład w teorii strun i topologii algebraicznej .

Formy modułów to funkcje o wartościach zespolonych z pewnymi symetriami (określone zachowanie transformacji w grupie modułów SL lub jej podgrupach kongruencji). Są blisko spokrewnione z kratami w płaszczyźnie zespolonej , funkcjami dwuokresowymi ( funkcje eliptyczne ) i grupami dyskretnymi . ${\ displaystyle (2, \ mathbb {Z})}$

historia

Początki teorii sięgają Carla Friedricha Gaußa , który rozważał transformacje specjalnych form modułowych w ramach grupy modułów w kontekście swojej teorii średniej arytmetyczno-geometrycznej w zespole (dziedzinę podstawową można znaleźć w jego notatkach już jak 1805). Twórcami klasycznej (czysto analitycznej) teorii form modułowych XIX wieku są Richard Dedekind , Felix Klein , Leopold Kronecker , Karl Weierstrass , Carl Gustav Jacobi , Gotthold Eisenstein i Henri Poincaré . Dobrze znanym przykładem zastosowania form modularnych w teorii liczb było twierdzenie Jacobiego (liczba reprezentacji liczby przez cztery kwadraty). Nowoczesna teoria form modułowych została stworzona w pierwszej połowie XX wieku przez Ericha Hecke i Carla Ludwiga Siegela , którzy poszukiwali zastosowań w teorii liczb. Tutaj szczególną rolę odgrywa teoria operatorów Heckego , które działają w przestrzeni form modularnych i zdefiniowany z nimi szereg Dirichleta ( seria Hecke L). Formy modułowe w zakresie teorii reprezentacji pochodzą od Roberta Langlandsa ( program Langlands ). p -adyczne formy modułowe pojawiają się po raz pierwszy w Nicholas Katz i Jean-Pierre Serre . Formy modularne odegrały również centralną rolę w dowodzie hipotezy Fermata ( twierdzenie o modułowości , które jest szczególnym przypadkiem hipotezy Serre'a udowodnionej w 2006 r. ), Łącząc formy modułowe z Galois reprezentacjami absolutnej grupy pól liczbowych Galois. Zarówno w dowodzie rozwiązania problemu liczby klas Gaussa przez Kurta Heegnera, jak iw ostatniej części hipotez Weila (hipoteza Riemanna) i związanej z nią hipotezy Ramanujana przez Pierre'a Deligne'a , formy modularne odegrały ważną rolę, a także w dowodzie Maryna Viazovska (2016), że krata E8 w ośmiu wymiarach i krata Leech w 24 wymiarach zapewniają najbliższe upakowanie sfer (funkcje theta tych dwóch krat są formami modułowymi, patrz poniżej). Formy modułów często kodują informacje arytmetyczne z algebraicznych pól liczbowych, ale są znacznie łatwiej dostępne matematycznie, czasami nawet w programach do algebry komputerowej, a liczba liniowo niezależnych form modułowych niektórych typów jest ograniczona. ${\ displaystyle \ Gamma (2)}$

Eliptyczne kształty modułowe do SL ₂ (ℤ)

definicja

Niech to będzie

${\ Displaystyle \ mathbb {H}: = \ {Z \ in \ mathbb {C} \ mid \ mathrm {Im} (z)> 0 \}}$

górnej półpłaszczyźnie d. H. zbiór wszystkich liczb zespolonych z dodatnią częścią urojoną.

