Prawo energetyczne (statystyki)
W matematyce są przepisy energetyczne ( Engl. Laws energetyczne ) przepisy, które kształcie Jednomian mają: .
Należą do praw skali i opisują niezmienność skali wielu zjawisk przyrodniczych. Występują na przykład w połączeniu z częstotliwościami słów ( prawo Zipfa ) lub ludzką percepcją ( funkcja mocy Stevensa ). Dystrybucje Pareto są również prawami władzy.
Szczegóły matematyczne
Prawa potęgowe opisują wielomianowe zależności między dwiema wielkościami a kształtem
Jest pre-factor i wykładnik prawa energetycznego, a przez dodatkowych wskazanych terminów są uważane za nieistotne i pominięte.
Wartość jest zwykle mniej istotna - bardziej interesuje się wykładnikiem potęgi, ponieważ decyduje o tym, czy rośnie, czy maleje iz jaką prędkością. W szczególności prefaktor może być zintegrowany z wykładnikiem. jest konwertowany na .
Przykłady
Wykres podwójnie logarytmiczny pokazuje, czy dany rozkład można aproksymować funkcją potęgową : Jeśli wykres funkcji jest linią prostą, możliwe jest przybliżenie funkcją potęgi. Nachylenie prostej jest wówczas jej wykładnikiem. Szczegółowe wyprowadzenie i przykład można znaleźć w artykule Dystrybucja Pareto .
Wykładniczy wzrost miast
Prawo potęgowe rozkładu wielkości wynika z wykładniczego wzrostu, gdy zarówno liczba, jak i rozległość mierzonych obiektów rośnie wykładniczo. Rozkład rozmiarów obiektów w dowolnym momencie jest zatem zgodny z prawem potęgi:
Na przykład niech liczba miast w tym czasie będzie liczbą rosnącą wykładniczo:
Ekspansja powstałego wówczas miasta również rośnie wykładniczo:
Dlatego też zestawienie prawdopodobieństwa odnosi się do ekspansji miast
- .
Biorąc logarytm i przekształcając, daje to:
Prawdopodobieństwo w chwili założenia losowego miasta przed wybranym czasem wynosi
- .
Jeśli użyje się tej formuły do obliczenia funkcji rozkładu (zbioru ), otrzymamy wynik funkcji rozkładu
- .
Powiązana gęstość prawdopodobieństwa dla rozwinięcia (wyprowadzenie funkcji rozkładu; „rozkład wielkości”) ma zatem pożądaną postać:
to znaczy z .
Teoria sieci
Prawa mocy występują w sieciach bezskalowych , takich jak te generowane przez model Barabási-Albert .
Zobacz też
literatura
- Yule, GU : Matematyczna teoria ewolucji oparta na wnioskach dr JC Willis, FRS . Philos. Trans. R. Soc. Lond. B 213 : 21-87 (1924)
- Willis, JC: Wiek i obszar . Cambridge Univ. Press, Cambridge 1922
- Fermi, Enrico : O pochodzeniu promieniowania kosmicznego . Fiz. Rev. 75 (1949), str. 1169-1174
- Zipf, George Kingsley (1949): Ludzkie zachowanie i zasady najmniejszego wysiłku . Addison-Wesley, Cambridge, MA 1949