Przypuszczenie Ramanujana

W matematycznej dziedzinie form modularnych The Ramanujan przypuszczenie jest oszacowanie Zakłada przez Ramanujan i sprawdzony przez Deligne dla współczynników Fouriera z wyróżników modułowych , z zastosowaniami w teorii grafów , teorii liczb , reprezentacja teorii i wielu innych dziedzinach matematyki i informatyki teoretycznej. Istnieją również wersje dla innych form modularnych (przypuszczenie Ramanujana-Peterssona).

Funkcja tau Ramanujana

Funkcja Dedekind η jest zdefiniowana jako nieskończony produkt: ${\ displaystyle z \ in {\ mathbb {H}} = \ lewo \ {z \ w \ mathbb {C} \ mid \ mathrm {Im} \, z> 0 \ prawej \}}$

${\ Displaystyle \ eta (z): = e ^ {\ pi iz / 12} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-e ^ {2 \ pi inz})}$.

Twoja 24 potęga jest dyskryminująca

${\ Displaystyle \ Delta (z) = \ eta (z) ^ {24}}$.

Z tobą ${\ displaystyle q = \ exp (2 \ pi iz)}$

${\ Displaystyle \ Delta (z) = q \ prod _ {n \ geq 1} (1-q ^ {n}) ^ {24}}$,

co można umieścić w szeregu potęg w${\ displaystyle q}$

${\ Displaystyle q \ prod _ {n \ geq 1} (1-q ^ {n}) ^ {24} = \ suma _ {n \ geq 1} \ tau (n) q ^ {n}}$

których współczynniki (współczynniki Fouriera w ekspansji q) są funkcją tau Ramanujana

${\ Displaystyle \ tau: \ mathbb {N} \ do \ mathbb {Z}}$

(Postępuj zgodnie z A000594 w OEIS ).

Pierwsze wartości to:

${\ displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6th	7th	8th	9	10	11	12	13	14	15	16
${\ Displaystyle \ tau (n)}$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Ramanujan odkrył wiele arytmetycznych właściwości funkcji tau (takich jak kongruencje), które następnie odegrały ważną rolę w rozwoju teorii form modularnych (np. W teorii operatorów Heckego , gdzie wartości funkcji tau są wartościami własnymi operatorów Heckego dla dyskryminujących).

W 1916 roku Ramanujan poczynił kilka przypuszczeń na temat funkcji tau, poza wspomnianą poniżej hipotezą Ramanujana:

• ${\ Displaystyle \ tau (mn) = \ tau (m) \ tau (n)}$for (tj. funkcja tau jest funkcją multiplikatywną)${\ Displaystyle \ gcd (m, n) = 1}$
• ${\ Displaystyle \ tau (p ^ {r + 1}) = \ tau (p) \ tau (p ^ {r}) - p ^ {11} \ tau (p ^ {r-1})}$ dla liczby pierwszej p i ${\ displaystyle r> 0}$

Zostały one udowodnione przez Louisa Mordella w 1917 roku (przy użyciu metod teorii funkcji modułowych, które nie były dostępne Ramanujanowi).

Istnieją również bardzo eleganckie symetryczne formy wartości funkcji tau, które są powiązane z pewnymi potęgami funkcji Dedekind eta, jak odkrył Freeman Dyson w latach siedemdziesiątych, z mocami, które Ian G. Macdonald niezależnie odkrył w tym samym czasie, odpowiadały wymiarom skończeniowymiarowych prostych algebr Liego. Macdonald nawiązał relacje z afinicznymi systemami korzeni algebr Liego i klasycznymi formułami Hermanna Weyla na temat systemów korzeniowych i Carla Gustava Jacobiego ( potrójny produkt Jacobiego ).

Jedna z formuł Dysona to:

${\ Displaystyle \ tau (n) = {\ Frac {1} {1! \, 2! \, 3! \, 4!}} \ suma \ prod _ {ja <j} (u_ {i} -u_ { jot})}$

suma wszystkich liczb całkowitych ( ) jest , , . ${\ displaystyle u_ {i}}$${\ Displaystyle i = 1, ..., 5}$${\ Displaystyle u_ {i} = ja \, mod \, 5}$${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {5} u_ {i} = 0}$${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {5} u_ {i} ^ {2} = 10 \, n}$

