Elipsoida
Elipsoida jest 3-wymiarowej równoważnik elipsy . Podobnie jak elipsę można rozumieć jako afiniczny obraz okręgu jednostkowego , obowiązuje następująca zasada:
- Elipsoida (jako powierzchnia ) jest afinicznym obrazem sfery jednostkowej
Najprostsze odwzorowania afiniczne to skale współrzędnych kartezjańskich . Dostarczają elipsoidy z równaniami
Taka elipsoida jest punktem symetrycznym do punktu , środka elipsoidy. Liczby są analogiczne do elipsy, półosie elipsoidy i punkty jej 6 wierzchołków .
- Jeśli tak, elipsoida jest sferą .
- Jeśli dokładnie dwie półosie pokrywają się, elipsoida jest elipsoidą obrotu .
- Jeśli wszystkie 3 półosi są różne, elipsoida nazywana jest trójosiową lub trójosiową .
Wszystkie elipsoidy są symetryczne względem każdej z trzech płaszczyzn współrzędnych. W przypadku elipsoidy obrotowej występuje również symetria obrotowa względem osi obrotu . Kula jest symetryczny o dowolnej powierzchni od punktu środkowego.
Przybliżonymi przykładami elipsoid obrotowych są piłka do rugby i spłaszczone wirujące ciała niebieskie , takie jak Ziemia lub inne planety ( Jowisz ), słońca czy galaktyki . Galaktyki eliptyczne i planety karłowate (np. (136108) Haumea ) również mogą być trójosiowe.
W optymalizacji liniowej elipsoidy są wykorzystywane w metodzie elipsoidy .
Reprezentacja parametryczna
Punkty na sferze jednostkowej można sparametryzować w następujący sposób (patrz współrzędne sferyczne ):
Dla kąta (mierzonego od osi Z) obowiązuje . Poniższe dotyczy kąta (mierzonego od osi x) .
Skalowanie poszczególnych współrzędnych za pomocą współczynników skutkuje parametryczną reprezentacją elipsoidy :
z i
Tom
Objętość elipsoidy jest
- Pochodzenie
Przecięcie elipsoidy z płaszczyzną na wysokości to elipsa z półosiami
- .
Obszar tej elipsy jest . Objętość wtedy wynikiem
powierzchnia
Powierzchnia elipsoidy obrotowej
Powierzchni w oblat elipsoidy obrotowej z Is
że z wydłużonej elipsoidy ( )
Kula o promieniu ma powierzchnię .
Powierzchnia trójosiowej elipsoidy
Powierzchnia trójosiowego elipsoidy nie może być wyrażona z funkcji , które są uważane za elementarne , takie jak: B. lub wyżej na elipsoidzie obrotu . Adrien-Marie Legendre zdołał obliczyć powierzchnię za pomocą całek eliptycznych . Bądź . Ty piszesz
- oraz
tak jak całki
- oraz
Wraz z Legendre i po nim powierzchnia ma wartość
Czy wyrażenia dla i, a także substytucje?
- oraz
wstawione do równania na , wynikiem jest notacja
Bezcałkowy wzór aproksymacyjny pochodzi od Knuda Thomsena
Maksymalne odchylenie od dokładnego wyniku wynosi mniej niż 1,2%.
W ograniczającego przypadku całkowicie spłaszczonej elipsoidy wszystkie trzy Jabber formuł dla przygotowań do dwukrotnej powierzchni wystąpienia elipsy z półosi i .
Przykład zastosowania formuł
Planeta Jowisz jest znacznie bardziej płaska na biegunach niż na równiku z powodu sił odśrodkowych działających na skutek gwałtownego obrotu i ma w przybliżeniu kształt elipsoidy obrotowej .
Jowisz ma średnicę równikową 142 984 km, a średnicę bieguna 133 708 km. Więc dla półosi i . Masa Jupiter wynosi około 1.899 · 10 27 . KG Korzystając z powyższych wzorów na objętość , średnią gęstość i powierzchnię, otrzymujemy :
- Objętość :
- To około 1321 razy więcej niż objętość Ziemi.
- Średnia gęstość :
- Ogólnie rzecz biorąc, Jowisz ma nieco większą gęstość niż woda w standardowych warunkach .
- Powierzchnia :
- To około 121 razy powierzchnia Ziemi.