Liczbę całkowitą , A holomorficzny lub meromorficzną funkcji na górnej półpłaszczyźnie nazywa się holomorficzny lub meromorficzną eliptycznym tworzą moduł z wagi na grupy (pełna grupa modułów danych), jeżeli ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle {\ mbox {SL}} (2, \ mathbb {Z})}$

• równanie funkcyjne

${\ Displaystyle f \! \ lewo ({\ Frac {az + b} {cz + d}} \ prawo) = (cz + d) ^ {k} f (z)}$dla każdego i z${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle ad-bc = 1}$

spotkał i

• Jest „holomorficzny lub meromorficzny w nieskończoności”. To oznacza funkcję

${\ displaystyle {\ tilde {f}} (q) = f (z)}$ Z ${\ displaystyle q = e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} \, z}}$

(ekspansja Fouriera lub q f) jest holomorficzna lub meromorficzna w punkcie .${\ displaystyle q = 0}$

Jeśli jest meromorficzna i nazywa się to funkcją modułu. Funkcje modułu mają szczególnie proste zachowanie w grupie modułów: ${\ displaystyle f (z)}$${\ Displaystyle k = 0}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle f \ lewo ({\ Frac {az + b} {cz + d}} \ prawej) = f (z)}$

Funkcje modułów holomorficznych nie są interesujące, ponieważ ze względu na twierdzenie Liouville'a jedynymi funkcjami modułu holomorficznego są funkcje stałe. Holomorficzne formy modułowe są również nazywane całymi formami modułowymi. Jeśli taki cały modularny kształt również znika w nieskończoności (w czubku, angielski guzek ), nazywa się to kształtem końcówki . Dokładniej, kształt końcówki znika z wagi do sposobu . Z drugiej strony funkcja j jest funkcją modułu holomorficznego w górnej półpłaszczyźnie, z wyjątkiem prostego bieguna w końcówce, czyli przykładu meromorfizmu. Z definicji wynika, że znika forma modułowa dla nieparzystych identycznych. ${\ Displaystyle \ mathrm {im} (z) \ do \ infty}$ ${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathrm {im} (z) \ do \ infty}$${\ Displaystyle (\ mathrm {im} (z)) ^ {- k}}$${\ displaystyle k}$

Specjalne przekształcenia mebli zastosowane w definicji kształtu modułu tworzą grupę modułów

${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {Z}) = \ lewo \ {\ lewo. {\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ prawo | a, b, c, d \ in \ mathbb {Z}, \ ad-bc = 1 \ right \}.}$

Grupa modułów jest również nazywana . Formularze modułów charakteryzują się prostym zachowaniem transformacji w porównaniu z grupą modułów. Grupa modułów tworzy na sobie górną połowę poziomu i jest tworzona przez macierze ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$

${\ displaystyle S = {\ początek {pmatrix} 0 i -1 \\ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}, \ qquad T = {\ początek {pmatrix} 1 i 1 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix} }}$

wygenerowane. Macierze te opisują geometrycznie odbicie koła (inwersję) i translację.

Zachowanie się modułowej postaci ciężaru pod tymi generatorami jest ${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle f (-1 / z) = z ^ {k} f (z), \ qquad f (z + 1) = f (z)}$

az tego ostatniego równania wynika, że ​​modułowy kształt jest okresowy. Dlatego rozwój Fouriera z dobrze zdefiniowane i holomorficzna lub meromorficzną. Przy współczynnikach Fouriera mamy szereg Fouriera (zwany także rozszerzeniem q) ${\ displaystyle {\ tilde {f}} (q)}$${\ Displaystyle 0 <| q | <1}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = -m} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {2i \ pi nz} = \ suma _ {n = -m} ^ {\ infty} a_ {n} q ^ {n}}$,

gdzie kolejność bieguna nazywana jest na końcu (część urojona w kierunku nieskończoności). Kształt modułu jest meromorficzny u góry w przypadku ujemnych członów Fouriera. W przypadku kształtu końcówki , ( ) zanika , to znaczy, że nie- zerowych współczynników Fouriera zaczynają się pozytywny , którą następnie nazywany rzędem zera w końcówce. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle a_ {0} = 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$

W płaszczyźnie zespolonej kształt modułu jest definiowany przez wartości w domenie podstawowej , oznaczonej kolorem szarym na sąsiednim rysunku. Jest to trójkąt z punktem w nieskończoności. Każdy z podstawowych trójkątów ograniczonych liniami prostymi lub okręgami jest tworzony przez zastosowanie operacji grupy modułów do domeny podstawowej. Korzystanie z grupy modułów może być kontynuowane w dowolnym momencie i skutkuje coraz drobniejszym podziałem, który został zerwany w pewnym momencie na ilustracji. ${\ displaystyle \ mathbb {H} / \ Gamma}$

Ilustracja przedstawia słynną figurkę modułową, którą artystycznie przedstawił na przykład MC Escher na kilku grafikach.

