Seria Titius Bode

W serii Tytus-Bode (również Tytus-bodesche serii Bode- Titiussche związek , bodesche zasada i tym podobne) jest stosunek liczbowy stwierdzono empirycznie przez Johann Daniel Titius i są udostępnione przez Johann Elert Bode , według których odległości większości planety Od? Użyj prostego wzoru matematycznego, aby wyprowadzić słońce w przybliżeniu na podstawie liczby jego sekwencji.

Z matematycznego punktu widzenia jest to sekwencja (a nie seria ), ale nazwa stała się powszechna.

formuła

Titius wziął ciąg liczb 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96 itd., W którym po 3 każda liczba jest dwukrotnie większa od poprzedniej i do każdej z nich dodał 4. W powstałym ciągu liczb umieścił środkową. Promień orbity Ziemi do liczby 10 i otrzymany za pomocą tego pomiaru odległości wszystkich znanych planet od Słońca.

Zgodnie z sformułowaniem Titiusa i Bodego, oryginalna formuła daje:

${\ Displaystyle R_ {n} = 4 + 3 \ cdot 2 ^ {n}}$

Wykładnik n , rozpoczynający się od Merkurego, oznacza indeks ciągu −∞ , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 itd.
Od Merkurego do Saturna związane z nim terminy wyniku sekwencji (w skrócie: sekwencja liczb) 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100 ...

Tylko w nowoczesnych postaci wzoru poprzez Johann Wurm Friedrich od 1787 jest średnia odległość planety przed słońcem, które jest mierzone przez średnią odległości od ziemi w jednostkach astronomicznych :

${\ Displaystyle a_ {n} = 0 {,} 4 + 0 {,} 3 \ cdot 2 ^ {n}}$

Porównanie ze zmierzonymi wartościami

planeta	n	Odległość po gruźlicy	Rzeczywista odległość (AE)	odchylenie
Rtęć	−∞	0,4	(0.39)	(+ 2,56%)
Wenus	0	0,7	(0,72)	(- 2,78%)
Ziemia	1	1.0	(1,00)	(0,00%)
Mars	2	1.6	(1.52)	(+ 5,26%)
( Ceres )	3	2.8	(2,77)	(+ 1,08%)
Jowisz	4	5.2	(5.20)	(0,00%)
Saturn	5	10.0	(9.54)	(+ 4,82%)
Uran	6th	19.6	(19.19)	(+ 2,14%)
Neptun	-	-	(30.06)	(-)
( Pluton )	7th	38.8	(39,48)	(- 1,72%)
( Eris )	8th	77.2	(67,7)	(+ 14,00%)

Reguła w większości zgadza się z rzeczywistymi okolicznościami, z wyjątkiem kilku procent. Istnieją jednak pewne niespójności:

• Dla Merkurego, zgodnie z resztą sekwencji, wartość n nie musiałaby wynosić −∞ , ale −1.
• Pas asteroid znajduje się między Marsem a Jowiszem . Największym ciałem na tym terenie jest Ceres , która nie jest planetą, ale planetą karłowatą .
• Neptun nie ma miejsca w tej serii. Jednak w przypadku Neptuna dyskutowana jest możliwość, że pierwotnie pochodził on z innego miejsca w Układzie Słonecznym i że migrował do swojego obecnego położenia w wyniku interakcji z innymi planetami lub z dużymi obiektami przechodzącymi przez Układ Słoneczny (patrz sekcja Pochodzenie i migracja w artykule o Neptunie)
• W przeciwieństwie do planet wewnętrznych, sam Pluton ma mocno ekscentryczną orbitę, która waha się między 29,7 a 49,3  AU . Różnica ta odpowiada w przybliżeniu średnicy orbity Saturna lub odległości między Uranem a Słońcem, więc wartość przewidywań serii Titius-Bodego dla średniego promienia orbity Plutona jest nawet niższa niż dla innych planet.
• Eris jest również planetą karłowatą, taką jak Ceres i Pluton, ale w przeciwieństwie do nich również nie pasuje do serii.

fabuła

Johannes Kepler już szukał zależności geometrycznych dla planet i ich orbit. W swojej książce Mysterium cosmographicum ("Das Weltgeheimnis"), opublikowanej w 1596 r., Kepler opisał orbity znanych wówczas planet Merkurego i Saturna jako przekrój kulistych powłok z powierzchnią pięciu platońskich ciał stałych . Po kilku poprawkach poszczególne powierzchnie pięciu brył platońskich po prostu pasują do zagnieżdżonych sfer sześciu planet, w zależności od ich kształtu, jako elementy dystansowe. W swojej pracy Harmonice mundi („Harmonia świata”), opublikowanej w 1619 r., Rozwinął tę teorię dalej.