Samolot cięć
nieruchomości
Przecięcie elipsoidy z płaszczyzną to
- elipsa , jeżeli zawiera co najmniej dwa punkty,
- punkt , gdy samolot z płaszczyzną styczną jest
- w przeciwnym razie pusty.
W pierwszym przypadku wynika z faktu, że samolot przecina się kulę w kole i okręgu obrotów na na elipsy w przypadku afinicznej mapowania . W przypadku elipsoidy obrotowej , oczywiste jest , że niektóre z elips przecięcia są okręgami : Wszystkie odcinki płaszczyzn, które zawierają co najmniej 2 punkty i których płaszczyzny są prostopadłe do osi obrotu, są okręgami. Jednak nie jest oczywiste, że każda 3-osiowa elipsoida zawiera wiele okręgów i jest wyjaśniona na płaszczyźnie przekroju kołowego .
Prawda kontur jakiejkolwiek elipsoida jest przekrojem płaszczyzną, to znaczy elipsą (patrz zdjęcia) , zarówno równoległej i środkowej projekcji.
Wyznaczanie ciętej elipsy
Dane: Elipsoida i płaszczyzna z równaniem, które przecina elipsoidę w elipsoidzie. Poszukiwane: Trzy wektory ( punkt środkowy ) i (wektory sprzężone), aby elipsa przecięcia przechodziła przez reprezentację parametryczną
można opisać (patrz elipsa ).
Rozwiązanie: skalowanie przekształca elipsoidę w sferę jednostkową, a daną płaszczyznę w płaszczyznę z równaniem . Hesse normalnie postać nowa warstwa jednostka wektor normalny Następnie środek okręgu przecięcia i jego promienia Jeśli jest to (płaszczyzny poziomej!) Jeśli to, czy to wektory są umieszczone każdorazowo dwa w przekroju płaskie wektory ortogonalne długości (promień okręgu), d. Oznacza to, że okrąg przecięcia jest opisany przez reprezentację parametryczną .
Jeżeli powyższe skalowanie ( mapowanie afiniczne ) zostanie teraz odwrócone, sfera jednostkowa staje się ponownie daną elipsoidą, a poszukiwane wektory są otrzymywane z wektorów , którymi można opisać przecinającą się elipsę. Jak określić wierzchołki elipsy, a tym samym jej półosie, wyjaśniono w części Elipsa .
Przykład: Obrazy należą do przykładu z i płaszczyzną cięcia Obraz przekroju elipsoidalnego jest prostopadłym rzutem równoległym na płaszczyznę równoległą do płaszczyzny cięcia, tj. Oznacza to, że elipsa pojawia się w swoim prawdziwym kształcie, z wyjątkiem jednolitej skali. Zauważ, że tutaj, w przeciwieństwie do, nie jest prostopadły do płaszczyzny cięcia. Te wektory są tu w przeciwieństwie do nie prostopadłe .
Budowa gwintu
Konstrukcja gwint elipsoidy jest przeniesienie idei konstrukcji ogrodnika w elipsy (patrz rysunek). Konstrukcja nitkowa elipsoidy obrotowej wynika z konstrukcji elips południka za pomocą nitki.
Konstruowanie punktów 3-osiowej elipsoidy za pomocą napiętego gwintu jest nieco bardziej skomplikowane. W artykule Konstrukcja nici powierzchni drugiego rzędu Wolfgang Boehm przypisuje podstawową ideę konstrukcji nici elipsoidy szkockiemu fizykowi Jamesowi Clerkowi Maxwellowi (1868). Otto Staude następnie uogólnił konstrukcję nici na kwadryki w pracach w latach 1882, 1886 i 1898 . Konstrukcję nici dla elipsoid i hiperboloidów opisano również w książce Illustrative Geometry autorstwa Davida Hilberta i Stefana Cohn-Vossena . Nawet Sebastian Finsterwalder zajmował się tą kwestią w 1886 roku.
- Etapy budowy
- (1) Wybierz elipsę i hiperbolę, które tworzą parę ogniskowych odcinków stożkowych :
- Elipsa: i
- Hiperbola:
- z wierzchołkami i ogniskami elipsy
- oraz nić (na zdjęciu czerwona) długość .