Przykłady i połączenie z sieciami

Najprostszymi przykładami całych modułowych form wagi są tak zwane szeregi Eisensteina , dla funkcji modułowej funkcja j lub niezmiennik absolutny, a dla końcówki - dyskryminator . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle G_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta}$

Grupa modułów ma ważną właściwość polegającą na tym, że przedstawia kraty na płaszczyźnie zespolonej. Siatki te składają się z dwóch liczb zespolonych z rozpiętością: ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ tau = {\ tfrac {\ omega _ {1}} {\ omega _ {2}}} \ nie \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ Lambda: = \ lewo \ {m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2} \ mid m, n \ in \ mathbb {Z} \ prawej \}}$

Można je przedstawić jako równoległoboki w zespolonej płaszczyźnie liczb. Inna podstawa sieci, określona przez dwie liczby zespolone , obejmuje tę samą sieć, jeśli dwie zasady są przekształcane jedna w drugą przez element z grupy modułów (wynika to z warunku, że wyznacznik jest równy 1 i z liczby całkowitej) : ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ alpha _ {1} \\\ alpha _ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ omega _ {1} \\\ omega _ {2} \ end {pmatrix}}}$

Jeśli ustawimy , powyższa formuła transformacji wynika z transformacji Möbiusa. ${\ displaystyle \ tau = {\ tfrac {\ omega _ {1}} {\ omega _ {2}}}}$${\ displaystyle \ tau \ to {\ tfrac {a \ tau + b} {c \ tau + d}}}$

Rzędy żelaznych kamieni są naturalnie zdefiniowane na tych siatkach:

${\ Displaystyle E_ {k} (\ Lambda) = \ suma _ {(0,0) \ neq (m, n) \ w \ mathbb {Z} ^ {2}} {\ Frac {1} {(m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}) ^ {k}}}}$

Lub z (tj. Jednym z górnego półpoziomu): ${\ displaystyle \ tau = {\ tfrac {\ omega _ {1}} {\ omega _ {2}}}}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle E_ {k} (\ tau) = \ suma _ {(0,0) \ neq (m, n) \ w \ mathbb {Z} ^ {2}} {\ Frac {1} {(m + n \ tau) ^ {k}}}}$

Ponieważ siatka jest niezmienna w grupie modułów, dotyczy to również rzędów Eisensteina. Są to całe modułowe kształty ciężarka , gdzie jest prosty (w przeciwnym razie kształt modułu zniknąłby identycznie, ponieważ sumowane są wszystkie punkty siatki , w tym to, co znajduje się poniżej). Aby szereg był zbieżny, musi być większy niż 2. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle - \ lambda}$${\ displaystyle k}$

Wśród generatorów z grupy modułów szereg Eisensteina przekształca:

${\ Displaystyle E_ {k} (- 1 / \ tau) = \ tau ^ {k} E_ {k} (\ tau)}$

${\ Displaystyle E_ {k} (\ tau +1) = E_ {k} (\ tau)}$

Połączenie z kratownicami skutkuje również połączeniem form modularnych z funkcjami eliptycznymi , które definiuje się jako podwójnie okresowe, meromorficzne funkcje na takiej sieci (jeśli boki sieci są ze sobą utożsamiane, torus z topologicznymi skutkami płci , powierzchnia Riemanna z funkcji eliptycznych). Najłatwiej to zrobić, biorąc pod uwagę funkcję Weierstrasse ℘ . Meromorficzne modularne formy o wadze 0 są zdefiniowane w klasach izomorfizmu siatek, na których oparte są funkcje eliptyczne. Niezmiennik j funkcji eliptycznej charakteryzuje te klasy izomorfizmu, które są zatem wyraźnie sparametryzowane przez tę funkcję górnej półpłaszczyzny. Jest to modularna postać wagi 0 i może być utworzona jako funkcja wymierna z rzędów Eisensteina o wadze 4 i 6, z modularnym dyskryminatorem w mianowniku, modułową funkcją wagi 12 (jest to z kolei związane z funkcją η Dedekinda ) . Funkcja j ma wiele interesujących właściwości, które czynią ją ważną dla teorii liczb (budowa algebraicznych pól liczbowych) i teorii grup (współczynniki Fouriera jej rozwinięcia q są związane z reprezentacją grupy potworów, bimberu ). ${\ displaystyle g = 1}$