Izaak Newton wyjaśnił lukę między Marsem a Jowiszem w 1692 r. Za pomocą boskiego przewidywania, że ​​w przeciwnym razie duże planety poważnie zakłóciłyby orbity najmniejszych w pobliżu Słońca.

David Gregory opublikował w swoim szeroko rozpowszechnionym podręczniku astronomii The Elements of Astronomy (po raz pierwszy opublikowany w języku łacińskim w 1702 r., W języku angielskim po raz pierwszy w 1715 r.), Szereg liczb określających średnie odległości między znanymi planetami, według których średni promień orbity Ziemi składa się z dziesięciu jednostek, a dla planet Merkurego Saturn podaje wartości 4, 7, 10, 15, 52 i 95. Podjął to filozof Christian Wolff, bez żadnego wskazania pochodzenia, w swojej książce Rozsądne myśli o intencjach rzeczy naturalnych , opublikowanej po raz pierwszy w 1724 roku .

W 1761 roku Johann Heinrich Lambert dostrzegł przyczynę luki między Marsem a Jowiszem w dużym oddziaływaniu grawitacyjnym między Jowiszem a Saturnem, które zdestabilizowałoby planetę, która mogłaby istnieć tam wcześniej na jej orbicie.

W 1766 roku Johann Daniel Titius zaprojektował formułę z prawie taką samą serią odstępów jak David Gregory. Johann Elert Bode znalazł ją w przypisie w szeroko rozpowszechnionej książce Contemplation de la nature autorstwa Charlesa Bonneta - przetłumaczonej przez Titiusa - i upowszechnił ją w 1772 r. W swoim Przewodniku po wiedzy o gwiaździstym niebie . Na początku nie wspomniał o Titiusie, ale zrobił to później.

W sformułowaniu Titiusa:

Modlitwa raz na ogrom planet, szanując się nawzajem; i dostrzegają, że prawie wszyscy są od siebie oddaleni proporcjonalnie do wzrostu ich rozmiarów fizycznych. Modlitwa o odległość od słońca do części Saturna , Mercurius to takie części z dala od słońca, Wenus , ziemi , Marsa . Ale widzicie, od Marsa do Jowisza jest odchylenie od tak precyzyjnej progresji. Z Marsa podąża przestrzeń takich części, w której w tej chwili nie widać ani głównej, ani pomocniczej planety . Czy klient powinien zostawić ten pokój pusty? Nigdy więcej! Załóżmy z całą pewnością, że przestrzeń ta należy w szczególności do nieodkrytych wcześniej satelitów Marsa; dodajmy, że być może Jowisz wciąż ma wokół siebie takich, których jeszcze nie widziano ze szkłem. Z tej nieznanej nam przestrzeni wznosi się sfera aktywności Jowisza , aw takich częściach jego Saturnus . Cóż za godna podziwu proporcja!${\ displaystyle 100}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 4 + 3 = 7}$${\ displaystyle 4 + 6 = 10}$${\ displaystyle 4 + 12 = 16}$${\ displaystyle 4 + 24 = 28}$${\ displaystyle 4 + 48 = 52}$${\ displaystyle 4 + 96 = 100}$

Wartości nie są dokładnie takie same, jak wartości Wolffa czy Gregory'ego (które z kolei nie odpowiadają dokładnie obserwowanym wartościom znanym w tamtym czasie, opublikowanym na przykład przez Williama Whistona ), ale jak napisał Titius w czwartym wydaniu tłumaczenia, po raz pierwszy uzyskał je od Wolffa.

