Efekt (fizyka)

Fizyczny rozmiar
Nazwisko	efekt
Symbol formuły	${\ displaystyle S}$
Rozmiar i system jednostek jednostka wymiar SI Js = kg · m 2 · s -1 M · L 2 · T −1

W fizyce teoretycznych efekt jest wielkością fizyczną z wymiar energii razy czasu lub długości razy pędu . Więc ma ten sam wymiar co moment pędu , ale w przeciwieństwie do pędu nie jest kwantowany . ${\ displaystyle S}$

Efektem jest funkcja, która rozróżnia fizycznie pokonywane ścieżki na liczbę możliwych ścieżek. Do równania ruchu fizycznie przebytej ścieżki że jeśli ten początkowy i punkt końcowy jest zamocowany w przestrzeni fazy efekt ścieżki fizycznej zakłada lokalnej wartości skrajne spośród wszystkich możliwych ścieżek . Ten warunek nazywa się zasadą Hamiltona lub zasadą najmniejszego działania .

Efekt cząstki punktowej

W mechanice klasycznej wpływ każdej podwójnej różniczkowalnej ścieżki, jaką w czasie przechodzi cząstka punktu od punktu początkowego do końcowego , porządkuje wartość całki${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ Gamma \ colon t \ mapsto x (t) \,}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ underline {x}} = x (t_ {1})}$${\ displaystyle {\ overline {x}} = x (t_ {2})}$

${\ Displaystyle S [\ Gamma] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \! \ lewo (t, x (t), {\ Frac {\ mathrm {d} x} { \ mathrm {d} t}} (t) \ right) \, \ mathrm {d} t}$

do. W mechanice Newtona Lagrange'a funkcją cząstki masy poruszającego się potencjał różni się kinetyki i energii potencjalnej w funkcji czasu , miejsca i prędkości , ${\ Displaystyle L (t, x, v)}$${\ displaystyle m}$ ${\ Displaystyle V (t, x)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle L (t, x, v) = {\ Frac {1} {2}} \, m \, v ^ {2} -V (t, x) \.}$

W podcałkowej efektu , położenie orbity w czasie , a jego pochodnej czasu stosowane. Całka tej połączonej funkcji czasu jest efektem orbity . ${\ displaystyle S [\ Gamma]}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle x (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} (t)}$${\ Displaystyle \ Gamma \ colon t \ mapsto x (t)}$

W porównaniu z efektem wszystkich innych podwójnie różniczkowalnych ścieżek, które początkowo przebiegają i ostatecznie przechodzą , efekt ścieżki fizycznej jest minimalny, ponieważ jej równanie ruchu ${\ displaystyle {\ underline {x}}}$${\ displaystyle {\ overline {x}}}$

${\ Displaystyle m {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ częściowe _ {x} V (t, x) = 0}$

jest równaniem efektu Eulera-Lagrange'a . ${\ displaystyle S}$

Przykład: oscylator harmoniczny

Na przykład jest

${\ Displaystyle L (t, x, v) = {\ Frac {1} {2}} mv ^ {2} - {\ Frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} x ^ {2} }$

lagranżowska funkcja oscylatora harmonicznego z masą i stałą sprężystości . ${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ kappa = m \ omega ^ {2}}$

Orbity fizyczne spełniają równanie Eulera-Lagrange'a, zgodnie z którym pochodna Eulera jest zawsze${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe L} {\ częściowe x}} - {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ Frac {\ częściowe L} {\ częściowe v} } = - m \ left (\ omega ^ {2} x + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} v \ right)}$

znika, jeśli ktoś zainterweniuje w miejscu, w którym aktualnie się znajduje, i na pochodną czasową orbity . ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle x (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} x (t)}$

W ten sposób wypełniają się powiązane orbity fizyczne${\ displaystyle L}$${\ displaystyle t \ mapsto x (t)}$

${\ Displaystyle -m \ lewo ({\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} x (t) + \ omega ^ {2} x (t) \ right) = 0}$.