Zależność między kształtami modularnymi a krzywymi eliptycznymi jest również kontynuowana przez krzywe eliptyczne zdefiniowane na polach liczbowych, gdzie wspomniane powyżej twierdzenie o modułowości ma zastosowanie, że wszystkie krzywe eliptyczne zdefiniowane na polach liczbowych mogą być parametryzowane przez kształty modułów (z tego twierdzenia wynika hipoteza Fermata zgodnie do Andrew Wilesa i innych).

Innym przykładem form modułowych są funkcje theta zdefiniowane na siatkach.

Na przykład funkcja theta daje prostą, unimodularną sieć im${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {L} (z) = \ sum _ {\ lambda \ in L} q ^ {\ Frac {\ lambda \ cdot \ lambda} {2}} = \ sum _ {\ lambda \ in L } e ^ {\ pi i \ Vert \ lambda \ Vert ^ {2} z}}$

modułowa forma ciężarka . Aby udowodnić zachowanie przy inwersji, stosuje się wzór sumy Poissona . „Unimodular” oznacza, że wyróżnik siatki jest równa 1, a „nawet”, że kwadraty długości wektorów siatki to wszystko jeszcze . Przykładami takich krat (których wymiar musi być podzielny przez 8) są krata Leecha ( jako jedna z 24 krat Niemeiera) i krata systemu korzeniowego specjalnej grupy Liego ( ). W tym przypadku jest to modułowa forma ciężarka 4, ale istnieje tylko jeden z nich, seria Eisensteina o wadze 4. ${\ displaystyle {\ frac {n} {2}}}$${\ Displaystyle \ lambda \ cdot \ lambda}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 24}$${\ displaystyle E_ {8}}$${\ displaystyle n = 8}$${\ displaystyle n = 8}$

Przestrzenie wektorowe form modułowych

Ponieważ nieparzyste jest zawsze , poniższe stwierdzenia mają zastosowanie do parzystych . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f = 0}$${\ displaystyle k}$

Sumy i produkty o formach modułowych są ponownie formami modułowymi. Modułowe kształty ciężarka tworzą przestrzeń wektorową, podobnie jak wszystkie modułowe kształty, a także kształty końcówek. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Jeśli oznaczymy te przestrzenie wektorowe za pomocą i , to: ${\ displaystyle \ mathbb {V} _ {k}, \ mathbb {M} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {k}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {k} \ subset \ mathbb {M} _ {k} \ subset \ mathbb {V} _ {k}}$

Stosuje się do na wymiar tych przestrzeni wektorowej ( jest parzystą liczbą całkowitą dodatnią) ${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ mathrm {dim} \, \ mathbb {M} _ {k} = {\ rozpocząć {przypadki} \ lewo [{\ Frac {k} {12}} \ prawo] i {\ mbox {spada} } \; k \ equiv 2 \; (\ mathrm {mod} \ 12) \\\ left [{\ frac {k} {12}} \ right] +1, & {\ mbox {if}} \; k \ not \ equiv 2 \; (\ mathrm {mod} \ 12) \ end {przypadki}}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {dim} \, \ mathbb {S} _ {k} = {\ rozpocząć {przypadków} \ lewo [{\ Frac {k} {12}} \ prawo] -1 i {\ mbox { if}} \; k \ equiv 2 \; (\ mathrm {mod} \ 12) \\\ left [{\ frac {k} {12}} \ right], & {\ mbox {spada}} \; k \ not \ equiv 2 \; (\ mathrm {mod} \ 12) \ end {przypadki}}}$