Przypuszczenie Ramanujana

Ramanujan hipoteza mówi, że dla wszystkich liczb nierówności${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle | \ tau (p) | \ równoważnik 2p ^ {11/2}}$

i bardziej ogólnie nierówność dla wszystkich liczb naturalnych${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle | \ tau (n) | \ równoważnik d (n) n ^ {\ Frac {11} {2}}}$

Dotyczy, gdzie liczba dzielników o oznacza. Zostało to udowodnione w 1974 roku przez Pierre Deligne jako konsekwencja przypuszczeń Weila, które udowodnił.${\ Displaystyle d (n)}$${\ displaystyle n}$

Analogiczne przypuszczenie dla kształtów końcówek (waga k) dla podgrup kongruencji z grupy modułów pochodzi od Hansa Peterssona (1938) (przypuszczenie Ramanujana-Peterssona). Podobnie jak w przypadku dyskryminatora (waga k = 12) wykładnik jest , tylko dla ogólnego k: ${\ displaystyle {\ frac {k-1} {2}}}$

${\ Displaystyle | \ tau (p) | \ równoważnik 2p ^ {\ Frac {k-1} {2}}}$

Zostało to również udowodnione przez Deligne poprzez przypuszczenia Weila. Istnieją również wersje dla form automorficznych w programie Langlands ( Ilja Pjatetskij-Shapiro i inni) oraz dla form Maassa (niesprawdzone).

Aplikacje

• Konstrukcja grafów Ramanujana : Lubotzky-Philips-Sarnak wykorzystał hipotezę Ramanujana do udowodnienia, że ​​pewne ilorazy przestrzeni symetrycznej p-adycznej są grafami Ramanujana, czyli mają bardzo dobre właściwości ekspandera .${\ Displaystyle PGL (2 \ mathbb {Q} _ {p}) / PGL (2 \ mathbb {Z} _ {p})}$
• Ramanujan przypuszczenie można przeformułować na podstawie oszacowania wartości własnych z operatorami Hecke .
• Hipotezę Ramanujana można przeformułować na stwierdzenie o skojarzonej reprezentacji automorficznej .${\ displaystyle \ Delta}$

Drobnostki

Hipoteza Ramanujana była częścią logo Międzynarodowego Kongresu Matematyków 2010 w Hyderabad.

literatura

• Alexander Lubotzky : Grupy dyskretne, wykresy rozszerzające i miary niezmienne. Z dodatkiem Jonathana D. Rogawskiego. Progress in Mathematics, 125. Birkhäuser Verlag, Bazylea, 1994. ISBN 3-7643-5075-X
• Valentin Blomer , Farrell Brumley : Rola hipotezy Ramanujana w analitycznej teorii liczb. Bull. Amer. Math Soc. (NS) 50 (2013), nr 2, 267-320. online (pdf)
• Robert Alexander Rankin : Funkcja tau Ramanujana i jej uogólnienia, w: George E. Andrews (red.), Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988, ss. 245-268

linki internetowe

• Brian Conrad : Formy modułowe, kohomologia i hipoteza Ramanujana
• Funkcja Tau, Mathworld

Indywidualne dowody

1. ^ Mordell, „On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, tom 19, 1917, s. 117–124, archiwum
2. ↑ Niepublikowane, patrz Freeman Dyson, Missedportunities, Bulletin AMS, Tom 73, wrzesień 1972, str. 637. Według Dysona, formuły wymienione przez Dysona zostały częściowo opracowane przez AOL Atkin (niepublikowane), szwedzkiego fizyka Winquista, Jacobiego, Felixa Kleina i Robert Fricke i inni. Esej dotyczył brakujących możliwości komunikacji między matematyką a fizyką, w tym przypadku samego Dysona, który nie dostrzegł związku z algebrami Liego .
3. ^ Ian Macdonald, Affine root systems and Dedekind -function, Inventiones Mathematicae, tom 15, 1972, str. 91-143, SUB Goettingen . Wyjątkiem był wymiar d = 26, dla którego według Dysona nie ma takiego wyjaśnienia.${\ displaystyle \ eta}$
4. ↑ S. Ramanujan: On some arytmetical functions, Trans. Cambridge Phil. Soc. 22: 159-184 (1916).
5. ^ Pierre Deligne: La conjecture de Weil. I , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 43 (1974), 273-307.
6. ↑ Alexander Lubotzky , Ralph Phillips , Peter Sarnak : Wykresy Ramanujana . Combinatorica 8 (1988) nr 3, 261-277.