- (2) Przymocuj jeden koniec nici do wierzchołka, a drugi koniec do ogniska . Nić jest napięta w jednym punkcie, tak aby nić mogła przesuwać się od tyłu po hiperboli i od przodu po elipsie (patrz ilustracja). Gwint przechodzi ponad tym punktem hiperboli z których odległość od z góry punktu hiperboli jest minimalne. To samo stosuje się do części z gwintem do nad punktem elipsy.
-
(3) Jeśli punkt jest wybrany tak, że ma dodatnie współrzędne y i z , to punkt znajduje się na elipsoidzie o równaniu
- oraz
- (4) Pozostałe punkty elipsoidy uzyskuje się poprzez odpowiednie naciągnięcie nici wokół ogniskowych odcinków stożkowych .
Te równania dla półosi od uzyskanego wyniku elipsoidy jeśli punkt jest spadła do dwóch wierzchołków :
Z poniższego rysunku widać, że ogniskami są również elipsa równika . Oznacza to, że elipsa równika jest współogniskowa z daną elipsą ogniskową. Tak jest, co następuje. Widać też, że tak jest. Powyższe pokazuje rysunek: to ogniskowe punkty do elipsy w xz płaszczyzny i ma ona zastosowanie .
Rozmowa:
Jeśli chcesz skonstruować 3-osiową elipsoidę z półosiami podanymi w równaniu, możesz użyć równań z kroku (3), aby obliczyć parametry niezbędne do konstrukcji gwintu . Równania są ważne dla następujących rozważań
- (5)
Elipsoidy konfokalne:
jest zbyt konfokalną elipsoidą z kwadratami półosi
- (6)
więc można rozpoznać z poprzednich równań, że powiązane sekcje ogniskowe stożkowe do generowania gwintów mają takie same półosie jak te z . Dlatego - analogicznie do roli ognisk w tworzeniu nici elipsy - ogniskowe odcinki stożkowe 3-osiowej elipsoidy rozumiane są jako ich nieskończenie wiele ognisk i nazywane są krzywymi ogniskowymi elipsoidy.
Odwrotność jest również poprawna: Jeśli wybierzesz drugą nić o długości i ustawisz , wtedy obowiązuje zasada : Dwie elipsoidy są współogniskowe.
Graniczny przypadek rewolucji:
przypadek to , d. Oznacza to, że ogniskowa elipsa degeneruje się w segment, a hiperbola w dwa promienie na osi x. Elipsoida jest wtedy elipsoidą obrotową z osią x jako osią obrotu . To jest .
Właściwości hiperboli ogniskowej:
Jeśli spojrzysz na elipsoidę z zewnętrznego punktu na powiązanej hiperboli ogniskowej, zarys elipsoidy pojawi się jako okrąg . Innymi słowy: styczne elipsoidy tworzą pionowy okrągły stożek , którego oś obrotu jest styczna do hiperboli . Jeśli pozwolimy , by punkt oka pobiegł w nieskończoność, powstanie widok pionowej projekcji równoległej z asymptotą hiperboli ogniskowej jako kierunkiem projekcji. Prawda krzywa kontur na elipsoidy generalnie nie jest okręgiem. Rysunek przedstawia rzut równoległy 3-osiowej elipsoidy (półosi: 60,40,30) w kierunku asymptoty w lewym dolnym rogu oraz rzut centralny ze środkiem na ogniskowej hiperboli i punktem głównym na stycznej do hiperbola w . W obu projekcjach widoczne kontury są okręgami. Po lewej obraz pochodzenia o współrzędnych jest centrum okręgu zarys, po prawej głównym punktem jest środek.
Ogniskowa hiperbola elipsoidy przecina elipsoidę w jej czterech punktach pępowinowych .
Własności ogniskowej elipsy:
Ognisko elipsą z jego wnętrza może być postrzegane jako powierzchni granicznej z konfokalnej elipsoid określonych przez zestaw konfokalnej elipsoid jako nieskończenie cienkim elipsoidy. To wtedy
Elipsoida w dowolnej pozycji
Reprezentacja parametryczna
Afinicznej odwzorowania można określić przez przesunięcie równolegle przez i regularne 3 x 3 macierzy :
- ,
gdzie są wektory kolumnowe macierzy .