Ponieważ mnożenie z kształtem końcówki ( dyskryminatorem ) wagi 12 daje izomorfizm do , stosuje się co następuje ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ mathbb {M} _ {k-12}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {k}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {dim} \, \ mathbb {S} _ {k} = \ mathrm {dim} \, \ mathbb {M} _ {k-12}, \ quad \ mathrm {if} \ quad k \ geq 12.}$

Przestrzenie modułowe dla są jednowymiarowe i są tworzone przez i dla dwuwymiarowych, tworzone przez rzędy żelaznych kamieni . Ogólnie można pokazać, że wszystkie elementy są generowane przez wielomiany w :${\ displaystyle \ mathbb {M} _ {k}}$${\ Displaystyle k = 0,4,6,8,10,14}$${\ Displaystyle 1, E_ {4}, E_ {6}, E_ {4} ^ {2}, E_ {4} \ cdot E_ {6}, E_ {4} ^ {2} \ cdot E_ {6}}$${\ displaystyle k = 12}$${\ Displaystyle (E_ {4} ^ {3}, E_ {6} ^ {2})}$${\ Displaystyle E_ {4}, E_ {6}}$${\ displaystyle \ mathbb {M} _ {k}}$${\ Displaystyle E_ {4}, E_ {6}}$

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {a, b \ in \ mathbb {N} \ na szczycie 4a + 6b = k} \ alfa _ {a \ ,, \, b} E_ {4} ^ {a} (z) \ cdot E_ {6} ^ {b} (z)}$

ze stałymi . Jednak często bardziej przydatne jest wykorzystanie podstaw postaci własnych operatorów Hecke ( teoria Atkina-Lehnera ). ${\ displaystyle \ alpha _ {a, b}}$

Hans Petersson wprowadził iloczyn skalarny Peterssona w przestrzeń kształtów końcówek i uczynił je w ten sposób przestrzenią Hilberta . Za pomocą twierdzenia Riemanna-Rocha można sformułować twierdzenia o wymiarach przestrzeni wektorowych kształtów końcówek. Rzędy Eisensteina są prostopadłe do kształtów końcówek w stosunku do iloczynu skalarnego Peterssona.

Jednym z powodów przydatności kształtów modułowych w najróżniejszych zastosowaniach jest to, że chociaż często mają one różne opisy w najróżniejszych zastosowaniach, można od razu znaleźć połączenia między kształtami modułowymi, ponieważ przestrzenie wektorowe mają stosunkowo małe wymiary.

Podzbiory kongruencji

Zamiast for , formularze modułowe są również brane pod uwagę dla dyskretnych podgrup tej grupy, w szczególności dla tzw. Podgrup kongruencji z grupy modułów ( jest dodatnią liczbą całkowitą): ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {0} (N) = \ lewo \ {\ lewo. {\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ w {\ tekst {SL}} ( 2, \ mathbb {Z}) \ right | c \ equiv 0 {\ pmod {N}} \ right \}}$

${\ Displaystyle \ Gamma (N) = \ lewo \ {\ lewo. {\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ w {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {Z}) \ right | c \ equiv b \ equiv 0 {\ pmod {N}}, \ quad a \ equiv d \ equiv 1 {\ pmod {N}} \ right \}}$

Liczba to poziom przypisanych formularzy modułów. nazywana jest także główną grupą kongruencji poziomu . Każda podgrupa zawierająca główną grupę kongruencji dla poziomu jako podgrupa jest nazywana podgrupą kongruencji. ${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ Gamma (N)}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle SL (2 \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle N}$