Przypadkowe odkrycie Urana w 1781 roku przez Wilhelma Herschela , który początkowo myślał, że to mgławica lub kometa, potwierdziło tę zasadę i sprawiło, że pojawiła się ona jako prawo dla wszystkich znanych wówczas planet . Wielu astronomów szukało teraz planety w szczelinie między Marsem a Jowiszem, poczynając od Franza Xavera von Zacha (od 1787 r.), Nadwornego astronoma w Gotha. W 1788 roku sześciu astronomów, w tym Zach i Heinrich Wilhelm Olbers , spotkało się w Lilienthal niedaleko Bremy, co dało początek ogólnoeuropejskiej sieci obserwatorów w poszukiwaniu zaginionej planety. W nocy 1 stycznia 1801 roku jeden z członków tej sieci obserwacyjnej, Giuseppe Piazzi , znalazł w Palermo ciało niebieskie, które można było przypisać do tej odległości. Była to asteroida Ceres , pierwsza odkryta mniejsza planeta i zdecydowanie największe z tych ciał (znane również jako planetoidy), które wraz z całym pasem asteroid zamknęły tę lukę. Od sierpnia 2006 Ceres ma nowy status planety karłowatej . Sam Piazzi przez długi czas miał wątpliwości, czy to mimo wszystko kometa (z parabolą jako orbitą jako pierwszym przybliżeniem). Carl Friedrich Gauß obliczył eliptyczną orbitę planetarną Ceres w taki sposób, że Zach był w stanie znaleźć ją ponownie pod koniec 1801 roku. Z jednej strony był to triumf młodego Gaussa w klasycznej matematycznej dziedzinie mechaniki niebieskiej, który właśnie publikował wówczas swój epokowy podręcznik teorii liczb Disquisitiones Arithmeticae , a jednocześnie oznaczał, że Ceres nie była kometą. Nawiasem mówiąc, Gauss uważał, że prawo Titiusa-Bodego było tylko przypadkowym zbiegiem okoliczności. William Herschel odkrył w tym samym roku, że Ceres była mniejsza od znanych planet. W 1804 z Juno i 1807 z Westą (Olbersa) znaleziono kolejne mniejsze planety w pasie asteroid.

Ale kiedy w 1846 roku odkryto planetę Neptun, w ogóle nie pasowała do serii Titius-Bode. Widoczna porażka prawa doprowadziła teraz astronomów do sceptycyzmu wobec takich gier liczbowych, na przykład w analogii Daniela Kirkwooda (1849). Charles Sanders Peirce pod koniec XIX wieku zwykle upatrywał przykład błędnego myślenia w naukach ścisłych.

Hegla

Rozpowszechniona anegdota głosi, że Georg Wilhelm Friedrich Hegel w swojej rozprawie w 1801 roku, za pomocą szeregu geometrycznego, który zaproponował zamiast serii Titius-Bode, udowodnił, że między Marsem a Jowiszem nie ma żadnej planety; i to w tym samym roku, w którym Piazzi odkrył Ceres i tym samym Hegel by zaprzeczył. Długo później astronomowie i inni używali tego do wyśmiewania Hegla. Jednak Hegel został później objęty ochroną przez innych astronomów. W krótkim dodatku do swojej dysertacji nie twierdził, że wykazał, iż żadna planeta nie istnieje w tej szczelinie (a Ceres okazała się później tylko mniejszą planetą z wieloma innymi asteroidami w tym obszarze), a jedynie skrytykował wysiłki astronomów w tamtym czasie. poszukiwać tam planety na podstawie czysto spekulatywnego wzoru matematycznego, wzoru Titiusa-Bodego. Jako uzasadnienie stworzył własną serię bez planety w tej szczelinie, która opierała się na geometrycznym szeregu w dialogu Platona Timaeus, jako przykład, jak łatwo można postawić takie hipotezy.