Reprezentacja parametryczna dowolnej elipsoidy wynika z powyższej reprezentacji parametrycznej sfery jednostkowej oraz opisu odwzorowania afinicznego:
Odwrotna sytuacja: jeśli wybierzesz dowolny wektor i dowolne wektory , ale liniowo niezależne , powyższa reprezentacja parametryczna zawsze opisuje elipsoidę. Jeśli wektor tworzy się układ ortogonalny , że punkty te wierzchołki elipsoidy i powiązane semiaxes.
Wektor normalny w punkcie jest
Niejawna opis może być także stosowany do w parametrycznej reprezentacji każdej elipsoidy . Dla elipsoidy ze środkiem w początku współrzędnych , ja. H. , jest
niejawna reprezentacja.
Uwaga: Elipsoida opisana przez powyższą reprezentację parametryczną jest sferą jednostkową w możliwie nachylonym układzie współrzędnych ( początek współrzędnych ), ( wektory bazowe ) .
Elipsoida jako kwadryka
Każdy elipsoidy z centrum może być stosowany jako zestaw roztworze w równaniu
zapisu, gdzie korzystnie określony matrycy .
Te wektory z matrycy określają główne osie elipsy i wartości własnych od są odwrotnościami kwadratów pół-osiach , i .
Elipsoida w geometrii rzutowej
Jeśli trójwymiarowa przestrzeń afiniczna i poszczególne kwadryki są rzutowo zamknięte przez daleką płaszczyznę lub dalekie punkty, to następujące kwadryki są rzutowo równoważne, tj. Innymi słowy , zawsze istnieje kolineacja rzutowa, która przenosi jedną kwadrykę w drugą:
- Elipsoida, paraboloida eliptyczna i hiperboloida dwupowłokowa .
Zobacz też
- Elipsoida rewolucji
- Elipsoida odniesienia
- Elipsoida bezwładności
- Elipsoida indeksowa
- Homeoid
- Focaloid
- Kwadryki konfokalne
linki internetowe
- Obliczanie online objętości i powierzchni elipsoidy (angielski)
- Wyprowadzenie wzoru na powierzchnię elipsoidy (angielski)
- Rękodzieło matematyczne: elipsoida
- Eric W. Weisstein : Elipsoida . W: MathWorld (angielski).
Indywidualne dowody
- ^ Adrien-Marie Legendre: Traite des fonctions elliptiques et des intégrales Euleriennes , vol. 1. Hugard-Courier, Paryż 1825, s. 357.
- ↑ Suzanne M. Kresta, Arthur W. Etchells III, David S. Dickey, Victor A. Atiemo-Obeng (red.): Postępy w mieszaniu przemysłowym: towarzysz podręcznika mieszania przemysłowego. John Wiley & Sons, 11 marca 2016, ISBN 978-0-470-52382-7 , strona 524 na dole Google Book Search.
- ↑ W. Böhm: Konstrukcja wątkowa powierzchni drugiego rzędu , Mathemat. Aktualności 13, 1955, s. 151.
- ↑ O. Staude: O konstrukcjach przędzy elipsoidy. Matematyka Ann. 20, 147-184 (1882).
- ^ O. Staude: O nowych właściwościach ogniskowych powierzchni II stopnia. Matematyka Ann. 27: 253-271 (1886).
- ↑ O. Staude: Podstawy algebraiczne własności ogniskowych powierzchni II rzędu. Matematyka Ann. 50, 398-428 (1898).
- ↑ D. Hilbert i S. Cohn-Vossen: Geometria ilustracyjna. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662366851 , s. 18.
- ↑ S. Finsterwalder: O konstrukcji nici elipsoidy. Mathematische Annalen Vol. 26, 1886, s. 546-556.
- ↑ O. Hesse: Geometria analityczna przestrzeni. Teubner, Lipsk 1861, s. 287.
- ↑ D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Geometria ilustracyjna. s. 22.
- ↑ O. Hesse: Geometria analityczna przestrzeni. s. 301.
- ↑ W. Blaschke: Geometria analityczna. s. 125.
- ↑ Geometria opisowa i konstruktywna wspomagana komputerowo. Uniwersytet w Darmstadt (PDF; 3,4 MB), s. 88.
- ^ Macierze symetryczne, formy kwadratowe, norma macierzowa i SVD.