Czasami rozważa się również podgrupę kongruencji

${\ Displaystyle \ Gamma _ {1} (N) = \ lewo \ {\ lewo. {\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ w {\ tekst {SL}} ( 2, \ mathbb {Z}) \ right | a \ equiv d \ equiv 1 {\ pmod {N}}, \ quad c \ equiv 0 {\ pmod {N}} \ right \},}$

który zajmuje środkową pozycję między ( odpowiednik modulo górnej macierzy trójkątnej) a ( odpowiednik modulo macierzy identyczności). Dotyczy i . ${\ displaystyle \ Gamma _ {0}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ Gamma (N) \ subseteq \ Gamma _ {1} (N) \ subseteq \ Gamma _ {0} (N) \ subseteq SL (2, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Gamma (1) = \ Gamma _ {1} (1) = \ Gamma _ {0} (1) = SL (2, \ mathbb {Z})}$

Indeks podgrup kongruencji jako podgrup jest skończony i może być określony jawnie. Więc jest: ${\ Displaystyle SL (2 \ mathbb {Z})}$

${\ Displaystyle \ lewo [\, SL (2, \ mathbb {Z}) \ colon \ Gamma _ {0} (N) \ \ prawej] = N \ prod _ {p \ mid N} \ lewo (1+ {\ frac {1} {p}} \ right)}$

${\ Displaystyle \ lewo [\, \ Gamma _ {0} (N) \ dwukropek \ Gamma (N) \ \ prawej] = N ^ {2} \ prod _ {p \ środkowy N} \ lewo (1- { \ frac {1} {p}} \ right)}$

Formularz modułu dla podgrup kongruencji i ma rozszerzenia Fouriera w ; z for niekoniecznie, ponieważ macierz ( ) w macierzy transformacji nie należy do niej (mają rozszerzenie Fouriera w ). Ale zawsze można go przypisać do postaci modułowej dla takich dla (z rozszerzeniem Fouriera ). Nie ma również takiego prostego kryterium dla kształtów pików dla podgrup kongruencji (stały człon Fouriera nie musi koniecznie zanikać, jak w przypadku pełnej grupy modułów). Oprócz formularzy modułów z zachowaniem transformacji, jak omówiono w pełnej grupie modułów, rozważane są również te z rozszerzonym zachowaniem transformacyjnym (mnożenie przez znak Dirichleta). ${\ displaystyle \ Gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {1}}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle \ Gamma (N)}$${\ Displaystyle N \ geq 2}$${\ Displaystyle a = d = 1, b = 1, c = 0}$${\ displaystyle q ^ {1 / N}}$${\ Displaystyle \ Gamma (N)}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {1} (N ^ {2})}$${\ displaystyle q}$

Z tych podgrup kongruencji można utworzyć przestrzenie ilorazowe , które są zagęszczane przez dodanie skończonej liczby punktów (wierzchołków, wierzchołków podgrupy kongruencji) w przedłużonej górnej półpłaszczyźnie , a następnie nazywa się odpowiednią zagęszczoną przestrzeń ilorazową . W związku z tym mówimy w podgrupie kongruencji z lub i z . Po zagęszczeniu uzyskuje się zwarte powierzchnie Riemanna o różnej płci topologicznej . Różne z nich są również nazywane krzywymi modułowymi. ${\ Displaystyle H \ ukośnik odwrotny \ Gamma (N) = T (N)}$${\ displaystyle H ^ {*}}$${\ Displaystyle X (N)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ Displaystyle Y_ {0} (N)}$${\ Displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {1} (N)}$${\ Displaystyle Y_ {1} (N), X_ {1} (N)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X, Y}$

Na przykład sfera Riemanna (rodzaj 0) ma 12 punktów ułożonych jak dwudziestościan . to mały kwartyk z końcówkami płci 3 i 24. jest klasyczną krzywą modułową i często jest również nazywana po prostu krzywą modułową. ${\ Displaystyle X (5)}$${\ Displaystyle X (7)}$${\ Displaystyle X_ {0} (N)}$

Krzywe modułowe parametryzują klasy równoważności krzywych eliptycznych w zależności od typu podgrupy kongruencji i mogą być definiowane czysto algebraicznie, a zatem również oglądane na innych polach . Są ważne w geometrii arytmetycznej. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Uogólnienia, formy automorficzne

Funkcje modułu można uogólniać, rozszerzając typ zachowania transformacyjnego i dla grup innych niż grupa modułów.