Hegel uruchamiany z dwóch sekwencji i można znaleźć w Plato (to znaczy sekwencji geometryczne i ) wraz z sekwencją (który tworzy pewien wniosek, ponieważ suma liczb poprzednich). Ponieważ 8 i 9 są blisko siebie, zastępuje 8 przez 16 (następny człon w pierwszej sekwencji potęg dwóch po 8) bez bardziej szczegółowego wyjaśnienia, tak że ciąg jest tworzony. Duża odległość między 4 a 9 jest dla niego ważna, ponieważ łączy się z lokalizacją nieznanej planety przewidzianej w serii Titius-Bode. Potem zastępuje sekwencję z (rtęć) i inne numery z . Od staje, a następnie dla pozostałych części ciągu: (za ), (za ), (za ), (za ) i (za ). Sam Hegel podaje taki wynik: Merkury 1,4, Wenus 2,56, Ziemia 4,37, Mars 6,34, Jowisz 18,75, Saturn 40,34, Uran 81. Tak więc istnieje szereg bez przerwy między Jowiszem. i Marsa. Jeśli podzielisz te wartości przez odległość od Ziemi, otrzymasz w jednostkach astronomicznych (AU): 0,32 (Merkury), 0,58 (Wenus), 1 (Ziemia), 1,45 (Mars), 4,3 (Jowisz ), 9,2 (Saturn), 18,5 (Uran). Następnie krótko bada relacje między satelitami Jowisza i Saturna. ${\ displaystyle 1,2,4,8}$${\ displaystyle 1,3,9,27}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle 3 ^ {n}}$${\ displaystyle 1,2,3,4,8,9,27}$${\ displaystyle 27}$${\ displaystyle 1,2,3,4,9,16,27}$${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle 3 ^ {\ Frac {1} {3}} \ około 1 {,} 44}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle x ^ {\ Frac {4} {3}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 2 {,} 5}$${\ displaystyle 4 {,} 3}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 6 {,} 34}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 18 {,} 7}$${\ displaystyle 9}$${\ displaystyle 40 {,} 3}$${\ displaystyle 16}$${\ displaystyle 81}$${\ displaystyle 27}$

Jednak Hegel zaakceptował nowo odkryte planety mniejsze w swoich wykładach z filozofii przyrody i zaklasyfikował je do planet.

Interpretacja i kontrowersje

Powszechna opinia jest taka, że ​​seria Titius-Bode pasuje tylko do planet wewnętrznych, już zawodzi z pasem asteroid i została uznana za przestarzałą grę liczbową najpóźniej od odkrycia planety Neptun. Jak dotąd nie jest znany żaden mechanizm fizyczny, który tworzy pewną serię odległości między planetami.

Obserwacja czasów orbity jest bardziej pouczająca dla niebiańskiej mechanicznej organizacji układu planetarnego. Okresy orbitalne sąsiednich planet są ze sobą współmierne ; to znaczy, że są w relacji opartej na wspólnej mierze i można ją wyrazić - częściowo w przybliżeniu, częściowo dość dokładnie - za pomocą ułamków z małymi liczbami całkowitymi w liczniku i mianowniku (patrz tabela po prawej stronie).

Zaokrąglone (i dokładne) proporcje
między czasami orbity planet

Rtęć		2: 5	(2: 5.11)		Wenus
Wenus		8:13	(8: 13.004)		Ziemia
Ziemia		1: 2	(1: 1,88)		Mars
Mars		2: 5	(2: 4,89)		(Ceres)
(Ceres)		2: 5	(2: 5,15)		Jowisz
Jowisz		2: 5	(2: 4,97)		Saturn
Saturn		1: 3	(1: 2,85)		Uran
Uran		1: 2	(1: 1,96)		Neptun
Neptun		2: 3	(2: 3,01)		(Pluton)

Takie rezonanse (Near Mean Motion Resonance, NMMR) można również znaleźć, rozważając czasy orbity księżyców wokół planet. Występują zakłócające i stabilizujące rezonanse w zależności od stosunku czasów cykli. Z tego punktu widzenia sukces serii Titiusa-Bodego opiera się ogólnie na współmiernych stosunkach cyrkulacji, aw szczególności na empirycznym ugięciu jednolitego wzoru w celu jak najdokładniejszego uchwycenia wszystkich różnych stosunków.

W nowszych zastosowaniach, takich jak egzoplanety, stosowane są uogólnione prawa Titiusa-Bodego, na przykład Timothy Bovaird w postaci:

${\ displaystyle a_ {n} = a \ cdot C ^ {n}}$

z półoś wielką dla n-tej planety i parametrami , zgodnie z którymi dostosowywana jest półoś wielka pierwsza planeta . Jako częściowe wyjaśnienie stwierdza się, że na podstawie trzeciego prawa Keplera ( ) istnieje podobna zależność dla okresów rewolucji : ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle n = 0, 1, 2, 3, ...}$${\ displaystyle a, C}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle T_ {n} \ sim a_ {n} ^ {\ Frac {3} {2}}}$${\ displaystyle T_ {n}}$