Każde rozwiązanie tego równania ma postać

${\ Displaystyle \ Gamma _ {A, \ alfa} \ dwukropek t \ mapsto x (t) = A \ cos (\ omega t- \ alfa)}$,

gdzie jest amplituda oscylacji i jej przesunięcie fazowe. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ alpha}$

W tej chwili przechodzi przez to miejsce, a teraz to miejsce . ${\ displaystyle t_ {1}}$${\ Displaystyle {\ podkreślenie {x}} = A \ cos (\ omega t_ {1} - \ alfa)}$${\ displaystyle t_ {2}}$${\ Displaystyle {\ overline {x}} = A \ cos (\ omega t_ {2} - \ alfa)}$

Ich efektem jest całka

${\ Displaystyle S [\ Gamma _ {A, \ alpha}] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathrm {d} t \, {\ frac {1} {2}} m \, A ^ {2} \, \ omega ^ {2} {\ bigl (} \ sin ^ {2} (\ omega t- \ alpha) - \ cos ^ {2} (\ omega t- \ alpha) {\ bigr)}}$.

Całka może z twierdzeniem o dodawaniu

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} \ beta - \ sin ^ {2} \ beta = \ cos (2 \ beta)}$

można łatwo ocenić, ale nie ma to znaczenia dla naszych rozważań,

${\ Displaystyle S [\ Gamma _ {A, \ alpha}] = - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathrm {d} t \, {\ frac {1} {2} } m \, A ^ {2} \, \ omega ^ {2} \ cos 2 (\ omega t- \ alpha) = {\ frac {1} {4}} m \, A ^ {2} \ omega { \ bigl (} \ sin 2 (\ omega t_ {2} - \ alpha) - \ sin 2 (\ omega t_ {1} - \ alpha) {\ bigr)}}$.

Na każdym innym torze

${\ Displaystyle \ Gamma _ {A, \ alfa} + \ delta \ dwukropek t \ mapsto A \ cos (\ omega t- \ alfa) + \ delta (t)}$,

która w międzyczasie trochę odbiega, efekt różni się przede wszystkim um ${\ Displaystyle \ delta (t)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {A, \ alpha}}$${\ Displaystyle \ delta (t_ {1}) = \ delta (t_ {2}) = 0}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ delta S [\ Gamma _ {A, \ alpha}, \ delta] = S [\ Gamma _ {A, \ alpha} + \ delta] -S [\ Gamma _ {A, \ alpha}] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathrm {d} t \, A \, m \, \ omega {\ bigl (} - \ sin (\ omega t- \ alpha) {\ kropka {\ delta}} (t) - \ omega \ cos (\ omega t- \ alpha) \ delta (t) {\ bigr)} \.}$

W pierwszym członie całkowanie częściowe wycofuje pochodną bez warunków brzegowych (ponieważ tam znika) ze znakiem minus i skutkuje ujemnym wynikiem drugiego składnika dla wszystkich zmian w międzyczasie${\ displaystyle {\ kropka {\ delta}}}$${\ displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ sin (\ omega t- \ alfa)}$${\ Displaystyle \ delta (t)}$

${\ Displaystyle \ delta S = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathrm {d} t \, A \, m \, \ omega ^ {2} {\ bigl (} \ cos (\ omega t- \ alpha) \ delta (t) - \ cos (\ omega t- \ alpha) \ delta (t) {\ bigr)} = 0 \.}$

Tak więc efekt każdej fizycznej ścieżki jest stały przy wszystkich przejściowych zmianach.

Znaczenie w fizyce teoretycznej

Efekt jako funkcja torów lub pól jest również fundamentalny dla

• gdy relatywistyczna mechanika
• z równań Maxwella z elektrodynamiki
• z równania Einsteina w ogólnej teorii względności
• standardowy model z oddziaływań elementarnych .

literatura

• L. Landau / JM Lifschitz : Podręcznik fizyki teoretycznej (tom 1): Mechanik , Verlag Harri Deutsch, przedruk 14., wydanie poprawione 1997 (2007), ISBN 978-3-8171-1326-2
• Florian Scheck : Theoretical Physics 1: Mechanics , Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71377-7

linki internetowe

• Norbert Dragon, słowa kluczowe i dodatki do matematycznych metod fizyki (PDF; 1,9 MB) Rozdział 13