Początkowo rozważano powyżej tylko formy modułowe z wagą całkową , ale są też formy z wartościami wymiernymi, które również odgrywają rolę w teorii liczb, więc Jerrold Tunnell użył form modułowych dla wagi w rozwiązaniu problemu przystających liczb . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 3/2}$

Na przykład można rozważyć funkcje, które przekształcają się poprzez mnożenie z czynnikiem automorficznym:

${\ Displaystyle f \ lewo ({\ Frac {az + b} {cz + d}} \ prawej) = \ varepsilon (a, b, c, d) (cz + d) ^ {k} f (z)}$

z czynnikiem automorficznym , gdzie . To są przykłady funkcji automorficznych. Jednym z przykładów jest etafunkcja Dedekinda. W algebraicznej teorii liczb często rozważa się funkcje modularne dla podgrupy kongruencji z czynnikiem automorficznym, który jest tworzony za pomocą znaku Dirichleta (modularne formy wagi , typ drugorzędny i poziom ): ${\ Displaystyle \ varepsilon (a, b, c, d) (cz + d) ^ {k}}$${\ Displaystyle | \ varepsilon (a, b, c, d) | = 1}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$ ${\ displaystyle \ chi {\ pmod {N}}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle f \ lewo ({\ Frac {az + b} {cz + d}} \ prawej) = \ chi (d) (cz + d) ^ {k} f (z)}$

Są zdefiniowane w górnej półpłaszczyźnie i holomorficzne w wierzchołku. ${\ displaystyle z}$

Formy automorficzne są definiowane dla grup topologicznych ( grupy Lie ) i ich dyskretnych podgrup . W przypadku formularzy modułów dla grupy modułów, odpowiada to samej grupie modułów jako dyskretnej podgrupie grupy Lie lub podgrupom kongruencji jako dyskretnej podgrupie grupy modułów. Prawo transformacji jest tutaj ogólnie zdefiniowane za pomocą czynników automorfizmu. Formy automorficzna są funkcje własne niektórych operatorów Kazimierza z (w przypadku funkcji modułowych, to wynika z tego, że są to funkcje analityczne w dwóch wymiarach, które spełniają równanie Laplace, co odpowiada operator Kazimierz o ) i, jak modułowych formy, spełniają określone warunki wzrostu. Już w XIX wieku rozważano je dla grup fuksjańskich (dyskretnych podgrup ) przez Henri Poincaré, aw teorii liczb na początku XX wieku przez Davida Hilberta (modularne formy Hilberta dla całkowicie rzeczywistych pól liczbowych do ogólnej grupy liniowej nad pierścieniem liczb całkowitych pola liczbowego, zdefiniowanego jako forma modularna na iloczynu składanym górnej półpłaszczyzny, ze stopniem nad liczbami wymiernymi). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle SL (2 \ mathbf {Z})}$${\ Displaystyle SL (2, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle SL (2, \ mathbf {R})}$${\ Displaystyle SL (2, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle GL_ {2} ^ {+} ({\ mathcal {O}} _ {F})}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle F}$

Innym przykładem form automorficznych w kilku zmiennych złożonych są formy modularne Siegela, które są zdefiniowane w półprzestrzeni Siegela i są formami automorficznymi należącymi do grupy symplektycznej . Odgrywają podobną rolę w parametryzacji odmian abelowych jak formy modułowe do parametryzacji funkcji eliptycznych (jako odpowiednie przestrzenie modułowe) i były pierwotnie rozważane przez Carla Ludwiga Siegela w teorii form kwadratowych.

Również formy Jacobiego są funkcjami automorficznymi w kilku zmiennych, między innymi w funkcji Weierstrassa ℘ i funkcji Jacobiego theta .