${\ Displaystyle T_ {n} = \ alfa \ cdot D ^ {n}}$

z, a zatem stosunkiem czasów orbitalnych dla sąsiednich planet: ${\ Displaystyle D = C ^ {\ Frac {3} {2}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {T_ {n + 1}} {T_ {n}}} = D}$

Odpowiadałoby to systemowi, w którym wartości współczynników rezonansu odpowiadają pojedynczej wartości, a prawo Titiusa-Bodego opisuje rzeczywistość, im lepiej, im mniej wartości są rozproszone wokół wartości głównej. W Układzie Słonecznym jest to uwzględnione . ${\ displaystyle {\ frac {5} {2}}}$

Symulacje powstawania układów planetarnych wskazują na preferencje dla pewnych warunków rezonansowych, takich jak czasy orbity sąsiednich planet i pomiędzy nimi, które są zatem szczególnie stabilne (Hills 1970). Jest to tym bardziej oczywiste, im większa jest interakcja między sąsiednimi planetami, gdy się one formują. Jacques Laskar (2000) przeprowadził symulację układu planetozymali i stwierdził, że dla promieniowych początkowych gęstości powierzchni formy (wraz z promieniem) powstały serie typu Titius-Bode. Ten rozkład gęstości został również znaleziony w modelu mgławicy słonecznej o minimalnej masie (model MMSN) formowania się Układu Słonecznego (C. Hayashi 1981, SJ Weidenschilling 1977). ${\ displaystyle {\ frac {5} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$${\ displaystyle 10 ^ {5}}$${\ Displaystyle \ Sigma (r) \ sim r ^ {- {\ Frac {3} {2}}}}$${\ displaystyle r}$

Jednak testy statystyczne wykazały również, że prostą formułę można prawie zawsze dostosować do hipotetycznego układu planetarnego, jeśli dopuszcza się podobne odchylenia, jak w sekwencji Titiusa-Bodego. Te serie są w większości różne dla każdego systemu. W rezultacie powstają gry liczbowe, które nie ujawniły jeszcze żadnego nowego niebiańskiego prawa mechanicznego.

Wychodząc z założenia, że ​​szereg Titiusa-Bodego nie jest zbiegiem okoliczności, czy tylko efektem statystycznym, postawiono hipotezy na powyższe wyjątki. Uważa się, że obiekty w pasie asteroid zawierają fragmenty dawnej planety, która weszła do fantastycznej literatury naukowej pod nazwą Faeton . Późniejsze badania wykazały, że całkowita masa wszystkich asteroid stanowi zaledwie około pięciu procent masy księżyca Ziemi i że wiele małych ciał wyłoniło się raczej z innych, niegdyś większych asteroid. Obecnie większość opinii jest taka, że ​​pas asteroid powstał naturalnie z mgławicy planetarnej, ale grawitacyjne efekty Jowisza uniemożliwiły powstanie większej planety. W pasie asteroid występują również różne luki (szczelina Kirkwooda ), w których relacje rezonansowe z Jowiszem doprowadziły do ​​destabilizacji. Inna hipoteza głosi, że pobliski masywny obiekt mógł zmienić orbity Neptuna i Plutona.

Zastosowanie serii Titius-Bode do pozasłonecznych układów planetarnych

Kiedy astronomowie współpracujący z Timem Bovairdem z Australian National University w Canberze przeanalizowali 27 pozasłonecznych układów planetarnych, zauważono, że są one w większości zgodne ze wzorem Titiusa-Bodego dokładniej niż ciała niebieskie w naszym układzie planetarnym - prawie 96%. Spośród 27 zbadanych układów, 22 mają planety ustawione zgodnie z regułą Titiusa-Bodego. W trzech przypadkach reguła Titiusa-Bodego nie ma zastosowania. Układ słoneczny jest bardzo rozległy. W przeciwieństwie do tych 27 systemów jest znacznie mniejszych. Czasami cztery lub pięć planet krąży wokół gwiazdy centralnej na orbicie Merkurego.

Ponieważ czas trwania orbity i maksymalny rozmiar możliwych sąsiednich planet wynika z serii Titius-Bode, astronomowie przewidzieli orbitę nieznanej planety w układzie gwiazdowym KOI 2722. Dwa miesiące później ta egzoplaneta została znaleziona za pomocą teleskopu kosmicznego „Kepler” .

Zobacz też

• Wzór empiryczny
• Planetologia
• Historia astronomii
• Lista odkryć planet i ich księżyców
• Mysterium Cosmographicum Kepler próbuje wyjaśnić orbity planet za pomocą wielościanów

literatura

• Michael Martin Nieto: Prawo Titiusa-Bodego odległości planetarnych: jego historia i teoria , Oxford: Pergamon Press 1972
• Günther Wuchterl: Kolejność orbit planet , gwiazd i przestrzeni , część 1, wydanie 6, 2002, część 2, wydanie 12, 2002

linki internetowe

• bodensee-sternwarte.de ( Memento z 27 września 2007 w Internet Archive )
• E. Willerding: Rozważania na temat struktury i formowania się układu planetarnego ( Memento z 7 lipca 2007 w Internet Archive ). (PDF)
• Ramon Parés: Distancias planetarias y Ley de Titius-Bode. (Hiszpański)
• milan.milanovic.org: Titius-Bode Law ( Memento z 28 stycznia 2014 w Internet Archive ) (angielski)
• Michael Hoskin, Prawo Bodego i odkrycie Ceres , Osservatorio Astronomico di Palermo Giuseppe S. Vaiana

Indywidualne dowody

1. ↑ Hoskin, prawo Bodego i odkrycie Ceres , Obserwatorium w Palermo. Odnosi się do listu Newtona do Bentleya z 2 grudnia 1692 roku.
2. ^ Rozważania o naturze, Karl Bonnet , Lipsk 1774, tom 1, s. 9, przypis, zdigitalizowane
3. ↑ Hoskin, prawo Bodego i odkrycie Ceres.
4. ↑ Margaret Wertheim, Fizyka na skraju, Walker Books 2011
5. ^ Margaret Wertheim, Fizyka na marginesie, 2011
6. ↑ E. Craig, M. Hoskin, Hegel and the seven planets, Journal of the History of Astronomy, tom 23, 1992, str. XXIII, Online
7. ↑ Dieter B. Herrmann , rozprawa Hegla i numer siedem planet, gwiazd i przestrzeni. Kontrowersje i legendy o rzekomym błędzie. Stars and Space, tom 31, 1992, str. 688-691
8. ^ Rozprawa Hegla: De orbis planetarum, zdigitalizowana wersja Bayerische Staatsbibliothek
9. ↑ Zobacz także Thomas Sören Hoffmann , Georg Wilhelm Friedrich Hegel. A Propaedeutic, Brill, 2015, s. 103 i nast
10. ^ Bertrand Beaumont, Hegel i siedem planet, w: Jon Stewart, The Hegel myths and legends, Northwestern University Press, 1996, s. 285–288
11. ↑ Timothy Bovaird, Charles Lineweaver, przewidywania egzoplanet oparte na uogólnionej relacji Titius - Bode, Monthly Notices Royal Astron. Soc., Tom 435, 2013, s. 1126–1139 , Arxiv
12. ^ P. Goldreich, Wyjaśnienie częstego występowania współmiernych ruchów średnich w układzie słonecznym, Monthly Notices Roy. Astron. Soc., Tom 1, 1965
13. ^ SF Dermott, O pochodzeniu współmierności w Układzie Słonecznym, comiesięczne powiadomienia Roy. Astron. Soc., Tom 141, 1968, str. 349, 363
14. ↑ JG Hills, Dynamical relaxations of planetary systems and Bode's law, Nature, tom 225, 1970, str.840
15. ↑ J. Laskar, O odstępach między układami planetarnymi, Phys. Rev. Lett., Tom 84, 2000, str. 3240
16. ↑ Hayashi, Progress of Theoretical Physics, Suppl, tom 70, 1981, 35
17. ↑ Weidenschilling, Miesięczne powiadomienia Roy. Astron. Soc., Tom 180, 1977, str. 57
18. ↑ Timothy Bovaird, Charles Lineweaver, przewidywania egzoplanet oparte na uogólnionej relacji Titius - Bode, Monthly Notices Royal Astron. Soc., Tom 435, 2013, s. 1126–1139 , Arxiv
19. ↑ Guido Meyer: Formuła planetarna - szalony zbieg okoliczności czy prawo naturalne? (ostatnia wizyta 22 lipca 2014)

Uwagi

1. ↑ Ściśle mówiąc, w przypadku, gdy nie chodzi o wartość, ale o wartość graniczną ciągu.${\ textstyle n \ to - \ infty}$