Formy automorficzne odgrywają istotną rolę w programie Langlandsa, w którym grupy algebraiczne są rozpatrywane w kontekście teorii liczb (jako grupy algebraiczne nad szlachetnym pierścieniem algebraicznego pola liczbowego), a ich teoria reprezentacji odgrywa szczególną rolę.

Dalszymi przykładami rozszerzeń koncepcji form modułowych są mock theta funkcje S. Ramanujana lub mock module. Same w sobie nie są formami modułowymi, ale można je uzupełnić do formy modułowej , dodając składnik nieholomorficzny (zwany cieniem formy modułu pozornego) i znalazły spektakularne zastosowanie w teorii podziałów autorstwa Kena Ono , Jana Hendrika Bruiniera i Kathrin Bringmann . Według Sander Zwegers, są podobne do form Maass lub przebiegów Maass przez Hans Maaß , nie analitycznych automorficznych formy, które są funkcjami własnymi niezmiennego (hiperbolicznego) laplasjanu do masy . Pozorowane formy modułowe są holomorficzną częścią formy słabo wymiarowej, przy czym słaba odnosi się do wymaganych warunków wzrostu.${\ displaystyle k}$

literatura

• Eberhard Freitag , Rolf Busam: Teoria funkcji 1st 4th edition, Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3 .
• Max Koecher , Aloys Krieg : Funkcje eliptyczne i formy modułowe. Wydanie drugie, Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2 .
• Jean-Pierre Serre : Kurs arytmetyki. Springer, 1973.
• Don Zagier : Wprowadzenie do form modułowych. W: M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson: od teorii liczb do fizyki. Springer, 1995, rozdział 4, s. 238–291, online, PDF.
• Serge Lang : Wprowadzenie do form modułowych. Springer, Basic Teachings of Mathematical Sciences, 1976.
• Neal Koblitz : Wprowadzenie do krzywych eliptycznych i form modułowych. Springer, 1984.
• LJP Kilford: Formy modułowe, wprowadzenie klasyczne i obliczeniowe. Imperial College Press, Londyn 2008.
• T. Miyake: Formy modułowe. Springer, 1989.

linki internetowe

• Gabor Wiese, różne wykłady na temat form modułowych
• Igor Dolgachev, Wykłady o formach modułowych, PDF
• Baza danych funkcji L i formularzy modułowych

Indywidualne referencje i uwagi

1. ↑ Topologiczna forma modularna Michael J. Hopkins i wsp., Topologiczna forma modularna, ncatLab
2. ↑ Houzel: Funkcje eliptyczne i całki abelowe. W: Dieudonné: History of Mathematics. Vieweg, 1985, str. 486 i nast.
3. ↑ Niektórzy autorzy odnoszą się również do specjalnej liniowej grupy rzutowej PSL (2, Z ) jako grupy modułów, w której identyfikowane są macierze A i - A. Jest to iloraz SL (2, Z ) po jego środku Z = { I ₂ , −I ₂ }.
4. ↑ Na przykład Gabriele Nebe: Siatki i formy modułowe. Raport roczny DMV, tom 104, 2002, str. 123-142, Arxiv.
5. ↑ Kilford: Formy modułowe. 2008, s. 48.
6. ↑ Kilford: Formy modułowe. 2008, s. 70. Czasami jest to również używane do określenia serii Eisensteina.
7. ^ Zagier: Wprowadzenie do form modułowych. S. 240.
8. ↑ rozszerzonego górnego poziomu w połowie składa się z , i . Liczby wymierne pojawiają się, ponieważ orbita przechodzi przez nieskończoność w wyniku działania podgrup kongruencji w nieskończoności.${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle z \ do \ infty}$${\ displaystyle {\ frac {a} {c}}}$
9. ↑ Generowane jako rozszerzenie liczb wymiernych przez sprzężenie pierwiastka wielomianu całkowitego z pierwiastkami rzeczywistymi.${\ displaystyle q}$${\ displaystyle m}$
10. ↑ Amanda Folsom: Co to jest modułowa forma theta? Zawiadomienia AMS, grudzień 2010, PDF.